Liceo Scientifico Paritario “R. Bruni”
Padova, loc. Ponte di Brenta, 23/01/2017
Verifica di Fisica*
Classe V sez. A
Soluzione
Questionario. Risolvi tre dei sei quesiti proposti. Tutti i quesiti hanno il medesimo peso nella valutazione.
1. Dimostra che per immagazzinare una quantità di energia U in un solenoide ideale
!
di volume V nel vuoto, occorre generare al suo interno un campo magnetico B di
intensità pari a
B=
2µ0U
,
V
dove µ0 è la permeabilità magnetica nel vuoto.
Calcola l’intensità della corrente elettrica in mA che deve scorrere in un solenoide
composto da 500 spire, di lunghezza 5,0 cm e volume 20 cm3 affinché l’energia in
esso immagazzinata sia di 1,5 mJ .
[Esempio di simulazione MIUR del 12/01/2017, quesito 1]
Risoluzione.
All’interno di un solenoide cilindrico ideale, nel vuoto, di volume V, attraversato da una
!
corrente continua I, si genera al suo interno un campo magnetico uniforme B la cui intensità dipende solo dalla geometria del solenoide:
N
(*)
B = µ0 I = µ0nI ,
ℓ
dove N rappresenta il numero di spire, ℓ la lunghezza del solenoide ed n la densità (lineare) di spira.
Il valore dell’induttanza di un solenoide si ricava facilmente dalla definizione di induttanza:
ΔφB NBS N B
B
L=
=
=
(Sℓ) = n V,
ΔI
I
ℓ I
I
dove S rappresenta la superficie di una singola spira del solenoide.
Ricordando che l’energia immagazzinata in un solenoide è
1
U = LI 2 ,
2
*
Valido per il recupero del debito formativo del primo periodo.
1 di 6
combinando le tre relazioni evidenziate trovo:
1
1 B
1
1
1 2
B V . Quindi:
U = LI 2 = n I 2V = nIBV =
(µ0nI )BV =
2
2 I
2
2µ0
2µ0
U=
2µ U
2µ0U
1 2
.
B V → B2 = 0 → B =
V
V
2µ0
(**)
Visto che il testo non chiarisce da dove si deve iniziare per dimostrare tale relazione, nulla
1 2
vieta di partire dalla relazione che fornisce la densità (volumetrica) di energia u =
B
2µ0
(che però solitamente si deduce dalle precedenti relazioni).
Combinando le relazioni (*) e (**) trovo:
ℓ 2U
5·10−2
I=
=
N µ0V
5·10 2
2·(1,5·10−3 )
(4π·10 )·(2·10 )
−7
−5
=
30
= 1,1 A = 1,1·103 mA .
8π
2. Un solenoide L1 ideale si trova all’interno di un secondo solenoide L2 , anch’esso
ideale. Quest’ultimo viene alimentato con una corrente i che cresce linearmente nel
tempo da 0 a 30 µs secondo l’equazione i = kt , dove k = 0,50 A s . Ai capi del solenoide interno L1 , durante l’intervallo di tempo in cui la corrente varia, si misura
una forza elettromotrice.
i.
ii.
Spiega l’origine della forza elettromotrice e dimostra che essa risulta costante;
calcola il valore del modulo di tale forza elettromotrice nel caso in cui i solenoidi L1 e L2 abbiano entrambi un numero di spire pari a 500, lunghezza
pari a 5,0 cm , sezione 1,0 cm2 e 4,0 cm2 rispettivamente.
[Esempio di simulazione MIUR del 12/01/2017, quesito 2]
Risoluzione.
DATI:
Δt = t −t0 = t = 3,0·10−5 s
i = 5,0·10−1 t A , t espresso in secondi
i.
Nell’intervallo di tempo considerato nel solenoide L2 la corrente varia e quindi al
suo interno si genererà un campo magnetico variabile nel tempo: B2 = µn2i = (µn2 k)t ,
2 di 6
dove µ è la permeabilità magnetica del materiale all’interno di L2 ed n2 è la sua
densità di spira.
