DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
PRECORSO DI MATEMATICA
ANNO ACCADEMICO 2013-2014
ESERCIZI SU
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
DI GRADO SUPERIORE AL PRIMO
CON IL VALORE ASSOLUTO
Esercizio 1: Risolvere la seguente equazione
2x3 − |5x2 + 2x| + 5 = 0 .
Svolgimento: Per definizione di valore assoluto si ha
se x ≤ −2/5 ∨ x ≥ 0
5x2 + 2x
2
|5x + 2x| =
−5x2 − 2x se − 2/5 < x < 0 .
Quindi se x ≤ −2/5 ∨ x ≥ 0 , allora l’equazione data è equivalente a
2x3 − 5x2 − 2x + 5 = 0 .
Scomponendo a fattor parziale il polinomio al primo membro si ottiene
x2 (2x − 5) − (2x − 5) = 0
da cui segue
(x − 1)(x + 1)(2x − 5) = 0
le cui soluzioni sono x = 1, x = −1 e x = 5/2. Poiché tali soluzioni verificano la condizione
x ≤ −2/5 ∨ x ≥ 0 , allora sono tutte accettabili.
Se −2/5 < x < 0 allora l’equazione data equivale a
2x3 + 5x2 + 2x + 5 = 0 .
Scomponendo a fattor parziale il polinomio al primo membro si ottiene
(x2 + 1)(2x + 5) = 0
la cui unica soluzione reale è x = −5/2. Poiché −5/2 < −2/5 , tale soluzione non è
accettabile.
Quindi l’equazione data ammette come soluzioni x = 1, x = −1 e x = 5/2 .
Esercizio 2: Risolvere la seguente equazione
|x2 − x − 2| − |x + 1| = 1 .
Svolgimento: Innanzitutto studiamo il segno degli argomenti dei due moduli:
≥ 0 se x ≤ −1 ∨ x ≥ 2
x2 − x − 2
< 0 se − 1 < x < 2
1
2
PRECORSO DI MATEMATICA
e
x+1
≥ 0 se
< 0 se
x ≥ −1
x < −1 .
Si presentano tre diversi casi.
• Caso 1: x < −1
L’equazione data è equivalente a
x2 − x − 2 − [−(x + 1)] = 1 ,
che si puó riscrivere come
x2 = 2
√
√
√
e le cui soluzioni sono è x = − 2 e x = 2. Poiché 2 > −1, tale soluzione non è
accettabile.
• Caso 2: −1 ≤ x ≤ 2
L’equazione data equivale a
−(x2 − x − 2) − (x + 1) = 1 ,
che diventa
x2 = 0
la cui unica soluzione è x = 0 ed è accettabile.
• Caso 3: x > 2
L’equazione data è equivalente a
x2 − x − 2 − (x + 1) = 1 ,
che diventa
x2 − 2x − 4 = 0
√
√
√
le cui soluzioni sono x = 1 − 5 e x = 1 + 5 . Poiché 1 − 5 < 2, tale soluzione
non è accettabile.
√
√
Allora l’equazione data ammette come soluzioni x = − 2, x = 0 e x = 1 + 5 .
Esercizi: Risolvere le seguenti equazioni
1. 4|x2 − 1||x2 + 1| + 17x = 17x3
2. x2 + 2|x| − 3 = 0
3. 2|x2 − x| = |x|
x + 2 1
+ =2
4. 2x2 2
5. |x4 − 2x3 − 7x2 + 20x − 12| = x + 3
6. |x2 − 1| = |x2 − 5x + 1|
7. |3x − 5 + 2x2 | = 0
8. |1 + |x||2 = x2 − 3|x|
PRECORSO DI MATEMATICA
3
9. |x2 − 4| + |6x + 12| = 0
10.
2x2 − |x + 1|
+ 1 = |x − 1|
|x − 3|
11. |x5 − 2x3 + x2 − 2| − |x + 1| = 0
2 + x2
5
=
|1 − 2x2 |
3
13. 1 − 2x3 + |x3 + 1| = x3 − 2
12.
14. |3x2 − 5| + 3x2 = 5
15.
x3 + 1
2
=
3
|x |
5
16. |x − 2| + |x2 − 4| = 0
(x + 1)|x| + 2x2
=1
1 + x2
2
7x − |x + 1| =x+2
18. x+2
17.
|x3 − 8|
x−2
=
x2
x
20. 1 + |6x2 − 1| − 3x2 = 3
19.
Esercizio 3: Risolvere la seguente disequazione
|4x3 − 13x2 | − 13x + 4 > 0 .
Svolgimento: Ricordando che
3
2
|4x − 13x | =
4x3 − 13x2
se
−4x3 + 13x2 se
x ≥ 13/4
x < 13/4 ,
la disequazione data equivale a
4x3 − 13x2 ≥ 0
4x3 − 13x2 − 13x + 4 > 0
3
2
S 4x − 13x < 0
−4x3 + 13x2 − 13x + 4 > 0 .
