Oscillatori RC sinusoidali

Oscillatori RC quasi sinusoidali
Università degli Studi di Palermo
Facoltà di Ingegneria Elettronica
a.a. 2004/2005
Corso di Elettronica I
Docente: prof. Giuseppe Capponi
Allievi:
Fabrizio Renna
Calogero Maria Saeli
Benedetto Tagliavia
Alberto Taormina
2
Oscillatori RC sinusoidali
Una delle più comuni classi di oscillatori è quella degli oscillatori RC per via della
loro versatilità e per la loro semplicità di realizzazione. Tale tipologia di oscillatori, per
basse frequenze, è inoltre progettata in modo da non richiedere l’utilizzo di induttori.
Questi ultimi infatti, per applicazioni alle basse frequenze, dovrebbero essere di
dimensioni elevate con conseguenti perdite. Gli oscillatori RC sono, per l’appunto,
progettati per le applicazioni in un range di frequenza compreso tra le frazioni di Hz ed
alcune centinaia di kHz; sono caratterizzati da un’ampia banda di accordo e da una buona
stabilità di frequenza. La possibilità di una più ampia banda di accordo, rispetto agli
oscillatori LC, è dovuta al fatto che la frequenza di oscillazione f0 è inversamente
proporzionale ad RC e non a LC ; a parità di variazione di C la frequenza di oscillazione
ha un più ampio campo di variazione.
L’ampiezza delle oscillazioni può variare nel tempo a causa delle variazioni dei parametri
circuitali oppure per le variazioni di frequenza delle oscillazioni qualora queste vengano
perturbate.
Per mantenere il segnale di uscita costante ci si può affidare o alla non linearità dei
dispositivi attivi oppure a sistemi di controllo automatico del guadagno. In quest’ultimo
caso si utilizzano dispositivi tali da ridurre il valore del guadagno di anello al crescere
dell’ampiezza del segnale, quali ad esempio PTC, NTC, lampadine, JFET operanti come
resistori controllati in tensione.
Questo consente di ottenere all’uscita un contenuto di armoniche molto basso a spese
però della complessità e del costo.
Un aspetto negativo di questa classe di oscillatori è che la frequenza sia determinata da
una rete RC e quindi soffra dei problemi derivanti dalla sensibilità ambientale dei
condensatori. I condensatori variano infatti la loro capacità in funzione della temperatura
e dell’umidità dell’ambiente. Pertanto la frequenza di oscillazione può essere soggetta a
variazioni.
Data l’applicazione per basse frequenze, come detto, in questo genere di oscillatori non
sono presenti induttori; una conseguenza negativa di quest’aspetto è il minore
coefficiente di stabilità in frequenza rispetto agli oscillatori LC, dove tale coefficiente
risulta proporzionale al fattore di merito.
Si analizzano nel seguito le principali tipologie di oscillatori RC, ovvero oscillatori a
ponte di Wien, a sfasamento, in quadratura, con rete T e con rete a doppia T.
3
Oscillatore a ponte di Wien
L’oscillatore a ponte di Wien genera in uscita una forma d’onda sinusoidale con
distorsione inferiore a quella degli oscillatori a sfasamento ed ha inoltre una buona
stabilità in frequenza. Per tali ragioni, questo oscillatore trova largo impiego in molti
settori applicativi quali le applicazioni audio.
In figura 1 è riportato lo schema di principio dell’oscillatore a ponte di Wien.
R2
R1
C
R
Figura 1. Schema di principio di un oscillatore di Wien
C
R
Il circuito è costituito da un amplificatore operazionale in configurazione non invertente
(figura 2) reazionato positivamente attraverso una rete di Wien.
Nella trattazione che segue si suppone l’operazionale ideale. L’ipotesi fatta costituisce
comunque una ottima approssimazione in quanto gli amplificatori operazionali
presentano in genere resistenza di ingresso dell’ordine dei 1012 - 1014 Ohm e resistenza di
uscita dell’ordine della decina di Ohm. Inoltre tali valori, in virtù della retroazione
negativa applicata all’operazionale, vengono rispettivamente moltiplicati e divisi per il
tasso di retroazione. Pertanto è possibile supporre ideale l’operazionale relativamente ai
valori delle resistenze che vengono utilizzate nella rete di reazione.
L’operazionale ideale in configurazione non invertente è caratterizzato dalle seguenti
equazioni:
Guadagno
A = 1+
Resistenza di ingresso
Ri = ∞
R2
R1
R2
R1
Resistenza di uscita
+
Vs
Figura 2. Configurazione non invertente di un amplificatore operazionale
4
C
V2
C
R
V1
R
Figura 3. Rete di retroazione
Si consideri la rete di retroazione riportata in figura 3.
Z1 = R +
Posto
1
sC
1
sC
Z2 =
1
R+
sC
R⋅
e
il fattore di retroazione β è dato da:
β=
V2
Z2
=
V1 Z1 + Z 2
da cui
β=
R
sC
R+
1
sC
R


1
R+
+ sC
1
sC

R+

sC

R


1
1 + sRC
=
=
1
 R+ 1 + R
3 + sRC +


sC 1 + sRC
sRC
Sostituendo s = jω il guadagno di anello di anello Aβ diviene:
 R 
1
Aβ = 1 + 2  ⋅
1 
R1 


3 + j  ωRC −

ωRC 

Affinché l’anello di retroazione fornisca oscillazioni sinusoidali di frequenza f0 devono
essere soddisfatte le condizioni di Barkhausen sulla fase e sull’ampiezza del guadagno di
anello.
Imponendo:
Im (Aβ) = 0
si perviene immediatamente alla pulsazione di oscillazione ω0:
ω0 RC −
1
=0
ω0 RC
5
ω0 =
1
RC
da cui banalmente
f0 =
1
2πRC
Alla frequenza di oscillazione f0, il fattore di retroazione β è uguale a 1/3.
Per ottenere oscillazioni autosostenute a questa frequenza, si deve imporre che il modulo
del guadagno di anello sia unitario:

R  1
Aβ =  1 + 2  ⋅ = 1
R1  3

Di conseguenza:
R2
=2
R1
Affinché si abbia l’innesco delle oscillazioni, è necessario imporre che il resistore R2
abbia un valore di resistenza leggermente superiore al doppio del valore della resistenza
del resistore R1.
E’ chiaramente visibile dai diagrammi di Bode, l’andamento indicativo in modulo e fase
del guadagno d’anello:
Oscilatore a ponte di W ien
0
-10
Magnitude (dB)
-20
-30
-40
-50
-60
90
45
Phase (deg)
0
-45
-90
1
10
2
10
3
10
4
10
10
5
10
6
6
Si valuti a questo punto il fattore di stabilità in frequenza definito come:
SF =
Posto
dϕ
ω 
d  
 ω0  ω =ω
0
ω
= ωRC = x
ω0
si ricava che:
Aβ =
A
1

3 + j x − 
x

Razionalizzando e ponendo il numero complesso nella forma rettangolare si trova che:
1
−x
3A
x
Aβ =
+ jA

1 
1 

1 
1 




3 + j  x − x   3 − j  x − x 
3 + j  x − x   3 − j  x − x  










da cui
1 1

ϕ ( x ) = arctg  − x 
3 x

Pertanto
1
−1
2
1
x
SF =
2
3
1

1 +  − x
x

−
=−
2
3
x =1
Nasce a questo punto un problema; poiché il livello di amplificazione dell’operazionale
deve essere mantenuto al suo valore rigorosamente costante, l’usura dei componenti nel
tempo a causa degli agenti atmosferici potrebbero alterarlo. Infatti se l’amplificazione
dell’operazionale dovesse scendere al di sotto di 3V/V, le oscillazioni si smorzerebbero;
se invece dovesse superare tale valore, l’operazionale saturerebbe ad un valore prossimo a
quello di alimentazione.
Il problema può essere risolto usando una rete di controllo non lineare che prevede la
sostituzione del resistore R1 con una lampadina ad incandescenza. Se l’ampiezza della
7
sinusoide in uscita tende a diminuire, diminuirà la tensione ai capi della lampadina e
quindi anche la resistenza del filamento che, a sua volta, farà aumentare il guadagno in
tensione dell’operazionale. In caso contrario accadrà l’inverso. La semplice lampadina
fungerà da controllo automatico del guadagno, facendo in modo che l’oscillatore a ponte
di Wien mantenga stabili le sue eccellenti prestazioni di purezza spettrale.
La stabilità delle ampiezze è ottenuta anche mediante l’uso di un termistore (PTC),
anch’esso da usare in luogo della R1. Un aumento dell’ampiezza delle oscillazioni
comporta un aumento della potenza dissipata sul PTC e quindi un aumento della
temperatura. Quest’ultima causa un incremento del valore della resistenza con la
conseguente riduzione del guadagno di anello e pertanto dell’ampiezza delle oscillazioni.
La velocità di controllo dipende dalla velocità con cui varia la resistenza del PTC al
variare dell’ampiezza delle oscillazioni. Il PTC va comunque selezionato in base alla
frequenza di oscillazione che si desidera in uscita. Una frequenza tale che il periodo
risulta paragonabile alla costante di tempo termica del termistore costituisce un limite
inferiore in quanto si avrebbero variazioni di ampiezza all’interno di uno stesso periodo.
Il limite superiore è invece legato al fatto che per elevate frequenze di oscillazioni
occorrono condensatori di capacità più piccola che a quel punto diventerebbero
paragonabili a quelle interne all’amplificatore operazionale.
R2
R1
C1
RP
R
C2
C1
S
R
C2
RP
S
Figura 4. Oscillatore a ponte di Wien con frequenza variabile
L’oscillatore a ponte di Wien consente di variare in modo continuo la frequenza. Si può
realizzare ciò mediante la commutazione delle capacità (cambio di gamma) e l’intervento
di un trimmer duale (regolazione fine). I condensatori consentono di variare la frequenza
a decadi, i resistori invece entro la decade stessa.
Un possibile schema circuitale è riportato in figura 4.
Si propone qui a seguito una ulteriore soluzione circuitale (figura 5) che prevede l’uso di
un JFET a canale n e che è in grado di stabilizzare l’ampiezza delle oscillazioni.
Il JFET viene utilizzato come resistore variabile controllato dalla tensione continua
negativa ottenuta mediante il raddrizzamento e il filtraggio dell’onda di uscita. La
8
resistenza del JFET è inizialmente bassa in quanto Vgs = 0. Ragion per cui essa
“cortocircuita” la resistenza R3 di valore più elevato e determina un guadagno elevato
dell’amplificatore con conseguente innesco delle oscillazioni.
Quando l’ampiezza di queste ultime supera il valore
V = Vz + Vγ
il diodo D1 e il diodo zener D2 entrano in conduzione e i picchi delle semionde negative
eccedenti la V caricano il condensatore C2.
Viene così polarizzato negativamente il gate del JFET e conseguentemente la resistenza
drain-source e il relativo parallelo con R3 aumenta. Questo a sua volta determina una
riduzione dell’amplificazione dell’operazionale e la stabilizzazione dell’ampiezza del
segnale in uscita ad un valore di poco superiore a V.
È possibile con questo circuito intervenire sulla prontezza del controllo scegliendo
opportunamente la costante di tempo del gruppo R2C2 posto sul gate del JFET: essa deve
comunque rimanere a un valore molto maggiore del periodo del segnale se si vuole
evitare la distorsione della forma d’onda. Il condensatore C1 è di blocco per la corrente di
polarizzazione, risultando invece un cortocircuito alla frequenza di oscillazione.
C
C
R
R
R1
D1
C1
D2
R3
C2
R2
Figura 5. Oscillatore a ponte di Wien con controllo automatico dell’ampiezza a JFET
In ultima analisi si propone una soluzione circuitale (figura 6) che consente di ottenere
oscillazioni di ampiezza molto bassa ma che mantiene l’operazionale lontano dalla
saturazione. Il resistore RD1 e il diodo D1 limitano la semionda negativa mentre il resistore
RD2 e il diodo D2 la semionda positiva.
