Numeri decimali, periodici semplici e periodici misti

Numeri decimali, periodici semplici e periodici misti
Scritto da Maria Rispoli
Domenica 09 Gennaio 2011 13:10 - Ultimo aggiornamento Giovedì 03 Marzo 2011 20:53
Nulla si sa sulla vita del matematico arabo Abùl-Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi, autore,
negli anni 952-953, di un importante trattato dal titolo Kitab al-fusul Fìl-hisab (Capitoli
sull’aritmetica indiana). Al-Uqlidisi, che significa l’euclideo, è l’epiteto che veniva aggiunto
solitamente al nome dei copisti delle opere di Euclide, il che ci fa pensare che quella del copista
fosse, se non l’attività principale del nostro autore, quantomeno il suo modo di guadagnarsi da
vivere. L’importanza del testo di Al-Uqlidisi consiste, tra l’altro, nel fatto che vi vengono
esplicitamente introdotti i numeri decimali, attribuiti solitamente al matematico Fiammingo
Simon Steven che, con il suo famoso libretto
De thiende
, a partire dal 1585, divulgò l’uso dei numeri decimali mediante accurate spiegazioni di tutti i
dettagli della questione.
Dall’opera di Al-Uqlidisi è rimasto un solo manoscritto, copiato nel 1157. Per quanto riguarda i
numeri decimali l’autore suggerisce di apporre un accento sopra la cifra dell’unità e insiste
affinché tale segno sia sempre usato. Sfortunatamente il copista, che evidentemente non aveva
capito il significato di tale accento, lo ha quasi sempre tralasciato, riportandolo solo in
pochissimi casi [1] .
Una frazione si può considerare come il quoziente esatto tra il numeratore e il denominatore. Il
valore di una frazione si può esprimere mediante un numero intero o un numero decimale,
basta dividere il numeratore per il denominatore.
Le frazioni che hanno per denominatore 10, 100, 1.000, …, cioè una potenza di 10 si dicono fra
zioni decimali
le altre si dicono
frazioni ordinarie
.
Una frazione decimale si trasforma in un numero decimale scrivendo il numeratore e separando
con una virgola, partendo da destra, tante cifre quanti sono gli zeri del denominatore; viceversa
un numero decimale si trasforma in frazione decimale scrivendo al numeratore il numero senza
la virgola e al denominatore l’unità seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del
numero.
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Dividendo il numeratore per il denominatore si possono presentare due casi:
1. La divisione termina con un numero finito di passaggi e quindi il numero decimale è finito.
2. La divisione non ha mai termine e in tal caso il numero decimale è detto periodico
illimitato
.
Il gruppo di cifre che si ripete indefinitamente è detto periodo e viene rappresentato con una
sopralinea.
Un numero periodico è chiamato semplice se il periodo inizia subito dopo la virgola, misto se il
periodo non inizia subito dopo la virgola; in tal caso il gruppo di cifre compreso tra la virgola e il
periodo è detto
antiperiodo
.
NUMERO DECIMALE FINITO
Numero con la virgola, con un numero finito di cifre dopo la virgola
Es. 12,6 1215,8795 0,356 2/8
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NUMERO DECIMALE ILLIMITATO
Numero con la virgola, con un numero infinito di cifre dopo la virgola
Es. 12,35659645656465489648413141003060606………. NUMERO DECIMALE PERIODICO SEMPLICE
Numero con la virgola, con un numero infinito di cifre dopo la virgola tutte uguali
Es. 2,3333333333333 ……..= 2,
NUMERO DECIMALE PERIODICO MISTO
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Numero con la virgola, con un numero infinito di cifre dopo la virgola.
Le prime cifre dopo la virgola non si ripetono, poi c’è un gruppo di cifre che si ripete all’infinito
Es. 2,45893333333333333 ……..= 2, 4589
Es. 35, 236 32 32 32 32 32 32 …..=35, 236
Per riconoscere, senza eseguire la divisione, che una frazione, ridotta ai minimi termini, si
trasforma in un numero decimale periodico semplice o in numero decimale periodico misto, si
osserva che:
- Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, si trasforma in numero decimale periodico
semplice se il denominatore non contiene i fattori 2 e 5.
- Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, si trasforma in un numero decimale
periodico misto se il denominatore contiene i fattori 2 e 5, o uno solo di essi, insieme con altri
fattori.
PASSAGGIO DA NUMERI DECIMALI A FRAZIONI
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Trasformazione di un numeri decimali limitati in frazione
12,34
1.
2.
3.
12,34=
NUMERATORE
1. Scriviamo tutto il numero senza la virgola
DENOMINATORE
2. Scriviamo 1
3. Facciamo seguire l'1 da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola (in questo caso da 2 zeri)
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Trasformazione di un numeri decimali periodico semplice in frazione
1.
2.
3.
=
=
NUMERATORE
1. Scriviamo tutto il numero senza la virgola
2. Sottraiamo a questo numero il numero formato dalle cifre che non sono sotto il trattino
DENOMINATORE
3. Scriviamo tanti 9 quante sono le cifre sotto il trattino (periodo), in questo caso un solo 9
Trasformazione di un numeri decimali periodico misto in frazione
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1.
2.
3.
4.
=
=
NUMERATORE
1. Scriviamo tutto il numero senza la virgola
2. Sottraiamo il numero formato dalle cifre che non sono sotto il trattino (periodo)
DENOMINATORE
3. Scriviamo tanti 9 quante sono le cifre sotto il trattino (periodo)
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4. Seguiti da tanti zeri 0, quante sono le cifre dopo la virgola e che non sono sotto il trattino
[1] Bottazzini, Freguglia, T. Rigatelli, Fonti per la Storia della Matematica, Sansoni.
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