Una stima del punto di fusione nel mantello della Terra

Una stima del p u n t o di f u s i o n e nel m a n t e l l o della Terra
P . E . VALLE
INTRODUZIONE.
L ' a n d a m e n t o della t e m p e r a t u r a di fusione nel m a n t e l l o della T e r r a
è (li notevole interesse, specialmente p e r c h è r a p p r e s e n t a u n limite superiore della distribuzione a t t u a l e della t e m p e r a t u r a nel mantello stesso. U n o studio di tale questione, c o n d o t t o sulla base della teoria della
fusione f o r m u l a t a da L i n d m a n n (*), è s t a t o eseguito da R. J.' U f f e n (2)
nel 1952.
P e r a l t r o i valori f o r n i t i d a R . J . Uffen devono essere sottoposti a
revisione a l m e n o per d u e ragioni. I n p r i m o luogo egli a s s u m e che la
t e m p e r a t u r a di fusione alla p r o f o n d i t à di 100 k m nell'interno della T e r r a
sia p a r i a 1800°K. Q u e s t a ipotesi, t r a t t a dal cap. V I I del t r a t t a t o « I n t e r n a i Constitution of t h e E a r t h », edito d a B . G u t e n b e r g (3), non h a
però a l c u n a base sicura. I n secondo luogo egli calcola il r a p p o r t o
TJT0S,
t r a le t e m p e r a t u r e di fusione a due p r o f o n d i t à diverse, eseguendo la
m e d i a dei valori o t t e n u t i dalle equazioni [7J e [8] del suo lavoro. O r a
la relazione [7] è d e d o t t a in base ad ipotesi t r o p p o grossolane p e r essere
corretta.
Ricerche sulla teoria dei solidi e sulla teoria della fusione di Lindm a n n sono s t a t e eseguite a b b a s t a n z a r e c e n t e m e n t e d a l l ' a u t o r e (4) (5) ( 6 ).
D a queste ricerche p u ò essere facilmente d e d o t t o u n m e t o d o p e r calcolare il p u n t o di fusione nel mantello della Terra. Il m e t o d o n o n richiede
la conoscenza della densità locale di massa.
Con l'ipotesi, p i u t t o s t o verosimile, che la t e m p e r a t u r a di f u s i o n e
alla p r o f o n d i t à di 33 k m corrisponda al valore medio della t e m p e r a t u r a
m a s s i m a delle lave e r u t t a t e dai vulcani, il n u o v o calcolo, che utilizza
gli stessi valori della velocità delle onde sismiche u s a t i d a R . J . Uffen,
conduce a d u n valore del p u n t o di fusione alla p r o f o n d i t à di 2898 k m ,
cioè alla base del mantello, p a r i a 4083°K, in luogo dei 5256°Iv otten u t i d a R , J . Uffen (*).
(*) R. J . Uffen arrotonda questo valor© a 5300° K.
I'. E.
80
VALLE'
È peraltro da ritenersi, come apparirà nel seguito, che i nuovi vaioli siano ancora troppo elevati di qualche u n i t à percentuale.
LA TEMPERATURA D I FUSIONE N E L MANTELLO DELLA
TERRA.
È noto che, se è applicabile la meccanica classica, la teoria della
fusione di F . A. L i n d m a n n (5) (6) conduce alla relazione
2_
Ts=CAVs*v°,
[1]
nella quale Ts è la t e m p e r a t u r a di fusione,
il peso atomico o molecolare della sostanza, Vs il volume atomico o molecolare della fase solida al p u n t o di fusione, vl la frequenza massima delle oscillazioni termiche trasversali della fase solida al p u n t o di fusione e C è u n a grandezza che viene ritenuta costante, m a che probabilmente diminuisce con la
pressione.
T e n u t o conto che la frequenza massima delle oscillazioni trasversali
di agitazione termica è d a t a da
3N
\3
dove vt è la velocità delle onde elastiche trasversali ed N il numero
d'Avogadro, si ottiene subito
2
/ 3 N \a
) V.
