Ordinamento delle preferenze
Esercizio:
Un consumatore esprime le sue preferenze tramite la funzione di utilità:
u( x1 , x2 ) x1 x2
Si determini Z affinchè i panieri p1 (8,24) e p2 (16, Z ) siano, per il consumatore, indifferenti.
Soluzione
Affinchè i panieri forniscano la stessa utilità, e quindi siano ritenuti indifferenti dal consumatore,
occorre che sussista l’eguaglianza:
u w1 ( x1 , x 2 ) u w2 ( x1 , x 2 )
*
Ossia, l’utilità ritraibile dal consumo del paniere p1 ( x1 , x2 ) deve eguagliare quella che si può
ottenere consumando il paniere p2 ( x1 , x2 ) .
Pertanto sostituendo nell’espressione * le combinazioni dei beni x1 e x 2 contenute nei panieri
p1 ( x1 , x2 ) e p2 ( x1 , x2 ) si avrà:
192
12
16
Quindi affinchè i panieri procurino la stessa utilità, dovranno avere le seguente composizione
8 24 16 Z Z
p1 (8,24) e p2 (16,12) .
Si può verificare che le funzioni di utilità corrispondenti ai due panieri di consumo sono,
rispettivamente:
u w1 ( x1 , x 2 ) 8 24 192 e u w2 ( x1 , x 2 ) 16 12 192
Esercizio:
le preferenze di un consumatore sono espresse dalla funzione di utilità:
u( x1 , x2 ) x1 x2
a) determinare l’insieme dei panieri che risultano indifferenti al paniere p1 (3,4) ;
b) posto che l’insieme ammissibile di scelta sia costituito dai seguenti panieri: p1 (3,4) ,
p2 (7,9) , p3 (5,6) , p 4 (2,1) , p5 (3,2) , stabilire l’ordinamento delle preferenze;
c) indicare la scelta ottimale del consumatore.
Soluzione
Il luogo geometrico dei panieri che forniscono al consumatore uguale utilità forma una curva
continua “liscia” detta curva d’indifferenza.
Per il consumatore è indifferente scegliere fra i punti della stessa curva d’indifferenza perché
l’utilità derivante dal consumo di ciascun paniere è per lui uguale, quindi egli è indifferente alla
scelta.
a) poiché l’utilità connessa al consumo del paniere p1 (3,4) è:
u( x1 , x2 ) x1 x2 3 4 12
i panieri che risultano indifferenti al paniere p1 (3,4) , perché forniscono la stessa utilità, pari a 12,
sono i seguenti:
p1 (4,3) , p2 (2,6) , p3 (6,2) , p4 (12,1) , p5 (3,4) .
b) l’ordinamento delle preferenze dipende dal valore dell’utilità ritraibile dal consumo di ciascun
paniere di beni. Quindi nella funzione di utilità u( x1 , x2 ) x1 x2 vanno inseriti i valori di x1 e x 2
pertinenti ciascun paniere. Pertanto sarà:
u1 ( x1 , x2 ) x1 x2 3 4 12
u 4 ( x1 , x2 ) x1 x2 2 1 2
u 2 ( x1 , x2 ) x1 x2 7 9 63
u 5 ( x1 , x2 ) x1 x2 3 2 6
u 3 ( x1 , x2 ) x1 x2 5 6 30
L’ordinamento delle preferenze può essere effettuato in senso crescente oppure decrescente.in senso
crescente è il seguente:
u 4 u 5 u1 u 3 u 2 .
c) la scelta ottimale di un consumatore razionale, è pari a 63 (utilità più alta) connessa al consumo
del paniere p2 (7,9) .
Curve d’indifferenza e saggio marginale di sostituzione
Esercizio:
Dalla funzione di utilità u( x1 , x2 ) 5x1 x2 , ricavare la funzione della generica curva d’indifferenza.
Soluzione
La funzione della generica curva d’indifferenza si ottiene esplicitando la funzione di utilità per x 2 ,
lasciando costante u. Ossia:
x2
u( x1 , x 2 )
5x1
Esercizio:
Data la funzione d’utilità:
u( x1 , x2 ) x1 x2 2x2
a) Ricavare la funzione della generica curva d’indifferenza;
b) Calcolare il saggio marginale di sostituzione.
Soluzione
a) Esplicitiamo la funzione utilità rispetto ad x 2
x2
u( x1 , x2 )
x1 2
b) Il saggio marginale di sostituzione (SMS) rappresenta la pendenza della curva ed è espresso
dal rapporto fra le utilità marginali dei due beni considerati (ossia x1 e x 2 ). In pratica:
uM 1
du
x2 e
dx1
uM 2
du
x1 2
dx 2
du
dx
x2
SMS 1
du
x1 2
dx 2
Il vincolo di bilancio
Esercizio:
Un consumatore dispone di un reddito R=200. Egli può acquistare quantità del bene 1 e del bene 2
aventi, rispettivamente, i prezzi p1 8 e p 2 2 .
Determinare la retta di bilancio e l’insieme delle possibilità di consumo.
Soluzione
Il vincolo di bilancio rappresenta l’ammontare massimo di reddito che il consumatore può destinare
all’acquisto di un determinato paniere di beni. Ponendo alcune restrizioni all’analisi è possibile
studiare l’andamento del vincolo di bilancio.
Si supponga allora che il consumatore possa acquistare solo due beni, il bene 1 e il bene 2, i cui
prezzi sono rispettivamente p1 e p2 . Indicando con R il reddito a disposizione, dati i prezzi dei
beni, per quanto detto in precedenza, il consumatore può acquistare una combinazione dei due beni
( x1 , x2 ) , tale che la spesa al massimo eguagli il reddito. In formula:
p1 x1 p2 x2 R
L’espressione su scritta non è altro che il vincolo di bilancio.
Nel nostro caso sostituendo i valori:
8x1 2x2 200
Esplicitando l’equazione per x 2 si raccolgono utili informazioni sul valore dell’intercetta sull’asse
delle ordinate e sull’inclinazione (coefficiente angolare) della retta stessa:
2x2 200 8x1
x2 100 4x1
*
L’inclinazione della retta di bilancio è quindi pari a (-4). Alla stessa conclusione si può pervenire
effettuando il rapporto tra i prezzi ossia:
p1
8
4
p2
2
Il segno dell’espressione precedente è negativo allora la funzione è decrescente.
