RETI DI TELECOMUNICAZIONE
PROCESSI DI POISSON
Definizione
¾
Un processo stocastico
che assume valori interi non negativi si dice essere un processo di Poisson
con frequenza λ se
1. A(t) è un prosesso di enumerazione che rappresenta il numero totale degli
arrivi che si sono verificati dal tempo 0 al tempo t
2. Il numero degli arrivi che si verificano in intervalli di tempo disgiunti sono
indipendenti
3. Il numero degli arrivi in ciascun intervallo di lunghezza τ è distribuito secondo
Poisson con parametro λτ
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1
La distribuzione di Poisson è normalizzata
¾ Ovvero: per essere una distribuzione di probabilità la somma
per n da 0 ad infinito di tutti i termini deve convergere a 1
¾ Dimostrazione
Sviluppo in
serie di
Maclaurin di eλτ
PROCESSI DI POISSON
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Valore medio
Il primo termine
è nullo,
dividendo
il denominatore
per n
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2
Significato della costante λ
¾ La costante di proporzianalità
rappresenta quindi il rate medio degli arrivi di Poisson.
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Varianza
¾ Calcoliamo prima
come per la
media
PROCESSI DI POISSON
per la linearità
dell’operazione
di derivazione
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3
Varianza
¾ Quindi
PROCESSI DI POISSON
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Deviazione standard
¾ E’ utile considerare anche la deviazione standard normalizzata
alla media
tende a 0 per
cioè per valori grandi di λτ
la distribuzione è aggregata attorno al valore medio
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4
Esempio λ=5
τ = 2.5s
τ = 5s
τ = 7.5s
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Esempio λ=5
τ = 50s
τ = 100s
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5
Probabilità di avere 0 arrivi
¾ La probabilità di avere 0 arrivi nell’intervallo τ è esponenziale
decrescente al crescere di τ
λ=5
τ (s)
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Proprietà
a) I tempi di interarrivo sono indipendenti ed esponenzialmente
distribuiti con parametro λ
b) Per
con
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Proprietà
c) Dati n intervalli disgiunti e contigui τ1, τ2,…, τn, nei quali avviene
un processo di Poisson rispettivamente con parametro
λτ1, λτ2,…, λτn, il numero degli arrivi in τ =τ1+τ2+…+τn
è un processo di Poisson con parametro λ(τ1+τ2+…+τn )
d) Dati più processi di Poisson indipendenti A1, A2, …, Ak, con
frequenza λ1, λ2,…, λk,
il processo cumulativo A = A1+A2+…+Ak
sarà ancora di Poisson con frequenza λ=λ1+λ2+…+λk
PROCESSI DI POISSON
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Dimostrazione proprietà a)
a) I tempi di interarrivo sono indipendenti ed esponenzialmente
distribuiti con parametro λ
9 Sia
il generico istante di tempo dell’n-esimo arrivo.
Dobbiamo dimostrare che gli intervalli di tempo
hanno distribuzione cumulativa di probabilità
e sono mutuamente indipendenti.
La funzione densità di probabilità sarà infatti
esponenzialmente distribuiti con parametro λ
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7
Dimostrazione proprietà a)
9 La probabilità che non ci sia alcun arrivo in un intervallo di tempo pari a s
è data da
dalla quale
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Valore medio dei tempi di interarrivo
PROCESSI DI POISSON
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8
Varianza dei tempi di interarrivo
¾ Calcoliamo
prima
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Varianza dei tempi di interarrivo
P(τn≤s)
fτn (s)
λ=5
s
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9
Dimostrazione proprietà b)
b) Per
sarà infatti sviluppando secondo Maclaurin
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Dimostrazione proprietà b)
9 In quanto
9 Analogamente si possono dimostrare gli altri casi
¾ Partendo dalla proprietà b) possiamo arrivare alla definizione di
processo di Poisson
9 Consideriamo un intervallo di ampiezza τ suddiviso in m sottointervalli di
ampiezza δ
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Dalla proprietà b) ai processi di Poisson
9 Assumiamo essere λδ la probabilità che ci sia un arrivo in un intervallo di
tempo δ e 1−λδ la probabilità che nello stesso intervallo non ci sia alcun
arrivo.
Stiamo praticamente assumendo che in ciascun intervallo non possa esserci più di un
arrivo
9 La probabilità che ci siano n arrivi nell’intervallo τ è allora data dalla
distribuzione binomiale
fissando τ e facendo tendere δ → 0, sarà m → ∞
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Dalla proprietà b) ai processi di Poisson
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Dalla proprietà b) ai processi di Poisson
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Dimostrazione proprietà c)
c) Dati n intervalli disgiunti e contigui τ1, τ2,…, τn, nei quali avviene
un processo di Poisson rispettivamente con parametro
λτ1, λτ2,…, λτn, il numero degli arrivi in τ =τ1+τ2+…+τn
è un processo di Poisson con parametro λ(τ1+τ2+…+τn )
9 La proprietà si può dimostrare per induzione
Sia
e
allora la probabilità che nell’intervallo cumulativo τ ci siano 0 arrivi
sarà…
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Dimostrazione proprietà c)
…
che ci sia 1 solo arrivo
…
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Dimostrazione proprietà c)
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Dimostrazione proprietà c)
che ci siano 2 arrivi
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Dimostrazione proprietà c)
sommando i vari termini si ottiene
generalizzando al caso di m arrivi si ha quindi
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Dimostrazione proprietà d)
d) Dati più processi di Poisson indipendenti A1, A2, …, Ak, con
frequenza λ1, λ2,…, λk,
il processo cumulativo A = A1+A2+…+Ak
sarà ancora di Poisson con frequenza λ=λ1+λ2+…+λk
9 La proprietà può essere dimostrata sfruttando i tempi di interarrivo di
ogni singolo processo. Siano t1, t2, …, tk i tempi di interarrivo di ogni
singolo processo e t il tempo di interarrivo del processo cumulativo.
9 Per ogni singolo processo sarà
per il processo cumulativo
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Dimostrazione proprietà d)
9 Quindi
da cui
9 Per la proprietà a) il processo cumulativo degli arrivi sarà
esponenzialmente distribuito con parametro λτ
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Distribuzione esponenziale
dei tempi di servizio
¾ La distribuzione dei tempi di servizio è esponenziale con
parametro µ quando
dove sn è il tempo di servizio dell’n-esimo cliente.
¾ Sarà
9 Il parametro µ rappresenta la frequenza media di servizio
Numero di clienti che viene servito nell’unità di tempo
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Proprietà di memoryless
della distribuzione esponenziale
¾ Implica che:
9 Trascorso un certo tempo t dall’inizio di un servizio, il tempo addizionale
t+ necessario per completare il servizio non dipende dal tempo t già
trascorso
9 Trascorso un certo tempo t dall’arrivo dell’ultimo cliente nel sistema, il
tempo addizionale t+ che trascorrerà affinché arrivi il successivo cliente
non dipende dal tempo t già trascorso
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Proprietà di memoryless
della distribuzione esponenziale
¾ Dimostrazione
Regola di Bayes
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Regola di Bayes
NA∩B
NB
NA
N
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