Introduzione
all’Astrofisica
AA 2014/2015
Prof. Alessandro Marconi
Dipartimento di Fisica e Astronomia
Università di Firenze
INAF - Osservatorio Astrofisico di Arcetri
Contatti, Bibliografia e Lezioni
Prof. Alessandro Marconi
Dipartimento di Fisica e Astronomia, stanza 254 (2o piano)
Via G. Sansone 1, 50019, Sesto Fiorentino (Firenze)
email: [email protected]
tel: 055 457 2069 !
Bibliografia
Dan Maoz
Astrophysics in a Nutshell
Princeton University Press
!
!
Dove trovare le lezioni
http://www.arcetri.astro.it/~marconi → ”Didattica”
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
2
Programma del corso
Introduzione ai processi astrofisici in
Stelle
Struttura stellare, evoluzione stellare (→ LM: Astrofisica)
Galassie
Struttura e tipi di galassie, Materia Oscura, Nuclei Galattici Attivi e
Buchi Neri, Ammassi di Galassie (→ LM: Fisica delle Galassie)
Cosmologia
Il modello cosmologico standard, l’energia oscura (→ LM: Cosmologia)
Fornendo una panoramica dei sistemi oggetto di ricerca moderna e dei processi fisici rilevanti
delle metodologie d’indagine
Studio approfondito richiede familiarità con
calcolo ed equazioni differenziali, meccanica classica e quantistica,
relatività speciale e generale, elettromagnetismo, idrodinamica e
magnetoidrodinamica, termodinamica e meccanica statistica
in pratica con gran parte della fisica classica e moderna!
Il Corso
A parte casi semplici, eviteremo lunghe trattazioni matematiche (→laurea
magistrale) e ci limiteremo a
stime di ordine di grandezza
utilizzo relazioni di scala
utilizzo dei risultati di una derivazione matematica accurata
Approccio non comune per gli studenti!
Calcoli rigorosi fondamentali per risultato finale, in Fisica come in Astrofisica
(es. fattore 2π non importante per capire la fisica ma per risultato finale!).
Ma la maggioranza fisici ed astrofisici non affronta un nuovo problema
partendo da modelli e calcoli rigorosi.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
4
Notazione, convenzioni, unità di misura
Per tradizione, astronomi utilizzano strane unità di misura
unità cgs, Å, km, parsec, anni luce, masse e luminosità solari (M⊙, L⊙), ecc.
!
Convenzioni per la notazione
=
≃
≈
∝
~
relazioni matematiche esatte (o più accurate del 10%);
talvolta per risultati numerici con incertezze superiori al %;
relazioni matematiche approssimate o risultati numerici meno accurati
del 10%;
proporzionalità stretta dipendenza funzionale approssimata
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
5
Massa dell’elettrone
me = 9.1
10
g
Costanti ed unità di misura (2 cifre signif.)
Carica dell’elettrone
e = 4.8
Elettron-Volt
1 eV = 1.6
Sezione d’urto Thomson
⌅T = 6.7
Legge di Wien
ella 1: Costanti e Unità di misura con 2 cifre significative (Credits: AstroNutshell)
8
Costante gravitazionale
G = 6.7
10
Velocità della luce
c = 3.0
1010 cm s
Costante di Planck
h = 6.6
10
2
erg cm g
1
27
erg s
h̄ = h/2⇤ = 1.1
10
27
erg s
1
R⇤ = 7.0
1010 cm
Distanza Terra-Sole
d⇤ = 1 AU = 1.5
Massa di Giove
MX = 1.9
Costante di radiazione
a = 4⌅/c = 7.6
Massa del protone
mp = 1.7
10
24
g
Massa della Terra
Massa dell’elettrone
me = 9.1
10
28
g
Carica dell’elettrone
e = 4.8
Elettron-Volt
1 eV = 1.6
Sezione d’urto Thomson
⌅T = 6.7
Legge di Wien
max
10
10
10
esu
10
12
10
25
15
s
1
erg cm
2
= 2900 Å (T /104 K)
1
h⇥max = 2.4 eV (T /104 K)
8
Angstrom
1 Å = 10
Massa solare
M⇤ = 2.0
1033 g
Luminosità solare
L⇤ = 3.8
1033 erg s
Raggio solare
