STF - Lezione 21 - 20-5-08

INSTABILITÀ DEI FLUSSI PARALLELI VISCOSI (continuazione)
Nella lezione precedente si è studiata la stabilità del problema in termini di variabili primitive
e si è giunti ad un primo risultato che è l’analogo del teorema di Squire per flussi viscosi: i
disturbi bidimensionali sono quelli più gravosi, in quanto il numero di Reynolds critico
determinato per tali disturbi è minore di quello corrispondente ad ogni altro disturbo
tridimensionale. Questa è una caratteristica comune a tutta la metodologia dei modi normali e
può essere assunto come un risultato generale; è anche opportuno osservare
immediatamente che tale risultato è diametralmente opposto a quello a cui si arriva studiando
la instabilità di un flusso generata dalla crescita dei disturbi nel transitorio a causa della non
normalità dell’operatore differenziale, per la quale i disturbi più gravosi sono quelli
tridimensionali.
Ricapitoliamo brevemente la discussione già sviluppata. Si è lavorato sulle equazioni in
variabili primitive e, introdotta la trasformazione di Squire, si è osservato che il problema
trasformato ha come significato fisico quello di scrivere le equazioni della stabilità di un
disturbo intrinsecamente tridimensionale nella direzione del vettore numero d’onda α .
Fig 1: Direzione del vettore numero d’onda
α
rifare la figura con alfa e beta
Le equazioni di stabilità trasformate sono matematicamente analoghe alle equazioni
bidimensionali scritte in variabili primitive.
3D
2D
 c
U ( z ) α Re
U ( z ) α Re c
non riesco a editare le equazioni!
Si può notare che il fattore di crescita c non è alterato dalla trasformazione. Si ricorda inoltre
 è definito come
che Re
 = α Re
Re
α
(1)
 non è il numero di Reynolds fisico che è definito come Re = U Max L .
Re
Fis
ν
Poiché la struttura matematica è perfettamente identica, le due relazioni di dispersione hanno
0 . È usuale rappresentare questa relazione
la stessa struttura matematica: ℑ(Re; α ; c) =
funzionale sul piano α-Re (figura 2); fissato un valore di Re, per ogni α si determina
l’autovalore c; se per determinati valori di Re, per ogni α accade che Im(c)<0 si ha stabilità; se
(al di sopra di una certa soglia di Reynolds) esiste almeno un α tale che Im(c)>0 si ha
instabilità.
Si può studiare il problema determinando preliminarmente il luogo dei punti per cui ci=0, cioè
la curva di stabilità marginale: ci=f(Re , α).
Tipicamente, per i flussi paralleli sotto analisi (Poiseuille, Couette) fissato un certo Re
relativamente piccolo, per qualunque modo α si trova ci<0. Al crescere di Re, per bassi valori
di α dapprima risulta ci<0, poi al crescere di α si trova il primo autovalore ci=0. Entrando
nella regione di instabilità si avrà un intervallo di numeri d’onda con ci>0, e poi ancora un α
per cui ci=0. All’esterno della regione di instabilità sarà di nuovo ci<0. Quello appena descritto
può essere un comportamento tipico per Reynolds fissato, se poi Re varia i due punti limite
con ci=0 si muovono sul piano α-Re descrivendo due curve che rappresentano i due rami della
curva di stabilità marginale (figura 2).
ci<0
ci<0
Recr
ci=0
ci>0
Re
ci=0
Fig 2: Un andamento tipico della curva di stabilità marginale
Possiamo giustificare l’andamento delle curve con alcune considerazioni di carattere teorico.
A bassi Re gli effetti dell’inerzia diventano trascurabili rispetto a quelli viscosi, e la viscosità è
stabilizzante perché è intuitivo ipotizzare che contribuisce a smorzare tutti i disturbi. Allora a
bassi Re i due punti che descrivono i due rami vengono a collidere in corrispondenza di un
Re cr e di un α cr come mostrato in figura. Al di sotto di Re cr si ha sempre ci<0 e quindi
stabilità. Ad alti Re e in particolare per Re→∞ si è, al contrario, nel limite non viscoso per il
quale vale il criterio del punto di flesso di Rayleigh. Per un flusso alla Poiseuille o alla Couette
il moto base è perciò stabile, il che vuol dire che per Re→∞ i due punti devono coincidere
nuovamente. Un altro risultato importante che si può evidenziare dalla figura è che per un
problema di questo tipo si individua sempre un valore del numero di Reynolds critico, Re cr .
0.
