CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE
I Compitino di FISICA 22 Aprile 2005
1) Una particella viene lanciata da un punto O del suolo , in un piano verticale terrestre. La velocità
iniziale è inclinata di 30° , rispetto al suolo , e vale 4 m/s. Si determini :
a) le componenti x e y della posizione della particella in funzione del tempo, la massima
quota raggiunta e il tempo impiegato a raggiungerla.
b) La distanza orizzontale percorsa dalla particella tra il punto di lancio e quello in cui
ricade al suolo e il tempo impiegato a percorrerla.
2) Un corpo di massa m = 1 kg è trattenuto da una fune su un piano liscio, inclinato di = 300 e di
altezza h = 1.5 m, come mostrato in figura.
Si calcolino:
a) la tensione T della fune;
b) il tempo impiegato dal corpo a raggiungere la base del piano, una volta che si è tagliata la fune.
h
3) Un corpo di massa m = 0.5 kg scivola da fermo dal punto A lungo un piano inclinato di altezza
h = 2.0 m, privo di attrito. Giunto nel punto B, alla base del piano, il corpo continua il suo moto
lungo un piano orizzontale che nel tratto BC, lungo l = 1.0 m, è scabro con coefficiente di attrito
dinamico d = 0.2. Alla fine del piano, il corpo urta in D una molla di coefficiente elastico k = 700
N/m, come mostrato in figura.
Calcolare:
a) la velocità del corpo nei punti B, C e D;
b) la massima compressione d della molla.
A
h
B
C
D
SCRIVERE IN MODO CHIARO
GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI
SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE
NON DIMENTICARE LE UNITA` DI MISURA
SOLUZIONE ESERCIZIO 1
a) Fissato un sistema d’assi ( x,y) , con origine in O coincidente con il punto di lancio, nel piano
verticale terrestre, l’accelerazione dovuta all’attrazione gravitazionale terrestre ha componenti ax = 0 e
ay = -g . Le componenti della velocità sono pertanto vx = /v o / cos 30° , costante , mentre vy = -gt +
/v o / sen 30° . Le componenti della posizione sono quindi x= /v o / cos (30° ) t e y = - g t 2 / 2 + /v o /
sen (30°) t . Si ha quindi : x= 23 t e y = - g t 2 / 2 + 2 t . Nel punto di massima quota è nulla la
componente vy della velocità. Si pone pertanto vy = 0 e si ricava t = 2/g = 0.2 s. La quota massima
raggiunta dalla particella, y max, si ottiene sostituendo questo valore nella relazione che esprime la
componente y della posizione in funzione del tempo . E ‘ pertanto y max= 0.2 m.
b) Il tempo impiegato a ricadere al suolo si ottiene facilmente ponendo y=0 nella relazione
y = - g t 2 / 2 + /v o / sen (30°) t . Una delle due soluzioni, t= 0 , corrisponde all’istante iniziale del
lancio , mentre la seconda , t = 4/g = 0.4s, è il tempo impiegato a ricadere al suolo . Si noti che , come
aspettato , è il doppio di quello impiegato a raggiungere la quota massima . La distanza orizzontale
percorsa in questo intervallo di tempo è quindi x= 2 3 4/g = 1.4 m .
SOLUZIONE ESERCIZIO 2
a) Disegniamo il diagramma del corpo libero utilizzando un sistema di assi cartesiani con x parallelo
al piano inclinato, come mostrato in figura.
Il corpo è in equilibrio e l’equazione del moto è:
y
T N Fg ma 0
Proietto l’equazione del moto sugli assi x e y:
asse x: T mg sin max 0
asse y: N mg cos ma y 0
da cui si ricava:
Fg
x
N mg cos 1kg (9.8m / s 2 ) cos(30 0 ) 8.5J
T mg sin 1kg (9.8m / s 2 ) sin( 30 0 ) 4.9J
b) Una volta tagliata la fune il corpo scivola lungo il piano inclinato con accelerazione costante
ax data da:
mg sin ma x a x g sin (9.8m / s 2 ) sin( 30 0 ) 4.9m / s 2
Il moto è uniformemente accelerato e la legge oraria è:
1
1
x x0 v0 t a x t 2 0 0 a x t 2
2
2
ove x0=0, v0=0 e la lunghezza del piano è x x0 h / sin
Il tempo impiegato è quindi dato da:
T
N
h
t2 2
( x x0 )
( x x0 )
1.5m
h
1
1
t 2
2
2
1.1 s
2
ax
ax
sin g sin
9.8m / s (sin 30 0 ) 2
Il tempo impiegato corrisponde alla soluzione positiva, cioè 1.1 s.
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) Nel punto A di partenza, alla sommità del piano inclinato, il corpo possiede solo energia potenziale,
pari ad
U A mgh (0.5kg) (9.8m / s 2 ) (2.0m) 9.8 J
Nel punto B, alla base del piano inclinato, per il principio di conservazione dell’energia meccanica,
il corpo ha convertito tutta l’energia potenziale in energia cinetica KB
1
K B mvB2 U A
2
da cui si può ricavare la velocità in B:
2U A
2 9.8 J
vB
6.3 m / s
m
0.5kg
In C il corpo ha perso parte della sua velocità, a causa dell’attrito con il piano. La variazione di
energia cinetica tra B e C può essere calcolata applicando il teorema lavoro-energia cinetica, in
cui l’unica forza attiva è la forza di attrito:
K K C K B Lattrito
1 2 1 2
mvC mvB Fattrito l d N l cos(1800 ) d N l d mgl
2
2
Nell’espressione precedente N = mg è il modulo della forza normale che è pari al modulo della forza
peso, essendo il piano orizzontale. La velocità in C è quindi pari a :
1
1
mvC2 mvB2 d mg l U A d mg l
2
2
2(U A d mg l )
2(mgh d mg l )
vC
2 g (h d l )
m
m
2 (9.8m / s 2 )( 2.0m 0.2 1.0m) 5.9m / s
Nel punto D, all’istante di contatto con la molla, il corpo ha la stessa energia cinetica (e quindi la
stessa velocità) posseduta in C, dato che il tratto CD, orizzontale, è privo di attrito:
K D KC
v D vC 5.9 m / s
b) La massima compressione d della molla può essere calcolata applicando il principio di
conservazione dell’energia meccanica tra l’istante di contatto con la molla (punto D, in cui tutta
l’energia è cinetica e pari a KD) e l’istante di massima compressione della molla (in cui il corpo
è fermo e tutta l’energia cinetica KD è stata convertita in energia potenziale della molla):
1
1
K D mvD2 U molla kd 2
2
2
m
0.5kg
d
vD
5.9 m / s 0.16 m
k
700 N / m