L’intercetta sull’asse delle ordinate è individuata dal termine noto della * in questo caso 100,
oppure utilizzando le seguenti relazioni che rappresentano funzioni di domanda marshalliane e che
legano la quantità domandata di un bene con il proprio prezzo:
x1
m 200
25
p1
8
e
x2
m 200
100
p2
2
Per individuare l’area di scelta occorre tener presente che il vincolo di bilancio deve soddisfare la
seguente disuguaglianza:
8x1 2x2 200
quindi, le possibilità di consumo sono tutte le combinazioni dei due beni (panieri di consumo)
rientranti nell’area sottostante la retta di bilancio(frontiera della produzione) o al limite sui punti che
costituiscono tale retta.
Scelta ottima
Esercizio:
determinare la scelta ottima del consumatore data la funzione di utilità:
u( x1 , x2 ) x1 x2
dove x1 e x 2 sono rispettivamente la quantità del bene 1 e del bene 2 acquistate dal consumatore.
Si supponga, inoltre, che il reddito sia R=5, il prezzo del bene 1 sia p1 2 e del bene 2 sia p2 3.
Soluzione
Sia la funzione di utilità:
u( x1 , x2 ) x1 x2
Il vincolo di bilancio sia:
2x1 3x2 5
Esplicitando il vincolo di bilancio rispetto ad x 2 , ossia:
5 2 x1
(**)
3
si avrà, pertanto:
x2
il valore trovato va inserito nella funzione di utilità;
u x1 (
5 2 x1
5 x 2 x12
) 1
3
3
Calcoliamo la derivata della funzione di utilità,la poniamo uguale a zero e si ottiene il valore di
x1 ovvero l’espressione:
du 5 2 2 x1 5 4 x1
5
0 x1 1.25
dx1
3
3
4
Questo valore va sostituito nella (**) cioè si ha che x 2
5
0.83
6
Per verificare se i valori appena trovati costituiscono punti di massimo o minimo occorre calcolare
la derivata seconda della funzione di utilità e verificare il segno (condizione del secondo ordine):
d 2u
dx1
2
4
0
3
Poiché il segno della derivata è negativo, si può concludere che A(1.25;0.83) rappresenta il punto di
massimo vincolato, pertanto viene anche detto paniere ottimo o scelta ottima del consumatore.
Elasticità della domanda
Esercizio :
Data la funzione di domanda di un bene
q 5000 10 p
Calcolare il valore dell’elasticità di domanda quando il prezzo varia da p=150 a p’=200, esporre
graficamente il risultato.
Soluzione
Il valore dell’elasticità è espresso dalla relazione
p dq
eP
q dp
Calcoliamo la derivata della funzione di domanda, la
dq
10
dp
Pertanto il valore di e P sarà:
eP
150
1500
(10)
0,42
5000 10(150)
3500
Essendo il valore dell’elasticità compreso nell’intervallo 0 e P 1 la domanda rimane anelastica
nonostante la variazione del prezzo, il che fa supporre che il bene di cui si tratta abbia pochi
sostituti.
Si osservi inoltre che il coefficiente di elasticità dipende solo da p e non da p’.
In alternativa l’elasticità, nel caso di funzione i domanda lineare, può essere calcolata nel modo
seguente:
q'q
q
q'q
p
p q'q
eP
p' p
q
p' p q p' p
p
e, per sostituzione, si avrà:
eP
5000 10(200) 5000 10(150) 0,42
150
5000 10(150)
200 150
Per rappresentare graficamente la funzione di domanda conviene calcolare le intercette con gli assi
cartesiani.
Ossia
q 5000 10 p
q 5000
p 0
q 5000 10 p
p 500
q 0
a
a
e q corrispondono ad un valore e P 1 . Infatti la funzione di domanda
2b
2
linearmente corrispondono ad un valore e P 1 . Infatti la funzione di domanda lineare può essere
I valori di p
scritta come:
q a bp
Il valore dell’elasticità è pari a:
b
essendo e P 1 si avrà
p
b
pb
a
1 p
1
a bp pb a 2bp p
a bp
a bp
2b
eP p
q a (b
che sostituito nella rende
a
a
)q
2b
2
Relazione fra ricavo ed elasticità della domanda
Esercizio:
Il ricavo totale di un impresa monopolistica è espresso dalla relazione:
R 12q 2q 2
Calcolare l’elasticità della domanda e D rispetto al prezzo in corrispondenza del ricavo marginale
RMA 4 .
Soluzione
Possiamo scrivere la relazione
R pq p
R 12q 2q 2 2q(6 q)
12 2q
q
q
q
Poiché RMA
dR
12 4q ed essendo RMA 4 , si potrà scrivere:
dq
4 12 4q q 2 che sostituendo sopra si ha che p 12 4 8 .
Per calcolare il valore di e D in corrispondenza del ricavo marginale RMA 4 utilizziamo la
1
relazione RMA p (1 ) ed inserendo i valori numerici si avrà:
eD
4 8(1
e 1
1
) 4 8( D ) 4eD 8eD 8 eD 2.
eD
eD
Esercizi sull’elasticità della domanda rispetto al prezzo
o Esercizio 1
Data la funzione di domanda
q 650 5 p p 2 ,
calcolare il valore dell’elasticità in corrispondenza del prezzo p 10 .
Svolgimento
Per quanto sappiamo, il valore dell’elasticità si può esprimere con la seguente relazione:
eD
dq p
.
dp q
Calcoliamo la derivata della funzione di domanda rispetto al prezzo. Si ha:
dq
5 2 p .
dp
Calcoliamo la funzione di domanda per un prezzo p 10 ; sostituiamo allora tale valore del prezzo
nell’equazione della funzione di domanda:
q 650 5 10 10 2 650 50 100 500.
A questo punto sostituiamo il valore di q trovato e il valore della derivata nell’espressione
dell’elasticità:
e D 5 2 10
10
0.5 .
500
Essendo eD 0.5 1 la domanda sarà anelastica.
o Esercizio 2
Noti i seguenti valori:
q5
p 10
eD 7
scrivere la funzione di domanda diretta.
