compitino22-4-05

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE
I Compitino di FISICA 22 Aprile 2005
1) Una particella viene lanciata da un punto O del suolo , in un piano verticale terrestre. La velocità
iniziale è inclinata di 30° , rispetto al suolo , e vale 4 m/s. Si determini :
a) le componenti x e y della posizione della particella in funzione del tempo, la massima
quota raggiunta e il tempo impiegato a raggiungerla.
b) La distanza orizzontale percorsa dalla particella tra il punto di lancio e quello in cui
ricade al suolo e il tempo impiegato a percorrerla.
2) Un corpo di massa m = 1 kg è trattenuto da una fune su un piano liscio, inclinato di  = 300 e di
altezza h = 1.5 m, come mostrato in figura.
Si calcolino:
a) la tensione T della fune;
b) il tempo impiegato dal corpo a raggiungere la base del piano, una volta che si è tagliata la fune.
h

3) Un corpo di massa m = 0.5 kg scivola da fermo dal punto A lungo un piano inclinato di altezza
h = 2.0 m, privo di attrito. Giunto nel punto B, alla base del piano, il corpo continua il suo moto
lungo un piano orizzontale che nel tratto BC, lungo l = 1.0 m, è scabro con coefficiente di attrito
dinamico d = 0.2. Alla fine del piano, il corpo urta in D una molla di coefficiente elastico k = 700
N/m, come mostrato in figura.
Calcolare:
a) la velocità del corpo nei punti B, C e D;
b) la massima compressione d della molla.
A
h

B
C
D
SCRIVERE IN MODO CHIARO
GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI
SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE
NON DIMENTICARE LE UNITA` DI MISURA
SOLUZIONE ESERCIZIO 1
a) Fissato un sistema d’assi ( x,y) , con origine in O coincidente con il punto di lancio, nel piano
verticale terrestre, l’accelerazione dovuta all’attrazione gravitazionale terrestre ha componenti ax = 0 e
ay = -g . Le componenti della velocità sono pertanto vx = /v o / cos 30° , costante , mentre vy = -gt +
/v o / sen 30° . Le componenti della posizione sono quindi x= /v o / cos (30° ) t e y = - g t 2 / 2 + /v o /
sen (30°) t . Si ha quindi : x= 23 t e y = - g t 2 / 2 + 2 t . Nel punto di massima quota è nulla la
componente vy della velocità. Si pone pertanto vy = 0 e si ricava t = 2/g = 0.2 s. La quota massima
raggiunta dalla particella, y max, si ottiene sostituendo questo valore nella relazione che esprime la
componente y della posizione in funzione del tempo . E ‘ pertanto y max= 0.2 m.
b) Il tempo impiegato a ricadere al suolo si ottiene facilmente ponendo y=0 nella relazione
y = - g t 2 / 2 + /v o / sen (30°) t . Una delle due soluzioni, t= 0 , corrisponde all’istante iniziale del
lancio , mentre la seconda , t = 4/g = 0.4s, è il tempo impiegato a ricadere al suolo . Si noti che , come
aspettato , è il doppio di quello impiegato a raggiungere la quota massima . La distanza orizzontale
percorsa in questo intervallo di tempo è quindi x= 2 3 4/g = 1.4 m .
SOLUZIONE ESERCIZIO 2
a) Disegniamo il diagramma del corpo libero utilizzando un sistema di assi cartesiani con x parallelo
al piano inclinato, come mostrato in figura.
Il corpo è in equilibrio e l’equazione del moto è:
y
  

T  N  Fg  ma  0
Proietto l’equazione del moto sugli assi x e y:
asse x:  T  mg sin   max  0
asse y: N  mg cos   ma y  0
da cui si ricava:
Fg 
x

N  mg cos   1kg  (9.8m / s 2 )  cos(30 0 )  8.5J
T  mg sin   1kg  (9.8m / s 2 )  sin( 30 0 )  4.9J
b) Una volta tagliata la fune il corpo scivola lungo il piano inclinato con accelerazione costante
ax data da:
mg sin   ma x  a x  g sin   (9.8m / s 2 )  sin( 30 0 )  4.9m / s 2
Il moto è uniformemente accelerato e la legge oraria è:
1
1
x  x0  v0 t  a x t 2  0  0  a x t 2
2
2
ove x0=0, v0=0 e la lunghezza del piano è x  x0  h / sin 
Il tempo impiegato è quindi dato da:
T
N
h
t2  2
( x  x0 )
( x  x0 )
1.5m
h
1
1
 t 2
 2
 2
 1.1 s
2
ax
ax
sin  g sin 
9.8m / s (sin 30 0 ) 2
Il tempo impiegato corrisponde alla soluzione positiva, cioè 1.1 s.
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) Nel punto A di partenza, alla sommità del piano inclinato, il corpo possiede solo energia potenziale,
pari ad
U A  mgh  (0.5kg)  (9.8m / s 2 )  (2.0m)  9.8 J
Nel punto B, alla base del piano inclinato, per il principio di conservazione dell’energia meccanica,
il corpo ha convertito tutta l’energia potenziale in energia cinetica KB
1
K B  mvB2  U A
2
da cui si può ricavare la velocità in B:
2U A
2  9.8 J 
vB 

 6.3 m / s
m
0.5kg
In C il corpo ha perso parte della sua velocità, a causa dell’attrito con il piano. La variazione di
energia cinetica tra B e C può essere calcolata applicando il teorema lavoro-energia cinetica, in
cui l’unica forza attiva è la forza di attrito:
K  K C  K B  Lattrito

1 2 1 2 
mvC  mvB  Fattrito  l   d N l cos(1800 )    d N l    d mgl
2
2
Nell’espressione precedente N = mg è il modulo della forza normale che è pari al modulo della forza
peso, essendo il piano orizzontale. La velocità in C è quindi pari a :
1
1
mvC2  mvB2   d mg l  U A   d mg l
2
2
2(U A   d mg l )
2(mgh   d mg l )
vC 

 2 g (h   d l )
m
m
 2  (9.8m / s 2 )( 2.0m  0.2  1.0m)  5.9m / s
Nel punto D, all’istante di contatto con la molla, il corpo ha la stessa energia cinetica (e quindi la
stessa velocità) posseduta in C, dato che il tratto CD, orizzontale, è privo di attrito:
K D  KC
v D  vC  5.9 m / s
b) La massima compressione d della molla può essere calcolata applicando il principio di
conservazione dell’energia meccanica tra l’istante di contatto con la molla (punto D, in cui tutta
l’energia è cinetica e pari a KD) e l’istante di massima compressione della molla (in cui il corpo
è fermo e tutta l’energia cinetica KD è stata convertita in energia potenziale della molla):
1
1
K D  mvD2  U molla  kd 2
2
2
m
0.5kg
d
vD 
5.9 m / s  0.16 m
k
700 N / m