Comunicazione Elettriche Formulario 1997-1998

Abbundo Francesco
Formulario di Comunicazioni Elettriche gen. 1997/98
P A  B 
Probabilità di A dato B
PB 
detta Ai una partizione di S
P A | B  
PB    PB  Ai    PB | Ai P Ai 
i
Teorema della probabilità totale
i
Formula di Bayes per passare dalla priorità a priori a quella a posteriori
PB | Ai P Ai 
PB | Ai P Ai 
P Ai | B  

PB 
 PB | Ai P Ai 
i
Formula di Bernoulli di k successi su n eventi
n
p n ,k    p k q n  k
k 
Funzione di distribuzione cumulativa o ripartizione di probabilità
F  x   P  x
Proprietà
1) F  x  è non decrescente 2) è continua a destra
3) F  x   lim
 0
5) F     0
x 
 f  x dx
4) 0  F  x   1

6) F     1
Probabilità di trovarsi in un intervallo a, b
Pa    b  F b   F a 
Funzione densità di probabilità
dF  x 
Proprietà
f x  
dx
b
2)  f   x dx  F b   F a 
1) f   x   0
a

3)
 f x dx  F    1

Densità normale
f x 
1
ba
a
 0
x  a
F  x   
b  a
 1
 1
x  a, b
f x    b  a
 0 altrove
b
xa
x  a, b
xb
x
Densità normale o gaussiana (usata per modellare il rumore).
f x 
f x  
1

e
 x   2
2 2
2 
1
 x    1
x
  x
F  x   1  erf 
  erfc
  Q

2
  
 2  2
 2 
erfcx  
Q x  
x
2


e
2
x
1
 x 
erfc

2
 2
d
erf  x  
2
x
e
 
2
d
0
erfcx  1  erf x
1
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Q x 
erfcx 
erf x 
Distribuzione di Laplace che modella il segnale vocale
f x 
a xa
f x   e
2
 1 ax
x0
 e
F  x    2
1
1  e ax x  0
 2
Distribuzione esponenziale che modella i guasti
e x x  0  positivo
f  x   
0
x0

Distribuzione binomiale
 =# successi in un esperimento bernoulliano di n prove
n
P  k     p k q n  k
k 

f  x    p k q nk  x  k 
k 0
Distribuzione geometrica
 =# di volte che devo eseguire un esperimento per avere successo
P  k   q k 1 p

f   x    q k 1 p  x  k 
k 0
Media o valore atteso o momento del primo ordine
E x  

 xf x dx
se continua

in generale E  g  x  
E  x    xk p  xk  se discreta
k

 g x  f  x dx

2
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Si definisce la varianza come la differenza tra il valore quadratico medio e la media quadratica
 2  E x 2   E  x 2
Funzione di distribuzione cumulativa congiunta
F  x, y   P  x,  y
Le distribuzioni marginali si ricavano come segue
F  x   F  x,
F  y   F  , y 
Densità di probabilità congiunta
 2 F  x, y 
f   x, y  
xy
se  ed  sono statisticamente indipendenti
F  x, y   F  x .F  y 
f   x, y   f   x  f  y 
TEORIA DELL’INFORMAZIONE
quantità di informazione associata al simbolo i e si misura in bit
1
I  xi   log 2
pi
Entropia di informazione
M
M
M
1
H x    I xi  pi   pi log 2
  pi log 2 pi
pi
i 1
i 1
i 1
l’uguaglianza vale solo nel caso di equiprobabilità
H x  log 2 M
Un codice è univocamente decodificabile e non viola la regola del prefisso e vale la disuguaglianza di Kraft
M
2
 ni
1
i 1
# medio di bit
M
n  E n    ni pi
i 1
n  H x se ni  log 2
1
ossia se il # di bit del simbolo i simo è proprio I  xi 
pi
TEORIA DEI SEGNALI
  1 t ,,  n t  con supporto a, b
si dice che  i t  è ortogonale a  j t  se
k se i  j 
  t  t dt   0 se i  j   k 
b
i
a
*
j
i
i
ij
1 se i  j
con  ij  
detta simbolo o delta di Kronecker
0 se i  j
se k i  1 i allora le  i t  si dicono ortronormali
Un segnale wt  ad energia finita o a potenza media finita definito su a, b si può rappresentare su a, b come
combinazione lineare dei segnali  i t  come segue
n
wt    a j  j t 
con a j 
j 1
1
kj
 wt  t dt
b
*
j
a
Considerazioni energetiche
E w   wt  dt  
b
a
2
b
a
n
2
n
 ai i t  dt   ai ki
i 1
i 1
2
ove k i   i t *j t dt
b
a
3
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Un insieme di segnali è completo se l’errore quadratico medio è nullo, in formule
2
n


