Grafi - 2
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
1
Algoritmo per l’ordinamento topologico
di un grafo
• Un semplice algoritmo per l’ordinamento
topologica di un grafo è fa uso della visita
DFS inserendo ogni nodo visitato in una
pila da cui poi stampare i valori altermine
della visita:
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
2
void Topological_sort(lista_nodi G[],int s,int visito[]){
cout<<"\nSto visitando il nodo "<<s;
visito[s]=1;
//Per ogni nodo adiacente al nodo u cioè nella lista di adiacenza di u
for (int j=0;j<G[s].size();j++){
int v=G[s][j];
if (visito[v]==0) {
visito[v]=1;
DFS(G,v,visito);
pila.push(v);
}
}
}
int main(){
fill_n(visitati,N,0);
for(int i=0;i<N;i++)
if (!visitati[i]) Topological_sort(G,i,visitati);
while(!pila.empty()){
cout<<pila.top()<<“ “;
pila.pop();
}
}
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
3
Esercizio
• Selezioni regionali 2007 - Torero Escamillo (torero)
• Difficoltà D = 2 (tempo limite 1 sec).
• Descrizione del problema
Il celebre torero Escamillo deve indossare il proprio costume
prima di entrare nell'arena. Egli è costretto a rispettare un dato
numero di precedenze, indossando certi indumenti prima di altri,
mentre alcuni indumenti possono essere liberamente indossati in un
ordine qualsiasi. Per esempio, le "medias" (calze) vanno indossate
prima delle "zapatillas" (scarpe), ma non vi è alcun vincolo
sull'ordine con cui indossare la "chaquetilla" (giacca) e la "montera"
(cappello). Il costume di Escamillo è particolarmente raffinato ed
elaborato e si compone di N indumenti. Sfortunatamente, Carmen
non ha ancora consegnato uno degli N indumenti necessari alla
vestizione di Escamillo. Aiutalo a vestirsi il più possibile, calcolando
il massimo numero di indumenti che può indossare in attesa che
Carmen gli consegni l'indumento mancante.
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
4
•
•
•
Dati di input
Il file input.txt contiene nella prima riga
una tripla di interi, separati da uno
spazio: l'intero positivo N che indica il
numero di indumenti per la vestizione di
Escamillo, dove gli indumenti sono
numerati da 1 a N; l'intero positivo M
che indica il numero di precedenze tra
coppie di indumenti da rispettare
durante la vestizione; l'intero Q,
compreso tra 1 e N, che indica
l'indumento non ancora consegnato da
Carmen. Ognuna delle successive M
righe contiene una coppia di interi,
compresi tra 1 e N, separati da uno
spazio. Tale coppia di interi I e J
rappresenta la precedenza in cui
l'indumento numero I deve essere
indossato prima dell'indumento numero
J.
Assunzioni:
1 < N < 100000
1 < M < 100000
1≤Q≤N
Dati di output
Il file output.txt è composto
da una riga contenente un
solo intero, che rappresenta
il massimo numero di
indumenti che Escamillo
riesce a indossare in attesa
dell'indumento Q che Carmen
deve ancora consegnargli.
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
5
Cammini minimi in un grafo
• Uno dei problemi che si possono applicare ad una
struttura di tipo grafo è il calcolo del cammino minimo
che collega due nodi del grafo. Uno tra gli algoritmi che
calcolano tale cammino con una complessità ottima è
l’algoritmo di DiJkstra.
Il cammino minimo tra il nodo 0
e il nodo 4 è lungo 3. Se
applicassimo la visita in ampiezza
BFS, calcolerebbe il cammino lungo
6, il che non è corretto.
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
6
Algoritmo di Dijkstra
• L’algoritmo di Dijkstra visita i nodi nel grafo, in maniera
simile a una ricerca in ampiezza o in profondità. In ogni
istante, l’insieme N dei nodi del grafo è diviso in tre parti:
l’insieme dei nodi visitati V, l’insieme dei nodi di frontiera
F, che sono successori dei nodi visitati, e i nodi
sconosciuti, che sono ancora da esaminare.
• Per ogni nodo z, l’algoritmo tiene traccia di un valore dz,
inizialmente posto uguale a ∞ che rappresenta la
distanza di ciascun nodo dal nodo sorgente, e di un nodo
uz,inizialmente indefinito che rappresenta il nodo
predecessore di ciascun nodo appartenente al cammino
minimo che collegherà il nodo sorgente alla
destinazione.
