Le equazioni egiziane
Treviso, novembre 2006
Equazioni e disequazioni:
un’
un’introduzione storica
UNIVERSITAS
STUDIORUM
UTINENSIS
Giorgio T. Bagni
Dipartimento di Matematica e Informatica
Università di Udine
[email protected]
www.syllogismos.it
Il papiro di Berlino
La somma delle aree di due quadrati è 100. Tre volte il
lato di uno è quattro volte il lato dell’altro: quali sono?
Modernamente: x²+y² = 100 e 3x = 4y
Poniamo:
x=4ey=3
Avremmo allora: x²+y² = 4²+3² = 25 ≠ 100
ma è:
100 = 10² e 25 = 5²
ed essendo:
10:5 = 2
risulta:
x = 4·2 = 8 e y = 3·2 = 6
Un motodo longevo nella storia della didattica!
Lo troviamo applicato nel manuale: V. Buonsanto,
Elementi di Aritmetica, Soc. Filomatica, Napoli 1843.
India: un problema da Lilavati
(Bhaskara, 1114-1185)
Un quinto di uno sciame di api si posò su di un fior di
cadamba, un terzo su di un fior di silinda, tre volte la
differenza di questi due numeri di api volò tra gli altri
fiori del giardino e rimase solo un’ape, che si librò
nell’aria, attirata dal profumo di un gelsomino. Dimmi
ora tu, bella Lilavati, qual era il numero delle api?
Fior di cadamba: 1/5; silinda: 1/3: altri: 3(1/3–1/5)
Totale:
1/5+1/3+3(1/3–1/5) = 14/15
Un’ape corrisponde a: 1–14/15 = 1/15
Quindi:
in totale ci sono 15 api.
Nel papiro Rhind si risolvono alcune equazioni,
quasi tutte di I grado, nelle quali l’incognita è detta
aha (mucchio), con il “metodo di falsa posizione”, più
tardi detto regula falsi.
Esempio: determinare il numero che aggiunto al
proprio quinto dà come somma 48 (x + x/5 = 48).
“Falsa” posizione: x = 5 (per non avere frazioni nel
primo passaggio), ma non va bene: 5+5/5 = 6 ≠ 48.
Sostituendo x = 5 in x+x/5 si ha 6 e non 48; ma se un
multiplo di 6 è 48, lo stesso multiplo di 5 darà la x.
Per ottenere 48 da 6 si moltiplica il 6 per 8 (6·8 = 48).
Dunque, per ottenere la cercata x da 5 dobbiamo
moltiplicare per 8 (il 5): 5·8 = x cioè: x = 40.
Un classico problema
dell’“Algebra” babilonese
Spesso i Babilonesi richiedevano di determinare due
numeri conoscendone somma e prodotto; ad
esempio: trovare a, b sapendo che la loro somma è 8
ed il loro prodotto è 12.
Posizioni (moderne): a = 4+d e b = 4–d
(a+b = 8)
Si ha (solo radici positive): ab = (4+d)(4–d) = 12
d² = 4 da cui d = 2 infine: a = 4+d = 6 e b = 4–d = 2
Non esisteva alcuno strumento simbolico completo
nell’algebra babilonese: soltanto a volte qualche
incognita veniva indicata con simboli speciali.
Il mondo arabo : Al-Kuwarizmi
“Dopo la grande stagione della scienza greca, la
Matematica conobbe un periodo di declino, anche se
meno oscuro di quanto si è talvolta portati a pensare.
Gli Arabi non si limitarono a tramandare la
memoria dei testi greci e le loro conoscenze
matematiche e astronomiche rivelano elementi di
originalità” (U. Bottazzini).
Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo),
di origine persiana, scrisse Al-jabr wal mukabalah,
nella quale sviluppò la teoria delle equazioni,
particolarmente di quelle di secondo grado
Il procedimento generale per la soluzione delle
equazioni di secondo grado è di derivazione indiana.
1
Al-Kuwarizmi
Non considerava le radici
negative e classificava
impossibili le radici
immaginarie.
Il limite più rilevante della
sua opera è l’assenza di
una notazione simbolica.
Al-Kuwarizmi quindi deve
essere considerato ancora
nell’ambito dell’algebra retorica (nella quale tutte
le espressioni algebriche erano indicate mediante
parole).
Fibonacci e il
Liber Abaci
De laboratore
quaestio notabilis.