Di conseguenza ci sarà una variazione del flusso del campo magnetico concatenato
alle spire di L1 : ΔφB2 = φB2 (t) −φB2 (0) = N1S1B2 − 0 = (µN1n2S1k)t , dove N1 è il numero
di spire del solenoide L1 ed S1 la superficie di una singola spira in L1 .
In accordo con la Legge di Faraday, su L1 si genererà una fem indotta che risulterà
costante: fem = ΔφB2 Δt = µN1n2S1k .
ii.
Suppongo che le spire di L1 non siano costituite da materiale ferromagnetico, quindi
µ = µ0 .
fem = ΔφB2 Δt = µ0 N1n2S1k = ( 4π·10−7 )·(5,00·10 2 )·
5,00·10 2
· 1,0·10−4 )·(5,0·10−1 ) =
−2 (
5,0·10
= π·10−4 = 3,1·10−4 V .
3. Una carica q posta ad una distanza r da un filo rettilineo indefinito, con una densità
lineare di carica uniforme λ positiva e percorso da una corrente stazionaria (cioè
!
QUESITI
costante ma non nulla) I, si muove con velocità iniziale v parallela al filo conduttore eQuesito
con lo stesso
verso della corrente (vedi Figura 1).
1
carica ! posta la
ad forza
una distanza
! da un
filo rettilineo
indefinito,
con una
densità
lineare di carica
i.Una Determina
elettrica
e quella
magnetica
agenti
sulla
carica.
uniforme
λ
positiva
e
percorso
da
una
corrente
stazionaria
!,
si
muove
con
velocità
iniziale
!
ii.
Stabilisci il valore e l’unità di misura del rapporto I λ in modo che
la carica
parallela al filo conduttore e con lo stesso verso
! della corrente.
si muova
con velocità
costante
Determina
preventivamente
la forza
elettricave. quella magnetica agenti sulla carica.
infine,può
il valore
del rapporto
λ/! in
modo cheuniforme
la carica si muova
con velocità
!.
iii.Stabilisci,
La carica
seguire
un moto
rettilineo
se la corrente
I ecostante
la velocità
!
La carica
può
seguire
un
moto
rettilineo
uniforme
se
la
corrente
!
e
la
velocità
!
hanno
versi
v hanno versi opposti? Motiva la tua risposta.
opposti? (Motiva la risposta.)
λ
I
r
v
q
Figura 1.
Quesito 2
[trattodida
Esempiocartesiano
di simulazione
Zanichelli
del 19/12/2016,
Ricorda che in un sistema
riferimento
ortogonale
!"#$ è possibile
introdurre quesito
rispetto 1]
agli assi !, !, ! i versori !, !, !.
Indicando il prodotto vettoriale con ×, determina preventivamente tutti i prodotti vettoriali fra i
Risoluzione.
versori (ad esempio: !×!, !×!, … , !!×!,!ecc.).
questo punto
dovrebbe
essere naturale
sviluppare
il prodotto
vettori qualsiasi
ConsideroAl’intero
sistema
nel vuoto.
Suppongo
inoltre
che lavettoriale
carica qfra
siadue
positiva.
Nel caso
utilizzando
i
prodotti
vettoriali
ottenuti
precedentemente
e
semplici
regole
algebriche.
fosse negativa, i versi delle forze elettrica
e magnetica risulteranno opposti al caso preceUn protone con la velocità ! = (10! !m/s)! + (5 ∙ 10! !m/s)! entra in una regione dello spazio in
dente. Considero
un sistema di riferimento !cartesiano ortogonale
Oxyz posto con l’asse x
! !N/C)! − (10! !N/C)! + (2 ∙ 10! !N/C)! e un campo
cui è presente un campo elettrico ! = (10
uscente dalla pagina e l’asse y equiverso a v , in quiete rispetto al filo.
magnetico ! = (2!T)! − (1!T)!.
Determina il modulo del rapporto fra la forza che agisce sul protone e la sua carica.