Svolgimento
In base ai dati possiamo impostare il sistema di due equazioni in due incognite per il calcolo dei
parametri della funzione:
q a bp
.
p
e
b
D
q
Sostituendo i valori noti nel sistema otteniamo i valori del parametro b e del parametro a :
5 a b 10
10
7 b 5
da cui:
5 a b 10
7
b 2 3.5
5 a 3.5 10
5 35 a a 40.
La funzione di domanda nella forma generale è:
q a bp .
In base ai parametri ottenuti si può scrivere:
q 40 3.5 p .
o Esercizio 3 (Interpolazione della curva di domanda)
Si ipotizzi che la funzione di domanda di un certo bene sia lineare. Si è osservato che in
corrispondenza di un prezzo pari a 5 la quantità domandata è pari a 30. Inoltre si stima che
l’elasticità puntuale in corrispondenza di tale punto della curva di domanda sia pari al 40%.
Si determini l’equazione della curva di domanda di tale bene.
Svolgimento
L’equazione della curva di domanda è:
q a bp
dove a e b sono i parametri incogniti che dobbiamo determinare.
Il parametro b, cioè l’opposto della pendenza della curva, può essere ricavato dall’informazione che
abbiamo sull’elasticità. In particolare, sappiamo che l’elasticità della domanda è pari in valore
assoluto a 0.4, quindi sostituiamo questo valore e quelli di p e q dati nella formula dell’elasticità
(poiché si tratta di una funzione lineare, la sua pendenza sarà costante):
eD
dq p
0.4
dp q
b
5
0.4 .
30
Da cui si ottiene b 2.4 . Ora sostituiamo il valore di b, insieme a quelli di p e q, nell’equazione
della curva di domanda:
30 a 2.4 5
dalla quale si ottiene a 42 .
Una volta determinati i valori di entrambi i parametri a e b, possiamo quindi scrivere l’equazione
della curva di domanda come:
q 42 2.4 p.
o Esercizio 4
Data la seguente funzione di domanda inversa
p 12 0.3q
stabilire per quali valori di p la domanda è elastica e anelastica.
Svolgimento
Conviene esplicitare la funzione di domanda rispetto a q in modo da ottenere la funzione di
domanda diretta
0.3q 12 p
q 40 3.33 p.
Esprimiamo l’elasticità della domanda servendoci della relazione:
eD b
p
;
q
ipotizzando unitaria l’elasticità della funzione di domanda questa relazione diventa:
12 0.3q
1 3.33
q
da cui
q 39.96 0.99q;
q 0.99q 39.96;
q
39.96
20 (quantità domandata in corrispond enza dell' elasticità e D 1).
1.99
Questo valore di q , inserito nella funzione di domanda inversa rende il valore di p :
p 12 0.3 20 6.
Si può verificare che, per p 6 la domanda è anelastica perché rende 0 eD 1 ; al contrario, per
p 6 la domanda è elastica perché 1 eD .
Rappresentiamo graficamente la funzione di domanda diretta:
si ha:
q 40 3.33 p
q 40 (intercett a sull' asse delle ascisse)
p 0
q 40 3.33 p
q 0
0 40 3.33 p
q 0
3.33 p 40
40
p
12 (intercett a sull' asse delle ordinate)
3.33
q 0
Dal grafico risulta evidente che a valori di p 6 corrisponde una domanda anelastica e per valori
di p 6 corrisponde una domanda elastica.
o Esercizio 5
Data la funzione di domanda di un bene
q 5000 10 p
b) calcolare il valore dell’elasticità di domanda quando il prezzo varia da p 150 a
p' 200 ;
b) esporre graficamente il risultato.
Svolgimento
a) Il valore dell’elasticità è espresso dalla relazione
eD
dq p
.
dp q
Calcoliamo la derivata della funzione di domanda:
dq
10 .
dp
Pertanto il valore di eD sarà
eD 10
150
1500
0.42 .
5000 10150 3500
Essendo il valore dell’elasticità compreso nell’intervallo 0 eD 1 , la domanda rimane
anelastica nonostante la variazione del prezzo, il che fa supporre che il bene di cui si tratta
abbia pochi sostituti.
Si osservi, inoltre, che il coefficiente di elasticità dipende solo da p e non da p ' .
In alternativa l’elasticità, nel caso di funzione di domanda lineare, può essere calcolata nel
modo seguente:
q'q
q'q
p
p q'q
q
eD
p' p
q
p' p q p' p
p
e, per sostituzione, si avrà:
eD
5000 10 200 5000 10 150 ;
150
5000 10 150
200 150
eD
eD
5000 2000 5000 1500 ;
150
5000 1500
50
33000 3500 3 500 1500
0.42 .
3500
3500
3500
b) Per rappresentare graficamente la funzione di domanda conviene calcolare le intercette con
gli assi cartesiani.
Ossia
q 5000 10 p
q 5000
p 0
q 5000 10 p
q 0
0 5000 10 p
q 0
10 p 5000
5000
p
500.
10
q 0
a
a
e q
corrispondono ad un valore eD 1 . Infatti la funzione di
2b
2
domanda lineare può essere scritta come:
I valori di p
q a bp .
Il valore dell’elasticità è pari a:
eD p
ed essendo eD 1 si avrà
b
;
1 p
a bp
pb
;
1
a bp
a bp pb ;
a bp bp ;
a
a 2bp p
2b
che sostituito nell’equazione generale rende
a
q a b ;
2b
a
qa ;
2
2q 2a a ;
a
2q a q .
2
b
q
o Esercizio 6 Elasticità, metodo geometrico
Il mercato di un determinato bene è caratterizzato dalle seguenti funzioni (inverse) di domanda e di
offerta:
1
p 30 q D
2
1 D
p 10 q .
10
Determinare l’equilibrio di mercato e l’elasticità della domanda rispetto al prezzo nel punto di
equilibrio individuato.
Svolgimento
L’equilibrio di mercato si ottiene uguagliando la domanda e l’offerta del mercato del bene,
60 2 p 100 10 p ,
40
per cui il prezzo di equilibrio risulta p*
. Sostituendo questo valore nella funzione di domanda
3
100
o di offerta si ottiene che q*
. (Osserviamo che medesimi risultati si ottengono direttamente
3
dalle funzioni di domanda e di offerta inverse).