La curva di stabilità marginale è definita dalla relazione di dispersione ℑ(Re; α ; c) =
Poiché i due problemi 2D e 3D sono equivalenti e quindi hanno la stessa relazione di
dispersione, sia se si lavora sul piano α − Re (problema bidimensionale) sia se si lavora sul
 (problema tridimensionale trasformato) la curva di stabilità marginale è
piano α − Re
strettamente analoga.
α
α
cr

Re
 cr
Re
Fig 3: Curva di stabilità marginale nel piano

α − Re
 non è il numero di Reynolds fisico perché questo è stato
Occorre ribadire però che Re
trasformato (la relazione tra questi due numeri di Reynolds è stata scritta precedentemente).
A parità di Re critico (bidimensionale e tridimensionale) risulta allora più grande il Re critico
fisico del tridimensionale. Solo in un caso questi due valori coincidono, per α = α , cioè
quando il disturbo è bidimensionale; in questo caso il Re critico fisico coincide con quello che
emerge dal diagramma della curva di stabilità marginale sul piano α − Re , mentre in tutti gli
altri casi sarà sempre più grande. Da questa discussione emerge che il minimo Re cr è quello
che corrisponde al disturbo bidimensionale.
Una volta dimostrato il teorema di Squire per flussi viscosi, analogamente allo studio fatto nel
caso non viscoso, è conveniente riformulare l’intero problema introducendo la funzione di
corrente ψ, attraverso cui le componenti di velocità sono date da:
∂ψ '
u =
∂z
w' = −
'
∂ψ '
∂x
(2)
mentre il disturbo è posto nella forma
ψ ' = φ ( z )eiα ( x −ct )
(3)
Conviene formulare il problema in termini di vorticità- funzione di corrente. La vorticità è il
rotore del vettore velocità. In questo caso poiché stiamo studiando disturbi bidimensionali, il
vettore velocità del disturbo è contenuto nel piano x-z, allora la vorticità avrà solo una
componente perpendicolare al piano x-z. Possiamo allora rappresentare la vorticità del campo
totale come:
=
ζ
∂w ∂u
−
∂x ∂z
(4)
che, per la definizione della funzione di corrente, fornisce:
ζ = −∇ 2ψ
(5)
D’altra parte si ricorda che l’equazione del trasporto della vorticità nel presente caso
bidimensionale è scalare e si scrive:
∂ζ
+ V ⋅∇ζ = ν ⋅∇ 2ζ
∂t
(6)
Sfruttando la (5) essa si può riscrivere:
∂ (∇ 2ψ )
+ V ⋅∇(∇ 2ψ )= ν ⋅∇ 4ψ
∂t
(7)
ζ è la somma del campo base e della perturbazione, è sottointeso che il campo base soddisfa
l’equazione di vorticità, allora non scrivo i termini del campo base e la 6) diventa:
∂ζ '
∂
∂
+ (u + u ' ) (ζ + ζ ' ) + ( w + w' ) (ζ + ζ ' ) =∇
ν 2ζ '
∂t
∂x
∂z
(8)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
È un’equazione matematicamente incongruente, devo fare le seguenti semplificazioni:
∂
u ζ perché il campo base soddisfa l’equazione della vorticità e tale termine si elimina con
∂x
gli altri termini del solo campo base non scritti per tale motivo nell’equazione ();
∂
u ' ζ ' perché i disturbi per ipotesi sono infinitesimi, quindi il prodotto di due disturbi
∂x
infinitesimi si può trascurare;
∂
u ' ζ perché il moto base è per ipotesi parallelo quindi nulla varia lungo x e tantomeno la
∂x
vorticità ζ;
∂
∂
∂
w ζ
w' ζ ' per gli stessi motivi discussi sopra, mentre w ζ ' perché il moto base
∂z
∂z
∂z
che stiamo considerando si sviluppa solo lungo x ( w = 0 ).
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
MODIFICHEREI SOSTANZIALMENTE MA NON RIESCO A EDITARE LE FORMULE!
Considerando poi le due relazioni
∂w' ∂u '
−
= −∇ 2ψ '
ζ =
∂x ∂z
'
∂u
ζ = −
(perché w = 0 )
∂z
∂ζ
∂2 u
= − 2
∂z
∂z
l’equazione del trasporto della vorticità (8) si può riscrivere come:
∂ 2 '
∂
∂ψ '
=
ν∇ 4ψ '
(∇ ψ ) + U (∇ 2ψ ' ) − U II
∂t
∂x
∂x
(10)
(9)
Si possono ora sviluppare i laplaciani , sostituire la posizione fatta per il disturbo nell’eq. (3), e
adimensionalizzare. Si ricava l’equazione di Orr-Sommerfeld:
φ IV − 2α 2φ II +=
α II φ iα Re (U − c) ⋅ (φ II − α 2φ ) − U II φ 
(11)
Equazione di Rayleigh
&&&&&&&&&&&&&&&&&
Salerno ti prego, riscrivi le formule in un formato compatibile. Poi non usare la prima persona!
