Cenni di matematica finanziaria

Economia delle Risorse Naturali
A COSA SERVE?
•
Il calcolo finanziario è utilizzato per rendere
omogenei tra loro valori che si verificano in
epoche diverse.
•
L’interesse è il prezzo d’uso del capitale.
•
Il tasso (o saggio) d’interesse rappresenta il
rendimento dell’unità di moneta nell’unità di
tempo cioè quanto rende un euro in un anno.
tempo,
anno
L’ammontare del tasso di interesse
dipende:
€ dal rischio dell’investimento
€ dalla durata dell’investimento
dell investimento
€ dal mercato dei capitali
€ da scelte di natura politica e/o
economica
Interesse semplice
p
L'interesse viene detto semplice quando gli interessi
che
maturano su un dato capitale in un certo tempo non si
trasformano essi stessi in capitale, quindi non generano a loro
volta interessi.
I = Co* r * t
Si utilizza solitamente per investimenti che hanno durata
g
ad un anno.
minore o uguale
Dove:
I = ammontare dell’interesse
Co = Valore del capitale iniziale
r = saggio o tasso d'interesse, viene espresso
generalmente in termini %
t = tempo d'impiego del capitale, può essere
espresso in gg/360; gg/365, in mm/12.
Montante ad Interesse semplice
Rappresenta la somma tra il valore del capitale
i i i l ed
iniziale
deii relativi
l ti i iinteressi
t
i maturati
t ti iin un certo
t
periodo di tempo:
M = Co + I
Æ
M = Co + Co* r * t
M = Co * (1 + r * t)
Dove:
M = montante di un capitale
I = ammontare dell’interesse
Co = Valore del capitale iniziale
r = saggio o tasso d'interesse, viene espresso generalmente in termini %
t = tempo d'impiego del capitale, può essere espresso in gg/360; gg/365, in
mm/12.
mm/12
Accumulazione a fine anno di rate infrannuali (mensili,
bimestrali, ecc.)
Rappresenta la sommatoria riferita a fine anno dei montanti
di rate
t che
h sii manifestano
if t
con regolarità
l ità (ad
( d esempio
i
canoni di locazione) e che possono essere anticipate o
posticipate rispetto al periodo di riferimento.
riferimento Per tale
operazione si utilizza la seguente formula:
n±1
ΣM = R * (n + r ----------)
2
Dove:
Σ M = sommatoria a fine anno dei montanti di rate infrannuali
R = ammontare della singola rata
n = numero delle rate
r = saggio o tasso d'interesse, viene espresso generalmente in termini %
+1 = se la rata è anticipata
-1 = se la rata è posticipata
Interesse composto
p
L interesse si dice composto quando gli interessi maturati su
L'interesse
un capitale in un certo tempo si sommano al capitale che li ha
prodotti, generando, a loro volta, degli interessi.
L'interesse composto si suddivide in:
1.
interesse composto discontinuo annuo: gli interessi si
sommano al capitale che li ha prodotti alla fine di ogni anno;
2.
interesse composto convertibile: gli interessi si sommano
p
che li ha p
prodotti p
più volte all'anno
al capitale
(semestralmente, trimestralmente, ecc. ecc.);
3.
interesse composto continuo o matematico: ad ogni
sta te g
gli interessi
te ess ssi so
sommano
a oa
al cap
capitale
ta e cche
e li ha
ap
prodotti,
odott ,
istante
non ha utilità pratica.