   wt    a j  j t  dt  0
a
j 1


b
Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt
Si parte da un insieme generico di segnali s1 t ,, s h t  a supporto su 0, T 
Si definiscono i segnali  i t  e i segnali  i t  che sono rispettivamente i segnali ortogonali e ortonormali.
1° segnale)
 1 t   s1 t 
2° segnale)
 2 t   s2 t   s2 t 1 t  1 t 
k1   1 t 1* t dt
1 t  
T
0
k1
k 2    2 t  2* t dt
 2 t  
T
0
dove s2 t  2 t    s2 t *2 t dt
T
0
k 1
k k    k t  k* t dt
T
0
 k t  
T
0
i 1
dove sk t i t    sk t *i t dt
 2 t 
k2
è la proiezione di s2 t  su 2 t 
 k t   s k t    s k t  i t   i t 
k ° segnale)
 1 t 
 k t 
kk
è la proiezione di s k t  su  i t 
SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER
wt  segnale ad energia finita o a potenza media finita su a, a  T0 
sia f n t   e
wt  
j 2n

c e
n  
1
t
T0
j 2n
la base di Fourier, allora wt  si può scrivere come segue
1
t
T0
n
con
cn 
1
T0

a T0
a
wt e
 j 2n
1
t
T0
si ricorda che  0  2f 0 
dt
2
T0
se wt  è reale il suo sviluppo in serie è reale e i coefficienti sono generici con c n  c * n
se wt  è reale e pari il suo sviluppo in serie è reale e anche i coefficienti, dove c n  c  n
se wt  è reale e dispari il suo sviluppo in serie è reale e i coefficienti immaginari puri, dove cn  cn
per l’energia del segnale si ha
Ew  
a T0
a
wt  dt  
2
a T0
a

c e
n  
n
2
j 2nf0t
dt  T0

c
n  
2
n
TRASFORMATA DI FOURIER

X  f    xt e j 2ft dt


xt    X  f e j 2ft df

Proprietà della Trasformata di Fourier F
F axt   byt   aX  f   bY  f 
F xt  Td   X  f e  jTd
1 f
X 
a a
F xt e  j 2f ct  X  f  f c 
F xt  * yt   X  f Y  f 
F xt yt   X  f  * Y  f 
 d

n
F  n xt    j 2f  X  f 
 dt

t
Xf 
f 
F  x d 
 X 0

j 2f
2
F xat  




4
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Se xt  è reale pari X  f  è reale
Se xt  è reale dispari X  f  è immaginaria pura
ALCUNE IMPORTANTI RELAZIONI


  xdx  1
 wx x  x dx  wx 
Definizioni della  di Dirac:  wx  x dx  w0




 t  * wt      xt   d  wt 

0


0
 t  t 0  * xt   xt  t 0 
 x    e  j 2xy dy

Prodotto di convoluzione

f t  * g t    f  g t   d

 T T
Energia di un segnale wt  definito su  , 
 2 2
T
2
T
T   
2
E w  lim
Densità spettrale di energia : E  f   W 2  f 

wt w* t dt
Teorema di Parseval (per i segnali ad energia finita e a potenza media finita) che mi dice che trasformando o
sviluppando in serie di Fourier io non perdo alcuna informazione sul segnale
T
n