L’elasticità della domanda rispetto al prezzo e D è il rapporto tra la variazione relativa della
quantità domandata e la variazione relativa del prezzo. Nel punto di equilibrio essa diventa, in
simboli:
q D p *
.
eD
p q *
Per calcolare eD utilizziamo il metodo geometrico:
eD
GB AF EB 4
AG FC EC 5
Esercizi sull’elasticità della domanda rispetto al reddito
o Esercizio 1
Le seguenti funzioni di domanda si riferiscono a due beni A e B:
qA
30
;
pa
qB
60
.
pb
Calcolare:
a) l’elasticità della domanda rispetto al prezzo per ciascun bene;
b) l’elasticità della domanda rispetto al reddito delle seguenti funzioni:
q A 0.16 Ra
e q B 0.70 Rb .
Svolgimento
a) Per calcolare l’elasticità della domanda del bene A rispetto al prezzo si consideri la
relazione:
eDA
dq A pa
.
dpa q A
Calcoliamo la derivata prima della funzione q A
30
. Si ha:
pa
dq A
30
2 .
dp a
pa
Sostituendo nella relazione dell’elasticità le espressioni di q A e della sua derivata, si avrà:
e DA
30 p a 30 p a
2
1
p a 30 p a 30
pa
ovvero eDA 1 .
Lo stesso procedimento si seguirà per il bene B:
eDB
dq B pb
.
dpb q B
Calcoliamo la derivata prima della funzione q B
60
:
pb
dq B
60
2 .
dpb
pb
Sostituendo i valori trovati:
e DB
60 pb 60 pb
2
1
pb 60 pb 60
pb
cioè eDB 1 .
Essendo eDB 1 vorrà che ad una variazione percentuale del prezzo corrisponde una pari,
ma opposta, variazione percentuale della quantità domandata. Quando ciò avviene, la
funzione di domanda del bene è detta isoelastica.
b) L’elasticità della domanda del bene A rispetto al reddito è espressa dalla relazione:
dq A Ra
,
dRa q A
eRa
pertanto sarà
eRa 0.16
Ra
.
qA
Sostituendo in questa relazione il valore della funzione di domanda, si ottiene:
eRa 0.16
Ra
0.16Ra
1 .
0.16Ra 0.16Ra
In modo analogo si calcolerà l’elasticità per il bene B:
eRb
dq B Rb
;
dRb q B
eRb 0.70
Rb
qB
eRb 0.70
Rb
1.
0.70Rb
ed effettuando la consueta sostituzione si ottiene:
o Esercizio 2
Data la funzione di domanda:
q 2000 5 p1 2 p2 0.02R
posto
p1 300
p2 250
R 5000
q 1100
calcolare i valori di elasticità rispetto:
a) al prezzo del primo bene;
b) al prezzo del secondo bene (elasticità incrociata);
c) rispetto al reddito.
Svolgimento
a) e D1
dq p
300
5
1.36 1.36 ;
dp1 q
1100
b) eD 2
dq p2
250
2
0.45 .
dp1 q
1100
Poiché il valore dell’elasticità è risultato positivo, i due beni sono succedanei.
c) eR
dq R
5000
0.02
0.09 .
dR q
1100
Esercizi sull’elasticità dell’offerta rispetto al prezzo
o Esercizio 1
Data la funzione di offerta di un prodotto:
q 15 3 p
a) calcolare il valore dell’elasticità;
b) calcolare il valore dell’elasticità se q 42 .
Svolgimento
a) L’elasticità viene calcolata adoperando la relazione
eO
dq p
.
dp q
Poiché
dq
3 allora possiamo scrivere
dp
eO 3
p
q
e, sostituendo in quest’ultima l’espressione della funzione di offerta, avremo:
eO 3
Poiché 0
p
p
15 3 p 5 p
(con p 0 ).
p
1 sarà 0 eO 1 .
5 p
b) Sostituendo q 42 nella funzione di offerta si avrà
42 15 3 p ;
42 15 3 p ;
27 3 p p 9
valore che, sostituito in eO 3
p
darà:
q
eO 3
9 27
0.64 .
42 42
o Esercizio 2 (Elasticità)
In un determinato mercato, la domanda e l’offerta inverse sono rappresentate rispettivamente dalle
funzioni:
qD
p 80
30
p
qS
5.
20
a) Determinare l’equilibrio di mercato;
b) calcolare l’elasticità della domanda e dell’offerta rispetto al prezzo nel punto di equilibrio;
c) calcolare l’elasticità della domanda rispetto al prezzo in corrispondenza del punto in cui il
prezzo è pari a 30;
d) determinare le coordinate del punto in cui l’elasticità della domanda è pari a 1 (in valore
assoluto).
Svolgimento
a) Per determinare la quantità scambiata sul mercato in equilibrio, uguagliamo le curve di
domanda e di offerta inverse:
80
q
q
5.
30 20
Otteniamo quindi q* 900 e, per sostituzione, p* 50 .
b) Ricordiamo che l’elasticità della quantità domandata rispetto al prezzo è data dalla formula:
eD
dq D p
,
dp q D
dq D
indica la derivata della quantità rispetto al prezzo, cioè la pendenza della curva di
dp
domanda (diretta).
dq D
Poiché la curva di domanda in oggetto è lineare, cioè ha pendenza costante, la derivata
dp
è costante. La pendenza della curva di domanda inversa è:
dp
1
.
D
30
dq
dove
dq D
30 ( alternativamente,
dp
si può ricavare la curva di domanda diretta, che è pari a q D 2400 30 p da cui si vede
immediatamente che la derivata rispetto a p è pari a –30 ).
Quindi la pendenza della curva di domanda diretta è pari a
Il valore dell’elasticità della domanda rispetto al prezzo nel punto di equilibrio è quindi:
e D p* 50, q* 900 30
50
5
1.6 .
900
3
Procediamo allo stesso modo per determinare l’elasticità della quantità offerta rispetto al
prezzo
nel punto di equilibrio. La pendenza della curva di offerta
dp
dq O
1
20 .
inversa è pari a
,
quindi
la
pendenza
della
curva
di
offerta
diretta
è
dp
dq O 20
L’elasticità della curva di offerta nel punto di equilibrio è quindi:
eO p* 50, q* 900 20
50 10
1.1 .