I valori delle resistenze devono essere abbastanza piccoli in modo tale che il guadagno di
anello si porti al di sotto dell’unità quando uno dei due diodi è in conduzione. Questo
circuito funziona in modo tale che il guadagno di anello aperto A sia superiore a 3V/V,
consentendo l’innesco delle oscillazioni alla frequenza f0. Il guadagno di anello Aβ
pertanto è inizialmente superiore all’unità fino a quando uno dei due diodi entra in
conduzione. Tale commutazione avviene non appena sulla R2 cade una tensione pari alla
Vγ, che si suppone essere identica per i due diodi, con polarità opportuna. A questo punto
9
il resistore di retroazione non è più R2 ma il parallelo tra questo e il resistore RD2 oppure
RD1, a meno della resistenza offerta dal diodo in conduzione. Ciò comporta che il
guadagno di anello A scenda al di sotto dei 3V/V negando all’oscillazione di continuare a
crescere.
C
C
R
R
R2
D1
R1
D2
RD1
RD2
Figura 6. Oscillatore a ponte di Wien con rete di controllo dell’ampiezza a diodi
10
Oscillatore a sfasamento
L’oscillatore a sfasamento è un oscillatore in grado di offrire frequenze comprese
nell’intervallo 10 Hz – 1 MHz. E’ caratterizzato da una configurazione, che lo rende
differente dal Ponte di Wien, soprattutto per la mancata regolabilità della frequenza di
oscillazione. Mentre in quel caso abbiamo capacità e resistenza variabili che permettono
di regolare più o meno finemente la frequenza di oscillazione, in questo caso tale
frequenza rimane assegnata una volta definiti i parametri del circuito.
A
K
B
Figura 7. Schema di principio dell’oscillatore a sfasamento
Lo schema generale è costituito da un amplificatore invertente (realizzabile con BJT, con
FET o ancora con un amplificatore operazionale) e tre celle RC identiche che
costituiscono la reazione. La variazione di fase dovrà essere la più ripida possibile
nell’intorno del punto (-1 , 0) della curva polare Aβ per assicurare una maggiore stabilità
in frequenza.
Dato che l’amplificatore risulta invertente, le tre celle RC dovranno essere tali da
garantire uno sfasamento complessivo di 180°, in modo che nell’anello lo sfasamento
totale sia nullo, così com’è richiesto.
Essendo che ogni cella RC può produrre uno sfasamento di 90° solo per frequenza
infinita, si può comprendere la necessità di utilizzare almeno tre celle RC identiche. Di
contro non vengono utilizzate più di tre celle per evitare ulteriori attenuazioni. Dato che le
tre celle RC sono identiche, si potrebbe pensare che ognuna di esse provochi uno
sfasamento di 60°. In realtà non è così, perché la resistenza vista da ognuna delle tre celle
è differente.
Ad esempio, mentre l’ultima vede l’impedenza di ingresso dell’amplificatore, la seconda
vede l’impedenza di ingresso della terza, che non potrà essere troppo grande per evitare di
avere pesanti attenuazioni. Del resto, dall’analisi dei diagrammi di Bode delle tre celle
RC, si osserva che la massima pendenza dello sfasamento, utile per il coefficiente di
stabilità, si avrebbe se ogni cella provocasse uno sfasamento di 45°; ma in questo caso
avrei bisogno di quattro celle RC che, come detto, non risultano convenienti per le
attenuazioni. Dunque non si può intuire a priori quanto sfaserà singolarmente ogni cella,
l’importante è che lo sfasamento complessivo sia di 180° per garantire uno sfasamento
d’anello nullo. Questa è la condizione che dà la possibilità di oscillazione.
11
E’ opportuno prelevare il segnale all’uscita dell’amplificatore, in quanto è la forma
d’onda di uscita che presenta un minimo contenuto di armoniche.
Consideriamo, in relazione al suddetto modello generale, le condizioni di Barkhausen per
determinare la frequenza di oscillazione e le condizioni di innesco.
Si ha che A = -K, mentre β =
Vf
Vu
.
Per calcolare l’espressione di β, applichiamo il teorema di Tevenin alla sinistra dei punti
A – B (figura 8).
In realtà s’intende di avere aperto l’anello prima dell’amplificatore, in maniera tale che,
supposta per questo un’impedenza d’ingresso infinita, non ci sia bisogno di chiudere
l’anello su una particolare resistenza. Si osserva che questa ipotesi è valida soltanto se
l’oscillatore è realizzato con operazionale o FET, lo è di meno se realizzato con BJT.
Si ha, chiamato Z =
1
:
sC
Figura 8. Rete di reazione RC
Veq = Vu
Vab =
Veq
R
R+Z
Z eq + R // ( Z + R)
e
⋅ [ R // ( Z + R ) ] =
Z eq = Z + Z // R
Veq
Z + Z // R + R // ( Z + R)
da cui
⋅ [ R // ( Z + R ) ]
E infine
12
V f = Vab
R
R // ( Z + R )
R
R
R // ( Z + R)
R
= Veq
⋅
= Vu
⋅
⋅
=
Z+R
Z + Z // R + R // ( Z + R ) Z + R
Z + R Z + Z // R + R // ( Z + R ) Z + R
R( Z + R )
R
R
R+Z +R
= Vu
⋅
⋅
ZR
R( Z + R ) Z + R
Z+R
Z+
+
R+Z R+ Z+ R
Quindi
β=
=
Vf
Vu
=
R
2
( Z + R) 2
R( Z + R )
2R + Z
⋅
=
2
Z ( R + Z )( 2 R + Z ) + RZ ( 2 R + Z ) + R( Z + R)
( R + Z )( 2 R + Z )
R3
R3
=
2 R 2 Z + RZ 2 + 2 RZ 2 + Z 3 + 2 R 2 Z + RZ 2 + RZ 2 + 2R 2 Z + R 3 Z 3 + 5 RZ 2 + 6 R 2 Z + R 3
Da cui essendo A = -K, cioè reale, si ha
⇒ Z 3 + 6R 2 Z = 0
Im
1
1
=
sC
jωC
si ottiene la
Sostituito questo valore di frequenza nell’espressione di β, si ottiene β = −
1
, quindi al
29
Esclusa la soluzione Z=0, sostituendo in questa equazione Z =
pulsazione di oscillazione
ω0 =
1
6 RC
fine di avere Re [Aβ] > 1, dovrà essere |A| > 29. Questo valore di guadagno, abbastanza
elevato, spiega perché non è semplicissimo realizzare questo tipo di oscillatore con BJT
che dovrà essere necessariamente al silicio, essendo insufficiente il guadagno di un BJT
al germanio.
Per quanto riguarda invece la stabilità in frequenza si ha :
SF =
dϕ
ω
d 
 ω0