Ew
1 a T0
2
2
E w  lim  2T wt w* t dt   W 2  f  df
oppure
 
wt  dt   cn

T   
T0 T0 a
i 1
2
Formulazione generale del Teorema di Parseval per segnali ad energia finita (o periodici a potenza media finita)






se w1 t   w2 t   wt  allora Ew   wt  dt   W  f  df
w1 t w2* t dt   W1  f W2*  f df

2

Potenza media (normalizzata) di un segnale wt 
2

T
Pw  w 2 t   lim
1 2 2
T w t dt
T   T 
2
Spettro di potenza o densità spettrale di potenza
WT2  f 
Pw  f   lim
è reale, non negativo e pari
T 
T

Pw   Pw  f df
potenza normalizzata

Se wt  è periodico si può scrivere come
wt  

 cn e j 2nf0t
e
Wf  
n  

 c   f  nf 
n  
wt  t  0, T0 
posto wT0 t   
 0 altrove
quindi W  f  
0
allora wt  

 f0WT0 nf0   f  nf0  
n  
allora la potenza di wt  si esprime come

 c   f  nf 
n  
n
Pw 
Pw  f  
0

c
n  

c
n  
2
n

 w t  nT    w t  *  t  nT 
n  

ed il suo spettro di potenza come
n
T0
0
n  
T0
0
da cui c n  f 0WT0 nf 0 
2
n
  f  nf 0 
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Definizioni di decibel
Se la grandezza in esame è una potenza allora il decibel è g in dB  10 log 10 g
Se la grandezza in esame è una tensione o una corrente allora il decibel è g in dB  20 log 10 g
g
Si definisce decibel al milliwatt dBm   10 log 10 3
10
 j
Formula trigonometrica di Eulero e
 cos   j sen  
TEORIA DEI SISTEMI
Un sistema è lineare se ad una combinazione lineare degli ingressi corrisponde una combinazione lineare delle
uscite.
ax1 t 
Sistema
Lineare
bx2 t 
Sistema
Lineare
y1 t 
yt   y1 t   y2 t 
y 2 t 
xt   ax1 t   bx2 t 
+
Sistema
Lineare
yt 
Un sistema si dice tempo invariante o invariante per traslazioni temporali se l’uscita yt    ritardata di una
quantità  coincide con l’uscita y t  ottenuta inviando in ingresso il segnale xt    ritardato della stessa
quantità.
yt 
xt 
xt 
yt   


yt   
y t 
La risposta all’impulso caratterizza un sistema LTI (Linear Time Invariant)

yt    x ht   d  xt  * ht 

facendo la trasformata di Fourier
Y  f   X  f H  f 
dove H  f  
dove ht  è la risposta del sistema LTI quando all’ingresso c’è  t 
Y f 
è detta funzione di trasferimento
Xf 
Densità Spettrale di Energia dell’ingresso
Ex  f   X 2  f 
Densità Spettrale di Energia dell’uscita
E y  f   H 2  f  Ex  f 
Un sistema LTI è non distorcente se il modulo dell’uscita è costante e la fase varia in maniera lineare con f
Scritto Y  f   X  f  e jX  f 
X  f  lineare con f
X  f  lineare con f
PROCESSI CASUALI
Stazionario dell’ N simo ordine
f x xt1 ,, xt N   f x xt1  t 0 ,, xt N  t 0 
Stazionario del primo ordine
f x xt1   f x xt1  t 0 
6
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Un processo casuale (p.c.) che dipende dal tempo in maniera periodica è detto ciclostazionario
Media temporale di un p.c. xt 
T0
2
T
T0   0
2
xt   lim

xt dt
p.c. stazionari
Media statistica o media di insieme di un p.c. xt 

xt   Ext    xt  f x t dt

Se un p.c. stazionario è tale che xt   xt  il processo si dice ergodico
Funzione di autocorrelazione
p.c. ergodici