900 9
c) Per calcolare l’elasticità della domanda nel punto in cui il prezzo è pari a 30, dobbiamo
innanzitutto determinare la quantità corrispondente a tale prezzo sulla curva di domanda.
Sostituendo p 30 nell’equazione della curva di domanda diretta:
q D 30 2400 30 30 1500 .
Quindi l’elasticità in tale punto è:
e D p 30, q D 1500 30
30
3
0.6 .
1500
5
d) Per determinare le coordinate del punto in cui l’elasticità della domanda è pari a –1
imponiamo
appunto che l’elasticità assuma tale valore (sappiamo già dal punto a) che la
pendenza della curva di domanda è costante e pari a –30):
p
30 D 1
q
da cui q D 30 p . Sostituendo questa espressione nella curva di domanda diretta otteniamo:
30 p 2400 30 p ,
da cui p 40 e per sostituzione q D 1200 . Abbiamo quindi determinato le coordinate della
curva di domanda in cui l’elasticità rispetto al prezzo è unitaria (in valore assoluto).
Al fine di vedere come varia l’elasticità puntuale lungo la curva di domanda, può essere utile
rappresentare graficamente la curva di domanda e associare i valori dell’elasticità che
abbiamo determinato ai vari punti della curva a cui corrispondono.
Dalla figura possiamo notare che l’elasticità è più elevata (in valore assoluto) nella parte alta
della curva di domanda (fino ad arrivare a nell’intersezione con l’asse verticale), e
decresce progressivamente man mano che ci si muove verso il basso lungo la curva di
domanda (fino ad arrivare a zero nell’intersezione con l’asse orizzontale). Si noti che in
presenza di una funzione lineare il punto di elasticità unitaria è esattamente il punto medio
della porzione della curva di domanda che giace nel quadrante positivo.
o Esercizio 3 (Funzioni non lineari)
Si consideri un mercato in cui la domanda e l’offerta sono rappresentate dalle seguenti funzioni:
qD
40
,
p
q O 10
10
.
p
a) Si determini l’equilibrio di mercato;
b) si calcolino l’elasticità della domanda e dell’offerta rispetto al prezzo nel punto di
equilibrio.
Svolgimento
a) Determiniamo innanzitutto la configurazione di equilibrio:
10 40
.
p
p
Da cui si ottiene p* 5 e quindi q* 8 .
10
b) Ricordiamo che l’elasticità della quantità domandata rispetto al prezzo è data dalla formula:
dq D p
.
eD
dp q D
Calcoliamo quindi la pendenza della curva di domanda:
dq D
40
2 .
dp
p
Si noti che, poiché la funzione di domanda non è lineare, la pendenza non è costante lungo
la
curva.
Quindi l’elasticità della domanda nel punto di equilibrio è pari a:
e D p* 5, q* 8
40 p *
40
1 .
2
58
p* q*
L’elasticità della quantità offerta rispetto al prezzo è invece:
dq O p
.
eO
dp q O
Calcoliamo quindi la pendenza della curva di offerta:
dq O 10
2 .
dp
p
Come la funzione di domanda, anche la funzione di offerta non è lineare, quindi la pendenza
non è costante lungo la curva.
Quindi l’elasticità dell’offerta nel punto di equilibrio è pari a:
eO p* 5, q* 8
10 p * 10 1
.
p *2 q * 5 8 4
Esercizio sull’elasticità incrociata
o Esercizio 1
Per due beni, che indichiamo con A e B, si sono verificate le seguenti variazioni di prezzo e
quantità:
Bene A
p a 20
p a' 10
Bene B
q A 40
pb 35
q A' 50
p b' 60
q B 50
q B' 20
Calcolare l’elasticità incrociata.
Svolgimento
L’elasticità incrociata permette di misurare quanto varia la quantità domandata del A al variare del
prezzo del bene B:
e AB
q A
qA
pb
.
pb
Sostituendo i valori numerici si avrà:
e AB
10 25
0.35 .
40 35
Poiché e AB 0 i beni sono succedanei.
Equilibrio di mercato
Esercizio:
Data la funzione di domanda:
qD
1000
p
e la funzione di offerta:
q o 40 2 p
Determinare il prezzo d’equilibrio.
Soluzione
Il modello matematico che esprime l’equilibrio è:
D 1000
q p
o
q 40 2 p
q D q o
Risolvendo si avrà:
1000
40 2 p 1000 40 p 2 p 2 2 p 2 40 p 1000 0
p
Trovando le radici si avrà:
p
b
p1 34.49 e p1 14.49
2a
Pertanto, il prezzo di equilibrio sarà p1 34.49 .
Il mercato di monopolio e concorrenza monopolistica
Esercizio:
La funzione q 40 p esprime la domanda di mercato.
La funzione di costo del monopolista è: C 4q .
Determinare:
a) la quantità offerta;
b) il prezzo di mercato;
c) il profitto del monopolista.
Soluzione
Conviene trasformare la funzione di domanda diretta,nella funzione di domanda inversa, per cui,
sarà:
p 40 q
La condizione di equilibrio in un mercato monopolistico è espressa dall’uguaglianza fra costo
marginale e ricavo marginale:
CMA RMA
Il costo marginale non è altro che la derivata prima della funzione di costo totale, quindi:
dC
4
dq
Il ricavo marginale è la derivata prima della funzione del ricavo totale:
CMA
R pq (40 q)q 40q q 2
la cui derivata è:
RMA
dR
40 2q
dq
Pertanto la condizione di equilibrio del mercato sarà:
CMA RMA
cioè:
4 40 2q q 18
Oligopolio collusivo
Esercizio:
Un duopolio alla Cournot esprime la funzione inversa di domanda p 400 0,10Q , C A 10q A
rappresenta la funzione di costo totale dell’impresa A, C B 0.8q B2 rappresenta la funzione di costo
totale dell’impresa B.
Determinare il livello di produzione totale, il prezzo di mercato ed il livello di produzione di
ciascuna impresa nel caso di collusione.
Soluzione
Calcoliamo il ricavo totale:
RT p Q (400 0,10Q)Q 400Q 0,10Q 2 .