R⇤ = 7.0
1010 cm
Distanza Terra-Sole
d⇤ = 1 AU = 1.5
Massa di Giove
M
A. Marconi
4
3
K
4
cm
cm
109 cm
M⇥ = 6.0
1027 g
Raggio della Terra
R⇥ = 6.4
108 cm
Massa della Luna
M$ = 7.4
1025 g
Distanza Giove-Sole
1013 cm
dX = 5.2 AU = 7.8
Distanza Terra-Luna
R$ = 1.7
1 AU = 1.5
1
1030 g
RX = 7.1
Raggio di Giove
Raggio della Luna
erg
cm
K
8
Raggio solare
10
1
h⇥max = 2.4 eV (T /104 K)
1033 erg s
⌅ = 5.7
2
= 2900 Å (T /104 K)
L⇤ = 3.8
Costante di Stefan-Boltzmann
2
cm
Luminosità solare
5
erg cm
25
10
erg
1033 g
10
1
12
M⇤ = 2.0
= 8.6
eV K
10
Massa solare
16
5
1
esu
1 Å = 10
10
erg K
10
Angstrom
k = 1.4
Costante di Boltzmann
max
10
1013 cm
108 cm
1010 cm
Unità astronomica
d$ = 3.8
Parsec
1 pc = 3.1
1018 cm = 3.3 ly
Anno
1 yr = 3.15
1013 cm
107 s
1
3
1013 cm
=Introduzione
1.9 1030 g
all’Astrofisica 2014/2015
6
Astrofisica e Fisica
Astrofisica è un ramo della Fisica, ed è pertanto scienza sperimentale con
stretta interazione tra teoria e sperimentazione. Segue gli stessi metodi ed utilizza gli stessi strumenti degli altri rami della
fisica.
Principali differenze tra Astrofisica ed altri rami della Fisica:
Scienza osservativa, no esperimenti di laboratorio (ovvio ...)
Informazione da onde elettromagnetiche
(ed in piccola parte neutrini, raggi cosmici, onde gravitazionali)
viaggiano a velocità finita c = 3 ×105 km/s
Tempi scala evolutivi ≫ vita umana
Sorgenti osservate nel “passato”
Sistemi complessi in condizioni fisiche “estreme”
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
7
Astrofisica e Fisica
Tempi scala evolutivi ≫ vita umana:
es. tempi scala evolutivi stelle massicce 105 - 106 yr, stelle tipo Sole
1-10 Gyr. Non evoluzione del singolo sistema, ma studio statistico di
popolazione (con problemi per selezione dei campioni)
Sorgenti osservate nel “passato”: sorgente a distanza D, la radiazione e.m. impiega tempo Δt = D / c a
raggiungerci. Osserviamo sorgente non “adesso” ma un tempo Δt nel
passato (look-back time).
c costante, Δt spesso utilizzato come misura di distanza: stella a D = 10
l-yr (light-years = anni luce) significa che la luce ha impiegato Δt = 10 yr
a raggiungerci, ovvero D = c Δt = 9.5 ×1017 cm
guardare indietro nel tempo: si osservano galassie a vari 109 l-yr di
distanza, tempi significativi rispetto ai tempi evolutivi → possibile
confronto tra galassie lontane e vicine per studi evolutivi.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
8
Astrofisica e Fisica
Sistemi complessi in condizioni fisiche “estreme” molto spesso (quasi sempre) non ricreabili in laboratorio;
complicazioni “esterne” (atmosfera terrestre, ecc.);
sorgenti dello stesso tipo (stessi processi fisici) si originano da condizioni
iniziali (molto) diverse;
Le incertezze sulla stima di grandezze fisiche possono essere molto
grandi: una misura accurata può avere incertezze dell’ordine del 10-20%,
altre misure possono fornire solo ordini di grandezza.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
9
Sistemi Astrofisici: Stelle
Il nostro Sole è una stella
abbastanza tipica.
In generale le stelle variano molto in:
Età (oss. 106 ➫ 1010 yr)
Massa (0.1 ➫ 60 M⊙)
Luminosità (10-2 ➫ 106 L⊙)
Raggio (0.001 ➫ 1000 R⊙)
Temperatura superficiale (3000 K ➫ 50000 K) legata al colore della stella (Rosso ➫ Blu)
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
Ammasso aperto M25
10
Sistemi Astrofisici: La Via Lattea
Galileo fu il primo a rendersi conto che la Via Lattea è fatta da stelle!