Rx t1 , t 2   xt1 xt 2    xt1 xt 2  f x1x2 x1 , x2 dx1dx2

se il p.c. è stazionario del secondo ordine la media congiunta non dipende dal tempo, posto   t1  t 2
xt   R x 0 
2
R x    xt xt   
R x    F 1 Px  f 
1
 lim
T  T
T
2
T

2
 xt xt   d
Rx    Rx   
Rx 0  Rx  
Rx 0  Px
Spettro di potenza di un segnale numerico sotto l’ipotesi di stazionarietà
S2f  
Px  f  
Rk e jkTs
con Rk    n nk  R k  e  n simbolo nesimo

Ts k  

S2f  



Px  f  
R
0

Rk  coskTs 


Ts 
k 1

POSSIBILI FORME D’ONDA ELEMENTARI
NRZ (non return to zero)
st 
NRZ unipolare
NRZ antipodale
Ts
RZ (return to zero)
st 
Ts

-A
0
A
0
A
0
A
0
A
 è detto duty cycle
RZ unipolare
Ts
RZ antipodale
-A
7
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PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
R
è la velocità di trasmissione espressa in bit s
D
è la velocità di segnalazione espressa in simboli s
B
è la banda (unilatera) occupata dal segnale espressa in Hz
R
  è l’efficienza espressa in bit Hz
B

SEGNALE
D
R
B
NRZ binario
1
R
R
1 Ts = D = R
RZ (50%) binario R
0,5
R
2 Ts = 2 D = 2 R
NRZ quaternario
R bit
Memoria
profonda l
R
R2
l
1 Ts = D = R 2
Mappatore D simboli  n
M
B
INTERFERENZA INTERSIMBOLICA (ISI)

xt 
yt 


x
t

ht 
 n st  nTs 
1
R
R
R
 D  ;  
l
Ts
l
B Rl


yt     n st  nTs  * ht 

n 
n  
posto r t  nTs   st  nTs  * ht 
2
segue y t  


 r t  nT 
n  
n
s
detto t 0 l’istante di campionamento y t 0    0 r t 0     n r t  nTs 
 n  0

segnale
utile
ISI
Distorsione di picco
 n r t  nTs 

n0
Dp 
con t 0 : D p è minima. Bisogna che D p  0,1 altrimenti si hanno errori sistematici
 0 r t 0 
Primo teorema di Nyquist che ci dice come deve comportarsi la trasformata di Fourier di un segnale elementare
affinché questo segnale elementare ci assicuri ISI nulla.
1 
 R f  nf s   cost. dove r t  è il segnale elementare
T0 n
SEGNALE A COSENO RIALZATO

1 se f  f 1
 
  f  f 1 
f
f
1
 se f 1  f  B
R f    1  cos
con f   B  s e f1  s  f 

2
2
 2 
 2 f  

0 se f  B
R f 

graficamente:
fs
è la banda minima
2
f
f
f  inizio e fine raccordo
B banda totale (unilatera)
f
B

fs
2
 f1
f1
fs
2
B
8
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Coefficiente di ROLL-OFF
f
f
rapporto tra la banda aggiuntiva f  e la banda minima richiesta s
 
fs 2
2
se  è zero mi trovo nel caso di una porta e non ho banda aggiuntiva, se  è uno vuol dire che ho f   f s 2
quindi   0,1. Conoscendo  si calcola B come
f
1
 D segue
detta D la velocità do segnalazione in simboli sec e f s 
B  s 1   
Ts
2
D
2B
B  1    ossia D 
e se ho una banda B , siccome   0,1 segue che B  D  2 B simboli sec
2
1   
IL RUMORE
Sia vt  un p.c. stazionario, ergodico, gaussiano, la densità spettrale del suo valore quadratico medio vale
h f