[3]
Ora, se si ritiene che il prodotto CA rimanga costante nell'intero
mantello, indicando con Tos la t e m p e r a t u r a di fusione alla profondità
di 33 k m , si h a
T
v2
T OS
vot 2
M
I valori delle velocità delle onde trasversali, che compaiono nella
precedente relazione, dovrebbero essere v a l u t a t i al p u n t o di fusione.
I n questa n o t a invece vengono utilizzate le velocità locali delle onde
sismiche trasversali senza alcuna correzione (*). D a ciò consegue che i
valori del rapporto TJT0S,
così calcolati mediante la [4], risultano superiori di qualche u n i t à percentuale, come può essere facilmente verificato.
(*) R. J . Uffen non effettua correzioni.
UNA STIMA D E I . PUNTO D I F U S I O N E NBL MANTELLO DELLA TERRA
81
Allo scopo di a s s u m e r e p e r Tos u n valore plausibile, sono s t a t e prese
in considerazione le t e m p e r a t u r e m a s s i m e delle lave e r u t t a t e dai vulcani
e r i p o r t a t e nel cap. V I del t r a t t a t o « I n t e r n a i Constitution of t h e E a r t l i »
edito da B . G u t e n b e r g (7). I l valore medio di queste t e m p e r a t u r e , che
sono s t a t e elencate nella tabella I, è p a r i a 1450°K. Quindi è s t a t o posto T
- 1450°K.
Tabella
Vulcano
Rilauea
Kilauea
1.
-
TEMPERATURA
Data
MASSIMA
DELLE
Temperatura
°K
LAVE.
Osservatore
—
1458
Day e Sheplierd
—
1473
Jaggar
Vesuvio
1904
1373
Brun
Vesuvio
1913
1473
Perret
Stromboli
1901
1423
Brun
Etna
1892
1333
Bartoli
Etna
1892
1573
Philipp
Sakura-jima
1914
1321
Rotò
Osliima
Paricutin
1473-1573
—
1473
Tsuboi
Zies
Si è già osservato che la relazione [4] è valida in q u a n t o applicabile
la m e c c a n i c a classica. Ciò a v v i e n e q u a n d o la t e m p e r a t u r a di fusione
risulta maggiore della t e m p e r a t u r a c a r a t t e r i s t i c a relativa alle oscillazioni trasversali o, anche, della t e m p e r a t u r a 0 D di Debve, che, generalm e n t e , è u n poco superiore alla p r e c e d e n t e .
P e r verificare se la s u d d e t t a condizione è s o d d i s f a t t a , nella tabella TT sono r i p o r t a t i , in funzione della p r o f o n d i t à , i valori della t e m p e r a t u r a di D e b y e calcolati d a E . J . Uffen (2) e d a F . Birch ( 8 ).
I l notevole divario t r a le d u e serie di valori deriva p r o b a b i l m e n t e
dal f a t t o che m e n t r e E . J . U f f e n h a eseguito il calcolo con l'ipotesi che
il m a n t e l l o della T e r r a sia costituito da u n a sostanza di peso molecolare p a r i a 140 e h a riferito la t e m p e r a t u r a di D e b y e all'oscillazione dell'intera molecola, P . B i r c h h a eseguito il calcolo s u p p o n e n d o che il m a n tello sia costituito d a u n m a t e r i a l e di peso atomico medio p a r i a 20 ed
82
I'.
Tabella
11.
E. VALLE'
TEMPERATURA
DI D E B Y E
NEL
MANTELLO
DELLA
TERRA.
Profondità km
&n (Uffen) °K
Qd (Birch) »K
100
360
670
600
458
900
1000
537
1060
2600
645
1280
h a riferito la t e m p e r a t u r a di D e b y e alle oscillazioni di u n t a l e a t o m o .