 ω =ω 0
dove φ rappresenta la fase della curva Aβ. Da quanto trovato prima si
ha:
Aβ = A
( j ωRC )
1
−3
+ 5( j ωRC )
−2
+ 6( jωRC )
−1
+1
13
facendo figurare nell’espressione la quantità
Aβ = A
ω
ω
= ωRC 6 e ponendo in seguito x =
:
ω0
ω0
1
j 6 6 30 j 6 6
− 2 −
+1
x3
x
x
da cui razionalizzando si ottiene:
Aβ = A
( x − 30 x ) − j( 6
( x − 30 x ) + ( 6
6
4
2
3
6x3 − 6 6x 5
6 − 6 6x
)
2 2
)
da cui ricavando la fase si ha
ϕ = arctg
(
6 6 x 2 −1
x 3 − 30 x
)
a questo punto basta derivare l’espressione rispetto a x. Dato che la derivata andava
valutata per ω = ω0 questo equivale, con la posizione fatta, a valutare la derivata per x=1.
Da questo calcolo si ottiene che il coefficiente di stabilità in frequenza è pari a:
SF = 1,01
Oscillatore a sfasamento con BJT
Una possibile configurazione dell’oscillatore a sfasamento facente uso di BJT può
essere la seguente
Vcc
Rc
C
Rb
C
C
Q1
R
Re
R
R
Ce
Figura 9. Oscillatore a sfasamento con BJT
14
In questo caso però l’ultima R non vede una resistenza elevatissima, come nel caso
dell’operazionale, ma l’hie del BJT; ecco perché talvolta si cambia il collegamento
facendo un riporto di corrente mediante una R - hie, in modo che sommata alla hie del BJT
dia R al fine di mantenere l’uguaglianza delle 3 celle.
Vcc
R-hie
Rc
C
Rb
C
C
Q1
R
X
Re
R
Ce
Figura 10. Ulteriore configurazione dell’oscillatore a sfasamento con BJT
Allora dovrà essere Rb >> R per evitare di influenzare lo sfasamento e Rc << R, in quanto
il BJT deve comportarsi come un generatore di tensione con una piccola resistenza di
uscita. Il tutto andrà opportunamente dimensionato in modo che il BJT guadagni un po’
più di 29.
In questo particolare caso non c’è bisogno di inserire elementi per il controllo non lineare
dell’ampiezza delle oscillazioni, poiché queste vengono efficacemente controllate dalla
non linearità della giunzione base – emettitore.
Si osserva che fino a quando l’ingresso è piccolo, vale la linearità, e l’uscita è lineare con
l’ingresso. Appena l’ampiezza del segnale aumenta, il guadagno diminuisce fino ad
arrivare a 29, condizione di stabilizzazione delle oscillazioni. Dunque la non linearità è
data in ingresso dalla curvatura della caratteristica base-emettitore. Questo oscillatore
presenta buona purezza di spettro.
Per quanto riguarda la regolazione dell’ampiezza delle oscillazioni, questo oscillatore a
tono singolo (una sola frequenza), non è molto versatile. In teoria dovremmo cambiare la
tensione di polarizzazione, ma di solito non lo si fa. L’unica possibilità è di inserire uno
stadio collettore comune, con una capacità di disaccoppiamento, in modo da poter
prelevare la tensione di uscita dall’emettitore; questo andrà inserito prima della prima
cella (vedi figura 11).
Sarà V0 = V
R2
R1
In questo modo non abbiamo modificato la struttura di base dell’oscillatore.
Bisogna tuttavia precisare che per questo circuito, tralasciando lo stadio a collettore
comune, aprendo l’anello in corrispondenza al punto X, l’impedenza vista all’ingresso è
tutt’altro che infinita, dunque l’anello andrà chiuso sull’impedenza vista, pari a Rb // hie.
15
Vcc
Vcc
R-hie
C1
Rc
C
Rb
Q2
C
C
Q1
R1
R
X
Re
R
}R2
Ce
Figura 11. Oscillatore a sfasamento con BJT e stadio collettore comune
In questo caso si ottiene il seguente modello per piccolo segnale dove appare conveniente
riferirsi alle correnti e intendere Aβ = if / ii.
=R-
hie
Figura 12. Modello per piccolo segnale dell’anello aperto
In questo caso, applicando le condizioni di Barkhausen, ponendo Rb >> hie, si ottiene:
ω0 =
1
RC 6 + 4 k
e la condizione di innesco è h fe ≥
dove
k=
Rc
R
29
+ 23 + 4k
k
Dalla seconda espressione si osserva la presenza di un minimo per k=2,7 , cui corrisponde
hfe= 44,5.
16
Oscillatore a sfasamento con JFET
Un’altra possibile configurazione di oscillatore a sfasamento può essere realizzata
mediante un JFET:
Y
Figura 13. Oscillatore a sfasamento con JFET
L’elevata resistenza d’ingresso del FET, permette di aprire l’anello di reazione nel punto
Y senza dovere considerare una resistenza di caricamento su cui chiudere l’anello.
Ricavando Aβ mediante il modello a bassa frequenza si ottiene che in questo caso sono
valide, con buona approssimazione, le formule generali, calcolate all’inizio per
l’amplificatore generico invertente, purché sia verificata l’ipotesi R >> Rp con Rp = rd //
Rd, dove rd è la resistenza di uscita del JFET. Si ha l’innesco delle oscillazioni se
g m R p ≥ 29 .
Tuttavia si osservi che l’elevata amplificazione richiesta rende critica la scelta del FET,
che dovrà avere un’alta transconduttanza. Per avere un guadagno di poco superiore a 29,
converrà rendere Rd variabile. Alla frequenza di oscillazione invece Cs dovrà essere
assimilabile ad un cortocircuito.
Oscillatore a sfasamento con amplificatore operazionale
Ulteriore possibilità per realizzare un oscillatore a sfasamento è quella di utilizzare
un amplificatore operazionale in configurazione invertente, ad esempio secondo il
seguente modello:
17
B
Figura 14. Oscillatore a sfasamento con amplificatore operazionale
Si è inserito il potenziometro P per realizzare la condizione Re [Aβ] > 1. In questo caso,
aprendo l’anello in corrispondenza al punto B, la resistenza su cui dovrà essere chiuso il
circuito è R, essendo infinita l’impedenza di ingresso dell’operazionale. Si ottiene:
Figura 15. Oscillatore a sfasamento con amplificatore operazionale ad anello aperto
Si dimostra che per questo circuito, dato che l’impedenza d’ingresso dell’operazionale è
praticamente infinita, valgono le formule generali del primo modello. Per cui dovrà
essere:
Av =
Rf
R
> 29
da cui segue
Rf > 29R
La limitazione d’ampiezza dell’oscillazione in uscita può essere fatta con due diodi Zener
in serie Dz1 e Dz2, in parallelo a R’ e P (figura 16).
Una volta verificata la condizione di innesco Re[Aβ] > 1, appena aumenta
sufficientemente l’ampiezza delle oscillazioni, entrano in gioco i due diodi Zener. Infatti
appena la tensione di uscita V0, che insiste sui due Zener essendo V- a massa, supera la
tensione di breakdown dello Zener la serie R’ – P viene bypassata e l’ampiezza massima
della V0 è determinata dalla condizione :
| V0 | = Vz + Vd
18
Dz1
Dz2
dove ad esempio ponendo Vz = 5,3 V e Vd = 0,7
V si ha V0 = 6 V e Vpp = 12 V.
Figura 16. Particolare per la limitazione non lineare del guadagno
R'
P
Tuttavia l’introduzione dei due diodi Zener, se da un lato permette di limitare l’ampiezza
del segnale di uscita, dall’altro deforma leggermente la forma sinusoidale del segnale
medesimo.