Un lavoratore avrebbe
dovuto prendere 7
bisanti al mese se avesse
lavorato, ma avrebbe
dovuto restituire 4
bisanti per un mese
di assenza dal lavoro.
Questi talvolta lavorò e talvolta no ed alla fine del
mese (30 giorni) ricevette un solo bisante.
Quanti giorni lavorò?
Algebristi del Rinascimento
Celebre è la contesa tra Nicolò Fontana detto
Tartaglia (1500-1557) e Gerolamo Cardano sulla
risoluzione delle equazioni di terzo grado.
Il mondo arabo : Khayyam
Omar Khayyam
scrisse un’Algebra
(1100?), caratterizzata
da un’esposizione piana
dei procedimenti
risolutivi delle
equazioni.
Come Al-Kuwarizmi,
anche Khayyam teneva
conto soltanto delle
radici positive.
Gli Arabi si occuparono
di equazioni
indeterminate (AlKarchi, morto nel 1029,
scrisse Al-Facri, vicino
all’Aritmetica diofantea).
Alcuni tentarono di
provare che x³+y³ = z³ non
ammette soluzioni intere
non nulle, anticipando le
ricerche sull’ultimo
teorema di Fermat.
Risolviamo con Fibonacci
il problema del lavoratore
Modernamente imposteremmo l’equazione:
7·x/30–4 ·(30–x)/30 = 1
Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione:
per 15 gg.: 1 bisante e 1/2
7·15/30–4·15/30
per 20 gg.: 3 bisanti e 1/3
7·20/30–4·10/30
Si imposta dunque la proporzione:
(20–15) : [(3+1/3)–(1+1/2)] = (20–x) : [(3+1/3)–1]
Da cui ricaviamo:
x = 150/11 = 13+7/11
Pertanto quel lavoratore
ha lavorato 13 giorni e 7/11 (di giorno).
La poesia “algebrica” di Tartaglia
Quando che ’l cubo con le cose appresso
se agguaglia à qualche numero discreto
trovan dui altri differenti in esso.
Da poi terrai questo per consueto
che ’l lor produtto sempre sia uguale
al terzo cubo delle cose neto.
El residuo poi suo generale
delli lor lati cubi ben sottratti
varrà la tua cosa principale.
x³+px = q
p>0, q>0
q = u–v
uv = (p/3)³
x = 3 u −3 v
2
Una risoluzione
alla Cardano-Tartaglia
Uno strano problema affrontato da
Gerolamo Cardano
…oppure “alla Scipione del Ferro” (1465-1526), il
bolognese che pare essere stato il primo (1515) a
mettere a punto la tecnica risolutiva!
Si voglia risolvere (in R) l’equazione: x³+6x = 20
Si pone: 20 = u–v con: uv = 8
Risulta: u = 6√3+10 e v = 6√3–10
e infine, sostitundo nella formula e semplificando i
radicali doppi, si giunge alla radice: x = 2
Proprio questa semplificazione è delicata!
Citiamo (liberamente) Cardano, Ars Magna (1545):
Dividere un segmento di lunghezza 10 in due parti in
modo che il rettangolo avente tali dimensioni abbia
area 40. Tutti vedono che l’area di un tale rettangolo è
al più 25, dunque il problema non fa soluzioni.
Ma l’Algebra ci dà una soluzione, dato che
l’equazione x2–10x+40 = 0 porta a:
5+√(–15) e 5–√(–15)
Sebbene tali espressioni siano inutili e “sofistiche”,
devono avere qualcosa di vero, in quanto il loro
prodotto è proprio [5+√(–15)]·[5–√(–15)] = 40.
Rafael Bombelli e due oggetti
misteriosi: pdm, mdm
L’Algebra
di Bombelli
In Algebra, Bombelli si occupò del calcolo con
potenze e con radici e di equazioni algebriche e
contribuì all’elaborazione delle tecniche risolutive
delle equazioni di terzo grado.
A lui si deve inoltre l’introduzione sistematica degli
esponenti per indicare le potenze dell’incognita.
Bombelli introdusse i termini più di meno e meno
di meno, termini che abbrevia nelle scritture
“pdm” e “mdm” e dei quali fornisce le “regole”
moltiplicative.
La semplificazione dei
radicali doppi fu studiata
in alcuni casi particolari
da Rafael Bombelli
(1526-1573).
Bombelli, bolognese (è
stato trovato il certificato
di battesimo a Borgo
Panigale), pubblicò il
proprio capolavoro,
Algebra, nel 1572-1579.