hf
Pv  f   2 R 
 h f kT

e
 1
 2
con R in  , h  6.2  10 34 J  s  è la costante di Plank
k  1.38  10 23 J K  è la costante di Boltzman
Se ci si trova ad operare con f  1THz e T  373,13K allora l’espressione del valore quadratico medio di vt 
si approssima come Pv  f   2kTR
Pd è la potenza disponibile (siamo in situazione di adattamento) che si distribuisce a valle e vale
v 2 t 
(N.B. la resistenza non ha pedice perchè siamo in adattamento)
Pd 
Pd
4R
Rg
La densità spettrale della potenza di rumore termico disponibile di una resistenza
Rg
Rc
a vuoto sarà
Rg
B
P  f  kT
con
Pd   Pd  f df  kTB che è la potenza di rumore
Pd  f   v

vt 
B
4R
2
CIFRA DI RUMORE
Pn  f  densità spettrale della potenza di rumore all ' uscita del bipolo
F  f   *u

Pnu  f  densità spettrale della potenza di rumore all ' uscita del bipolo
in assenza di rumore generato dal bipolo
T0  290K
Il sistema è lineare e supponiamo il guadagno g d costante
kT0
g d  Pn  f 
P f 
F f   2
 1 n
1
R
Ri  R
kT0
kT0
gd
gd
2
2
Notare che Pn  f  è costante perchè generato internamente al bipolo.
Integrando sulla banda si ha per F la seguente espressione
gd , B
B  kT

0


g

P
f
df
d
n
 B  2

  N du
F
dove N du è la potenza di rumore disponibile all’uscita.
B kT
kT0 Bg d
0
 B 2 g d df
Nel caso in cui il doppio bipolo fosse una linea si ha che F  1 g d  L ,ossia la cifra di rumore coincide con
l’attenuazione della linea.
gd
+
nt  rumore interno
9
Abbundo Francesco
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Riepilogando:la cifra di rumore è il rapporto tra la densità spettrale della potenza di rumore all’uscita del
doppio bipolo e la densità spettrale della potenza di rumore alluscita del doppio bipolo ne caso che il doppio
bipolo non introduca rumore.
N
questa è la definizione operativa di cifra di runore.
F  du
*
N du
TEMPERATURA EQUIVALENTE DI RUMORE
T0  Te
T0  290K per convenzione.
kT0 Bg d  kTe Bg d T0  Te

kT0 Bg d
T0
Rg
Essendo kTe Bg d il termine che tiene conto della generazione interna
di rumore del doppio bipolo. Si vede facilmente che
vt 
Te
Te  T0 F  1 e che F  1 
T0
Cifra di rumore equivalente e temperatura equivalente di una cascata di n doppi bipoli
Fn  1
F  1 F3  1
Feq  F1  2


Rg
g1 , F1
g 2 , F2
g1
g1 g 2
g1 g 2  g n
Si ha F 
Te 2
T
Ten
 e3   
g1 g 1 g 2
g1 g 2  g n
Teq  T0 Feq  1
CANALE HERTZIANO
Te1
Teq  Te1 
La potenza ricevuta è PRX  g AR g AT g SL PTX  g AR g AT
Con
Te 2
gd , F, B
g 3 , F3
Rc
RL
Te3
2
P
4d 2 TX
g AR guadagno dell’antenna ricevente e g AT guadagno dell’antenna trasmittente
g SL 
2
guadagno di propagazione nello spazio libero
4d 2
PTX potenza trasmessa
  c f è la lunghezza d’onda ed f è la frequenza a cui stiamo operando
d è la distanza tra le due antenne
Detta Pni  f   kT0 2 la densità spettrale della potenza di rumore disponibile all’ingresso di un canale, la
densità spettrale della potenza di rumore disponibile all’uscita dello stesso canale sarà Pn  f   Feq Pni  f 
T  Te 
kT0
g d Feq  k 0
gd
2
2
Un processo casuale gaussiano è detto bianco o non colorato, quando non dipende dalla frequenza, ossia
N
quando la sua densità spettrla edi potenza è costante e vale per convenzione Pn  f   const  0 , il fattore ½
2
tiene conto del fatto che le bande in genere sono unilatere.Con N 0  k T0  Te g d  kFeq g d
PROBABILITA’ DI ERRORE SUL SIMBOLO E SUL BIT (2-ASK, BPSK, 2-PSK)
 d 2 
1