Un’altra possibilità può essere quella di inserire, a posto delle resistenze della retroazione
negativa un NTC, tale che all’inizio, quando la potenza dissipata è nulla, dia la
condizione Re [Aβ] > 1; all’aumentare dell’ampiezza delle oscillazioni e quindi della
potenza dissipata, la resistenza a coefficiente termico negativo, ridurrà il suo valore fino a
consentire la condizione di regime Re [A β] = 1 ovvero | A | = 29.
Se invece non si ritiene necessario un controllo esplicito dell’ampiezza, basta che,
regolando il potenziometro P in modo che Re [Aβ] > 1, le oscillazioni raggiungano una
condizione di stabilità derivata dalle non linearità dell’amplificatore.
Osservazioni conclusive
Si osservi che in tutti gli esempi fatti di oscillatori a sfasamento, i tre rami serie
sono condensatori e i tre rami in parallelo resistenze; è possibile una seconda soluzione
con i rami in parallelo reattivi e i rami in serie resistivi. In questo caso si ha f 0 =
6
.
2πRC
Gli elementi reattivi come detto, sono condensatori; essi potrebbero essere teoricamente
induttori; però è più conveniente l’uso di condensatori alle basse frequenze, dato
l’ingombro, il costo e le difficoltà di costruire buoni induttori per tali frequenze.
In conclusione è evidente come l’oscillatore a sfasamento abbia tra i suoi aspetti positivi
la facilità di realizzazione, specialmente nel modello con operazionale, e una bassa
distorsione. Tuttavia esso presenta poca duttilità nella possibilità di regolare l’ampiezza e
la frequenza delle oscillazioni.
Tale genere di oscillatori era particolarmente utilizzato quando i componenti attivi erano
molto costosi e ingombranti, in quanto necessitano in generale di uno solo di tali
componenti; ecco perché essendo oggi, anche gli stessi amplificatori operazionali,
abbastanza piccoli ed economici, questo tipo di oscillatore ha perso un po’ d’importanza.
19
Oscillatore in quadratura
L’oscillatore in quadratura, detto anche oscillatore seno-coseno, deve il suo nome
alla peculiarità di presentare contemporaneamente due uscite una in quadratura con
l’altra. Si possono infatti prelevare da esso, al contempo, due sinusoidi sfasate tra loro di
90° utili in talune applicazioni quali la modulazione SSB (single side band) o la
modulazione PSK (phase shift keying) a 4 fasi.
Il principio che sta alla base di questo oscillatore è quello di introdurre al segnale un
primo sfasamento di +90° seguito da un secondo sfasamento di -90°, lungo il percorso di
anello.
Lo schema a blocchi così esposto è quello di fig.17.
V1(s)
+ 90°
V2(s)
Figura 17. Schema a blocchi
- 90°
Per ottenere lo sfasamento in anticipo di +90° si utilizza un circuito integratore invertente
(fig. 18).
C3
Vs
R3
U2
vo = −
Vo
1
v s dt
R3 C3 ∫
Vo
1
=−
Vs
sR3C3
Figura 18. Integratore invertente
Lo sfasamento in ritardo di –90° potrebbe essere ottenuto, in teoria, con un circuito
derivatore invertente. Tale soluzione però non sarebbe corretta poiché se il guadagno
d’anello risultasse unitario per una data frequenza lo sarebbe anche per tutte le altre
frequenze.
La soluzione adatta affinché le condizioni di Barkhausen siano verificate per una sola
frequenza è quella di impiegare un circuito integratore non invertente (fig. 19) allo scopo
di introdurre il ritardo di –90°.
20
C2
U1
R2
Vo
1 + sR2C2
=
Vs sR2C2 (1 + sR1C1 )
Vo
R1
Vs
Figura 19. integratore non invertente
C1
La funzione di trasferimento del blocco, nel caso di R2 C 2 = R1C1 , assume la forma
Vo
1
=
che è propriamente quella di un integratore non invertente.
Vs sR2 C2
Ciò posto, lo schema di principio dell’oscillatore in quadratura risulta essere quello di fig.
20.
C2
C3
U1
R2
U2
R3
Vo2
Vo1
Figura 20. Schema di principio
R1
C1
L’uscita Vo1 dell’integratore non invertente e l’uscita Vo2 dell’integratore invertente
risultano in quadratura essendo la seconda pari alla prima con in più uno sfasamento di
+90°.
Il guadagno d’anello in termini di funzione di trasferimento vale:
A( s ) β ( s ) = −
1 + sR2 C2
1
⋅
sR 2C 2 (1 + sR1 C1 ) sR3C3
Come già notato, porre R1C1 = R2 C 2 fa sì che il primo blocco integratore introduca uno
sfasamento costante di –90°. E’ possibile ricondursi a ciò anche imponendo le condizioni
di Barkhausen riguardo l’annullamento della parte immaginaria di Aβ che
opportunamente manipolata diviene:
A( j ω ) β ( jω ) =
(1 + jωR2 C2 )(1 −
(
jωR1C1 )
ω 2 R2C 2 R3 C3 1 + ω 2 R12 C1 2
)
=
1 + ω 2 R1C1 R2 C 2 + jω ( R2 C 2 − R1 C1 )
(
ω 2 R2 C2 R3C 3 1 + ω 2 R1 2 C1 2
)
21
Im[ Aβ ] = 0
Im[ Aβ ] = ω ( R2 C 2 − R1C1 ) = 0
⇒ R1C1 = R2 C 2
Questa è quindi la prima condizione da soddisfare per avere delle oscillazioni
autosostenute.
Fatta tale posizione la funzione di trasferimento di anello diviene:
A( s ) β ( s ) = −
1
1
⋅
sR 2C 2 sR3 C 3
A( j ω ) β ( jω ) =
1
ω R2 C 2 R3 C 3
2
Lo sfasamento del segnale lungo l’anello, fatta la posizione R1C1 = R2 C 2 , risulta essere
nullo per tutte le frequenze con la conseguenza di un guadagno di anello reale ad ogni
frequenza.
La frequenza teorica alla quale il circuito si porterà in oscillazione è ricavabile
imponendo la condizione di Barkhausen alla parte reale di Aβ:
Re[ Aβ ] = 1
Re[ Aβ ] =
ω0 =
1
=1
ω R2 C2 R3 C 3
2
1
R2C2 R3C3
f0 =
1
2π R2 C 2 R3 C 3
E’ usuale adoperare, per oscillatori a frequenza fissa, resistori e condensatori tutti con i
medesimi valori; sotto tale ipotesi la relazione con la frequenza di oscillazione si
semplifica in:
f0 =
Avendo posto:
1
2πRC
R1 = R2 = R3 = R
ed
C1 = C 2 = C 3 = C
La trattazione fino ad ora fatta riguarda l’oscillatore nelle condizioni teoriche di regime.
Nella realizzazione pratica bisogna fare i conti con due diversi altri fenomeni:
Il problema dell’innesco delle oscillazioni;
Il problema di limitarle una volta innescate e cresciute fino al livello di tensione
desiderato.
22
Per garantire l’innesco delle oscillazioni bisogna agire affinché il guadagno di anello
superi di poco l’unità. Ciò è implementabile, ad esempio, variando la resistenza R2. Ad
una diminuzione di R2 corrisponde infatti un aumento dell’amplificazione del blocco
integratore non invertente tale da permettere l’innesco delle oscillazioni.
Una volta innescate, le oscillazioni vanno controllate per evitare la loro continua crescita
e quindi la saturazione degli amplificatori operazionali. La limitazione dell’ampiezza non
può essere affidata a fenomeni non lineari del circuito stesso in quanto essi
(principalmente la saturazione delle uscite degli operazionali) interverrebbero quando il
segnale è già ampiamente distorto.