Le “regole” di Bombelli
Le “regole” di
Bombelli
?
×
?
=
–1
Queste “regole” si trovano a pagina 179 di Algebra.
Come le possiamo interpretare modernamente?
pdm = i
mdm = –i
Bombelli dunque stabilì:
(–1)·i = –i
(–1)·(–i) = i
(+i)·(+i) = –1
(+i)·(–i) = 1
(–i)·(–i) = –1
3
Le “regole” di
Bombelli
Una risoluzione di Bombelli
Nell’Algebra troviamo la corretta trattazione di alcune
equazioni di terzo grado che, se risolte con il
procedimento di Cardano-Tartaglia, portano a radicali
doppi coinvolgenti quantità non reali.
x³ = 15x+4
Esse possono essere riassunte nella
tavola (tabella di Cayley):
x
+1 -1 +i -i
+1 +1 -1 +i -i
-1 -1 +1 -i +i
+i +i -i -1 +1
-i -i +i +1 -1
un “gruppo” tre secoli
prima di Galois?
Portano al gruppo moltiplicativo
commutativo a elementi in C:
({+1; –1; +i; –i}; ·): il gruppo
delle radici quarte dell’unità.
Dalle equazioni alle disequazioni:
un’analogia didattica spesso forzata
Spesso, didatticamente, le disequazioni vengono
presentate e studiate come una… “evoluzione” delle
equazioni.
Ma altrettanto spesso i collegamenti realizzati dagli
allievi tra le equazioni e le disequazioni sono
scorretti.
Gli studi di Bazzini, Tsamir (2002 e CERME-3, con il
confronto dei comportamenti degli allievi in Italia e in
Israele) hanno evidenziato atteggiamenti significativi
e meritevoli di attenta riflessione.
x=
3
2 + 11i + 3 2 − 11i
Bombelli provò però che è possibile scrivere:
2±11i = (2 ±i)³
e dunque riuscì a concludere correttamente in R:
x = (2+i)+(2–i) = 4
La presentazione di una sequenza
nella Didattica:
una sequenza
di argomenti…
(forzatamente?)
“paritari”
ma nella Storia:
c’è una netta
asimmetria!
equazioni
disequazioni
EQUAZIONI
dis.
Uno studio delle radici storiche si rivelerà interessante…
Occupiamoci della storia:
(dis)uguaglianze e (dis)equazioni
L’Algebra non è una “corsa verso il
simbolismo”, ma i registri si evolvono
Dovremo tenere presente la distinzione tra:
uguaglianza ed equazione
disuguaglianza e disequazione
Nell’uguaglianza si afferma che gli oggetti A e B sono
uguali (ad esempio: hanno lo stesso valore numerico).
Nell’equazione si chiede di determinare (tutti) i valori
di un’incognita x affinché A(x) e B(x) siano uguali.
Analogamente per le disequazioni.
Lo statuto epistemologico di dis(uguaglianze) e
dis(equazioni) è diverso.
Nella storia, inizieremo dalle disuguaglianze.
È ben noto che molto a lungo i procedimenti algebrici
non sono stati espressi simbolicamente.
“È difficile da credere, ma per due millenni, fino al
XVI secolo, i matematici non hanno usato un simbolo
per l’uguaglianza” (Lakoff, Núñez, 2000, 376).
“Anche un’idea così apparentemente semplice come
l’uguaglianza coinvolge una grande complessità
cognitiva […]. La comprensione del significato di ‘=’
ha richiesto l’analisi cognitiva delle idee matematiche
coinvolte” (Lakoff, Núñez, 2000, 377).
Analogamente vale per “>” e “<”? Di certo è stata
necessaria una maturazione socio-culturale.
4
L’introduzione dei
simboli “=”, “>” e “<”
“=” compare nel 1557 (in The
Whetstone of Witte, R. Recorde,
1510?-1558; un manoscritto di
Bombelli è forse precedente);
una pubblicazione a stampa con
“=” è del 1618 (ad opera di W. Oughtred, 1574-1660).
“>” e “<“ compaiono nel 1631 in Artis Analyticae
Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas,
opera postuma di Thomas Harriot (1560-1621):
“Signum majoritatis ut a > b significet a majorem
quam b” e “Signum minoritatis ut a < b significet a
minorem quam b”.
Disuguaglianze e disequazioni:
una storia piuttosto povera!
