Operazioni sugli eventi aleatori. Assiomi della probabilita`. Intro ad

Lezione 2
- Operazioni sugli eventi. Assiomi della probabilità.
-Intro ad excel
1
OPERAZIONI SUGLI EVENTI ALETORI
ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ
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Lezione 2
- Operazioni sugli eventi. Assiomi della probabilità.
CASO 2:
la probabilità classica - a priori
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2
m
P ( A) =
N
casi favorevoli
=
casi possibili
0 ≤ P ( A) ≤ 1
P (φ ) = 0
P (Ω ) = 1
AI B =φ
( gli eventi sono incompatib ili )
P ( A ∪ B) =
dove
n A∪ B
n A∪ B n A n B
=
+
= P ( A) + P ( B )
n
n
n
= # casi favorevoli di A e B =
= # casi favorevoli in A +
# casi favorevoli in B = n A + n B
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ),
AI B =φ
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3
Assiomi della Probabilità
Le tre proprietà della probabilità
0 ≤ P ( A) ≤ 1
P (Ω ) = 1
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ),
AI B =φ
derivano considerando una qualsiasi delle precedenti definizioni di probabilità.
Considerandole come ASSIOMI, senza specificare la definizione, si può costruire una teoria del
calcolo delle probabilità.
Ci ritorneremo.
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4
Eventi
SPAZIO DEGLI EVENTI Ω.
Ω è l’evento certo.
E1, E2 ⊆ Ω
E1
E2
E1 ∪ E2 è l’EVENTO UNIONE
E1 ∪ E2
E1 ∪ E2 si verifica se almeno
uno dei due si verifica
E1 ∩ E2 è l’EVENTO INTERSEZIONE
E1 ∩ E2
E1 ∩ E2 si verifica se entrambi
gli eventi siverificano
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5
ESEMPI:
Lancio di una moneta:
T
C
Ω = {T,C}
P(T)=P(C)=1/2
T ∪ C = Ω
P(T ∪ C ) = 1
T ∩ C = Ø
P(T ∩ C)=0
estrazione da 15 numeri:
Ω = {1,2,3,4,5,…,15}
A = Esce un numero > 7
P(a)=1/15
B = esce un numero pari
A ∪ B = {2,4,6,8,9,10,11,12,13,14,15}
P(A ∪ B ) = 11/15 = 0,7
Ω
•2 •6 •4B
•1
•3 •11 •8
•12
•9 •10
•5 A
•14
•7 •13
•15
A ∩ B = {8,10,12,14}
P(A ∩ B) =
4/15 = 0,27
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6
Eventi
E1
E1, E2 ⊆ Ω
E1 ∩ E2
=
Ø
E2
E1, E2 INCOMPATIBILI
o DISGIUNTI
E ⊆ Ω
Ec= E
EVENTO COMPLEMENTARE
Ω
Ec
E
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7
Probabilità dell'evento opposto o complementare
Dato un evento A, definiamo Ac (si legga non A o A complementare) l'evento opposto o
contrario o negazione di A.
L'evento Ac si verifica tutte le volte in cui non si verifica l'evento A.
In pratica, o si verifica l'evento A oppure si verifica l'evento Ac, cioè
P ( A ∪ Ac ) = 1
Ad esempio, se A è "Domani pioverà", allora ~A è "Domani non pioverà".
Può sembrare una banalità, ma capita a taluni di commettere qualche errore.
Ad esempio, se si chiede il contrario di "Vincere sempre", si può avere come risposta "Non
vincere mai.", mentre la riposta corretta è "perdere almeno una volta".
Il contrario di "Aver detto sempre la verità" non è "Aver sempre mentito", ma "Aver detto
almeno una bugia".
In ogni caso, poiché A e Ac sono disgiunti
P( A) + P( Ac ) = 1
P( Ac ) = 1 − P( A)
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Probabilità dell'evento complementare
Esercizio 2.1 In una famiglia ci sono due figli. Trova la probabilità che almeno uno sia
maschio.
Tal evento è l'opposto di quello in cui si hanno due figlie femmine. Quest'ultimo evento,
trascurando la piccola differenza riscontrata nei dati statistici, sui nati maschi e femmine,
ha probabilità 1/4 (vedi l'esempio delle due monete nell'esercizio 1.1). Dunque la
probabilità di avere almeno un figlio maschio sarà 1-1/4 = 3/4.
Anche quest'evento può considerarsi l'opposto di quello dell'esercizio 1.4 in cui abbiamo
trovato che la probabilità di avere almeno un sei era 11/36. L'evento opposto (non avere
nessun sei) ha dunque probabilità 1- 11/36 = 25/36.