Sole
Via Lattea: ~200 ×109 stelle
Distanza Sole-centro: 2.6 ×104 ly
Diametro disco: ~1.6 ×105 ly
Spessore disco: ~ 3.3 ×103 ly
Massa totale: ~ 6 ×1011 M⊙ Massa “visibile”: ~20% MTOT
Luminosità totale: ~2 ×1011 L⊙
Sistemi Astrofisici: Galassie
Galassie a Spirale
es. M83
Galassie Irregolari
es. Grande Nube di Magellano
Galassie Ellittiche
es. Messier 87 (M87)
Dimensioni tipiche: 3×102 → 1×106 ly
Masse tipiche: 107 → 1014 M⊙
Luminosità tipiche: 106 → 1013 L⊙ Età delle pop. stellari: < 1 Gyr fino a ~14 Gyr
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
12
Sistemi Astrofisici: AGN
Radiosorgente
Cigno A
galassia
ospite
500,000 ly
Circa il 10% di tutte le galassie presentano un Nucleo Galattico Attivo (Active Galactic Nucleus - AGN).
Sorgenti compatte ( < 1 ly) e luminose (108 → 1014 L☉) di radiazione al
centro delle galassie.
In alcuni casi noti come Quasar, l’AGN è così luminoso da nascondere
la galassia stessa (LAGN ~100 Lgalassia da un volume VAGN~10-10 Vgalassia).
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
13
Sistemi Astrofisici: Ammassi di Galassie
Una parte dell’ammasso
della Vergine
La maggioranza delle galassie vive
in ammassi.
!
Il Gruppo Locale è un ammasso
“povero”.
Ammassi “ricchi” contengono
~1000 galassie.
!
M87, galassia centrale
dell’ammasso della
Vergine
A. Marconi
L’ammasso della Vergine contiene
2500 galassie
Diametro: ~107 ly
Distanza: ~5.5 ×107 ly
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
14
Sistemi Astrofisici: Super-Ammassi
5.8×108 ly
Gli ammassi di galassie sono
raggruppati in superammassi Diametro: ~6 ×108 ly
!
Gerarchia di strutture
(simulazione)
A. Marconi
I superammassi formano
filamenti e “muri” attorno a
“vuoti”.
Queste sono le strutture più
grandi note nell’universo.
Hanno dimensioni tipiche
dell’ordine di ~6 ×108 ly.
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
15
Dimensioni
tipiche
Tabella 2: Dimensioni e distanze tipiche dei sistemi astrofisici
⇥ 1.5 m
1.5 102 cm
Dimensione tipica dell’uomo
6.4 103 km
6.4 108 cm
Diametro della Terra
1.4 106 km
1.4 1011 cm Diametro del Sole
1 AU
1.5 1013 cm Distanza Terra-Sole
60 AU
9.0 1014 cm Diametro dell’orbita di Nettuno
2.7 105 AU
4.0 1018 cm Distanza di Proxima Centauri dal Sole
2.8 104 ly
2.6 1022 cm Distanza del Sole dal centro della Via Lattea
⇥ 105 ly
1.9 1023 cm Diametro della Via Lattea
⇥ 107 ly
9.5 1024 cm Diametro dell’Ammasso della Vergine
⇥ 2.5106 ly
⇥ 5.5
⇥6
107 ly
108 ly
⇥ 1.3
A. Marconi
1010 ly
2.4 1024 cm Distanza della Galassia di Andromeda
5.2 1025 cm Distanza dell’Ammasso della Vergine
5.7 1026 cm Diametro tipico di un Superammasso
1.2 1028 cm Oggetto più distante noto al 2009 (Quasar)
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
16
hubblesite.org
APOD: apod.nasa.gov
eso.org
Fondamenti di
Trasporto Radiativo
Luminosità e Flusso della radiazione
Sorgente astrofisica che emette energia dE in tempo dt.
La luminosità è la quantità di energia irraggiata nell’unità di tempo:
!
!
!
dE
L=
dt
1
[ erg s
, oppure L ]
!
la luminosità, e non l’energia irraggiata, è la
quantità che meglio caratterizza una sorgente
astrofisica.
Dato un elemento di superficie dA, attraversato da
una quantità di energia dE nel tempo dT posso
definire il flusso della radiazione come
!
!
!
dE
F =
dAdt
[ erg s
1
cm
2
]
dA
ovviamente bisogna considerare con segno opposto
la radiazione che entra o esce dalla superficie.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
19
Relazione flusso - luminosità
Sorgente puntiforme che emette radiazione in modo isotropo (es. una stella);
è sorgente di onde sferiche, con luminosità L.
Nel tempo Δt irraggia energia ΔE = L Δt.
Dopo un certo tempo, questa energia attraversa
una superficie sferica di raggio r centrata sulla
sorgente, per cui il flusso attraverso quella
superficie è
!
!