Calcoliamo il ricavo marginale:
dR
RT M T 400 0,20Q
dQ
Calcoliamo il costo marginale per il l’impresa A e per l’impresa B
CMA
dC A
10
dq A
CMB
dC B
1,6q B
dq B
Poniamo a sistema le condizioni di equilibrio per ciascuna impresa
10 400 0,20(q A q B )
1,6q 400 0,20(q q )
B
A
B
*
q B 6,25
*
q A 1934,75
Il prezzo di equilibrio si otterrà inserendo i valori di q *A e q B* nella funzione di domanda inversa di
mercato:
p 400 0,10(1934,75 6,25) p 400 195 205
Calcoliamo il profitto dell’impresa A
PA RA C A pq A 10q A 205(1934,75) 10(1934,75) 379031
Calcoliamo il profitto dell’impresa B
PB R B C B pq B 10q B 205(6,25) 0,8(6,25) 2 1250
2
I profitti realizzati dall’industria sono:
P PA PB 379031 1250 380281
Da un confronto tra l’equilibrio collusivo e l’equilibrio di Cournot emerge che il livello di
produzione totale nell’equilibrio collusivo è minore di quello conseguibile nell’equilibrio di
Cournot ed il livello del prezzo è maggiore di quello che si consegue nell’equilibrio di Cournot.
I profitti totali nell’equilibrio collusivo sono maggiori di quelli che si verificano nell’equilibrio di
Cournot.
Le imprese oligopolistiche, fissando quantità e prezzo, si comportano come un’unica impresa
monopolistica.
Tuttavia ogni impresa troverà conveniente derivare dall’accordo, aumentando la propria quota di
mercato e danneggiando i concorrenti.
Esercizio 1:
Nel paese della CUCCAGNA l’Azienda “Fattitua” realizza i prodotti a e b con le seguenti
limitazioni e condizioni:
Per ogni unità di prodotto b vengono sempre impiegati 2 unità del prodotto a.
La produzione massima mensile del prodotto a è fissata in 2000 unità mentre la produzione
massima mensile del prodotto b è fissata in 1000 unità.
b è prodotto in regime di concorrenza con una produzione mensile dei concorrenti pari 100
unità, mentre a è prodotto in regime di monopolio.
per determinare la legge di domanda dei prodotti a e b è stata sviluppata una indagine
statistica che ha fornito le seguenti leggi di domanda:
1
p a (
)a 10
1000
1
p b (
)b 80
2000
I costi fissi mensili della linea di produzione di a sono pari a 600 u.m./mese mentre i costi
dei fattori produttivi di a sono pari a 2 u.m. per ogni unità prodotta;
I costi fissi mensili della linea di produzione di b sono pari a 900 u.m./mese mentre i costi
dei fattori produttivi di b sono pari a 40 u.m. per ogni unità prodotta oltre, naturalmente, i
costi dei semilavorati utilizzati nel ciclo di produzione;
I costi generali annuali di amministrazione sono pari a 6000 u.m./anno che vanno ripartiti
sulle due linee di produzione sulla base del seguente criterio: 20% per la linea a e il resto per
la linea b.
DETERMINARE:
1. Rappresentare, nello spazio sottostante, sia graficamente che analiticamente il dominio D
della produzione, cioè riportare le coordinate dei vertici e le equazioni dei segmenti
costituenti la frontiera.
2. Determinare la funzione complessiva dei costi.
3. Determinare le funzioni dei ricavi e del profitto complessivo.
4. Determinare i massimi relativi della funzione profitto su tutto 2 ,all’interno del dominio D
(se esistono), e i punti critici sulla frontiera (lati e vertici) del dominio D.
5. Determinare il punto di massimo assoluto teorico in D ed il massimo profitto assoluto
teorico in D.
6. Determinare il punto di massimo assoluto raggiungibile in D ed il relativo massimo profitto
realizzabile in D.
Soluzione
1. Possiamo calcolare l’equazione della frontiera che passa per i due punti (a1 , b1 ) (2000,0) e
(a2 , b2 ) (0,1000) . Cioè:
b b1
a a1
b0
a 2000
1
1
b (a 2000) b a 1000
b2 b1 a 2 a1
1000 0 0 2000
2
2
Per trovare le coordinate del punto di intersezione tra l’equazione della retta di bilancio e
1
l’equazione della bisettrice b a :
2
1
b 2 a 1000
a 1000
1
1
a 1000 a
2
2
b 500
b 1 a
2
Allora il punto di intersezione è A (1000,500) .
Oltre all’equazione della retta di bilancio esistono l’equazioni dei segmenti che costituiscono la
frontiera e sono:
0 a 2000
1 :
b 0
1000 a 2000
2 :
1
b 2 a 1000
0 a 1000
3 : 1
b 2 a
Vediamo graficamente:
2) Calcoliamo la funzione complessiva dei costi, definita come la somma tra i costi totali della
linea a, e i costi totali della linea b che contengono anche i costi trasferiti di un prodotto dalla
C (a )
linea a alla linea b, e si tratta del costo medio di produzione definito come CMA
.
a
C (a) C F CV 700 2a
C (b) C F CV CMA b 1300 40b 2(
700 2a
)b
a
C (a, b) C (a) C (b) 2000 2a 40b 2(
700 2a
)b
a
3) Per calcolare la funzione dei ricavi si calcolano separatamente i ricavi della linea a e della linea
b:
R(a) (a 2b) p a (a 2b) CMA b
1
a 2b 10 2 700 2a b
a
1000
a 2b
1
1 2
1
700 2a
a2
b 10a 20b
ab 2
b
1000
250
250
a
1
100 b 80 1 b 2 1599 b
R(b) bp b b bp b 100 b b
2000
20
2000
Allora il profitto complessivo è:
P(a, b) R(a) R(b) C (a, b)
1
1 2
1
1
1599
700 2a
a2
b 10a 20b
ab 2
b2
b
b
1000
250
250
a
2000
20
700 2a
2000 2a 40b 2(
)b
a
1
9
399
1
a2
b 2 8a
b
ab 2000
1000
2000
20
250
4) Cerchiamo ora la coppia ( a , b ) che massimizza il profitto che esiste perché la funzione del
profitto è un polinomio ed è una funzione continua.