3 di 6
Quesito 3
Sul volume di una sfera di raggio ! = 5,0 cm è distribuita, in modo uniforme su tutto il volume con
densità volumica ρ, una carica ! = 1,2 ∙ 10!! C.
Utilizza il teorema di Gauss per ottenere la relazione fra il modulo del campo elettrico e la distanza
uniforme λ positiva e percorso da una corrente stazionaria !, si muove con velocità iniziale !
parallela al filo conduttore e con lo stesso verso della corrente.
Determina preventivamente la forza elettrica e quella magnetica agenti sulla carica.
Stabilisci, infine, il valore del rapporto λ/! in modo che la carica si muova con velocità costante !.
La carica può seguire un moto rettilineo uniforme se la corrente ! e la velocità ! hanno versi
opposti? (Motiva la risposta.)
λ
I
r
v
q
i.
Quesito 2
Ricorda che in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale !"#$ è possibile introdurre rispetto
agli assi !, !, ! i versori !, !, !.
Indicando il prodotto vettoriale con ×, determina preventivamente tutti i prodotti vettoriali fra i
versori (ad esempio: !×!, !×!, … , !!×!,!ecc.).
A questo punto dovrebbe essere naturale sviluppare il prodotto vettoriale fra due vettori qualsiasi
utilizzando i prodotti vettoriali ottenuti precedentemente e semplici regole algebriche.
E
Un protone con la velocità ! = (10! !m/s)! + (5 ∙ 10! !m/s)! entra in una regione dello spazio in
0
cui è presente un campo elettrico ! = (10! !N/C)! − (10! !N/C)! + (2 ∙ 10! !N/C)! e un campo
magnetico ! = (2!T)! − (1!T)!.
Determina il modulo del rapporto fra la forza che agisce sul protone e la sua carica.
Le cariche nel filo genera un campo elettrico uscente, perpendicolare ad esso, di in!
λ
λq
tensità E(r) =
. Ne consegue che la forza elettrica sarà F = −
ẑ .
2πε r
2πε0 r
La corrente nel filo genera un campo magnetico circolare, ubbidiente alla regola
µI
della mano destra (dove si trova q sarà entrante) di intensità B(r) = 0 . Dalla ForQuesito 3
2πr
Sul volume di una sfera di raggio ! = 5,0 cm è distribuita, in modo uniforme su tutto il volume con
za di Lorentz
posso
determinare
la
forza
magnetica
agente
sulla
carica q:
densità volumica ρ, una carica ! = 1,2 ∙ 10 C.
Utilizza il teorema di Gauss per ottenere la relazione fra il modulo del campo elettrico e la distanza
!
!
!
µdal0 qvI
centro della sfera. Questo problema poteva essere formulato in modo identico anche per una
FB = q·v×B = sfera
ẑ . (Motiva la risposta.)
conduttrice?
Considera,
2πr infine, due sfere concentriche di raggio ! = ! e di raggio ! = 2!. Nella sfera interna
!!
!
ii.
iii.
!
è stato realizzato il vuoto, mentre lo spazio tra le due sfere è riempito con una distribuzione
omogenea di carica che ha stessa densità volumica ρ della sfera carica considerata all’inizio del
quesito.
Utilizzando il principio di sovrapposizione determina il modulo del campo elettrico in un punto tra
le due sfere, a distanza ! dal loro centro, con !! ≤ ! ≤ !! .
Affinché la carica si muova a velocità costante, in accordo con il I Principio della dinamica, la somma vettoriale di tutte le forze agenti sulla carica deve essere nulla.
Quindi:
© Zanichelli 2016
! !
!
! ⎛ µ qvI
! µ qvI
λq ⎞⎟
λq
I
1
I c2
⎟⎟ ẑ = 0 → 0
F = FB + FE = 0 → ⎜⎜⎜ 0
−
=
→ =
→ = .
2πε0 r ⎠⎟
2πr
2πε0 r λ µ0ε0 v
λ v
⎝ 2πr
Poiché tale rapporto è il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto al quadrato e la
velocità della carica, il rapporto I λ rappresenta una velocità, quindi la sua unità di
misura è m s .