F (r) =
E
4 r2
r
L
=
t
4 r2
questa relazione è valida per ogni r, per la conservazione dell’energia (ovvero
se non ci sono processi di emissione o assorbimento della radiazione oltre a
quelli nella sorgente).
F dipende dall’inverso del quadrato della distanza dalla sorgente.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
20
Luminosità e flusso specifici
L e F così definite sono quantità “bolometriche” ovvero integrate su tutto lo
spettro e.m.
E’ utile considerare le quantità specifiche, ovvero per unità di banda di
frequenza (o lunghezza d’onda):
!
!
!
dE
L⌫ =
dt d
[ erg s
1
Hz
1
L=
]
!
!
!
dE
F⌫ =
dA dt d
[ erg cm
2
s
1
Hz
1
]
F =
!
!
ovviamente risulta
A. Marconi
Z
+1
L⌫ d
0
Z
+1
F⌫ d
0
L⌫
F⌫ (r) =
4 r2
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
21
Luminosità e flusso specifici
Relazioni analoghe valgono per unità di banda di lunghezza d’onda ovvero
!
!
!
!
dE
L =
dt d
dE
F =
dA dt d
L d = L⌫ d⇥
F d = F⌫ d⇥
dove le relazioni con le quantità per unità di banda di frequenza si ottengono
banalmente dalla conservazione dell’energia.
Ad esempio nel caso del flusso si ha !
!
F = F⌫
d⇥
c
= F⌫ (c/ ) 2
d
F = ⇥F⌫
!
!
dato che
A. Marconi
d⇥
⇥
c
= 2 =
d
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
22
Intensità (brillanza) della radiazione
Il flusso è una misura dell’energia trasportata da tutti i raggi che attraversano
la superficie dA indipendentemente dalla direzione da cui provengono.
Come si caratterizza l’energia trasportata lungo un raggio ovvero lungo una
direzione definita?
!
!
!
!
!
!
!
I
,perp
dE
=
dA dt d d
[ erg cm
2
s
1
Hz
1
sterad
1
[ erg cm
2
s
1
Hz
1
arcsec
2
raggio
ale
dΩ
norm
Consideriamo tutti i raggi che attraversano dA
attorno alla normale alla superficie.
L’intensità specifica o brillanza è l'energia per unità
di tempo, superficie, angolo solido e banda di
frequenza, ovvero
]
]
dA
dove “perp” ricorda che si considera solo la
radiazione lungo la perpendicolare alla superficie.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
23
Intensità (brillanza) della radiazione
dove θ è l’angolo tra la direzione di
propagazione e la normale alla superficie.
norm
dE
I⌫ =
cos dA dt d d⇥
ale
In generale se dA non è perpendicolare alla direzione di propagazione la
definizione di intensità si generalizza come
θ
Questa definizione si spiega col voler
considerare la superficie “vista” dalla
radiazione nella sua propagazione. cosθ dA è proprio la superficie proiettata
perpendicolarmente alla direzione di
propagazione.
dΩ
dA
Nel caso in cui cosθ = π/2, l’energia dE che
attraversa una superficie vista di “taglio” è
ovviamente 0.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
24
Intensità (brillanza) della radiazione
norm
ale
raggio
norm
ale
dΩ
dA
A. Marconi
ϑ
dΩ
dA
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
25
Relazione tra intensità e flusso
In base alle definizioni
dE = I⌫ cos ⇥ dA dt d d⇤ = F⌫ dA dt d⇤
F⌫ = I⌫ cos ⇥ d
dove δFν è il contributo al flusso dato dalla radiazione lungo la direzione
considerata per Iν. Per ottenere Fν occorre integrare su tutto l’angolo solido
F⌫ =
Z
I⌫ ( ) cos d
4⇡
I⌫ = I⌫ ( )
per evidenziare la dipendenza
dalla direzione di propagazione
dΩ angolo solido e, rispetto a coordinate sferiche, vale d
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
= sin d d⇥
26
Relazione tra intensità e flusso
Esempi:
!
Campo radiazione isotropo
F⌫ = I ⌫
Z
cos d =
I⌫ ( ) = cost.