I riferimenti riguardanti le
Le disequazioni
disequazioni sono scarsi nella non sono considerate
storia dell’Algebra.
“problemi
autonomi”, ma
Nell’Algebra di L. Euler (ed.
“condizioni” da
del 1828) il primo riferimento
abbinare, talvolta,
ad una disuguaglianza (una
alla risoluzione di
condizione) è a pag. 352.
alcune equazioni.
Alcuni procedimenti collegati
Maggiore fortuna le
alle diffuse “regole” di
disequazioni hanno
Cartesio o di Tartinville
nei procedimenti di
(1885) possono essere
Analisi.
ricondotti a disequazioni.
Andiamo alla ricerca
di qualche spunto…
Nei tomi III e V del Corso
di Matematiche ad uso
degli aspiranti alla Scuola
d’Artiglieria e Genio
(Modena, 1806 e 1808)
sono contenuti i trattati
di P. Ruffini (1765-1822):
Algebra
Appendice all’Algebra
Alcuni passi si rivelano
interessanti per la nostra
riflerssione.
Uguaglianze ed equazioni: abbiamo
presentato una storia ricchissima
Storia e Geografia delle equazioni sono molto ricche:
gli antichi papiri egizi e le tavolette babilonesi,
le interpretazioni geometriche dai Greci,
gli sviluppi in India e presso gli Arabi,
i problemi nuovi (e con Bombelli lo svincolo
dall’interpretazione geometrica) nel Rinascimento,
per giungere a Euler, Ruffini e Galois…
Regola d’Algebra rinascimentale è il procedimento
per la soluzione di problemi aritmetici che consiste
in: messa in equazione del problema in esame,
riduzione dell’equazione in forma canonica e sua
risoluzione (Franci, Toti Rigatelli, 1979).
Andiamo alla ricerca
di qualche spunto…
La storia dell’analisi può
fornire qualche idea.
Jean Dieudonné, nella
Prefazione di Calcul
infinitesimal (Hermann,
Paris 1980), scrive:
“En d’autres termes, le Calcul infinitésimal, tel qu’il
se présente dans ce livre est l’apprentissage de
maniement des inégalités bien plus que des égalités,
et on pourrait le résumer en trois mots: majorer,
minorer, approcher”.
Spunti da due trattati
didattici di Ruffini
In III-15 si nota:
“Se a un dato numero altri
se ne aggiungano, tanto
saranno questi ultimi
minori, quanto sarà minore
la somma. Dunque
avendosi 11>10>9>8… ne
verrà ancora 3>2>1>0…”.
Si tratta dell’unico caso
(nell’opera esaminata) in
cui si accenna a proprietà
delle disuguaglianze.
5
Spunti da due trattati
didattici di Ruffini
In III-24 viene affermata
esplicitamente una
proprietà di equivalenza per
le equazioni, dicendo:
“A–B–C = –D+E, trasporto
i termini del primo membro
nel secondo, e quei del
secondo nel primo, si
otterrà D–E = –A+B+C”.
Ma non sono trattati casi
analoghi per disequazioni.
Spunti da due trattati
didattici di Ruffini
Spunti da due trattati
didattici di Ruffini
In III-146 sono impostate e
risolte alcune disequazioni
(anche abbinate in forma di
sistema) per esprimere delle
condizioni che devono
essere rispettate dalle
soluzioni di un problema
risolto mediante un sistema
di equazioni lineari.
Spesso gli esempi proposti
prevedono e trattano
condizioni di questo genere.
Le disequazioni: strumenti
abbinati alle equazioni
In V-43 (e in alcune altre
occasioni dell’Appendice)
viene impostata e risolta
una disequazione per
esprimere una condizione
da imporre alla soluzione di
un problema geometrico
ottenuta per via algebrica.
Dunque le disequazioni
sono sempre “abbinate” alle
equazioni per esprimere
condizioni sulle radici.
I principali protagonisti
sono, da questo punto di
vista:
F. van Schooten (16161660), editor di Descartes
(più di Newton e Huygens),
G. Ozanam (1640-1717),
F.D. Budan (1761-1840),
J.B. Fourier (1768-1830),
A.L. Cauchy (1789-1857),
J.C.F. Sturm (1803-1855).