!
!
No. La forza elettrica non cambia, non dipendendo né da v né da I. Se v = vŷ e I
!
!
scorre da destra verso sinistra allora B = Bx̂ ; se v = −vŷ e I scorre da sinistra verso
!
!
!
!
destra allora B = −Bx̂ . In ogni caso, FB = −qvBẑ , ovvero FB ed FE hanno lo stesso
verso e quindi la carica accelererà.
4. Ricorda che in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz è possibile introdurre rispetto agli assi x, y, z rispettivamente i versori x̂ , ŷ , ẑ . Un protone con
!
velocità v = (1,0 x̂ + 5,0 ŷ)·106 m s entra in una regione dello spazio in cui è presente
!
un campo elettrico E = (1,0 x̂ −1,0 ŷ + 2,0 ẑ)·106 V m e un campo magnetico
!
B = (1,0 x̂ −1,0 ẑ)T .
Determina il modulo del rapporto fra la forza che agisce sul protone e la sua carica.
Che cosa rappresenta fisicamente questo rapporto?
[tratto da Esempio di simulazione Zanichelli del 19/12/2016, quesito 2]
4 di 6
Risoluzione.
! !
v×B = (1,0·106 x̂ + 5,0·106 ŷ)×(1,0 x̂ −1,0 ẑ) = (1,0 x̂× x̂ −1,0 x̂× ẑ + 5,0 ŷ× x̂ − 5,0 ŷ× ẑ)·106 =
= (1,0 ŷ − 5,0 ẑ − 5,0 x̂)·106 = (−5,0 x̂ + 1,0 ŷ − 5,0 ẑ)·106 .
!
!
!
! ! !
F ! ! !
F
N
F = q E + v×B → = E + v×B → = (−4,0 x̂ − 3,0 ẑ)·106 .
q
q
C
(
)
Fisicamente ha le dimensioni di un campo elettrico, però la forza agente sul protone non è
solo quella dovuta al campo elettrico ma anche al campo magnetico. Si potrebbe pensare
quindi che rappresenti il campo elettromagnetico ma non può essere così visto che la forza
dipende da una caratteristica del protone (la sua velocità).
Fisicamente quindi rappresenta solamente una situazione particolare, che è quella descritta dal problema: come influenzano la traiettoria di un protone in movimento i due campi
vettoriali.
5. Un condensatore piano, schematizzato in Figura 2, ha armature circolari con raggio
R = 12 cm . In un dato istante, il campo elettrico varia con una velocità pari a
5,5·1010 V (m·s) .
i.
ii.
iii.
Qual è l’intensità del campo magnetico in un punto a una distanza
r = 7,5 cm dall’asse del condensatore?
Determina con precisione il luogo geometrico dei punti dello spazio per i
quali il campo magnetico assume il valore determinato al punto precedente.
Calcola il valore dell’intensità di corrente stazionaria che sta caricando il
condensatore.
Figura 2.
[tratto da C. Romeni, “La fisica di tutti i giorni – vol. 5”, 24/1323]
Risoluzione.
i.
Sono nel caso r ≤ R . Utilizzando la Legge di Ampere-Maxwell alla superficie circolare di raggio r trovo che:
ΔφE
ε µ r ΔE
ΔE
r ΔE
ΓB = ε0µ0
→ B·2πr = ε0µ0 πr 2
→B= 0 0
→B= 2
=
Δt
Δt
2 Δt
2c Δt
7,5·10−2
=
·5,5·1010 = 2,3·10−8 T .
2
8
2·(3·10 )
5 di 6
ii.
Considero il caso r > R . Utilizzando la Legge di Ampere-Maxwell alla superficie
circolare di raggio r trovo che:
ΔφE
ε µ R 2 ΔE
ΔE
R 2 ΔE
ΓB = ε0µ0
→ B·2πr = ε0µ0 πR 2
→r= 0 0
→r=
=
Δt
Δt
2B Δt
2Bc 2 Δt
(1,2·10 )
=
·5,5·10
2·( 2,3·10 )(3·10 )
−1
−8
2
8
2
10
= 19 cm .