Si osservi che dividendo l’equazione per α ⋅ Re e facendo tendere Re→∞ si ottiene
l’equazione di Rayleigh valida nel caso non viscoso.
Circa le condizioni al contorno, occorre imporne 4 (per l’equa z one
i
di Ra yleigh se ne
imponevano solo 2) che sono:
φ= φ=' 0 in z = z1 , z2
Il problema agli autovalori allora assume la forma:
φ IV − 2α 2φ II +=
α II φ iα Re (U − c) ⋅ (φ II − α 2φ ) − U II φ 
(12)
(13)
φ= φ=' 0 in z = z1 , z2
Analogamente alla procedura adottata per l’analisi dell’equazione di Rayleigh, si riportano qui
di seguito una serie di considerazioni basate sugli sforzi fatti nei primi decenni del XX secolo
da numerosi ricercatori allo scopo di determinare le proprietà asintotiche (Re → ∞ ) dello
spettro dell’equazione di Orr-Sommerfeld.
Se il dominio di integrazione è finito, cioè se il flusso è limitato (come per esempio il flusso di
Poiseuille che si sta analizzando) si può mostrare che lo spettro è un infinito numerabile di
autovalori, e inoltre che la base delle autofunzioni è una base completa, cioè qualunque
disturbo iniziale è esprimibile nella base delle autofunzioni.
Se il dominio non è limitato 1 alla parte dello spettro discreto occorre aggiungere la parte
continua dello spettro.
Se la curva di stabilità marginale ha un andamento come quello di figura 2, per Re→∞ il flusso
risulta stabile cioè il profilo di velocità non ha punti di inflessione. Questa situazione è ben
approssimata da un flusso alla Poiseuille, alla Couette e dallo strato limite alla Blasius.
Non è detto che la curva di sta bilità ma rgina le a bbia un a nda mento di questo tipo; se
consideriamo un Mixing Layer in dominio illimitato, il profilo di velocità base ha un punto
di flesso:
1
Mixing Layer, Strato Limite, Scia, sono delle situazioni in cui il dominio non è limitato, e l’approssimazione di flusso
parallelo va discussa nell’ottica delle scale multiple. Se il flusso fosse non stabile bisognerebbe sempre verificare per
quali λ è non stabile, infatti se risultasse che localmente il flusso è instabile a λ molto lunghe questo potrebbe inficiare
l’ipotesi di separazione scala lenta-scala veloce.
u2
u1
Fig 4: profilo di velocità del Mixing Layer
In questo caso ci si può attendere che l’andamento della curva di stabilità marginale sia
qualitativamente dello stesso tipo salvo che per Re→∞, cioè al limite non viscoso, poiché per
la presenza del punto di flesso per Re→∞ permane un intervallo di numeri d’onda α non
stabili.
ci>0
Recr
Fig 5: Curve di Stabilità marginali per a) Flussi paralleli b) Mixing Layer
ATTENZIONE. LA CURVA DI STABILITA MARGINALE DEL MIXING LAYER E’ QUELLA RIPORTATA IN FIG. 8.8
c di DRAZIN!!!
La curva b) di figura 5 è la curva di stabilità marginale di un Mixing Layer illimitato mostrato
in figura 4 il cui profilo di velocità può essere approssimato con la funzione U ( z ) = tgh( z ) .
INSERIRE COMMENTI CORRETTI
Possiamo a questo punto discutere del ruolo della viscosità nella instabilità dei flussi di taglio.
Il risultato che a bassi Re c’è un Recr al disotto del quale il flusso è stabile è atteso da un lato
per il teorema di Serrin (la soluzione delle equazioni di Navier-Stokes non biforca per Re→0, e
dall’altro perché la viscosità deve avere un effetto smorzante sul disturbo, le forze
d’inerzia essendo tra l’altro relativamente piccole.
Esaminiamo ora cosa acca de a alti Re. Per Re→∞ in assenza di un punto di flesso nel
profilo di velocità il flusso è stabile, ma a moderatamente alti e finiti Re, il flusso si
Re
presenta non stabile. E’ questo un risultato non atteso, ovvero non è intuitivo che ad alti
Re la viscosità ha un ruolo destabilizzante.
