FISICA

FISICA
A.A. 2013-2014
Ingegneria Gestionale
Testo della 12° prova
1. Si calcoli l’espressione della potenza dissipata sui resistori R2, R3
ed R4, [f=10V, R1=2k, R2=3k, R3=5k, R4=8k
+
f
R2
R4
R1
2. Una resistenza elettrica Ru è preposta a scaldare 200g di acqua
inizialmente alla temperatura t=30°C. La resistenza è alimentata da una rete
elettrica con due resistenze uguali R ed un condensatore piano di capacità C
che ha inizialmente energia U el =10kJ. Ammettendo che la sola energia
dissipata su Ru sia utuile al riscaldamento dell’acqua, determinare la
temperatura finale dell’acqua quando il condensatore è completamente
scarico Facoltativo. Determinare la temperatura dell’acqua dopo t=10s
[Dati: R = 10 k Ru =30kCF
R3
R
+++++
A
Ru
-------
B
R
3. Un resistore di resistenza R=50 è collegato, all’istante di tempo t=0, ad un condensatore carico
di capacità C=15F. Sapendo che l’energia dissipata dal resistore dopo un intervallo di t=2ms
vale EJ=1.5mJ determinare la carica iniziale sulle armature del condensatore.
T
2R
4. I due condensatori indicati in figura hanno carica inizialmente
nulla prima delle chiusura dell’interruttore T. Determinare la
costante di tempo complessiva nel processo di carica dei
condensatori che ha inizio in t=0 quando l’interruttore T viene
chiuso. Determinare anche la carica presente sul condensatore C1
dopo t=3ms dalla chiusura [f=10V, R=1k, C1=8F, C2=2F

5. Il circuito elettrico si trova da lungo tempo nella configurazione riportata
in figura. Determinate la carica presente sulle armature di ciascun
condensatore. [Dati: f1=5V, f2=10V, R1=4k, R2=4k, R3=8k,
R4=1k, R5=10k, C1=10F, C2=6F, C3=20F, C4=5FFacoltativo:
determinare la potenza dissipata su ciascuna resistenza 
C1
+
f
C2
4R
4R
f2
f1
+
+
C3
R5
C4
R1
R2
C1
R3
C2
R4
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Ingegneria Gestionale
Soluzioni della 12° prova
1. Il circuito in figura a) è composto da due maglie ma può essere ridotto ad una
maglia componendo i rami resistivi: nel ramo centrale la corrente attraversa in
+
serie le resistenze R2 ed R3 cui può essere sostituita la resistenza serie Rs=R2+R3 f
figura b). Il ramo centrale ed il ramo resistivo a destra risultano in parallelo e
possono essere sostituiti da una unica resistenza Rp=(R2+R3)//R4 come in figura R1
c). La corrente di maglia è data quindi dalla formula
R  R3   R4
R R
f
dove R p  s 4 = 2
 4kda cuiI=1.67mA
Rs  R4 R2  R3  R4
R1  R p
La differenza di potenziale fra i punti A e B vale per la legge di Ohm
V A  VB  I  R p  6.67V
I
R4
R3
(a)
B
A
+
f
R4
Rs
R1
V A  VB
 0.833 mA
Rs
V  VB
mentre la corrente che transita in R4 è I 4  A
 0.833 mA
R4
Le potenze dissipate infine vengono calcolate dalle relazioni:
A
R2
(b)
B
Da cui la corrente che transita in R2 ed R3 è I 23 
A
+
f
Rp
I
R1
B
 PR 2  I  R2  2.78mW

 PR 3  I  R3  2.78mW
 P  I  R  5.56mW
4
 R4
2
23
2
23
2
4
2. SCARICA DEL CONDENSATORE
Il condensatore si scarica sulle tre resistenze che vengono viste come una
unica resistenza equivalente in serie Req  R  Ru  R  2 R  Ru = 50kcon
R
A
un tempo di scarica   Req C  50ms
La carica nel condensatore segue la legge di scarica qt   Qo exp t 
mentre l’energia immagazzinata dopo t scende con legge
q 2 t  Qo2
el
U t  

exp 2 t    U oel exp 2 t  
2C
2C
(c)
+++++
Ru
-------
R
L’abbassamento di energia nel condensatore dopo un tempo t è dovuto all’energia dissipata dalle 3
resistenze E j  U el 0   U el t   U oel 1  exp 2 t   
Nel caso di scarica completa (t→∞) Ej=Uo=10kJ, ma nel caso di scarica parziale (t=10s) Ej=4J
 Ru  3
  E j
Sulla resistenza Ru viene dissipata una frazione di energia E Ru  E j 