Z
2⇡
d⇥
0
Z
⇡
d cos sin = 0
0
Se I⌫ ( ) = cost. ma la radiazione proviene da un solo lato della superficie
dA (ad esempio, sulla superficie di una stella) allora
F =I
A. Marconi
Z
cos d =
Z
2⇥
d⇤
0
Z
⇥/2
d cos sin = ⇥I
0
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
27
Relazione tra intensità e densità energia
La densità di energia della radiazione elettromagnetica è
dE = u⌫ d⌫ dV
dE
u⌫ =
d⌫ dV
[ erg cm
3
Hz
1
]
t
d
c
P
dA
Ω
Il contributo alla densità di energia in P dalla radiazione trasportata lungo la
direzione Ω è dato dall’energia contenuta nel cilindro di altezza c dt
dE(⌦) = du⌫ (⌦) d⌫ dA c dt = I⌫ dA dt d⌦ d⌫
Considerando intensità media su angolo solido
J⌫ = I⌫
per radiazione isotropa
du⌫ (⌦)
I⌫ = c
d⌦
Z
1
J⌫ =
I⌫ (⌦) d⌦
4⇡ ⌦
Si ottiene:
c
J⌫ =
u⌫
4⇡
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
28
Conservazione della Brillanza
1
2
dΩ1
R
s
dΩ2
dA1
dA2
Perché la brillanza è utile? Perché si conserva lungo la linea di vista
(in assenza di processi di emissione o assorbimento).
Consideriamo solo i raggi che attraversano 1 e 2.
Lungo la direzione di propagazione, le superfici 1 e 2 sono attraversate
dalle quantità di energia
A. Marconi
dE1 = I⌫1 dA1 dt d
1
d
dE2 = I⌫2 dA2 dt d
2
d
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
29
Conservazione della Brillanza
1
2
dΩ1
R
dA1
A. Marconi
s
dΩ2
dA2
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
30
Conservazione della Brillanza
Consideriamo solo i raggi che attraversano 1 e 2:
l’energia si conserva ovvero dE1 = dE2
i raggi passanti per 1 che attraversano 2 sono quelli entro l’angolo solido
d
1
= dA2 /R
2
i raggi passanti per 2 che attraversano 1 sono quelli entro l’angolo solido
d
2
= dA1 /R
2
combinando queste tre relazioni con le espressioni per dE1 e dE2 si ottiene
I⌫1 = I⌫2
ovvero la conservazione della brillanza (in assenza di processi di emissione
o assorbimento lungo la direzione di propagazione).
La brillanza osservata è la stessa di quella emessa dalla sorgente.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
31
Equazione del trasporto radiativo
La conservazione della brillanza lungo la direzione di propagazione si può
esprimere come:
dI
=0
ds
s
Se lungo la direzione di propagazione avvengono fenomeni di emissione
possiamo aggiungere a secondo membro un “coefficiente di emissione”
dI⌫
= j⌫
ds
s
il significato fisico del coefficiente j𝜈 è facilmente intuibile, infatti
dE = I⌫ d⌫ dt dA d⌦ = (j⌫ ds) d⌫ dt dA d⌦
ma ds dA è un volume per cui si può scrivere
dE = j⌫ d⌫ dt dV d⌦
ovvero jν ha le dimensioni
A. Marconi
[ erg cm
3
s
1
Hz
1
sterad
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
1
]
32
Equazione del trasporto radiativo
Se lungo la direzione di propagazione avvengono fenomeni di assorbimento,
la diminuzione di intensità deve essere proporzionale all’intensità stessa
(una frazione della luce è assorbita) per cui si deve avere
s
dI⌫
=
ds
↵⌫ I⌫
con α ν coefficiente di assorbimento. Se l’assorbimento è dovuto
all’interazione con n atomi (elettroni, ecc.) per unità di volume ed il processo
ha sezione d’urto 𝜎𝜈 allora il numero di assorbitori nel volume ds dA è n ds dA
e la superficie che assorbe la radiazione è dAass = n 𝜎𝜈 ds dA
La quantità di energia assorbita sarà pertanto data dalla radiazione
emessa nell’angolo solido dOmega che attraversa la superficie dAass
dE =
da cui
dI⌫ = n
dI⌫ dA d⌦ dt d⌫ = I⌫ (n
⌫
I⌫ ds
ovvero
↵⌫ = n
Mettendo insieme assorbimento ed emissione si
ottiene l’Equazione del Trasporto Radiativo
A. Marconi
⌫ dA ds)d⌦ dt d⌫
⌫
dI
=
ds
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
I +
33
Equazione del trasporto radiativo
Posso definire la profondità ottica d⇥ =
dI
=
d⇥
ds
I +
In caso di solo assorbimento posso facilmente ottenere la soluzione
Iν(0)
Iν(s)
s
dI
=
d
I
dI
dI= d
I
= d
I
⇥ I (0) e
I
=
I = I (0) e
⇥
Posso riuscire a vedere sorgenti solo attraverso una profondità
Un esempio è la “visibilità” nella nebbia: una visibilità di 100 m
significa che la profondità ottica diventa ~1 dopo 100 metri.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
⌧⌫ ⇠ 1
34
Equazione del trasporto radiativo
La profondità “ottica” di un mezzo è quindi data da
d⇥ =
Z s
Z s
Ovvero
⌧⌫ (s) =
↵⌫ ds =
s0
n
ds
⌫ ds
s0
Se il mezzo è a densità costante, si può quindi scrivere
⌧⌫ (s)
Z
s
n
⌫ ds
=n
⌫
s
s0
Supponiamo di avere una nube di gas ionizzato (solo H) con n ~ 106 cm-3
atomi, come si può trovare nel mezzo interstellare o in un nucleo galattico.