Detta d 2 la quantità in figura, la probabilità di errore di un simbolo vale Ps e   erfc

2
2

m 

Ossia Pn  f  
10
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CASO NRZ ANTIPODALE BINARIO
 m2  N 0 B
con B  1 Ts banda del segnale (unilatera) ed N 0 come già definito
1 d2 1 d2 
d2
d
Ts 
E s  

Ts  
4
2
2 4 2 4 
Es
 Es B
Ts
st 
Ts
-A
0
A
 1


  erfc   dove   E s è il rapporto segnale rumore S N (all’uscita). Se il
 2
 2
N0



segnale è binario si ha Ps e  Pb e , ossia la probabilità di errore sul simbolo coincide con quella sul bit, quindi
Si ha Ps e  
 Es
1
erfc
 2N
2
0

 
E
1
 con   b . Si userà l’espressione più adatta in base al contesto.
erfc

2
N0
 2
CASO NRZ UNIPODALE BINARIO
 m2  N 0 B
con B  1 Ts banda del segnale (unilatera) ed N 0 come già definito
E s  Eb e Pb e  
Es
1 
d2
d
1
E s   d 2  0 Ts 
Ts  

2 
2
2
2Ts
2
Es B
2
st 
Ts
0
A
 
 1
 dove   Eb è il rapporto segnale rumore S N (all’uscita).
  erfc
 2
 2 
N0



Siamo nel caso di segnale è binario.
Notare che a causa della presenza della  nel mezzo della banda l’energia del segnale è dimezzata.
FILTRO ADATTATO (esalta il segnale ma non il rumore)
Sia st  un segnale ed nt  un p.c. (rumore)
Le ipotesi sono:
1)
st  è limitato nel tempo, es. 0, Ts 
2)
N  f  è nota
Segue che il filtro adattato ha la seguente Funzione di Trasferimento (FdT)
 Es  1
1
S *  f   jt0
  erfc  dove   E s
Si ha Ps e   erfc
H f  
e

2
N0
N f 
 N0  2
Si ha Pb e  

Eb
1
erfc

2
 2  2N 0
 
Quindi utilizzando un filtro adattato ho un guadagno di 3dB , perché a parità di probabilità uso metà energia
ovvero a parità di energia dimezzo la probabilità di errore.
11
Abbundo Francesco
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4-ASK
s1
s3
s2
s4
Probabilità di errore sul simbolo in una costellazione equispaziata (indipendente dal segnale elementare).
 d 2 
1
 (una sola coda accavallata)
Per i segnali alle estremità vale Ps 2 e   Ps1 e   erfc

2
 2 m 
 d 2 
 (entrambe le code accavallate)
Per i segnali centrali invece vale Ps3 e   Ps4 e   erfc

 2 m 
 d 2 
3
 , in generale, con costellazioni equispaziate di m
La probabilità media vale invece Ps e   erfc

4
 2 m 
 d 2 
m 1

erfc

simboli si ha Ps e  
 2  . La probabilità di errore sul bit si ricava, nota Ps e , come
m
m 

1
Pb e  
Ps e  , con m numero dei simboli.
log 2 m
Probabilità di errore sul simbolo in una costellazione equispaziata (segnale NRZ antipodale).
1
1 d2
9d 2 
5
Ts  d 2Ts , da
Fissata l’origine tra s2 ed s 3 , l’energia media E s  E s1  E s2  E s3  E s4   2
2
4
4 4
4 
4

cui
 Es
Es
3
d
e quindi Ps e   erfc

4
2
5Ts
 10 N 0


.