Vittorio De Petris
Esercizio 2.2 Lancia una coppia di dadi. Trova la probabilità che il 6 non compaia su
nessuno dei due dadi.
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Probabilità dell'evento complementare
Esercizio 2.3 Lancia una coppia di dadi. Trova la probabilità che le due facce
presentino numeri diversi tra loro.
Esercizio 2.4 Antonio e Bruno decidono che il conto del Bar sarà pagato da colui che
pesca la carta più bassa. Per evitare la parità, decidono di usare solo le 13 carte di uno
stesso seme. Antonio pesca un 5. Che probabilità ha ora Bruno di non pagare il conto?
Le carte inferiori al 5 sono 4 delle 12 rimaste. Bruno ha 1/3 di probabilità di pagare il
conto. La probabilità di non pagare sarà: (1-1/3) = 2/3.
Vittorio De Petris
Questo caso si può considerare come opposto dell'evento "Due facce uguali" che si
presenta 6 volte sui 36 casi possibili (si osservi lo spazio campione descritto nella figura
dell'esercizio 1.4), con probabilità 1/6. L'evento opposto avrà dunque probabilità (1-1/6) =
5/6.
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Probabilità dell'evento incompatili o disgiunti
Due eventi si dicono compatibili quando il verificarsi dell'uno non
esclude il verificarsi anche dell'altro.
Ad esempio l'evento "rosso" è compatibile con l'evento "pari" alla
roulette, poiché fra i numeri rossi ce ne sono di pari e di dispari e
quindi rosso e pari è un evento possibile.
Sono incompatibili invece gli eventi in cui il verificarsi di uno dei
due esclude il verificarsi dell'altro, come ad esempio nel lancio di due
dadi considerare l'evento "escono due facce uguali" e l'evento "la
somma è dispari".
In questo caso deve verificarsi necessariamente l'uno o l'altro dei due eventi, mentre per gli
eventi incompatibili può darsi che non si verifichi né l'uno né l'altro, come ad esempio
"nero e dispari" oppure "pari, con due facce diverse" nei due esempi precedenti.
A, B eventi incompatibili
P ( A ∪ B) = P( A) + P ( B )
A,B eventi compatibili
P ( A ∪ B) = P( A) + P ( B ) − P( A ∩ B )
Vittorio De Petris
Gli eventi incompatibili non vanno confusi con quelli opposti.
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Probabilità dell'evento intersezione
è necessario definire la probabilità dell'evento composto "A ∩ B", cioè la
probabilità che si verifichino contemporaneamente gli eventi A e B.
ESEMPIO: Immaginiamo di avere due scatole e di aver messo in entrambe 5 palline, 3
bianche e 2 nere. Estraiamo ora una biglia a caso da ciascuna scatola.
Si hanno i seguenti quattro eventi:
E' facile verificare che:
BB :
BN :
NB :
NN :
P(BB) = (3/5)×( 3/5) = 9/25;
P(BN) = (3/5)×( 2/5)= 6/25;
P(NB) = (2/5)×( 3/5) =6/25;
P(NN) = (2/5)×( 2/5) = 4/25
9 casi (p=9/25)
6 casi (p=6/25)
6 casi (p=6/25)
4 casi (p=4/25)
Come si vede, le probabilità delle varie coppie di eventi, in tutti e quattro gli esempi, si possono
calcolare moltiplicando quelle dei rispettivi singoli eventi.
Si verifica solo se i due eventi A e B sono fra loro indipendenti, cioè se il verificarsi o meno
del primo evento non modifica in alcun modo la probabilità che si verifichi o meno il secondo.
Vittorio De Petris
Lo spazio campione può essere rappresentato da una tabella, le cui righe rappresentano la
biglia estratta nella prima scatola e le colonne quella estratta nella seconda. Le probabilità di
estrarre una singola biglia bianca o una nera sono rispettivamente 3/5 e 2/5 in entrambe le
urne.
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Probabilità dell'evento intersezione: indipendenza
quando due o più eventi sono tali che la probabilità che si verifichino tutti insieme è data dal
prodotto delle rispettive probabilità, gli eventi si definiscono fra loro indipendenti.
Due eventi si dicono indipendenti se la probabilità della intersezione si fattorizza nel
prodotto delle probabilità
P( A ∩ B) = P( A) P( B)
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Eventi dipendenti ed indipendenti.
L'indipendenza può essere logica o intuitiva quando tra gli eventi non c'è nesso plausibile.