Una comune limitazione non lineare richiede l’inserimento di due diodi zener, con catodo
in comune, in parallelo alla capacità C3.
Il terminale invertente di U2 è posto, per corto circuito virtuale, al potenziale di massa ed i
diodi D1 e D2 (vedere fig. 21) entrano in conduzione quando l’uscita Vo2 supera il valore
VZ + Vγ .
Questo porta ad un abbassamento dell’amplificazione di U2 fino al punto in cui il
guadagno d’anello ritorna ad assumere valore unitario.
Il valore picco-picco di uscita è fissato, una volta scelti i diodi zener, a circa 2 ⋅ (VZ + Vγ ) .
Lo schema completo per un oscillatore in quadratura a frequenza fissa risulta pertanto
quello di fig.21.
D1
C2
D2
C3
U1
R3
R4
U2
Vo2
Figura 21. Oscillatore in quadratura con
rete di limitazione
Vo1
R2
R1
C1
L’oscillatore in quadratura, per la sua topologia, risente marcatamente delle tolleranze sui
valori di resistenze e condensatori.
Poiché lo sfasamento della rete non è selettivo al variare della frequenza, le condizioni di
Barkhausen devono essere assicurate mediante la condizione sul modulo del guadagno
d’anello.
Ciò denota inoltre un diagramma di Bode della fase costante a tutte le frequenze e quindi
con pendenza nulla; per tale ragione non è possibile parlare, per questo oscillatore, di una
stabilità in frequenza.
Inoltre è da notare come l’uso dei diodi zener, nella limitazione di ampiezza, introduca un
certo tasso di distorsione nel segnale che percorre l’anello. Questa distorsione è più
23
evidente all’uscita di U2 mentre è mitigata all’uscita di U1 grazie all’effetto filtrante
(passa basso) svolto dall’integratore non invertente implementato con U1 stesso. Se si
desidera una sinusoide quanto più pura possibile è pertanto consigliabile scegliere come
uscita Vo1.
L’ultimo circuito visto in fig. 21 è passibile ancora di una ulteriore modifica.
Può essere utile, per talune applicazioni, rendere variabile la frequenza di oscillazione del
circuito.
Come si può evincere dalle formule che descrivono il guadagno d’anello, la frequenza di
oscillazione può essere variata agendo su R2, C2, R3, C3.
Escludendo di variare le capacità C2 e C3 si può agire sui due resistori R2 ed R3.
R2, però, come già visto è strettamente legata ad R1 ed inoltre la possibilità di agire su R2
l’abbiamo già dedicata allo scopo di far innescare le oscillazioni.
L’unico modo per variare in modo indipendente da tutto il resto la frequenza di
oscillazione del circuito resta quello di agire su R3.
Variando R3, infatti, abbiamo modo di modificare il guadagno del blocco integratore
invertente e di spostare, quindi, la frequenza di oscillazione al nuovo valore in cui il
guadagno d’anello risulta unitario.
Il circuito comprensivo della possibilità di sintonizzare la frequenza di oscillazione è
schematizzato in fig. 22.
D1
C2
C3
U1
U2
R3
R4
Vo1
R2
D2
Vo2
R5
R1
C1
Figura 22. Oscillatore con possibilità di variare la frequenza
La resistenza R4 fa si che le oscillazioni si inneschino, quindi la sua regolazione può
essere fatta una sola volta. La resistenza R5 permette, invece, di variare con continuità la
frequenza di oscillazione entro un dato range di frequenze eventualmente selezionabile
variando, per valori discreti, la capacità C3.
Attenzione deve, comunque, essere riposta riguardo alle variazioni di guadagno dei due
stadi in quanto all’aumentare del guadagno imposto agli operazionali diminuisce
linearmente la loro banda passante poiché deve mantenersi costante il prodotto guadagno
per ampiezza di banda. Questa caratteristica limita la massima frequenza di utilizzo
dell’oscillatore.
24
Oscillatore a ponte T
Un altro oscillatore analogico che sfrutta reti RC ed amplificatori operazionali è
l’oscillatore a ponte T.
Il suo principio di funzionamento può essere definito duale rispetto a quello
dell’oscillatore a ponte di Wien. Infatti, l’oscillatore di Wien presenta una reazione
negativa costante ed una reazione positiva selettiva in frequenza con un picco di
massimo. L’oscillatore a ponte T, come si può vedere in figura 23, è caratterizzato da una
reazione positiva costante e da una reazione negativa selettiva contraddistinta da un
minimo.
R1
R2
Rete T
Figura 23. Schema di base dell’oscillatore con rete a T
Il triporta denominato con “Rete T” deve essere sostituito con una rete a T oppure con
una rete a doppia T, rappresentate rispettivamente nelle figg. 24 e 25.
R
R
C
R
C
C
C
R
2C
Figura 24. Rete a T
R/2
Figura 25. Rete a doppia T
Come si può notare in questo oscillatore la reazione positiva avviene sull’ingresso non
invertente dell’operazionale mediante il partitore R1, R2; risulta dunque che la reazione
positiva è indipendente dalla frequenza essendo attuata da una rete puramente resistiva.
Viceversa la reazione negativa è introdotta dal circuito a T o a doppia T.
25
La funzione di trasferimento della rete di reazione negativa presenta uno sfasamento nullo
e contemporaneamente un modulo minimo alla frequenza f 0 =
1
.
2πRC
Indicando con T(s) tale funzione risultano per le due reti le seguenti funzioni di
trasferimento:
Rete a T:
s
1
+
RC ( RC ) 2
T ( s) =
s
1
s2 + 3
+
RC ( RC ) 2
s +2
2
(
sRC ) 2 + 1
T ( s) =
( sRC ) 2 + 4 sRC + 1
Rete a doppia T:
Si notano le spiccate capacità selettive delle reti osservando i diagrammi di Bode di
modulo e fase riportati in figura 26.
Rete a T
Rete a doppia T
0
0
-0.5
-50
-1
-1.5
- 100
Magnitude (dB)
- 150
-2
- 200
-2.5
- 250
-3
- 300
-3.5
- 350
-4
- 400
20
450
Magnitude (dB)
10
405
Phase (deg)
Phase (deg)
0
360
-10
315
-20
10
270
2
3
10
4
10
5
10
2
10
10
4
10
6
Figura 26. Diagrammi delle funzioni di rete
26
Il vantaggio del filtro a doppia T usato come ponte è l’avere un Q elevato alle basse
frequenze audio in confronto ai circuiti LC, i quali presentano inoltre l’inconveniente di
richiedere forti valori di induttanza.
Essendo la rete particolarmente selettiva, inserita nell’anello di reazione negativa,
consente l’innesco delle oscillazioni solo in un piccolo intorno della frequenza in cui la T
(s) presenta modulo minimo. Infatti a tale frequenza la reazione positiva (costante)
diviene preponderante e capace di garantire un guadagno di anello maggiore di uno.
Per ricavare il guadagno di anello Aβ =
Vf
e mettere in evidenza l’antagonismo tra
Vi
reazione positiva e negativa conviene aprire l’anello di reazione contemporaneamente sui
due ingressi dell’operazionale (fig. 27) e fare riferimento al modo differenziale:
R1
R2
Vf
Vi
Rete
T
Figura 27. Anello di reazione aperto
Analizzando questo circuito si ricavano facilmente le seguenti relazioni:
V f =  V+ ′ − V− ′ 