Quali sono le sue dimensioni lineari perché la sua profondità ottica sia ~1,
ovvero sia otticamente spessa alla radiazione?
Nel gas ionizzato il meccanismo di opacità (che è anche quello più semplice
considerato) è la diffusione della luce da parte di elettroni liberi (scattering
Thomson) caratterizzata da
T
8⇡
=
3
✓
2
e
me c2
◆2
= 6.7 ⇥ 10
25
cm2
σT è la sezione d’urto Thomson; è la minima sezione d’urto per l’interazione
tra materia e radiazione.
Equazione del trasporto radiativo
T
8⇡
=
3
✓
2
e
me c2
◆2
= 6.7 ⇥ 10
25
cm2
Ovviamente, poichè 𝜎T ~ 1/m2, l’interazione avviene con i soli elettroni, per
cui la densità di “assorbitori” è pari alla densità di elettroni, a sua volta pari
alla densità di atomi (solo H, completamente ionizzato).
Per avere profondità ottica ~1 si deve quindi avere:
1
1
s=
= 6
n T
10 cm 3 ⇥ 6.7 ⇥ 10 25 cm2
⇣
⌘
1
n
18
= 1.49 ⇥ 10 cm
' 0.5 pc
6
3
10 cm
Quindi per poter diventare “opaca” alla radiazione la nube deve essere lunga almeno mezzo parsec! Se la nube è più densa, può essere più corta.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
36
Equazione del trasporto radiativo
Torniamo all’equazione del trasporto radiativo e definiamo la funzione
sorgente
dI
=
d⇥
j⌫
S⌫ =
↵⌫
I +
dI⌫
=
d⌧⌫
I ⌫ + S⌫
e utilizziamo la profondità ottica come variabile di integrazione:
moltiplichiamo membro a membro per
definiamo le quantità
I = I⌫ e
l’equazione diviene
dI
=S
d⌧⌫
la cui soluzione è
A. Marconi
e⌧⌫
⌧⌫
I(⌧⌫ ) = I(0) +
S = S⌫ e
Z
⌧⌫
0
⌧⌫
S(⌧⌫0 )d⌧⌫0
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
37
Equazione del trasporto radiativo
La soluzione in termini di I e S è pertanto
I(⌧⌫ ) = I(0)e
⌧⌫
+
Z
⌧⌫
e
⌧⌫0 )
(⌧⌫
0
S(⌧⌫0 )d⌧⌫0
Questa rappresenta l’intensità iniziale diminuita dall’assorbimento più la
funzione sorgente diminuita a sua volta dall’assorbimento.
Consideriamo il caso in cui S𝜈 è costante, si può facilmente verificare che la
soluzione dell’equazione del trasporto radiativo è
I⌫ (⌧⌫ ) = I⌫ (0)e
⌧⌫
+ S⌫ (1
e
⌧⌫
)
Nei limiti otticamente “sottile” e “spesso” diviene
⌧⌫ ⌧ 1
⌧⌫
1
I⌫ ' I⌫ (0) + [S⌫
I⌫ (0)]⌧⌫
I ⌫ ' S⌫
ovvero, ciò che si vede nel limite otticamente spesso è solo la funzione
sorgente!
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
38
Equazione del trasporto radiativo
Ricapitolando, supponiamo di avere una sorgente sferica e otticamente
spessa di radiazione: quella che giunge a noi è solo la radiazione emessa da una buccia di
spessore 𝜏𝜈
l’intensità è pari alla funzione sorgente S𝜈
⌧⌫
S⌫
Com’è fatta la funzione sorgente? Proviamo a capire qualcosa dalle stelle
che si identificano bene con l’esempio appena fatto.
Esempi di spettri stellari
Scala lineare
Scala logaritmica
Perché si usa λFλ in scala logaritmica?