Immaginiamo due eventi:
A: "Il primo estratto sulla ruota di Genova è il 65."
B: "A L'Aquila la temperatura notturna è scesa sotto lo zero."
Non sempre le cose sono così chiare. Sono molti i fenomeni privi di collegamenti logici, che si
rivelano connessi in qualche misura. Ne sono esempio molte statistiche mediche che mettono
in relazione alcuni tipi di alimenti con il rischio d'infarto o il fumo di sigarette con il rischio
di tumore ai polmoni. Le compagnie di assicurazione hanno evidentemente stabilito un nesso
tra la residenza dell'automobilista e il rischio di provocare incidenti (o di ... dichiararli), se
hanno fissato premi più costosi per i cittadini di alcune zone rispetto a quelli di altre.
Viceversa, si possono avere casi in cui due eventi sembrano dipendere l'uno dall'altro, ma il
calcolo delle probabilità permette di verificare che sono indipendenti.
Vittorio De Petris
E' del tutto evidente che la temperatura notturna a L'Aquila è assolutamente indipendente
dal numero estratto sulla ruota di Genova e viceversa. I due eventi sono quindi indipendenti
fra loro.
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Esempio.
- Operazioni sugli eventi. Assiomi della probabilità.
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Eventi dipendenti ed indipendenti.
Gettiamo due dadi uno rosso ed uno bianco e consideriamo i seguenti due eventi:
A = il dado rosso presenta la faccia 6
à P(A)=1/6
B = i due dadi presentano facce uguali
à P(B)= 6/36 = 1/6
Nel lancio di due dadi, lo spazio campione è costituito da 36 coppie di dadi
Tuttavia il verificarsi dell'evento A, riduce lo
spazio campione ai soli sei casi in cui il dado
rosso presenta la faccia 6.
Nel caso in cui non si sa se si è verificato
l'evento A la probabilità non cambia, poiché
lo spazio campione si riduce a 36 casi e fra essi
sono quelli con due facce uguali, quindi P(B)=
6/36 = 1/6.
Vittorio De Petris
c'è un solo caso con due facce uguali: (6, 6); quindi la
probabilità di B, sapendo che A si è verificato, è
1/6.
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Esempio.
- Operazioni sugli eventi. Assiomi della probabilità.
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Eventi dipendenti ed indipendenti.
Gettiamo due dadi uno rosso ed uno bianco e consideriamo i seguenti due eventi:
A = il dado rosso presenta la faccia 6
à P(A)=1/6
B = i due dadi presentano facce uguali
à P(B)= 6/36 = 1/6
Nel lancio di due dadi, lo spazio campione è costituito da 36 coppie di dadi
E' altrettanto facile verificare che non viene modificata la probabilità di A supponendo che si
sia verificato oppure no l'evento B.
I due eventi sono quindi da considerare fra loro indipendenti.
Un nuovo simbolo P(A|B), che si legge "probabilità dell'evento A noto che sia
l'evento B", cioè la probabilità che assume l'evento A, sapendo (o supponendo) che B si
sia
verificato.
Probabilità condizionata
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Probabilità condizionata
Un nuovo simbolo P(A|B), che si legge "probabilità dell'evento A noto che sia
l'evento B", cioè la probabilità che assume l'evento A, sapendo (o supponendo) che B si
sia verificato.
In genere si calcola tale probabilità attraverso un restringimento
dello spazio campione, indicato dal rettangolo verde, al solo
insieme dei casi favorevoli all'evento A (insieme bianco) ed
andando a trovare il rapporto rispetto ad esso della parte di A
ancora favorevole a B (area arancione).
P ( B | A) =
P( A ∩ B)
P( A)
Nel caso di eventi indipendenti
Nel caso di eventi incompatibili si ha
Nel caso di eventi dipendenti si ha
P( A ∩ B) = P ( B | A) P ( A)
P ( B | A) = 0
Vittorio De Petris
P ( B | A) = P ( B)
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Probabilità condizionata: intersezione di eventi
Esercizio 2.5
Prendi una moneta da 1 euro (la cifra è scritta da una sola parte) e un dado. Lancia
entrambi e calcola la probabilità di avere 1 sia sulla moneta che sul dado.
Abbiamo i seguenti due eventi.
A= sulla moneta appare il valore 1
B = sul dado appare il valore 1
à P(A) = 1/2
à P(B) = 1/6
I due singoli eventi sono indipendenti.
