periodici e limitati - frazioni generatrici ed espressioni

NUMERI RAZIONALI ( Q )
I numeri razionali sono i numeri con la virgola che possono essere scritti in frazione. Esistono 2 tipi di numeri razionali:
•
LIMITATI – hanno un numero finito di cifre dopo la virgola.
•
ILLIMITATI PERIODICI – hanno un numero infinito di cifre dopo la virgola che si ripete sempre uguale e che viene
sottointesa da una linea sopra le cifre che si ripetono.
Possono essere:
SEMPLICI – se il periodo inizia subito dopo la virgola.
MISTI – se dopo la virgola e prima del periodo vi è una cifra (o un gruppo di cifre) che non si
ripete. Tale cifra (o gruppo di cifre) è detta “antiperiodo”.
(IMP - Esistono numeri illimitati non periodici che hanno un numero infinito di cifre dopo la virgola che non si ripetono e
non fanno parte dei razionali)
1. CALCOLO DELLA FRAZIONE
Per ottenere un numero decimale dalla frazione basta dividere il numeratore per il denominatore.
periodico semplice
limitato
periodico misto
Un modo semplice per capire se continuare la divisione o fermarsi è quello di osservare il denominatore:
7
= 1,16
6
2. DALLA FRAZIONE AL NUMERO
Per ottenere un numero decimale dalla frazione basta dividere il numeratore per il denominatore. Però prima di effettuare
la divisione, solo osservando la fattorizzazione del denominatore posso prevedere che decimale otterrò dalla divisione:
ü ridurre la frazione ai minimi termini
ü scomporre in fattori primi il denominatore (fattorizzare il denominatore)
ü osservare i numeri primi che compaiono:
solo fattori 2 o 5 o entrambi ---------------- limitato
9
9
= 3
= 0, 225
40 2 × 5
tutti i fattori tranne 2 o 5 ------------------- periodico semplice
tutti i fattori e 2 o 5 o entrambi ------------ periodico misto
43 43
=
= 1, 592
27 33
43
43
=
= 2, 38
18 2 × 32
3. DAL NUMERO ALLA FRAZIONE GENERATRICE
•
LIMITATO
- esempio:
3, 5 =
35 7
=
10 2
1. al numeratore scrivo il numero senza la virgola.
2. al denominatore scrivo l’1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola.
3. Ottenuta la frazione la devo ridurre ai minimi termini
•
PERIODICO
- esempio:
0, 83 =
83 − 8 75 5
=
=
90
90 6
1. al numeratore scrivere il numero senza virgola:
2. sottrarre dal numero tutto ciò che precede il periodo:
3. al denominatore un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti 0 per ogni
eventuale cifra dell'antiperiodo
4. ottenuta la frazione, si deve ridurre ai minimi termini.
CASO PARTICOLARE: il periodico….. 9
P. semplice ---- la frazione generatrice è una frazione apparente, cioè si considera il periodico
approssimato alla decina superiore
ES: 3, 9 =
39 − 3 36 4
=
= ≈4
9
9 1
P. misto -------- la frazione generatrice è una frazione decimale, cioè si hanno al denominatore
i fattori 2 o 5 o entrambi
ES: 0,19 =
19 −1 18 1
=
= ≈ 0, 2
90
90 5
ESPRESSIONI CON I NUMERI DECIMALI
Bisogna risolvere le espressioni con questo ordine:
•
Trasformare tutti i decimali limitati e periodici in frazione;
•
Ridurre ai minimi termini ogni frazione;
•
Svolgere l’espressione;
•
Se il risultato è richiesto in un numero decimale, dividere il numeratore per il denominatore ed effettuare il
calcolo in colonna
Es
(0, 5 + 0, 6 − 0, 75) : (1− 0, 6 + 0, 25 − 0,16 )
2
+ 0, 4 ⋅ 3, 3 =
2
# 5 6 − 0 75 & # 1 6 − 0 25 16 −1 &
4 33− 3
=% +
−
+
−
=
( :% −
( + ⋅
$ 10
9
100 ' $ 1
9
100
90 ' 10
9
2
# 1 2 3 & # 1 2 1 1 & 2 10
= % + − ( :% − + − ( + ⋅ =
$ 2 3 4 ' $1 3 4 6 ' 5 3
# 6 + 8 − 9 & # 12 − 8 + 3− 2 & 4
=%
( :%
(+ =
$ 12 ' $
' 3
12
2
5 #5& 4
= :% ( + =
12 $ 12 ' 3
5 25 4
= :
+ =
12 144 3
5 144 4
= ⋅
+ =
12 25 3
12 4
= + =
5 3
36 + 20 56
=
=
= 56 :15 = 3, 73
15
15