Interessa l’integrale, ovvero l’area sotto la curva:
F1,2 =
Z
2
F d =
1
Z
log
2
F ln 10 d log
log
log λFλ(λ)
1
log λ
Spettri stellari
Per studiare le proprietà dell’emissione continua delle stelle è utile introdurre
il concetto di corpo nero.
T=
40
00
0K
T=1
5400
K
Spettri stellari e
spettri dei corpi
neri che meglio
li approssimano
alle temperature
indicate in figura
K
0
0
2
8
T=
50
50
K
T=
43
=
T = 58
00 K
64
T=
T
K
355
0K
Il Corpo Nero
Il corpo nero (Black Body) è un assorbitore perfetto, ovvero un corpo che
assorbe tutta la radiazione che gli cade sopra.
Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da
un parametro ovvero la sua temperatura.
Esempio di corpo nero: foro di una cavità molto grande.
Tutta la radiazione che entra nel foro dopo molto riflessioni nella cavità
viene quasi totalmente assorbita.
Cavità di Corpo Nero
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
42
Lo spettro di Corpo Nero
L’origine fisica dello spettro di corpo nero fu compresa da Planck alla fine
dell‘800. Planck fece la famosa ipotesi di quantizzazione per il corpo nero (arrivando
alla definizione della costante h) e riuscì ad ottenere la forma funzionale dello
spettro della radiazione emessa dal corpo nero.
Intensità della radiazione di corpo nero:
!
!
2h 3
B (T ) = 2 h
c e
1
/kT
1
4⇡
u⌫ =
B⌫ (T )
c
T temperatura del corpo nero (in gradi Kelvin, K)
h costante di Planck h = 6.6 × 10-27 erg s
k costante di Boltzmann k = 1.4 × 10-16 erg K-1
[ hν/kT ] = numero puro
[ 2hν3 / c2 ] = dimensioni di intensità (es. erg cm-2 s-1 Hz-1 = erg cm-2)
B d = B⌫ d⇥ da cui si ottiene B (T ) = B⇥
A. Marconi
d⇥
2h c2
1
=
5 ehc/ kT
d
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
1
43
Proprietà dello spettro di Corpo Nero
L’emissione di corpo nero è isotropa.
Il flusso emergente dalla superficie di un corpo nero (es. stella) è !
!
F⌫ =
Z
I⌫ cos d = ⇥I⌫ = ⇥B⌫
⌦BB
vedi gli esempi della relazione tra intensità e flusso.
Il flusso alla superficie di una stella è !
!
F⌫ (r? ) = B⌫ (T? )
T★ temperatura superficiale della stella.
La luminosità della stella è perciò
!
!
L⌫ = 4 r?2 F⌫ (r? ) = 4 r?2 B⌫ (T? )
pertanto il flusso osservato a Terra è espresso come
!
!
L⌫
f⌫ =
=
2
4 d
⇣ r ⌘2
?
d
B⌫ (T? )
funzione di tre parametri fondamentali, r★, T★ e d.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
44
Proprietà dello spettro di Corpo Nero
L’emissione del corpo nero integrata su tutto lo spettro è
F =
Z
+1
F d =
0
cambio di variabile
F =
Z
+1
0
2h
c2
✓
kT
h
Z
+1
0
h
z=
kT
◆4
z3
1
ez
2h 3
c2 eh
1
/kT
1
d
h
dz =
d
kT
2 h
dz = 2
1
c
ovvero vale la Legge di Stefan-Boltzmann
✓
kT
h
F =
◆4 Z
z3
ez
0
1
dz
T4
σ costante di S.-B.
2 5 k4
⇥=
= 5.7 ⇥ 10
2
3
15c h
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
5
+1
erg s
1
cm
2
K
4
45
Proprietà dello spettro di Corpo Nero
La posizione del picco di emissione del corpo nero si ottiene da
dB⌫
=0
d
dB
=0
d
oppure
da cui si ottiene la legge di Wien
h⇥max = 2.8 kT
max T
max
6= c/⇥max
= 0.29 cm K
poiché deve valere
B d = B⌫ d⇥
pertanto il ν a cui c’è il picco di Bν non è lo stesso a cui c’è il picco di Bλ
Dato che
L⌫ = f⌫ (r? )4 r?2 integrando su ν si ottiene
L=4
2
r?
4
⇥T?
relazione fondamentale che lega L, raggio r★, e temperatura superficiale T★.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
46
La temperatura del Sole ...