C o m u n q u e , le cifre f o r n i t e d a P . Birch costituiscono, quasi c e r t a m e n t e ,
u n limite superiore d e l l ' a n d a m e n t o della t e m p e r a t u r a di D c b v e nel
m a n t e l l o della T e r r a .
Tabella I I I .
h
km
-
TEMPERATURA
Ts
vt
(equaziok m sec -1 ne [4])
«R
DI
FUSIONE
Ts
(Uffen)
°R
h
km
NEL
MANTELLO
DELLA
TERRA.
Ts
Ts
Vi
(equazio(Uffen)
-1
ne [4])
km sec
°R
oR
1000
6,36
3100
3726
1800
1400
6,62
3358
4104
1944 ,
1800
6,83
3575
4464
1736
2088
2200
7,02
3776
4824
4,96
1885
2286
2600
7,21
3983
5148
500
5,28
2136
2646
2800
7,30
4083
5256
600
5,66
2455
2988
2898
7,30
4083
5256
800
6,13
2879
3456
33
4,35
100
4,45
1517
200
4,60
1621
300
4,76
413
1450
—
—
—
L a tabella I I I contiene, in f u n z i o n e della p r o f o n d i t à , le velocità
delle onde sismiche trasversali f o r n i t e d a H . J e l f r e y s (u) e le t e m p e r a t u r e di fusione calcolate m e d i a n t e la relazione [4]. Nella q u a r t a colonna
della stessa t a b e l l a sono r i p o r t a t e , a titolo di confronto, le t e m p e r a t u r e
di fusione t r a t t e dal lavoro di R. J . U f f e n (-).
UNA STIMA D E L PUNTO
DI
FUSIONE
NEL
MANTELLO
DRLLA
TERRA
83
Il divario t r a le due serie di valori è sensibile ed a u m e n t a con la
profondità, lino a raggiungere quasi il 3 0 % alla base del mantello.
La figura m o s t r a l ' a n d a m e n t o della t e m p e r a t u r a di fusione, quale
risulta dal nuovo calcolo.
RIASSUNTO
Mediante i valori della velocità delle onde sismiche trasversali, viene
effettuata una nuova stima della temperatura di fusione nel mantello della
Terra.
I nuovi valori del punto di fusione risultano sensibilmente
inferiori
ai valori precedentemente forniti da lì. J. Uffen nel 1952.
84
I'. E . VALLE'
ABSTRACT
A new estimate of the fusion
made by means of the speed values
temperature
in the Eartli mantle
of the transversai seismic
ivaves.
The new values of the fusion point are remarkably
preceeding ones given by R. J. Uffen in 1952.
lower than
is
the
BIBLIOGRAFIA
(1) LINDMANN F . A., TJber die Berechnung
« Pliys. Zs. », 11, 609-6] 2. (1910).
molekularer
Eigenfrequenzen.
(2) UFFEN R. J., A metod of estìmating the meltìtig-point gradient in the Earth's
mantle. «Trans. Am. Geopliys. Union», 33. 893-896, (1952).
(3) GUTENBERG B., Internai
York (1939).
Gonstitution
oj tlie Eartli. Me Graw-Hill, New
(4) VALLE P. E., An equation of state for solids. « Annali di Geofìsica », 6, 183197, (1953).
(5) — Una stima del punto di fusione del ferro sotto alte pressioni.
di Geofisica », 8. 189-200, (1955).
(6) — Sulla
variazione
del punto
di fusione
con la pressione.
« Annali
« Annali di
Geofisica».. 9, 145-148, (1955).
(') GUTENBERG B., Internai
8
Gonstitution
( ) BIRCII F., Elastieity and eonstitution
Res. », 57, 227-286, (1952).
of tfye Earth. Dover Public. (1951).
of the Earth's interior. « J . Geophys.
(9) JEFFREYS II., The time of PS and SKS and the veloeities of Pand S. « Geophys. Suppi. », 4, 498-533, (1939).