Per avere un massimo facciamo la derivata prima della funzione profitto:
1
1
dP
da 500 a 8 250 b 0
aggiungo al doppio della prima la seconda
dP
9
399
1
b
a0
1000
20 250
db
2
9
399
1
1
399
1
250 a 16 250 b 1000 b 20 250 a 0 1000 b 20 16
9
399
1
9
399
1
b
a0
b
a0
20 250
20 250
1000
1000
b 35950
a 75900
Abbiamo trovato quindi il punto B (75900,35950) che rappresenta un punto di massimo o
minimo relativo dove si annullano le derivate parziali chiamato punto critico.
Per vedere se tale punto si trova all’interno dell’area di produzione o meno dobbiamo verificare se
soddisfa l’equazione (a 2b) poiché se
(a 2b) 0 Il punto è all’esterno dell’area di produzione
(a 2b) 0 Il punto di trova sulla retta di bilancio
(a 2b) 0 Il punto si trova all’interno dell’area di produzione
Sostituendo si ha:
(75900 2 35950) 4000 0 Il punto è all’esterno dell’area di produzione
Adesso dobbiamo verificare che sia un punto di massimo quindi calcoliamo il determinante
dell’Hessiano:
P 1
2 P
2 ab 500
det( H (a, b)) a
2
P P 1
ab b 2 250
1
1 9
1
250
0
9 500 1000 62500
1000
Essendo il determinante diverso da zero, in particolare maggiore di zero, e poiché le derivate
2P
2P
seconde
e
sono minori di zero, allora il punto risulta essere un punto di massimo
a 2
b 2
relativo.
Avendo già visto che all’interno dell’area di produzione non esistono punti di massimo, andiamo a
calcolarli lungo la frontiera, ovvero lungo i segmenti 1 , 2 , 3 .
lungo 1
0 a 2000
b 0
1 :
Sostituisco b 0 nell’equazione del profitto ottenendo:
P(a,0)
1
a 2 8a 2000
1000
Adesso cerchiamo gli eventuali punti di massimo e di minimo, calcoliamo cioè la derivata
prima:
P ' (a,0)
1
a 8 0 a 4000 che D
500
Calcoliamo la derivata seconda P' ' (a,0)
1
0 , allora il punto (4000,0) è un punto di
500
massimo relativo fuori dal dominio.
lungo 2
1000 a 2000
2 :
1
b 2 a 1000
1
Sostituisco b a 1000 nell’equazione del profitto ottenendo:
2
1
33 2 261
P(a, a 1000)
a
a 13450
2
8000
40
Adesso cerchiamo gli eventuali punti di massimo e di minimo, calcoliamo cioè la derivata
prima:
1
33
261
26100
P ' (a, a 1000)
a
0a
790.91 che D
2
4000
40
33
1
33
P' ' (a, a 1000)
0 , allora il punto
2
4000
(790.91,604.55) è un punto di massimo relativo fuori dal dominio.
Calcoliamo la derivata seconda
lungo 3
0 a 1000
3 : 1
b 2 a
Sostituisco b
1
a nell’equazione del profitto ottenendo:
2
1
1
719
P ( a, a )
a2
a 2000
2
8000
40
Adesso cerchiamo gli eventuali punti di massimo e di minimo, calcoliamo cioè la derivata
prima:
1
1
719
P ' ( a, a )
a
0 a 71900 che D
2
4000
40
1
1
0 , allora il punto (71900,35950) è
Calcoliamo la derivata seconda P' ' (a, a)
2
4000
un punto di massimo relativo fuori dal dominio.
5) Resta quindi da valutare il profitto nei vertici della frontiera rappresentati dai punti
(0,0), (2000,0), (1000,500)
quindi
P(0,0) 2000
P(2000,0) 10000
P(1000,500) 15850
quindi si può notare che il massimo profitto si ha nel punto (1000,500) che rappresenta il punto di
massimo assoluto su D.
6) In questo caso il massimo assoluto raggiungibile ed il massimo assoluto teorico coincidono nel
punto (1000,500) .
Esercizio
L’azienda AREAL produce un bene A impiegando i due fattori produttivi:
K = capitali
L = lavoro
La funzione di produzione è data dalla seguente legge
f ( K , L) L K 2
Il prodotto A è venduto in un mercato al cui legge di domanda, supposta lineare, soddisfa alla
seguenti condizioni:
al prezzo p1 10 la domanda è pari a 0
al prezzo p 2 0 la domanda è pari a 100
Supponiamo che i costi di produzione sono i seguenti:
Costi Fissi = 2
Costi Variabili = L 5K
DETERMINARE:
1) la domanda corrispondente al prezzo fissato in 7.5 unità di moneta e conseguentemente
l’equazione dell’isoquanto corrispondente ad una produzione pari alla domanda così
determinata.
2) Disegnare l’isoquanto di cui sopra in un riferimento cartesiano nelle variabili K ed L,
commentare la curva di isoquanto e determinare l’intervallo nella variabili K dove la
produzione risulta efficiente.
3) Determinare il valore di massimo profitto indicandone il relativo/i punto dell’isoquanto
4) Determinate i maggiori costi nel caso in cui l’azienda vuole mantenere la propria dotazione
organica fissata in 15 unità di personale
5) Determinare il massimo profitto ed il relativo punto sull’isoquanto in presenza di vincolo di
L K
1
bilancio dato dalla disequazione:
15 10
Svolgimento
Sapendo che la funzione di produzione è:
f ( K , L) L K 2
possiamo calcolare la legge di domanda che passa per i due punti ( p1 , q1 ) (10,0) e
( p2 , q2 ) (0,100) e supponendo quindi un andamento lineare calcoliamo la retta che la rappresenta:
q q1
p p1
q0
p 10
q 2 q1 p 2 p1
100 0 0 10
10q 100( p 10)
10q 100 p 1000 100 p 10q 1000
p(q)
10
1000
1
q
q 10
100
100
10
p(q)
1
q 10
10
1)Domanda corrispondenza al prezzo.