 Eb  3


1
1
3
  erfc  
Ps e   Ps e  e log 2 mEb  E s  2Eb si ha. Pb e   erfc
 5
 5N  8
log 2 m
2
8
0 



INVILUPPO COMPLESSO
vt    e g t e j ct , con  c pulsazione istantanea, vt  segnale modulato, reale, la cui Pv  f  è centrata in 0
Siccome Pb e  


La densità spettrale di potenza di vt  si può scrivere come
1
Pv  f   Pg  f  f c   Pg*  f  f c , notare che g t  può essere complesso
4
MODULAZIONE DI AMPIEZZA
:segnale modulante.
mt 
:segnale di portante
Ac cos2f c t   c 
Ac mt  cos2f c t   c 
:segnale modulato
In questo caso g t   mt   1 e quindi vt   1 mt cos2f c t 
Efficienza E 
m 2 t 
1  m 2 t 
 1.
Per l’utilizzo di un demodulatore coerente deve essere mt   1  0
PROBABILITA’ DI ERRORE DI UN 4-PSK
Detta p  p s eBPSK  pb eBPSK la probabilità di errore sul simbolo e sul bit di un BPSK si ha in generale
1
p2
p s e 4 PSK  p 
2
2
ma se il demodulatore del 4-PSK è composto di due demodulatori BPSK indipendenti si ha:
p s e 4 PSK  2 p  p 2
pb e 4 PSK 
12
Abbundo Francesco
p s e4 PSK  2 p
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pb e 4 PSK 
1
p s e 4 PSK  p e quindi il BPSK ed il 4-PSK hanno la
2
stessa probabilità di errore sul bit.
PROBABILITA’ DI ERRORE DI UN 16-QAM
9
p s e media  3 p  p 2
4
NUMERO MEDIO DI RITRASMISSIONI IN UN SISTEMA CON CRC
1
n
dove p rit indica la probabilità di ritrasmettere
1  p rit
PCM
Canale BSC con probabilità di errore p , quantizzatore con n bit
Livelli di quantizzazione M  2 n
2V
V 
passo di quantizzazione
M
V 2
potenza associata all’errore di quantizzazione
Nq 
12
V 2
S
M 2 1
potenza di segnale all’uscita del quantizzatore
12
S
2
rapporto segnale rumore all’uscita del quantizzatore, numero puro
   M 1
 N q




 S  
rapporto segnale rumore all’uscita del quantizzatore in dB
    2n log 10 2  6n
 N  q  dB
S
2
rapporto segnale rumore all’ingresso del quantizzatore, numero puro
  M
N
 q
4
M 2 1
potenza associata all’errore sul bit in trasmissione
eb2  N b  V 2 p
3
M2
3M 2
S
rapporto segnale rumore massimo all’ingresso del ricevitore

 
2
 N  out MAX 1  4M  1 p
M2
S
rapporto segnale rumore medio all’ingresso del ricevitore

 
2
 N  out 1  4M  1 p
in dB ed in corrispondenza di p * vale 6n  3dB
S
S
relazione tra massimo e medio
 3 
 
 N  out MAX
 N  out
M2
1
S

  
2
 N  b 4M  1 p 4 p
S
   10 log 10 4 p
 N b
rapporto segnale rumore sul bit all’uscita del canale BSC
rapporto segnale rumore sul bit all’uscita del canale BSC in dB
S
S
p * è la probabilità di soglia che si ricava ugluagliando   e   ottenendo
 N b  N  q
p* 

M2

4 M 1
2
2

1
4M 2
valore della probabilità di soglia
13
Abbundo Francesco
 1
n  log 2 
*
 4p




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è il numero massimo di bit del quantizzatore per un afissata p *

g
10 10
Dato il guadagno g in dB , allora si può scrivere p * 
4
S
  dB
 N  out
3dB
n
6n dB
Sopra Soglia
plog 10 
p*
Se n aumenta p * si sposta a sinistra e viceversa.
1
Ps
S
 
2
Rapporto segnale rumore all’ingresso del ricevitore   
 N  k T0  Te 2 B
dove:
k  1.379 * 10 23
è la costante di Boltzmann
è la potenza di segnale all’ingresso della linea
Ps
1
questo fattore è dovuto alla modulante che è una sinusoide
2
Il rapporto segnale rumore all’uscita del demodulatore raddoppia o in dB si somma 3
14