II sistemi
sistemi di
di numerazione
numerazione
Informatica - Classe 3ª, Modulo 1
1
La
La rappresentazione
rappresentazione interna
interna delle
delle informazioni
informazioni
ELABORATORE = macchina binaria
Informazione
esterna
Sequenza di
bit
Sp e
Via tt. Ditt
a
Cag Roma Ross
i
liar
1
i
Il s
o
Ver ttoscr
it
di ,
nat to Ma
oa
r
…… io
...
2
INFORMAZIONE
ALFANUMERICA
NUMERICA
Non soggetta a calcoli
Codifica tabellare
ASCII, UNICODE, …
Soggetta a calcoli
Sistemi di numerazione
BINARIA, FLOATING POINT
3
Sistema
Sistema di
di numerazione
numerazione DECIMALE
DECIMALE
Quali segni usi
per scrivere i
numeri?
Le cifre 0 1 2
345678e9
CIFRE = simboli grafici usati da soli o in
sequenza per rappresentare un numero
4
Sistema
Sistema di
di numerazione
numerazione DECIMALE
DECIMALE
Il numero 152 è
uguale al numero
521?
NO!!!
Il valore della cifra
dipende dalla
posizione che ha
nel numero
VALORE
POSIZIONALE = il valore
attribuito alla cifra di un numero
5
Hai un sistema per
rappresentare e usare i numeri?
CERTO!
Uso un sistema di numerazione posizionale: il
sistema DECIMALE
SISTEMA DI NUMERAZIONE DECIMALE =
insieme di regole e simboli ( le 10 cifre 0 1 2 3 4 5 6
7 8 9) che servono per rappresentare i numeri e in
cui una stessa cifra assume significato diverso a
seconda della posizione occupata nel numero
6
Sistema
Sistema di
di numerazione
numerazione
BINARIO
BINARIO
E tu che segni usi per
scrivere i numeri?
Siccome ho due dita
e per contare voglio
utilizzare solo una
mano, uso solo le
cifre 0 e 1
7
Sistema
Sistema di
di numerazione
numerazione BINARIO
BINARIO
Anche il tuo è un
sistema posizionale?
Si. Il valore
posizionale della
cifra dipende dalle
potenze successive
della base
BASE = n° di cifre utilizzabili e valore le
cui potenze successive determinano il valore
posizionale della cifra
8
Esempio
Esempio
Sistema decimale: numero = 32565 b = 10 n = 5 (numero
delle cifre)
VALORE POSIZIONALE
3 2 5 6 5 = 30000 + 2000 +
500 +
60 +
5
= 3 ·10000 + 2 ·1000 + 5 ·100 + 6 ·10 + 5 ·1
4
=3• b
5-1
3
2
1
5-2
5-3
5-4
x5 x4 x3 x2 x1= x5 •b + x5-1 •b +x5-2•b +x5-3•b
n-1
xn xn-1……x1= xn•b
0
+ 2 • b + 5 • b + 6 •b + 5 •b
n-2
+ xn-1•b
0
+x1•b
0
+…………..………+x1•b
9
Formalizzazioni
Formalizzazioni
In qualunque sistema di numerazione posizionale
vale la seguente relazione:
xn xn-1………x1 = xn•bn-1+ xn-1•bn-2+……+x1•b0
in cui:
n è il numero di cifre del numero
b è la base
xi è una generica cifra scelta tra le b cifre possibili
i (indice della cifra) indica la posizione della cifra
nel numero contando da destra verso sinistra
10
Passaggio
Passaggio da
da binario
binario aa decimale
decimale
1° METODO
Sfrutta la relazione precedente:
n-1
n-2
0
xn xn-1……x1 =xn•b + xn-1•b +…+x1•b
in cui xn xn-1……x1 è il numero binario da convertire
in decimale e b = 2
ESEMPIO: xn xn-1……x1 = 10110
4
3
2
1
0
(10110)2 = (1•2 +0•2 +1•2 +1•2 +0•2 )10
= (1•16+0•8+1•4+1•2+0•1 )10
= (16+4+2 )10
= (22)10
Base
Base
11
Passaggio
Passaggio da
da binario
binario aa decimale
decimale
2° METODO
Si scrivono, da destra verso sinistra, le potenze di 2:
… 128
Si
64
32
16
8
4
2
1
64
32
16
1
8
0
4
1
2
1
1
0
16
8
4
2
1
0
1
1
16
+ 4 + 2
= (22)10
1
0
scrive il numero da convertire ponendo una cifra sotto
ogni potenza, a partire da destra:
128
Si
sommano le potenze corrispondenti alle cifre 1:
128 64
32
12
Passaggio
Passaggio da
da decimale
decimale aa binario
binario
Si effettuano le divisioni per 2 del numero di partenza e
dei successivi quozienti fino ad ottenere quoziente 0. Si
scrivono quindi i resti ottenuti in ordine inverso rispetto