Scomponendo a fattor parziale i polinomi presenti nelle seconde equazioni dei due sistemi
si ottiene
x ≥ 13/4
4(x3 + 1) − 13x(x + 1) > 0
S x < 13/4
−4(x3 − 1) + 13x(x − 1) > 0 ,
da cui, ricordando le formule della somma e della differenza tra due cubi, segue che
x ≥ 13/4
S x < 13/4
(x + 1)(4x2 − 17x + 4) > 0
(x − 1)(4x2 − 9x + 4) < 0 .
4
PRECORSO DI MATEMATICA
Risolviamo il primo sistema
x ≥ 13/4
(x + 1)(4x2 − 17x + 4) > 0 .
La seconda disequazione va studiata con la regola
≥ 0 se
x+1
< 0 se
e
≥ 0 se
2
4x − 17x + 4
< 0 se
dei segni. Risulta
x ≥ −1
x < −1
x≤
1
∨ x≥4
4
1
< x < 4,
4
pertanto
(x + 1)(4x2 − 17x + 4) > 0
⇐⇒
−1 < x <
1
∨ x > 4.
4
Allora il primo sistema diventa
13
x≥ 4
−1 < x < 1 ∨ x > 4 ,
4
la cui soluzione è
x > 4.
Ora risolviamo il secondo sistema
x < 13/4
(x − 1)(4x2 − 9x + 4) < 0 .
La seconda equazione va studiata con la regola dei segni. Risulta
≥ 0 se x ≥ 1
x−1
< 0 se x < 1
e
√
√
9 − 17
9 + 17
∨ x≥
≥ 0 se x ≤
8
8
2
4x − 9x + 4
√
√
< 0 se 9 − 17 < x < 9 + 17 ,
8
8
pertanto
√
√
9 − 17
9 + 17
2
(x − 1)(4x − 9x + 4) < 0 ⇐⇒ x <
∨ 1<x<
.
8
8
Allora il secondo sistema diventa
13
x<
4
√
√
9
−
17
9
+
17
x<
∨ 1<x<
,
8
8
PRECORSO DI MATEMATICA
la cui soluzione è
x<
√
9−
17
8
∨ 1<x<
5
√
9+
17
8
.
Unendo le soluzioni dei due sistemi si ottiene che la disequazione data è verificata se
√
√
9 − 17
9 + 17
x<
∨ 1<x<
∨ x > 4.
8
8
Esercizio 4: Risolvere la seguente disequazione
3|x + 2| − x|x + 1| < 2x .
Svolgimento: Innanzitutto studiamo il segno degli argomenti dei diversi moduli presenti
nella disequazione:
≥ 0 se x ≥ −2
x+2
< 0 se x < −2
e
x+1
≥ 0 se
< 0 se
x ≥ −1
x < −1 .
Si presentano tre diversi casi secondo che sia x < −2, oppure −2 ≤ x ≤ −1, oppure x ≥ −1.
Pertanto la disequazione data è equivalente a
x < −2
S −2 ≤ x ≤ −1
3[−(x + 2)] − x[−(x + 1)] < 2x
3(x + 2) − x[−(x + 1)] < 2x
S x ≥ −1
3(x + 2) − x(x + 1) < 2x .
Tali sistemi si possono riscrivere come
x < −2
S −2 ≤ x ≤ −1
2
2
x − 4x − 6 < 0
x + 2x + 6 < 0
S x ≥ −1
2
x − 6 > 0.
Risolvendo le tre disequazioni di secondo grado si ottiene
−2
≤
x
≤
−1
x < −2
S
S x ≥ −1
√
√
√
√
∅
x < − 6 ∨ x > 6,
2 − 10 < x < 2 + 10
√
e quindi le soluzioni dei tre sistemi sono rispettivamente
∅, ∅ e x > 6 .
√
Allora la disequazione data è verificata se x > 6 .
6
PRECORSO DI MATEMATICA
Esercizi: Risolvere le seguenti disequazioni
1. x2 + |3x − 1| > 1
2. x2 − |x − 1| > 2
3.
|4x − 1| + x2
−2>0
x+1
4. x3 − 4x + |12x − 3x2 | > 0
5. |x4 − 63 + 4x2 | + 6x < 5
x+1
x−2
+
≤0
|x3 − 2x + 1| x2 + 1
3
1
7.
≥
|9 − x2 |
6
6.
2
6x − 7x + 3 <1
8. 2x(3x − 1) 9.
2|x2 − 3x + 2| − x
>3
|x2 + x|
10. |x3 − 3| + 2|x3 − 1| − |x3 | + x3 ≥ 0
−x2 + |4x − 1| > x + 1
11.
2
|x − 2x| < x + 2
12.
|x2 − 2x| + x2
≤1
2 + |x|
|2x2 − 1| − |x2 + 1|
−1<0
x+2
14. 2x3 − |1 + x3 | > 2
2
x + |3x − 1| > 1
15.
2
x − |x + 1| > 2x
13.
2
x − 4
>1
16. 2x + 1 2x + 5
x − 1 2
17. −
≤
4x − 2 1 − 2x 3
18. |x − 1| > 2x − 3 − |x2 + 3x − 4|
1
|x|
>
3
x
2
x|x|
1
20.
− 2 >0
16
x
19.