P( A ∩ B) = P ( B) P( A) = 1/2 × 1/6 = 1/12
L'evento si compone dei due eventi singoli:
C = la prima carta è un asso à P(C) = 4/32 = 1/8 (ci sono 4 assi nelle 32 carte da poker)
D = la seconda carta è asso
I due eventi non sono indipendenti, poiché l'estrazione della prima carta modifica lo spazio
campione, in cui resta una carta in meno. P(D|C) = 3/31 (restano solo 3 assi nelle 31
carte rimaste).
P( D ∩ C ) = P ( D | C ) P (C ) = 3/31×1/8 = 3/248
Vittorio De Petris
Esercizio 2.6
Si prendano due carte da un mazzo da poker. Calcola la probabilità di avere una coppia di
assi.
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Probabilità condizionata: indipendenza
Esercizio 2.6
Considera lo spazio campione rappresentato dall'intero
rettangolo di area a∙b della figura a lato.
Fissa due eventi:
A: "Un punto preso a caso nello spazio campione appartiene
alla superficie tratteggiata in blu“
B: "Un punto preso a caso nello spazio campione appartiene
alla superficie tratteggiata in verde".
I due eventi sono indipendenti?
Calcoliamo le probabilità dei due eventi, in base al rapporto tra l'area considerata e quella
dello spazio campione:
P(A) = (a∙d)/(a∙b) = d/b
P(A) ∙ P(B) = (d/b) ∙(c/a) = (c∙d)/(b∙a)
Calcoliamo la probabilità dell'evento (A∩B) indicato dall'area tratteggiata sia in verde
che
in
blu:
P(A ∩ B)= (c∙d)/(b∙a)
Vittorio De Petris
P(B) = (c∙b)/(a∙b) = c/a
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Probabilità condizionata: indipendenza
Esercizio 2.6
Considera lo spazio campione rappresentato dall'intero
esagono della figura qui a lato e la cui area misura
168 caselle. Fissa due eventi:
A: "Un punto preso a caso nello spazio campione appartiene
alla superficie tratteggiata in blu“
B: "Un punto preso a caso nello spazio campione appartiene
alla superficie tratteggiata in verde".
I due eventi sono indipendenti?
La superficie blu ha un'area di 42 caselle e quella verde di 55 caselle.
Dunque P(A)= 42/168 e p(B)=55/168, da cui
La superficie tratteggiata sia in verde che in blu ha un'area di circa 12,14.
Dunque P(A∩B)= 12,14/168 = 0,07.
P (A ∩B) ≠ P(A)∙P(B), quindi i due eventi non sono indipendenti.
Vittorio De Petris
P(A)∙P(B) = (42/168) ∙(55/168) = 55/672= 0,08.
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20
Probabilità condizionata
Esercizio 2.9 Considera i due eventi dell'esercizio 2.8 e calcola le probabilità di (A|B) e di
(B|A), confrontandole con le rispettive probabilità degli eventi A e B.
P(A|B) = P (A ∩B)/P(B) = (12,14/168)/(55/168) = 12,14/55= 0,22 < P(A) = 0,25
Vittorio De Petris
P(B|A) = P (A ∩B)/P(A) = (12,14/168)/(42/168) = 12,14/42= 0,29 < P(B) = 0,327
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Teoria assiomatica della probabilità
21
(KOLMOGOROV)
0 ≤ P ( A) ≤ 1
P (φ ) = 0
P (Ω) = 1
AI B =φ
( gli eventi sono incompatibili )
P( A ∪ B ) =
n A∪ B n A nB
=
+
= P ( A) + P ( B )
n
n
n
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ),
AI B ≠ φ
AI B =φ
( gli eventi sono compatibil i )
P( A ∪ B ) =
n A∪ B n A nB n A∩ B
=
+
−
= P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
n
n
n
n
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
P ( A ∪ B ) ≤ P ( A) + P ( B )
P ( Ac ) = 1 − P ( A)
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STRUMENTO DI LAVORO: EXCEL
Excel è un’applicazione di foglio elettronico che permette di raccogliere ed
elaborare i dati inseriti dall’utente.
I dati vengono raccolti in tabelle.
Tabella
Insieme di celle disposte secondo righe e colonne che
costituiscono i fogli di lavoro
Cartelle di lavoro
Insieme di fogli di lavoro raccolti insieme come una
rubrica telefonica e identificati da una etichetta
Riferimenti:
•Statistica con Excel : appunti D. Morale
•"Laboratorio di Statistica con Excel" di A.M. Paganoni e L. Pontiggia
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23
Selezionare le celle
Una cella : cliccare
Un intervallo di celle contigue: cliccare e trascinare
Piu’ celle non contigue: cliccare sulla prima, premere CTRL, cliccare
sulle altre
Una riga (una colonna): cliccare sulla intestazione della riga (colonna)
Tutto il foglio di lavoro: cliccare il pulsante SELEZIONA TUTTO
all’incrocio delle intestazioni di riga e colonna
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Inserimento dati
Cliccare su una cella ed inserire con la tastiera. Se i dati immessi sono numeri
(magari con la virgola) allora vengono interpretati come dati numerici,
altrimenti sono interpretati com testo.