2
R
R
 u
 5
Nel caso di scarica completa (t→∞) ERu=6kJ, ma nel caso di scarica parziale (t=10s) ERu=2.4J
B
Dalla calorimetria E Ru  c H 2O M T f  Ti  da cui T f  Ti  E Ru c H 2O M
ove si assume per il calore specifico dell’acqua cH2O=4187 J/Kg °C
Nel caso di scarica completa Tf=37.16 °C, nel caso di scarica parziale (t=10s) Tf=30.003 °C
3. Processo di scarica di un condensatore
La differenza di potenziale ai capi del condensatore vale V A  VB 
q
 iR
C
dove la corrente di scarica causa una diminuzione della carica del condensatore i  
L’equazione differenziale risultante è quindi
con soluzione qt   q o exp t RC 
La corrente nel circuito è quindi
i t  
dq
q

0
dt RC
A
+ q(t)
C
R
i(t)
qt  q o exp t RC 

RC
RC
La potenza dissipata per effetto Joule sul resistore è PJ t   i 2 t R 
dq
dt
t=0
B
2
o
q
exp 2 t RC 
RC 2
t
q o2
1  exp 2 t RC 
che integrata dà luogo all’energia dissipata E j   Pj t dt 
2C
0
(Allo stesso risultato si giunge rilevando che il processo di dissipazione sulla resistenza causa una
diminuzione dell’energia immagazzinata nel condensatore
q 2  q 2 t  q o2
E j  U 0  U t   o

1  exp 2 t RC 
2C
2C
Invertendo l’espressione si ottiene il valore della carica iniziale
2E jC
qo 
 212.6 C
1  exp 2 t RC 
4. I condensatori sono disposti in parallelo. Il condensatore equivalente ha quindi capacità
C eq  C1  C 2  10 F.
4R  4R
=2R=2k
4R  4R
lla chiusura dell’interruttore la resistenza complessiva di maglia è Rmaglia  R||  2 R  4k
Le due resistenze in parallelo sono equivalenti alla resistenza R║=
La costante di tempo complessiva del processo di carica è   Rmaglia C eq  40ms
Il circuito equivalente è quindi costituito da una sola maglia e la tensione ai capi della capacità
segue la legge del processo di carica V c t   f 1  exp t  
La carica ai capi del condensatore C1 è quindi
Q1 t   Vc C1  fC1 1  exp t   . Per t*=3ms vale Q1 t *  5.78C
+
2R
f
T
Ceq
R||
5 Il circuito elettrico può essere scomposto in due circuiti indipendenti. Nel
A
B
D
primo circuito (a) la corrente non può scorrere a regime a causa dei
R5
C3 C4
condensatori C3, C4 che si comportano come circuiti aperti. Le due capacità f2 +
CC
in serie sono equivalenti ad una unica capacità serie C s  3 4  4F.
Rif
C3  C 4
Per la legge di Ohm il nodo D si trova allo stesso potenziale del riferimento (Rif) e quindi tutta la
forza elettromotrice f2 insiste solo sul condensatore Cs che si carica al valore
q3  q 4  q s  f 2 C s  40C (la stessa carica si trova sui condensatori in serie C3,C4)
(a)
A
Nel secondo circuito (b) a regime la corrente non scorre nei condensatori C1,
+
C2, ma solo nei due rami in parallelo AB contraddistinti da una resistenza f1
RR
parallelo R p  1 2  2k e sulla resistenza R3. La corrente erogata
R1  R2
dalla batteria vale quindi I  f 1 R p  R3   0.5 mA.
R1
C1
R2
B
Rif
La tensione ai capi del condensatore C1 o delle resistenza R3 vale VC1  VR 3  IR3  4V
da cui si ricava la carica sul condensatore C1:
q1  VC1C1  40C
Infine sul condensatore C2 insiste tutta la forza elettromotrice f1 per cui: q 2  f1C 2  30C
IR p 
V2
Facoltativo: PR 3  I R3  2mW, PR1  AB 
 0.25 mW, PR 2  PR1  0.25 mW.
R1
R1
2
2
C2
(b)
R3
R4