Vi = (V+ − V− )
′
V + = Vo
R2
R1 + R2
′
V− = Vo ⋅ T ( s )
Vo = (V+ − V− ) AV
Aβ =
Vf
Vi
=
′
′
V + − V−
=
V + − V−
Vo
R2
− Vo ⋅ T ( s )
 R2

R1 + R2
= 
− T ( s )  AV
Vo
 R1 + R2

AV
Dalla differenza che figura nell’ultima relazione si nota bene in che modo agiscano le due
reazioni; infatti la reazione negativa caratterizzata dalla T(s) tende a sopprimere l’azione
della reazione positiva data dal partitore.
27
Si nota che imporre Im(Aβ)=0 equivale ad imporre Im[T(jω)]=0, da cui si ottiene che la
frequenza di oscillazione, per entrambe le configurazioni, è f 0 =
1
, inoltre tenendo in
2πRC
considerazione quest’ultima si ricava che la condizione di innesco per la rete a T è:
5! 5
R2
2 1
≥ +
R1 + R2 3 AV
2
.
3
V−
Per la rete a doppia T si ha invece che, alla frequenza f0 di risonanza,
tende
V0
Poiché in corrispondenza della frequenza di risonanza T(s), per la rete a T, vale
idealmente a zero. Ciò si traduce in una condizione di innesco tale che:
R2
1
≥
R1 + R2 AV
L’oscillatore può anche essere osservato sotto un altro punto di vista: si può infatti
determinare il guadagno di anello Aβ considerando il sistema come un amplificatore non
invertente, comprensivo anche della rete T, il cui guadagno varia con la frequenza (blocco
A), retroazionato positivamente dal partitore resistivo (blocco β).
In questo caso si può calcolare l’amplificazione del blocco A non retroazionato
 Vo 
V
1
 considerando il fatto che 0 =
e che V- = V+ nell’ipotesi che
V− T ( s )
 V+ 
1
l’operazionale abbia un guadagno differenziale elevato; ottenendo che A =
.
T ( s)
R2
Il β non è altro che il rapporto di partizione
.
R1 + R2
positivamente 
Anche in questo caso imponendo le condizioni limite di Barkhausen si perviene alle
stesse relazioni sulla frequenza di oscillazione e sulla condizione di innesco.
Per ricavare il coefficiente di stabilità si procede come segue per le due reti.
A=
-
1
T ( s)
β=
R2
R1 + R2
∠Aβ = ∠A = ∠
1
T ( s)
Rete a T:
T ( s) =
( sRC ) 2 + 2 sRC + 1
( sRC ) 2 + 3sRC + 1
T ( jω ) =
1 − ( ωRC ) + j 2ωRC
x=
2
1 − ( ωRC ) + j 3ωRC
2
≡
ω
= ωRC
ω0
1 − x 2 + j2 x
1 − x 2 + j3 x
28
(
)
(
2
1
1 − x 2 + j 3 x 1 − x 2 + 6 x 2 + jx (1 − x 2 )
=
=
2
T ( x ) 1 − x 2 + j2 x
1− x 2 + 4x 2
da cui
(
)
)
 x 1− x2