a quello di calcolo
ESEMPIO:
(125)10 = (1111101)2
125 : 2 = 62
62 : 2 = 31
31 : 2 = 15
15 : 2 = 7
7:2=3
3:2=1
1:2=0
resto
resto
resto
resto
resto
resto
resto
1
0
1
1
1
1
1
13
Sistema
Sistema di
di numerazione
numerazione
ESADECIMALE
ESADECIMALE
Sistema
di numerazione posizionale che
utilizza 16 cifre:
BASE = 16
CIFRE =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
14
Passaggio
Passaggio da
da esadecimale
esadecimale aa decimale
decimale
Sfrutta la solita relazione:
n-1
n-2
0
xn xn-1……x1 =xn•b + xn-1•b +…+x1•b
in cui xn xn-1……x1 è il numero esadecimale da
convertire in decimale e b = 16
2
1
0
(2E4)16= (2•16 + E•16 + 4•16 )10
= (2•256 +14•16 + 4•1)10
= (512 + 224 + 4)10 = (740)10
15
Passaggio
Passaggio da
da decimale
decimale aa esadecimale
esadecimale
Si effettuano le divisioni per 16 del numero di
partenza e dei successivi quozienti fino ad ottenere
quoziente 0. Si scrivono quindi i resti ottenuti in
ordine inverso rispetto a quello di calcolo
ricordando che A=10, B=11, C=12, D=13, E=14,
F=15
ESEMPIO:
(125)10 = ( 7D )16
125 : 16 = 7
resto 13=D
7 : 16 = 0
resto 7
16
Passaggio
Passaggio da
da binario
binario aa esadecimale
esadecimale
Si dividono le cifre del numero binario in gruppi di
quattro, da destra verso sinistra. Si sostituisce a
ciascun gruppo la cifra esadecimale corrispondente
ESEMPIO:
(1111101)2 = ( 7D )16
0 1 1 1
1 1 0 1
(4+2+1)10
(8+4+1)10
716
D16
17
Passaggio
Passaggio da
da esadecimale
esadecimale aa binario
binario
Si sostituisce a ciascuna cifra esadecimale il
corrispondente numero binario espresso sempre
come gruppo di quattro cifre
ESEMPIO:
(D7)16 = (11010111)2
D16
716
1310
710
(1 1 0 1)2 (0 1 1 1)2
18
La
La rappresentazione
rappresentazione interna
interna delle
delle
informazioni
informazioni
INFORMAZIONE
ALFANUMERICA
Codifica tabellare
ASCII, UNICODE
NUMERICA
Sistemi di numerazione
BINARIA, FLOATING POINT
19
La
La rappresentazione
rappresentazione delle
delle
informazioni
informazioni ALFANUMERICHE
ALFANUMERICHE
Codifica tabellare: ad ogni carattere (lettera, cifra,
segno speciale) corrisponde una particolare sequenza di bit e
viceversa.
Codice ASCII: è la codifica tabellare standard in
ambiente P.C. È un codice a 8 bit, cioè utilizza una sequenza di
8 bit (1 byte) per rappresentare un carattere.
Caratteri rappresentabili: corrisponde al numero di
combinazioni (sequenze) di bit ottenibili. Per il codice ASCII
sono 256=28, pari ai numeri binari ottenibili con 8 bit (da
00000000 a 11111111).
20
La
La rappresentazione
rappresentazione delle
delle
informazioni
informazioni ALFANUMERICHE
ALFANUMERICHE
1° ESEMPIO: per memorizzare il cognome Verdi
con il codice ASCII servono 5 byte, uno per ogni
carattere. Dalla tabella ASCII si rileva:
V
01010110
e
01100101
r
01110010
d
01100100
i
01101001
Pertanto Verdi in memoria si presenta così:
01010110 01100101 01110010 01100100 01101001
21
La
La rappresentazione
rappresentazione delle
delle
informazioni
informazioni ALFANUMERICHE
ALFANUMERICHE
2° ESEMPIO: per memorizzare il CAP di Quartu
09045 con il codice ASCII servono 5 byte, uno per ogni
carattere. Dalla tabella ASCII si rileva:
0
00110000
9
00111001
0
00110000
4
00110100
5
00110101
Pertanto 09045 in memoria si presenta così:
00110000 00111001 00110000 00110100 00110101
22
La
La rappresentazione
rappresentazione delle
delle
informazioni
informazioni NUMERICHE
NUMERICHE
Informazione numerica: è un NUMERO e come tale
rappresenta una quantità ed è destinato ai calcoli. Per
rappresentarla si utilizza il sistema di numerazione
binario, anche se con diversi metodi.