I t
Interesse
composto:
t calcolo
l l
Il valore di un capitale investito per un numero (n) di anni
anni,
si determina:
Cn = Co * qn
Dove:
Cn = montante di un capitale investito per (n) anni ad interesse composto
Co = Valore del corrispondente capitale iniziale
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d
d'interesse
interesse
n = durata dell’investimento del capitale in anni
I t
Interesse
composto:
t valore
l
attuale
tt l
Il valore attuale di un capitale futuro disponibile
tra un certo numero (n) di anni, si determina:
Cn
1
Co = --------- = Cn * ----qn
qn
Dove :
Cn = Montante di un capitale investito per (n)
anni ad interesse composto
Co = Valore del corrispondente capitale iniziale
q = ((1 + r))
r = saggio o tasso d'interesse
n = durata dell’investimento del capitale in anni
L rendite
Le
dit
Le rendite sono valori che si presentano con una certa
regolarità, possono essere:
Annualità = si verificano ogni anno, ad esempio il
pagamento di una borsa di studio
Poliannualità = si verificano ogni (n) anni, ad esempio il
reddito ottenuto dal taglio di un bosco
L classificazione
La
l ifi i
d
delle
ll annualità
lità
Le annualità sono valori che si verificano ogni anno, possono essere:
Costanti = sono tutte uguali tra loro
Variabili = sono diverse di anno in anno
Limitate = si manifestano solo per un numero limitato di anni (n)
Illimitate = si manifestano per un numero illimitato di anni. Illimitato dal
punto di vista economico (Infinito economico 80-100 anni)
Anticipate = si verificano all’inizio di ogni anno considerato
Posticipate = si verificano alla fine di ogni anno considerato
L annualità:
Le
lità calcoli
l li
Dal punto di vista matematico, interessa determinare la loro:
An = Accumulazione finale = si tratta di portare il valore di
tutte le annualità alla fine del periodo considerato, non si può
realizzare per le annualità illimitate
Ao = Accumulazione iniziale = si tratta di portare il valore
di tutte le annualità all’inizio del periodo considerato.
Am = Accumulazione intermedia = si tratta di portare il
valore di tutte le annualità ad un anno (m) intermedio nel periodo
considerato.
id t
Annualità costanti limitate posticipate - An
Accumulazione finale
Accumulazione finale di annualità (a) costanti limitate posticipate:
qn -1
An = a * ----------r
Dove:
An = Accumulazione finale
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero delle rate annuali
Annualità costanti limitate posticipate - Ao
Accumulazione iniziale
Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti limitate
posticipate:
qn –1
1
A0 = a * ----------- * -----r
qn
Dove:
A0 = Accumulazione iniziale
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero delle rate annuali
Annualità costanti limitate posticipate - Am
Accumulazione intermedia
Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti limitate
posticipate:
qn –1
1
qn –1
1
Am = a * ----------- * ------ * qm = a * ----------- * -----r
qn
r
qn-m
Dove:
Am = Accumulazione delle annualità riferite all’anno (m)
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero delle rate annuali
m = anno a cui si riferisce l’accumulazione
Annualità costanti limitate anticipate
p
- An
Accumulazione finale
A
Accumulazione
l i
fi
finale
l di annualità
lità ((a)) costanti
t ti lilimitate
it t anticipate:
ti i t
qn -1
An = a * q * ----------r
Dove:
An = Accumulazione finale
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero delle rate annuali
Annualità costanti limitate anticipate - Ao
Accumulazione iniziale
Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti limitate anticipate:
qn –1
1
An = a * q * ----------- * -----r
qn
Dove:
A0 = Accumulazione iniziale
a = Valore della singola annualità
q = ((1 + r))
r = saggio o tasso d'interesse
n = numero delle rate annuali
Annualità costanti limitate anticipate - Am
Accumulazione intermedia
Accumulazione intermedia di annualità (a) costanti limitate anticipate:
qn –1
1
qn –1
1
Am = a * q * ----------- * ------ * qm = a * q * ----------- * -----r
qn
r
qn-m
Dove:
Am = Accumulazione delle annualità riferito
all’anno
all
anno (m)
a = Valore della singola annualità
q = (1 + r)
gg o tasso d'interesse
r = saggio
n = numero delle rate annuali
m = anno a cui si riferisce l’accumulazione
Annualità costanti illimitate posticipate - Ao
Accumulazione iniziale
Accumulazione iniziale di annualità (a) costanti illimitate posticipate:
a
A0 = -----r
Dove:
A0 = Accumulazione iniziale
a = Valore della singola annualità
gg o tasso d'interesse
r = saggio