Applichiamo al Sole, di cui conosciamo L = L⊙ e r = r⊙, la relazione fondamentale
✓
L = 4 r?2 ⇥T?4
◆1/4
L
T =
=
2
4 R ⇥
✓
3.8 ⇥ 1033 erg s 1
=
4 (7.0 ⇥ 1010 cm)2 ⇥ 5.7 ⇥ 10 5 erg cm
3
= 5.7 ⇥ 10 K
2
s
1
K
4
◆1/4
=
Il picco dell’emissione solare avviene per
max
0.29 cm K
=
' 5100Å
5700 K
ovvero la luce verde. Gli animali diurni si sono adattati alla luce solare ed i
loro occhi hanno la massima sensibilità proprio in corrispondenza del
massimo dell’emissione solare.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
47
Proprietà dello spettro di Corpo Nero
2h 3
B (T ) = 2 h
c e
1
/kT
1
h
⌧1
kT
2h 3
1
B ' 2
h
c 1 + kT
h
kT
2h 3
B⌫ ' 2 e
c
h
kT
λBλ(T)
00
K
K
00
0K
500
10
00
2
coda di Rayleigh-Jeans
coda di Wien
00
100
00
K
10
500
1
2kT
= 2
c
1
K
νBν(T)
Spettri stellari: la fotosfera
Temperatura di una stella varia con il raggio:
T~106-107 K al centro (r = 0);
T~103-104 K in superficie (r = r★ ).
Spettro osservato della stella è costituito dai fotoni provenienti dallo strato
superficiale esterno detto fotosfera (quello per cui lo spessore ha 𝜏𝜈~1)
La base della fotosfera è superficie
dove i fotoni subiscono ultimo
processo di diffusione (scattering)
all’interno della stella.
Materiale alla base della fotosfera
emette spettro di Planck di corpo
nero che viene modificato dal
materiale più freddo e trasparente
negli strati più esterni che
costituiscono il resto della fotosfera.
A. Marconi
FOTOSFERA
Ultima
interazione del fotone
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
Interno della stella
49
Equazione del trasporto radiativo
Torniamo all’equazione del trasporto radiativo e chiediamoci cosa sia la
funzione sorgente
dI⌫
=
d⌧⌫
j⌫
S⌫ =
↵⌫
I ⌫ + S⌫
Ricordiamo che la soluzione con funzione sorgente costante è
I⌫ (⌧⌫ ) = I⌫ (0)e
⌧⌫
+ S⌫ (1
e
⌧⌫
)
Ovvero se I𝜈 > S𝜈 allora si deve avere dI𝜈/d𝜏𝜈 < 0 e I𝜈 tende a decrescere
lungo il raggio. Viceversa se I𝜈 < S𝜈 allora dI𝜈/d𝜏𝜈 > 0 e I𝜈 tende a crescere.
Quindi S𝜈 è la quantità a cui I𝜈 tende, e la raggiunge se si ha una sufficiente
profondità ottica. In questi termini l’equazione del trasporto radiativi
descrive un processo di “rilassamento”.
!
Se le stelle sono otticamente spesse e gli spettri sono approssimativi come
un corpo nero, è naturale supporre che S𝜈 ~ B𝜈(T).
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
50
Equazione del trasporto radiativo
Consideriamo adesso un elemento a temperatura T che emetta
termicamente e mettiamolo dentro l’apertura di una cavità di corpo nero alla
stessa temperatura T. Sia S𝜈 la funzione sorgente.
Per quanto appena detto, se S𝜈 < B𝜈 allora anche I𝜈 < B𝜈 (analogamente per
S𝜈 > B𝜈 si ha I𝜈 > B𝜈).
!
!
Ma la presenza del materiale non
può alterare la radiazione di corpo
nero che esce dal foro, perché
anche con il corpo dentro la cavità
è sempre quella di un corpo nero
di temperatura T. Se ne deduce
che
!
!
!
T
I⌫
B⌫ (T )
S⌫ = B⌫ (T )
questa è la legge di Kirchhoff.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
51
Legge di Kirchhoff
La legge di Kirchhoff comporta che, per tutti i corpi all’equilibrio
termodinamico, vale sempre
j⌫
S⌫ (T ) =
= B⌫ (T )
↵⌫
ovvero
j⌫ = ↵⌫ B⌫ (T )
Quindi, se consideriamo radiazione termica, l’equazione del trasporto
radiativo diventa
dI⌫
=
d⌧⌫
I⌫ + B⌫ (T )
A questo punto, dobbiamo distinguere tra radiazione di corpo nero per cui
I𝜈 = B𝜈 e radiazione termica per cui S𝜈 = B𝜈.
La radiazione termica diventa radiazione di corpo nero in un mezzo
otticamente spesso.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2014/2015
52