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
7
• L’algoritmo che cerca il cammino minimo dal
nodo x al nodo y, parte con V =Ф , F={x}, dx=0 e
prosegue finché y non viene visitato, o finché F
=Ф: in questo caso, y non è raggiungibile da x
lungo un arco orientato. Se usciamo solo nel
secondo caso, alla fine dell’algoritmo dz
contiene, per ogni nodo z, il peso di un cammino
minimo da x a z; inoltre, il vettore u permette di
ricostruire l’albero dei cammini minimi con
origine in x.
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
8
Esempio:
calcoliamo il cammino minimo da 0 a 4
V={0}
F={1,2,4}
L’algoritmo aggiorna il vettore
delle distanze con le distanze
dei nodi di frontiera dal nodo 0.
d[1]=1 d[2]=2 d[4]=6
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
9
Continua…
L’algoritmo di Dijkstra cerca tra i nodi del grafo che stiamo visitando
quello a distanza minima dalla sorgente. In questo caso il nodo
prescelto è il nodo 1 che dista da 0, 1.
La regola che si segue è quindi:
Quindi si inserisce nell’insieme V il nodo 1 V={0,1} e si prosegue
aggiornando il vettore delle distanze con le distanze dei nodi
appartenenti alla frontiera di 1.
F={3,4}
d[3]=d[1]+1=2
d[4]=min{d[4] ,d[1]+3}=4
L’algoritmo prosegue cercando nuovamente nel vettore delle distanze
quello non ancora visitato e a distanza minima dalla sorgente…
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
10
Continua…
Si sceglierà il nodo 2 che però non comporterà alcuna modifica nel
vettore delle distanze in quanto per il nodo appartenente alla frontiera
di 2 che è 3, conosciamo già un cammino di peso minimo migliore di
quello che passerebbe per il nodo 2.
Visitiamo ora il nodo 3, aggiornando nuovamente d4 e u4:
d[4]=3
u[4]=3
V={0,1,2,3}
A questo punto visitiamo il nodo 4 che è la nostra destinazione
finale e l’algoritmo termina. Il vettore u ci rappresenta il
cammino minimo leggendolo a partire dalla destinazione fino
alla sorgente: 4 - u[4]=3 - u[3]=1 – u[1]=0
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
11
int cammino(int x, int y ) { //Calcolo il cammino minimo da x ad y
int i, j, m;
for (i=0;i<N; i++)
{
d[i]=MAXINT;
u[i]=N+1;
vis[i]=0;
}
d[x]=0;
for( ; ; )
{
for (m=MAXINT, i=0; i<N; i++) //Trovo il nodo a distanza minima da x
if(!vis[i] && (d[i]<=m))
m=d[j=i];
vis[j]=1; //sto visitando il nodo j
if (j==y || m==MAXINT)
//esco dal ciclo se ho raggiunto la destinazione
break;
//oppure se la destinazione non è raggiungibile
for (i=0; i<N; i++)
if (G[j][i] && (d[i]> d[j]+G[j][i]))
{
d[i]= d[j]+G[j][i];
u[i]=j;
}
}
return j;
//restituisco l'ultimo nodo visitato se è y ho trovato un cammino minimo
}
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
12
•
•
•
•
•
•
•
Distanze (DIST)
Livello di difficoltà D=8
Antonio e’ in viaggio, e ha una tabella di distanze tra citta’. Su di essa,
purtroppo, non compare la distanza tra la sua citta’ di partenza e quella di
arrivo, per raggiungere la quale bisogna passare per altre citta’ intermedie.
Dovete aiutare Antonio a trovare la distanza relativa al percorso piu’ breve
tra la citta’ di partenza e quella di arrivo desumibile dalla tabella.
File di input
Il file input.txt e’ costituito da una prima riga nella quale sono indicati,
separati da un carattere spazio, il numero totale di citta’ in tabella N e il
numero di distanze mutue tra due citta’ D. Seguono D righe, ciascuna delle
quali contiene gli identificatori numerici delle due citta’ e la loro mutua
distanza, separati da un carattere spazio.
File di output
Il programma, dopo aver letto il file di input, deve calcolare la distanza
minima tra la citta’ di partenza e quella di arrivo, e scriverla su un file di
nome output.txt. Più precisamente, il file output.txt deve essere costituito da
una sola riga, contenente un numero intero che rappresenta la distanza piu’
breve tra la citta’ di partenza e quella di arrivo.
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
13
Assunzioni
Il file di input non contiene altri caratteri oltre a quelli precisati.
Il numero N di citta’ e' in ogni caso inferiore a 1000, ed il numero di
distanze D inferiore a 10000.
Gli identificatori delle citta’ sono interi compresi tra 1 e N. La citta’ di
partenza e la destinazione sono sempre associate agli identificatori 1
e 2, rispettivamente.
Importante! L'esecuzione del programma deve terminare entro 30
secondi.
PON Olimpiadi di Informatica
Prof. Reho Gabriella
14