NUMERO
Intero
BINARIO
Reale
FLOATING POINT
23
La
La rappresentazione
rappresentazione dei
dei numeri
numeri
INTERI
INTERI relativi
relativi (con
(con segno)
segno)
E’ stabilito il numero di byte da utilizzare per il numero
L’intervallo di numeri rappresentabili dipende dal
numero di byte disponibili
Il primo bit a sinistra rappresenta il segno (0 per i
positivi, 1 per i negativi)
Il numero da rappresentare viene convertito in binario
Per i numeri negativi si utilizza il complemento a 2
Il numero massimo rappresentabile con 2 byte è
3276710 pari a 01111111111111112 (solo 15 bit sono
disponibili per il numero)
Il numero minimo rappresentabile con 2 byte è -3276810
pari a 10000000000000002
24
La
La rappresentazione
rappresentazione dei
dei numeri
numeri
INTERI
INTERI relativi
relativi (con
(con segno)
segno)
ESEMPIO: memorizzare il numero 9045 in 2 byte
9045 : 2 = 4522 resto
4522 : 2 = 2261 resto
2261 : 2 = 1130 resto
1130 : 2 = 565 resto
565 : 2 = 282 resto
282 : 2 = 141 resto
141 : 2 = 70 resto
70 : 2 = 35 resto
1
0
1
0
1
0
1
0
35 : 2 = 17
17 : 2 = 8
8:2=4
4:2=2
2:2=1
1:2=0
resto
resto
resto
resto
resto
resto
1
1
0
0
0
1
904510 = 100011010101012
In 2 byte:
0 010 0011 0101 0101
Segno
25
La
La rappresentazione
rappresentazione dei
dei numeri
numeri
REALI
REALI
Esistono diversi metodi per rappresentare i numeri reali:
Virgola fissa (fixed point): è il metodo normalmente utilizzato
dall’uomo; consiste nel separare la parte intera da quella decimale mediante il punto (si utilizza la notazione anglosassone):
1.5
0.00123
12.564
5000000
Virgola mobile (FLOATING POINT): è il metodo utilizzato per i
calcoli scientifici ed è detto anche notazione scientifica o
notazione esponenziale:
0.15E+1
0.123E-2
0.12564E+2
0.5E+7
La parte prima della lettera E si chiama mantissa (0.15 0.123
0.12564 0.5), la parte dopo E si chiama caratteristica (+1 -2
+2 +7). La lettera E indica che la mantissa deve essere
moltiplicata “per 10 elevato“ la caratteristica
26
La
La rappresentazione
rappresentazione dei
dei numeri
numeri
REALI
REALI
Nelle memorie dei computer si utilizza più spesso il
metodo FLOATING POINT:
Viene stabilito il numero di byte da destinare alla
rappresentazione del numero. Si parla di precisione
Dei byte disponibili, una parte viene destinata alla
mantissa ed al suo segno e una parte alla caratteristica
ed al suo segno
Alla caratteristica è sempre destinato un numero di byte
inferiore a quello destinato alla mantissa
Convenzionalmente, se si destinano:
4 byte si parla di singola precisione
8 byte si parla di doppia precisione
FINE
27
Glossario
Glossario
= n° di cifre utilizzabili e valore le cui
potenze successive determinano il valore
posizionale della cifra
Cifra = simbolo grafico usato da solo o in sequenza
per la rappresentazione dei numeri
Sistema di Numerazione = insieme di regole e
simboli per la rappresentazione e l’uso dei numeri
Sistema di Numerazione Binario = S.d.n.
posizionale in base 2 ( cifre 0 1 )
Base
28
Glossario
Glossario
di Numerazione Decimale = S.d.n.
posizionale in base 10 ( cifre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)
Sistema di Numerazione Esadecimale =
S.d.n. posizionale in base 16 ( cifre 0 1 2 3 4 5 6 7 8
9ABCDEF)
Sistema di Numerazione Posizionale = S.d.n.
in cui il valore della cifra dipende dalla posizione
occupata nel numero
Valore Posizionale = il valore attribuito alla cifra
di un numero
Sistema
29
