1) Un cilindro di rame ( resistività ρ = 1.69 x 10 – 8 ) di sezione A = 5 mm2, è percorso da una
corrente elettrica I = 2 Ampere. Si calcoli:
a) il modulo J della densità di corrente,
b) la resistenza per unità di lunghezza del cilindro di rame.
Dalla definizione di densità di corrente segue, per una corrente uniforme nel filo,
Per un filo di sezione A e lunghezza L, la resistenza è data da
Quindi la resistenza per unità di lunghezza sarà
2) Un condensatore di capacità C = 2 x 10 – 6 Farad è carico, e la differenza di potenziale fra le sue
armature è V0 = 600 Volt. All’istante t = 0 s le due armature vengono collegate tra loro tramite una
resistenza R = 20000 Ohm. Si calcoli il valore della carica elettrica Q presente sulla armatura
positiva del condensatore al tempo t = 2RC.
La carica sulle armature del condensatore, durante la fase di scarica, segue la legge oraria della
differenza di potenziale ai capi del condensatore:
Quindi al tempo t = 2RC, la carica presente sul condensatore sarà
3) Un condensatore a facce piane e parallele di area A = 1 cm2 e distanti d = 1 mm è totalmente
riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa εr = 3. Tra le armature del condensatore
si ha una differenza di potenziale V0 = 10 Volt. Si calcoli la densità di carica sulle superfici del
dielettrico affacciate alle armature del condensatore.
La relazione tra la densità di carica σp di polarizzazione e la densità σ delle cariche “libere”
sull’armatura del condensatore è:
Possiamo calcolare σ ricordando che
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4) Si consideri un condensatore a facce piane e parallele, di area A e distanza d. All’interno del
condensatore viene inserita una lastra di quarzo (costante dielettrica relativa εr = 4) di spessore h
= d/3 e area A in modo che la superficie della lastra sia parallela alle armature del condensatore. Si
dimostri che il condensatore così costituito ha una capacità che è 4/3 la capacità del condensatore
vuoto (indipendentemente dalla posizione della lastra rispetto alle armature).
Per una posizione arbitraria della lastra all’interno del condensatore, la capacità totale sarà la
somma in serie di tre capacità:
Con
Dove x è lo spazio tra la prima armatura e la lastra di dielettrico.
Otteniamo quindi, ponendo h = d/3
Da cui, ponendo εr = 4
5) Un filo di rame (di resistività ρ = 1.7 x 10 – 8 Ω-m) è percorso da una corrente di densità J = 0.5
A/mm2. Si calcoli il campo elettrico E che mantiene la corrente nel filo. Se la densità degli elettroni
nel rame è n = 8.49 x 10 28 elettroni/m3, si calcoli in questo caso la velocità di deriva degli elettroni
e il tempo medio tra un urto e l’altro, assumendo valido il modello classico della conduzione nei
metalli.
Dalla legge microscopica di Ohm, otteniamo
da cui
La relazione tra la densità di corrente e la velocità di deriva è:
2
Inoltre il modello di Drude ci fornisce il valore della conducibilità:
6) Un disco sottile di materiale isolante, di raggio R = 5 cm, possiede una carica elettrica Q = 10 – 8
C, distribuita uniformemente sulla sua superficie. Il disco viene posto in rotazione attorno ad un
asse ortogonale al disco e passante per il suo centro, con velocità angolare ω = 100 s – 1 . Si calcoli il
momento di dipolo magnetico associato al disco in rotazione.
Il disco possiede una densità di superficie di carica
Se scomponiamo il disco in anelli di raggio r e spessore dr, a ciascuno di questi anelli è associata
una carica dq, che posta in rotazione produce una corrente di
A questo elemento di corrente, sarà associato il momento di dipolo magnetico
Otteniamo quindi il momento di dipolo totale
7) Una spira circolare è posta in un campo magnetico B uniforme di intensità 0.1 T, con l’asse della
spira parallelo al campo magnetico. Il raggio della spira aumenta nel tempo secondo l’espressione
R(t) = R0 + at, con R0 = 2 cm e a = 0.08 m/s. Si scriva l’espressione della f.e.m. indotta nella spira in
funzione del tempo, e si calcoli il suo valore per t = 2 s.
Il flusso del campo magnetico attraverso la spira vale
Otteniamo quindi per la forza elettromotrice indotta l’espressione, in modulo,
3
8) Una sbarretta conduttrice cilindrica è orientata con il suo asse parallelo all’asse y, e si sta
muovendo con velocità v = v i , con v = 10 m/s , in presenza di un campo magnetico B = B0 e – ax k,
con B0 = 1.5 T e a = 0.2 m – 1. All’istante t = 0 la sbarretta passa per l’origine del sistema di
riferimento. Si scriva l’espressione del campo elettrico presente nella sbarretta in funzione del
tempo e si calcoli il suo modulo al tempo t = 0.5 s.
Essendo la velocità di traslazione della sbarretta molto piccola (rispetto a c) possiamo considerare
le cariche della sbarretta in equilibrio istante per istante. Dovrà valere quindi la relazione
Ovvero ad ogni istante la risultante delle forze su ciascuna carica deve essere nulla.
Ricordando l’espressione di B in funzione della coordinata x, e che x = vt, otteniamo per il campo
elettrico l’espressione
9) Una spira conduttrice, di resistenza R = 1000 Ohm, è immersa in un campo magnetico, il cui
flusso attraverso la spira è Φ(B) = 10 – 1 T - m2 . Ad un certo istante il campo magnetico viene
“spento”. Se la corrente indotta nella spira si estingue in un tempo t = 5 x 10 – 8 s, si calcoli la
potenza media dissipata nella spira.
La quantità di carica totale che scorre nella spira durante lo “spegnimento” del campo magnetico,
vale
A cui corrisponde una corrente media
Otteniamo quindi per la potenzia media dissipata nella spira
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