Poiché le linee di campo magnetico sono circolari nell’infinita regione di spazio racchiusa tra le due armature, il luogo geometrico dei punti dove il campo magnetico
assume il valore trovato al punto i è costituito da due cilindri con asse coincidente
con l’asse del condensatore, altezza pari alla distanza delle armature e basi di raggio r (rispettivamente di 7,5 cm e di 19 cm) appoggiate sulle armature stesse.
iii.
ΔφE
numericamente coincide
Δt
il condensatore i . Quindi
Nel caso r = R la corrente di spostamento is = ε0µ0
con
il
valore della corrente che carica
2
ΔE
ΔE
i = ε0 πR 2
= πε0 R 2
= π (8,85·10−12 )(1,2·10−1 ) (5,5·1010 ) = 2,2·10−2 A = 22 mA .
Δt
Δt
6. Un forno a microonde cuoce o riscalda gli alimenti mediante onde elettromagnetiche con una frequenza di 2,45 GHz (quindi microonde). Questa frequenza mette in
oscillazione le molecole polari (ad esempio quelle dell’acqua) che per agitazione
termica aumentano la propria temperatura.
i.
Determina la lunghezza d’onda della radiazione.
ii.
Spiega perché la radiazione non fuoriesce dal vetro del forno ricoperto da
una griglia metallica.
iii.
Stima le dimensioni dei fori della griglia.
iv.
Spiega perché inserendo nel forno un oggetto metallico si vedono delle scintille.
[tratto da C. Romeni, “La fisica di tutti i giorni – vol. 5”, 51/1326]
Risoluzione.
i.
Suppongo di essere nel vuoto: λ = c ν = 3·108 2,45·109 = 1,22·10−1 m = 12,2 cm .
ii.
Perché i fori della griglia sono sull’ordine di grandezza del millimetro, ovvero
10−3 m , quindi di almeno due ordini di grandezza inferiori alla lunghezza d’onda.
Ne consegue che le microonde non riescono a passare per i fori: ricordando
l’esperimento della doppia fenditura di Young, le onde interferiscono secondo la relazione d sin ϑ = nλ , ovvero è visibile la prima frangia luminosa ( n = 1 , cioè l’onda
attraversa il primo schermo dove sono presenti le due fenditure) solo quando
sin ϑ = λ d ≤ 1 ossia quando λ ≤ d .
iii.
iv.
Come dal punto precedente, l’odg dei fori dev’essere inferiore a 10−2 m . In pratica,
per ragioni di sicurezza, l’odg dei fori è quanto detto al punto precedente.
Se viene inserito un oggetto metallico si vedono le scintille che rappresentano la
manifestazioni di correnti indotte dalla variazione del campo magnetico presente
all’interno del forno.
6 di 6
ALLEGATO
Valori delle costanti fisiche
Costante Fisica
Simbolo Valore
Unità di misura
Velocità della luce nel vuoto
c
299.792.458
ms
Costante di Planck
h
6,626 070 040(81)· 10−34
J·s
Carica dell’elettrone
e
1,602 176 620 8(98) ·10−19 C
Massa dell’elettrone
me
9,109 383 56(11) ·10−31
kg
Costante dielettrica del vuoto
ε0
8,854187817… ·10−12
F m
Permeabilità magnetica del vuoto
µ0
4π·10−7
H m
Costante di Boltzmann
k
1,380 648 52(79) ·10−23
J K
Numero di Avogadro
NA
6,022 140 857 (74) ·10 23
mol−1
Nota. Le cifre su cui si ha indeterminazione sui valori delle singole costanti fisiche sono tra
parentesi.
La velocità della luce, la permeabilità magnetica del vuoto e la costante dielettrica del vuoto ( ε0 = 1 (µ0 c 2 ) ) hanno valori esatti senza errore.
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