ϕ ( x ) = arctg 
⇒
2 2
2
 1 − x + 6 x 
(
SF =
-
dϕ
ω
d 
 ω0


 ω =ω 0
)
=
1 2
= A
3 9
Rete a doppia T:
T ( s) =
( sRC ) 2 + 1
( sRC ) 2 + 4 sRC + 1
1
1 − ( ωRC ) + j 4ωRC 1 − x 2 + j 4 x
=
≡
2
T ( jω )
1 − x2
1 − ( ωRC )
2
 4x 
ϕ ( x ) = arctg 
2
1 − x 
SF =
dϕ
ω
d  
 ω0 
= 0 ,5
ω =ω 0
Si nota dunque che l’oscillatore a ponte T ha una stabilità in frequenza equivalente a
quella dell’oscillatore a ponte di Wien. Invece quello a doppia T ha una stabilità
decisamente superiore come ci aspettavamo dall’analisi dei diagrammi di Bode poiché
caratterizzato da una rete più selettiva.
Per ciò che concerne la limitazione dell’ampiezza dell’uscita anche in questo caso si
possono utilizzare dei termistori per il controllo automatico del guadagno. Essendo
quest’ultimo proporzionale al rapporto di partizione si può utilizzare un PTC al posto di
R1.
Bisogna dimensionare tutti i componenti in modo che all’accensione dell’oscillatore,
ovvero quando il termistore non dissipa potenza, sia valida la condizione di innesco
Re[Aβ] > 1. La forma d’onda in uscita crescerà in ampiezza finché la potenza dissipata
sul termistore, e quindi la sua resistenza, sarà tale da ridurre ad 1 il guadagno di anello
(Re[Aβ]=1).
29
Ricordiamo che questa relazione descrive una condizione di equilibrio dinamico meglio
esplicitata scrivendo Re[ Aβ ( v ) ] = 1 dove v è l’ampiezza dell’uscita.
La temperatura del PTC, quindi la sua resistenza, seguiranno gli andamenti della tensione
di uscita mantenendo pressappoco costante, contro ogni perturbazione, l’ampiezza delle
oscillazioni.
Questo controllo automatico del guadagno si basa sulle costanti di tempo termiche del
termistore che di solito sono molto grandi; in questo modo si minimizza la distorsione
armonica dell’uscita a regime.
Per la scelta dei termistori in funzione della frequenza di lavoro si adottano gli stessi
criteri descritti per l’oscillatore a ponte di Wien.
Dall’analisi condotta si comprende che questo circuito produce un segnale sinusoidale
con buona purezza spettrale, per tale motivo esso è utilizzato per test audio o in altre
applicazioni dove è necessaria un’onda sinusoidale di buona qualità.
Questo oscillatore consente di ottenere frequenze che possono raggiungere la decina di
KHz.
Per frequenze superiori bisogna prestare attenzione allo slew-rate dell’operazionale che
potrebbe deformare l’uscita.
Esistono altre configurazioni per l’oscillatore o doppia T che non sfruttano amplificatori
operazionali ma BJT, si veda per esempio lo schema riportato in figura 28.
Vcc
Rc
Q1
C3
R1
Out
R1
C2
C1
C1
R2
Figura 28. Oscillatore a doppia T con BJT
In questo caso il controllo automatico del guadagno è svolto dalle non linearità di
ingresso del BJT.
Una buona scelta dei BJT consiste nello scegliere il BC109, caratterizzato da un basso
rumore.
30
Conclusioni
Dall’analisi effettuata sui 4 modelli di oscillatori RC che costituiscono una
casistica abbastanza esaustiva per questa tipologia di oscillatori si possono denotare in
sintesi le seguenti caratteristiche.
Per quanto riguarda l’oscillatore a ponte di Wien esso risulta ottimo per il campo audio e
della strumentazione, ha una bassissima distorsione, ma di contro non agevola la sintonia
che richiede un resistore duale. Presenta un tempo di assestamento lungo dopo variazioni
di frequenza o di ampiezza ma ha una buona stabilità in frequenza.
L’oscillatore a sfasamento ha una tecnica di realizzazione semplice ed economica, risulta
agevole l’inserimento di un controllo automatico di ampiezza ed ha un avviamento ed un
assestamento rapidi. Per contro non è facilmente regolabile in ampiezza e frequenza,
viene infatti utilizzato come generatore di tono singolo.
L’oscillatore in quadratura ha il vantaggio di presentare contemporaneamente due uscite
in quadratura e ciò può risultare necessario per certe specifiche applicazioni, risulta
regolabile in frequenza ma non regolabile in modo semplice in ampiezza. Per contro è
molto sensibile alle tolleranze sui componenti usati.
L’oscillatore a doppio T presenta una buona stabilità in frequenza data dall’alta selettività
della rete di reazione, un’ampiezza delle oscillazioni variabile. Tuttavia risulta
difficoltosa la modifica della frequenza di oscillazione poiché richiederebbe la variazione
sincrona di più componenti resistivi o capacitivi.
31
Bibliografia:
-
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-
Cuniberti, De Lucchi, De stefano – Elettronica, dispositivi e sistemi
-
Ambrosini, Perlasca – Sistemi di conversione e interfacciamento
-
Biondo, Sacchi – Manuale di elettronica e telecomunicazioni
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Siti internet:
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32