Si può perciò concludere che la viscosità ha un duplice ruolo: sta biliz z a nte a bassi Re e
destabilizzante a alti Re.
Poiché i flussi interessanti sotto l’aspetto industriale sono in genere caratterizzati da un
alto numero di Reynolds, si è indagato più in profondità per individuare un meccanismo
fisico che potesse spiegare il ruolo destabilizzante della viscosità.
A parte i lavori iniziali di Heisenberg, degni di rilievo sono quelli di Tollmien che riuscì a
fornire soluzioni asintotiche dell’equazione di Orr-Sommerfeld per alti Re ed in prossimità
dello strato critico (si ricorda che lo strato critico è quella zona nel campo in cui U(z)=c).
Tollmien intuì che quello in queste ipotesi l’equazione di Orr-Sommerfeld può essere
semplificata come:
=
φ IV iα Re(U − c) ⋅ φ II
Nell’intorno dello strato critico si scrive:
U (=
z ) U ( zc ) + U ' ( zc ) ⋅ ( z − zc )
(14)
U ( z) =
− c U ' ( zc ) ⋅ ( z − zc )
Sostituendo nella (14) l’equazione diventa:
φ IV= iα Re⋅ U ' ( zc ) ⋅ ( z − zc ) ⋅ φ II
(15)
(16)
Tollmien adottò una trasformazione di coordinate introducendo la nuova variabile
indipendente:
ξ=
z − zc
(17)
ε
dove si è posto
ε=
1
[iα Re⋅ U ( zc )]
'
(18)
1
3
che, in realtà, serve ad introdurre una opportuna scala per la coordinata z. z-zc deve essere
piccolo nell’intorno dello strato critico, e la quantità ε deve essere dello stesso ordine di
grandezza di z-zc in modo che la variabile adimensionalizzata ξ sia di ordine 1. Il discorso è
analogo a quello dello strato limite in cui si introduce una nuova scala per adimensionalizzare
le lunghezze in direzione normale al corpo. Con il cambiamento di variabile (17) si giunge ad
una equazione del tipo:
d 4φ
d 2φ
=ξ
dξ 4
dξ 2
(19)
Con un ragionamento analogo a quello che usualmente viene fatto per lo strato limite, è chiaro
che la grandezza ε data dalla (18) fornisce una stima dell’ordine di grandezza dello spessore
dello strato critico e si può concludere che ai fini della stabilità del flusso in esame ad alti
Reynolds la visoisità può essere trascurata tranne che all’interno dello strato critico. In questo
strato le proprietà di stabilità sono fornite dall’equazione (19).
d2 f
= ξ f , cioè è una è una equazione differenziale ordinaria a
Quest’ultima è del tipo
dξ 2
coefficiente non costante, detta di Airy, le cui soluzioni sono denominate anch’esse funzioni di
Airy.
E’ interessante a questo punto iniziare a prendere visione di un tipico spettro dell’equazione di OrrSommerfeld e individuare in esso gli autovalori, eventualmente instabili, forniti dalla forma
approssimata (19). La figura seguente riporta lo spettro per un profilo base alla Poiseuille e
Re=10000.
Fig 6: Spettro di autovalori per l’equazione di Orr-Sommerfeld, per profilo alla Poiseuille e Re=10000
Gli autovalori ottenibili dall’equazione (19), detti autovalori di Airy, sono quelli che in figura 6
appaiono uniti da due linee continue.
Possiamo sintetizzare le seguenti conclusioni in merito al ruolo dello strato critico:
1. La definizione di ε è perfettamente analoga a quella introdotta da Prantdl per lo strato
limite; a differenza dello strato limite che ha uno spessore dell’ordine 1/ Re , lo
spessore dello strato critico risulta dell’ordine 1/ 3 Re . Ne consegue allora che lo strato
critico è più spesso dello strato limite.
2. Lo strato critico è lo strato in cui la viscosità è significativa ai fini della instabilità.
Poiché lo strato critico è intrinsecamente introdotto ad alti Re, esso è la zona in cui la
viscosità svolge il ruolo destabilizzante.
3. E’ anche interessante indagare dove è localizzato lo strato critico. Tra le altre, possono
essere individuate due situazioni significative mostrate nella figura seguente:
Fig 7: Posizione dello strato critico
Lo strato critico si può trovare a una certa distanza dalla parete (a), oppure in prossimità della
parete ed è quindi sovrapposto allo strato limite (b). In entrambi i casi risulta più spesso dello
strato limite.