Un esempio dal XX secolo:
John von Neumann (1903-1957)
Disequazioni ed equazioni:
un’asimmetria storica
Scrive P. Odifreddi:
“Un contributo di von Neumann fu la soluzione nel
1937 di un problema risalente a L. Walras nel 1874:
l’esistenza di situazioni di equilibrio nei modelli
matematici dello sviluppo del mercato, basati sulla
domanda e sull’offerta (attraverso prezzi e costi).
Egli vide anzitutto che un modello andava espresso
mediante disequazioni (come si fa oggi) e non
equazioni (come si era fatto fino ad allora) e trovò
poi una soluzione applicando un teorema del punto
fisso di L. Brouwer” (www.matematicamente.it/articoli).
Abbiamo evidenziato un’asimmetria storica:
l’equazione sintetizza il problema da risolvere;
la disequazione esprime le condizioni che
consentiranno di accettare una soluzione trovata.
Spesso, nella Storia, disequazioni sono state risolte
ricorrendo ad opportune equazioni (“associate”).
Tale situazione è storicamente influenzata dai
contesti socio-culturali: la “soluzione concreta” è
stata spesso considerata più importante di un
astratto “campo di possibilità”.
Importanza “sociale” è attribuita al ricavo della
soluzione (uso di metodi pratici, approssimati etc.).
6
Disequazioni ed equazioni:
una subordinazione operativa?
In tempi recenti è stato rivalutato il ruolo “autonomo”
della disequazione, ma…
… didatticamente una qualche “subordinazione
operativa” è ancora rilevabile.
Una disequazione in x∈R individua un sottoinsieme
della retta reale, spesso un sottoinsieme infinito (non
numerabile) come un segmento o una semiretta.
Le caratteristiche peculiari di tale sottoinsieme
sembrano talvolta identificate nei “punti di frontiera”
(ad esempio, gli estremi del segmento), il cui ricavo si
riconduce alla risoluzione dell’equazione associata
alla disequazione data.
La soluzione di una disequazione:
come viene considerata?
Date le disequazioni:
n x–2 ≥ 0
o x2–x ≤ 0
soluzioni in simboli:
n x≥2
o 0≤x≤1
e visualmente:
n
2 z———
o 0 z —z 1
Date le equazioni:
n x–2 = 0
o x2–x = 0
soluzioni in simboli:
n x=2
o x=0 ∨ x=1
e visualmente:
n
2z
o 0z 1z
segmento di estremi 0, 1
Uno spunto dall’embodied cognition:
riflettiamo sui segmenti
Uno spunto dall’embodied cognition:
riflettiamo sui segmenti
Sui “segmenti fisici” si basano molte importanti
metafore (collegate all’Aritmetica).
Ad esempio un numero può essere fatto corrispondere
ad una “distanza misurabile collocando segmenti fisici
di lunghezza unitaria uno dopo l’altro e quindi
contandoli” (Lakoff, Núñez, 2000, 68).
“Quando ci muoviamo in linea retta da un punto ad un
altro, il percorso forma un segmento fisico […].
C’è una semplice relazione tra un tale moto e un
segmento fisico: l’origine del moto corrisponde ad
un estremo del segmento, il termine all’altro
estremo” (Lakoff, Núñez, 2000, 71-72).
Un segmento è “descritto tra i suoi estremi”; una
semiretta viene “descritta a partire dal suo estremo”.
Anche nel quadro teorico dell’embodied cognition la
descrizione fisica di un segmento (analogamente: di
una semiretta) “inizia” da un estremo e “termina”
all’altro estremo (“inizia” dall’estremo e prosegue
indefinitamente).
Pericolosa conseguenza: disequazioni
ricondotte ad “equazioni associate”
A tutti Voi grazie
dell’attenzione
Grazie a
F. Arzarello (Torino)
J.-P. Drouhard (Nizza)
Traduciamo operativamente: la prima (principale?)
fase della risoluzione di una disequazione è spesso
la risoluzione dell’equazione ad essa associata.
Ma all’asimmetria storica si è sovrapposta una
impropria analogia didattica: ciò può causare l’errata
riconduzione operativa di disequazioni ad equazioni.
Anche i registri impiegati sono importanti: i registri
simbolici non possono non indurre considerazioni di
analogia tra f(x) = g(x) e f(x) < g(x).
Utile può essere il ricorso a registri rappresentativi
non simbolici (ad esempio visuale), coordinati con
quello simbolico (Duval, 1995).
Per risorse, materiali
(scaricabili) e indicazioni
bibliografiche si può
consultare il sito di servizio
per insegnanti e studenti:
www.syllogismos.it
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