Il dato immesso compare sia nella cella sia nella barra della formula.
Si da conferma sia con INVIO sia con V.
Si cancella sia premendo ANNULLA dal menu MODIFICA, sia con X.
Trovare un dato
Dal menù MODIFICA cliccare su TROVA.
Salvaggio
Dal menù FILE cliccare SALVA o SALVA CON NOME
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25
Cliccare sulla cella ed inserire un =. A questo punto si puo’ scrivere una
formula oppure si puo’ utilizzare una formula predefinita, cliccando su
INSERISCI e poi FUNZIONE oppure cliccare su Fx dalla barra degli strumenti. Vi è
Dr. Daniela Morale
Inserimento funzioni
una lunga serie di funzioni statistiche.
Sintassi delle funzioni
OPERATORI ARITMETICI:
+ ADDIZIONE
/ DIVISIONE
- SOTTRAZIONE
% PERCENTUALE
* MOLTIPLICAZIONE
^ ELEVAMENTO A POTENZA
OPERATORI DI CONFRONTO:
= UGUALE
> MAGGIORE DI
< MINORE DI
>= MAGGIORE 0 UGUALE DI
<= MINORE O UGUALE DI
<> DIVERSO DA
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Utilizzo dei riferimenti di cella
I riferimenti di celle inseriti in una formula possono essere espressi in tre
distinti modalita’:
RIFERIMENTO RELATIVO: indica al programma una cella e verra’ modificato
automaticamente quando la formula viene copiata
in una posizione diversa da quella di creazione
RIFERIMENTO ASSOLUTO: indica al programma di utilizzare sempre la stessa
cella a prescindere da dove verrà spostata la
formula, si identifica la cella di riferimento
assoluto con la seguente scrittura $A$1 per
indicare la cella di colonna A riga 1
RIFERIMENTO MISTO: indica al programma un riferimento assolto solo per
riga o solo per colonna con la seguente scrittura $A1
oppure A$1.
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Esercizio n.1: FUNZIONI MEDIA E VARIANZA
Inserire 10 valori numerici nelle caselle comprese tra G11 e G20, far comparire la media di questi valori nella casella
B8, e la loro varianza nella casella B9 usando le corrispondenti funzioni del foglio elettronico.
Inserire gli stessi dati nelle celle B13 e B14 rispettivamente usando solo le operazioni algebriche come nelle definizioni
di media e varianza
Valor medio dei dati =
Varianza dei dati =
Valor medio dei dati =
Varianza dei dati =
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Media
Varianza
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x = 1/n Σ xi
σ2 = 1/n Σi ( xi - x )2
In EXCEL
FUNZIONI
= f(x)
Funzioni statistiche:
MEDIA(num1, num2, …) restituisce la media aritmetica degli argomenti
(numeri, riferimenti contenenti numeri)
VAR(num1, num2, …)
restituisce la varianza degli argomenti
(numeri, riferimenti contenenti numeri)
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Esercizio n.2
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inserimento, copia, ordinamento, calcolo di funzioni
Inserire 10 valori numerici nelle caselle comprese tra A11 e A20, e poi copiarli ordinandoli nel verso decrescente
nelle caselle dalla C11 alla C20
Nella casella F11 far comparire il massimo tra i valori inseriti e alla casella G11 il minimo
Dati
Dati ordinati
Massimo
Minimo
Attenzione, una volta ordinati i valori, è facile "copiare"
il massimo e il minimo in una nuova casella.
Esistono però delle funzioni che individuano il massimo e
il minimo. Provare a utilizzarle!
GRUPPO MAT06 – Dip. Matematica, Università di Milano - Probabilità e Statistica per le Scuole Medie - SILSIS - 2007
Lezione 2
- Operazioni sugli eventi. Assiomi della probabilità.
-Intro ad excel
30
Ordinamento di dati
In EXCEL
Tasto ordinamento
Funzioni
MAX(num1, num2, …)
MIN(num1, num2, …)
GRUPPO MAT06 – Dip. Matematica, Università di Milano - Probabilità e Statistica per le Scuole Medie - SILSIS - 2007