soluzioni

Esercizi di fisica
1. A un sasso di 0,2 kg viene impressa un’accelerazione di 16 m/s2 . Calcola la forza applicata al sasso.
Solution:
F = m · a = 0,2 kg · 16 m/s2 = 3,2 N
2. Un’automobile di 1700 kg è parcheggiata in una strada in salita con pendenza di 15◦ . Calcola il modulo
della reazione del piano e della forza di attrito che il suolo esercita su di essa.
Solution: Come prima cosa individuiamo le forze a cui è sottoposta la macchina, esse sono, la forza
~ e la forza di attrito F~a che risulta essere essenziale per non far
peso P~ , la reazione del piano R,
scivolare l’automobile. La direzione e il verso delle forze è mostrata nella figura seguente.
y
~
R
F~a
x
m
P~
~ + F~a = 0. Una
Poiché l’automobile è ferma la somma di tutte le forze deve essere nulla: P~ + R
somma vettoriale si può decomporre nel sistema cartesiano mostrato in figura che ha il vantaggio di
~ solo lungo y e F~a solo lungo x. Dall’asse y è possibile ricavare la reazione del piano:
avere R
R − P cos(15◦ ) = 0
R = P cos(15◦ ) = mg cos(15◦ ) = 1700 kg · 9,8 m/s2 · 0.966 = 16 092 N
Dall’asse x invece si ricava la forza di attrito:
Fa − P cos(90◦ − 15◦ ) = 0
Fa = P cos(75◦ ) = mg cos(75◦ ) = 1700 kg · 9,8 m/s2 · 0.259 = 4312 N
3. In figura il peso del blocco sul tavolo è 422 N e quello del blocco appeso è 185 N. Trascura gli attriti e
supponi che la fune sia priva di massa.
(a) Trova l’accelerazione dei due blocchi.
(b) Trova la tensione della fune.
M1
M2
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Solution: Le due masse possono essere facilmente calcolate:
422 N
= 43,1 kg
9,8 m/s2
185 N
M2 =
= 18,9 kg
9,8 m/s2
M1 =
L’accelerazione a dei due blocchi in modulo è la stessa poiché la fune è inestensibile e quindi lo
spazio percorso dal primo blocco è uguale a quello percorso dal secondo. Il corpo di massa M1 è
~ e alla tensione della fune T~1 . Il corpo di
sottoposto alla forza peso P~1 , alla reazione del piano R
~
massa M2 è sottoposto alla forza peso P2 e alla tensione della fune T~2 . Direzione e verso delle forze
sono mostrate nella figura seguente.
~
R
T~1
M1
T~2
P~1
M2
P~2
Le due tensioni T~1 e T~2 hanno lo stesso modulo T (è possibile dimostrarlo usando il secondo, il terzo
principio e il fatto che la fune, e la carrucola sono prive di massa). Il secondo principio lungo la
direzione orizzontale per la prima massa si scrive:
T = M1 · a
Il secondo principio lungo la direzione orizzontale per la prima massa si scrive:
P2 − T = M 2 · a
Sostituendo il valore di T della prima equazione nella seconda equazione si ha :
P2 − M 1 · a = M 2 · a
Che può essere scritta come:
P2 = M1 · a + M2 · a = (M1 + M2 ) · a
Si ottiene quindi che è come se il peso della seconda massa tirasse l’insieme di tutte e due le masse.
Risolvendo per a si ha:
a=
P2
185 N
=
= 2,99 m/s2
(M1 + M2
43,1 kg + 18,9 kg
Una volta calcolato a si può trovare T :
T = M1 · a = 43,1 kg · 2,99 m/s2 = 129 N
4. La figura mostra un cubo di massa M1 = 25 kg che è accelerato su una superficie orizzontale e priva
di attrito da una forza orizzontale F~ . Un cubetto di massa m2 = 4,0 kg è a contatto con la superficie
anteriore del cubo e scivolerà verso il basso a meno che F~ sia abbastanza grande. Il coefficiente di attrito
statico fra i due cubi è µs = 0,71. Qual è il valore minimo del modulo di F~ per il quale il cubetto non
scivola verso il basso?