Consideriamo la legge di domanda sopra calcolata p(q)
1
q 10 esplicitandola in funzione di
10
q:
q( p) 100 10 p
Sostituendo il prezzo p 7.5 si ottiene la seguente quantità
q(7.5) 100 10(7.5) 25
È possibile adesso calcolare l’equazione dell’isoquanto rispetto a q 25 :
f
1
(25) f ( K , L) q 25 L K 2 25
L K 2 25
2)Disegnare la curva di isoquanto
Al fine di rappresentare graficamente l’isoquanto, rappresentato da una parabola, determiniamo il
vertice:
dL
2 K 0 K 0
dK
Allora
L(0) 25
Il vertice sarà quindi
V (0,25)
Calcoliamo adesso l’intersezione con l’asse delle L al fine di trovare il punto di intersezione della
curva di isoquanto con tale asse:
L K 2 25
L 25
K 0
Di conseguenza l’unico punto di intersezione sarà: A1 (0,25)
Calcoliamo adesso l’intersezione con l’asse delle K al fine di trovare il punto di intersezione della
curva di isoquanto con tale asse:
5
L K 25
K 2 25 K
L 0
2
5 NON ACCETTABILE
La soluzione K 5 non è accettabile in quanto non è possibile considerare, nella realtà, valori
negativi per i capitali.
Di conseguenza, l’unico punto di intersezione è A2 (5,0) .
Affinchè la produzione risulti efficiente, è necessario scegliere l’intervallo in cui la funzione di
isoquanto risulta decrescente. Dal grafico si evince che K [0,5] .
Tale risultato si può vedere anche analiticamente studiando il segno della derivata prima della
funzione di isoquanto:
dL
2 K 0 K 0
dK
Pertanto se
K 0 la funzione è crescente ed i costi risultano crescere, però tale risultato non viene
preso in considerazione in quanto ci si trova nel quadrante negativo degli assi cartesiani, che
in economia non è realizzabile
K 0 la funzione è decrescente e i costi diminuiscono.
3)Determinare il profitto
Al fine di determinare l’equazione del profitto che è espressa dalla differenza tra l’equazione dei
ricavi è l’equazione dei costi, andiamo a calcolarle singolarmente:
L’equazione dei ricavi:
L’equazione dei costi:
R pq (7.5)( 25) 187.5
C ( K , L) C F CV 2 L 5K
Siccome l’equazione dei costi è in funzione dei due fattori di produzione K ed L e a noi serve in
funzione della sola variabile K , mettiamo a sistema l’equazione dei costi con quella dell’isoquanto:
C ( K , L) 2 L 5K
2
L K 25
C ( K ) 2 ( K 2 25) 5K K 2 5K 27
C ( K ) K 2 5K 27
Allora ora possiamo ricavarci l’equazione del profitto:
P( K ) R C ( K ) 187.5 ( K 2 5K 27) K 2 5K 160.5
Quindi per determinare il valore in cui il profitto è massimo, dobbiamo calcolare la derivata prima
del profitto e porla uguale a zero:
dP
2K 5 0
dK
K
5
2
Per verificare se questo punto è di massimo, scopriamo il valore della derivata seconda:
d 2P
20
dK 2
K
5
è un punto di minimo
2
Invece a noi serve il punto di massimo, quindi, questo vuol dire che il massimo del profitto si trova
in uno dei punti degli estremi dell’intervallo di efficienza in cui K 0,5 , dunque valuto la
funzione del profitto:
P( K 0) 160.5
P( K 5) 160.5
Allora il massimo profitto si ottiene nei valori di K=0 e K=5 ed è uguale.
Valutiamo ora quanto valgono i costi in questi due punti:
C ( K 0) 27
C ( K 5) 27
4) Determinare i costi se L=15
Andiamo a calcolare i valori di K per cui L 15
L 15
15 K 2 25 K 2 25 15 0 K 2 10 0 K 2 10
2
L K 25
10 3.16
K
10 NON ACCETTABILE
Accettiamo, come prima, solo il valore K 3.16 in quanto è l’unico ad appartenere all’intervallo di
efficienza [0,5] .
Andiamo, quindi, a calcolare il costo in questo punto cioè K 3.16 e L 15
allora
C ( K , L) 2 15 5(3.16) 32.8 unità di moneta, se la dotazione organica è L 15
Dunque, rispetto al punto di massimo profitto in cui i costi valgono 27 unità di moneta, c’è una
perdita (o spreco) di 32.8 27 5.8 .
5) Massimo profitto in presenza del vincolo di bilancio
Avendo l’equazione del vincolo di bilancio:
L K
1
15 10
è possibile riscrivere tale equazione, esplicitandola in funzione di L
L
K
K
3
1 L 151 L 15 K
15
10
2
10
Quest’ultimo risultato rappresenta la retta del vincolo di bilancio.
Al fine di rappresentarlo graficamente calcoliamo adesso l’intersezione con l’asse delle L al fine di
trovare il punto di intersezione della retta di bilancio con tale asse:
3
L 15 K
K=0
2
L 0
Di conseguenza l’unico punto di intersezione sarà: B (10,0) .
Analogamente calcoliamo adesso l’intersezione con l’asse delle K al fine di trovare il punto di
intersezione della retta di bilancio con tale asse:
3
L 15 K
L=15
2
K 0
Di conseguenza l’unico punto di intersezione sarà: C (0,15) .
Calcoliamo ora il punto di intersezione tra il vincolo di bilancio e la curva di isoquanto:
3
L 15 K
2
L K 2 25
K 2 25 15
3
K 2 K 2 3K 20 0
2
Calcoliamo la radice di questa equazione di secondo grado 2 K 2 3K 20 0 :
4
K
b b 2 4ac 3 9 160
2a
4
2.5 NON ACCETTABILE
3
4 9.
2
Dunque si ha l’unico punto di intersezione tra il vincolo di bilancio e la curva di isoquanto è
H (4,9) .
Per il valore di K=4 L 15
Guardando il grafico,notiamo che sia il vertice V (0,25) della curva di isoquanto sia A1 (0,25)
sono sopra la retta di bilancio, quindi non li considero, quindi non considero neanche il massimo
profitto calcolato in essi, allora il massimo profitto deve essere o nel punto H (4,9) o nel punto
A2 (5,0) .
Calcoliamo:
P( A2 (5,0)) 160.5
P( H (4,9)) 156.5
Allora il massimo profitto si ha nel punto A2 (5,0) e vale 160.5 unità di moneta.