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M1
m2
F~
Solution: Se m2 non scivola le due masse hanno la stessa accelerazione a che risulta essere
orizzontale. L’insieme delle due masse che in totale ha massa M1 + m2 è spinto dalla forza F~ , risulta
quindi:
F = (M1 + m2 ) · a .
Il cubo piccolo è sottoposto a tre forze: la forza peso P~2 , la forza di attrito F~a e la forza che il cubo
grande fa su quello piccolo F~12 che sono disposte come in figura.
M1
F~a
m2
P~2
F~12
F~
Guardando le componenti verticali delle forze su m2 l’oggetto non cade se la forza di attrito equilibria
la forza peso: Fa = P2 . La forza di attrito, e quindi il peso P2 , deve essere minore della forza di
distacco che è Fd = µs · R dove la reazione del piano R in questo caso è la forza F12 che il cubo 1
imprime sul corpo 2. Quindi:
P2 ≤ µs · F12 .
Guardando invece le componenti orizzontali delle forze sulla massa m2 si vede che l’accelerazione a
di m2 è prodotta da F~12 quindi F12 = m2 · a che sostituita nell’equazione precedente permette di
trovare il valore minimo che deve avere l’accelerazione:
P2 ≤ µs · m2 · a
P2
a≥
µs · m2
m2 · g
a≥
µs · m2
g
a≥
.
µs
Da notare che il valore minimo dell’accelerazione non dipende dalla massa dell’oggetto ma solo dal
coefficiente di attrito.
Sostituendo questo valore nella prima equazione per F è possibile trovare il valore minimo di F per
non far cadere la massa m2 :
F ≥ (M1 + m2 ) ·
g
µs
F ≥ (25 kg + 4,0 kg) ·
9,8 m/s2
0, 71
F ≥ 400 N .
La prima equazione scritta: F = (M1 + m2 ) · a poteva anche essere ricavata con il seguente
ragionamento: applicando il secondo principio alla massa M1 lungo l’orizzontale si ha:
F − F21 = M2 · a
,
dove F~21 è la reazione (nel senso del terzo principio della dinamica) alla forza F~12 che M1 esercita
su m2 , ed ha quindi lo stesso modulo che come abbiamo visto vale: F21 = F12 = m2 · a. Sostituendo
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ritroviamo l’equazione cercata:
F − F21 = M2 · a
F − m2 · a = M2 · a
F = M2 · a + m2 · a
F = (M2 + m2 ) · a
5. Sapendo che la massa della Terra è MT = 6,0 × 1024 kg, la massa della Luna è ML = 7,3 × 1022 kg e che
la distanza fra la Terra e la Luna vale R = 380 000 km trova la forza di gravità fra la Terra e la Luna.
Supponendo che la Luna si muova su un orbita circolare a velocità costante trova la velocità con cui si
muove la Luna.
Solution: La distanza Terra-Luna espressa in notazione scientifica e nel SI vale: R = 3,8 × 108 m.
La forza di gravità è:
FG = G ·
24
22
MT ML
−11
2
2 6,0 × 10 kg · 7,3 × 10 kg
=
6,7
×
10
Nm
/kg
·
R2
(3,8 × 108 m)2
293 × 1035 N
=
= 20 × 1019 N = 2,0 × 1020 N .
14,4 × 1016
Supponendo che la Luna sia in moto circolare uniforme si ha che la forza ora calcolata è la forza
centripeta:
v2
FG = ML ·
R
da cui si può ricavare v:
s
r
q
FG · R
2,0 × 1020 N · 3,8 × 108 m
m
v=
=
1,0 × 106 m2 /s2 = 1,0 × 103
=
ML
s
7,3 × 1022 kg
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