Misura empirica della temperatura
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l’associazione di un valore della temperatura ad ogni stato di equilibrio termico di un sistema
termodinamico viene fatta attraverso la seguente procedura:
si assume
un sistema termodinamico di riferimento detto termometro
descritto da una sola coordinata termodinamica z detta, caratteristica termometrica
si fissa arbitrariamente
la funzione θ = τ (z) detta funzione termometrica
attraverso un processo di taratura e di graduazione del termometro
Taratura : scelta del punto di partenza ( o dello zero) della scala equivalente a scegliere
l’origine per il sistema di riferimento cartesiano
Graduazione : definizione della scala del termometro, equivalente a fissare l’unita’ di misura
degli assi cartesiani
per effettuare la misura si pone il sistema in contatto termico con il termometro e si attende che
venga raggiunto lo stato di equilibrio termico.
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all’equilibrio si ha f(x1…xn) = θ = τ (z) per cui leggendo il valore z del termometro
e utilizzando la funzione termometrica θ = τ (z) si puo’ calcolare il valore θ della temperatura
attenzione:
•
postulare l’esistenza di una relazione tra caratteristica termometrica z e temperatura θ
e’ ragionevole ma non si puo’ a priori sapere di quale tipo di funzione esattamente si tratti
dato che la temperatura e’ una nuova grandezza fisica percio’ la si sceglie
arbitrariamente essere di tipo lineare
• nella operazione di misura della temperatura il termometro perturba il sistema quindi la massa
del termometro deve essere trascurabile rispetto alla massa del sistema
• l’unità di misura della temperatura deve essere stabile e riproducibile percio’ deve essere
fondata su fenomeni stabili e riproducibili
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Caratteristica termometrica: dilatazione termica in solidi e liquidi
a pressione costante il volume dei corpi aumenta con la temperatura e per piccole variazioni
di temperatura la variazione di lunghezza del corpo e’ proporzionale a ∆ T
∆l = λl ∆T
1 dl
λ=
l dT
λ e’ il coefficiente di dilatazione termica lineare
in generale λ dipende dalla temperatura, ossia : λ ≡ λ (T )
1 ∆V
il coefficiente di dilatazione volumetrica e’ definito come α =
V ∆T
come
α=
o piu’ correttamente
1 ∂V
V ∂T p
se il corpo e’ omogeneo ed isotropo, arrestandosi al prim’ ordine, si ha :
α ≈ 3λ
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La scala delle temperature Celsius (procedura di taratura valida prima del 1954)
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scelto un sistema termodinamico di riferimento (termometro) descritto dalla coordinata z,
si costruisce la scala Celsius delle temperature postulando l’esistenza di una relazione
tra caratteristica termometrica z e temperatura tC scelta arbitrariamente essere di tipo lineare
tC = az + b
(funzione termometrica lineare)
per tarare la scala si assumono come punti fissi due fenomeni fisici di riferimento
il ghiaccio puro in equilibrio con l’acqua satura d’aria alla pressione di 1 atm
cui convenzionalmente si attribuisce il valore tC = 0 e l’acqua in equilibrio con il vapore puro
alla pressione di 1 atm cui si attribuisce convenzionalmente il valore tC = 100
tC = az + b
0 = a z0 + b
100 = a z100 + b
z - z0
tC = 100
z100 - z0
funzione termometrica
della scala Celsius
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Esempio: il termometro a mercurio/alcool
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la grandezza fisica che svolge il ruolo di caratteristica termometrica e’
in questo caso la dilatazione termica nei liquidi
in seguito all’acquisizione o cessione di calore da parte del liquido si ha una
variazione di volume data la forma del termometro, bulbo e colonna, si ha
dV = σ dh per cui le differenze di quota h della colonna misurano le variazioni
di temperatura indicando con h0 e h100 le altezze della colonna quando il
termometro è in equilibrio termico con un sistema ai due punti fissi
si ottiene la seguente funzione termometrica
tC = 100
h − h0
h100 − h0
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purtroppo mentre la funzione termometrica e’ per assunzione lineare la dilatazione termica
nei materiali e’ lineare solo in prima approssimazione percio’ se si misurano temperature
al di fuori dell’intervallo di graduazione del termometro la temperature dello stesso corpo
risultera’ diversa a seconda del liquido utilizzato nel termometro
per ovviare a questo inconveniente si usa il termometro a gas a volume costante
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La pressione
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i fluidi (liquidi e aeriformi) esercitano sulle superfici forze sempre normali e mai tangenziali
(assenza degli sforzi di taglio)
data una porzione infinitesima di volume di fluido incomprimibile affinche’ il fuido sia in equilibrio
lungo la verticale e lungo l’asse y si deve avere F1 + F2 + F3 = 0
z
proiettando le forze lungo gli assi y e z e considerando i moduli
( F1 − F2 sinϑ ) ˆj = 0
si ha
da cui
ˆ
( F3 − F2 cosϑ )k = 0
S1 = ab sinϑ
inoltre S2 = ab
S = abcosϑ
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quindi
F1 F2 F3
= =
S1 S2 S3
da cui
F1 = F2 sinϑ
F3 = F2cosϑ
F1
S1 = S2 sinϑ
S3 = S2 cosϑ
F2
a
F2 cosϑ
b
F2 sinϑ
y
ϑ
x
F3
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orientando in modo qualunque la superficie e ragionando come in precedenza si ottiene
che la pressione deve essere la stessa su tutte le superfici del volume
in conclusione :
un fluido esercita su di una superficie immersa una forza sempre perpendicolare
alla superficie e il rapporto tra il modulo della forza ed il valore della superficie
è indipendente dalla sua orientazione
si definisce pressione in un fluido la grandezza
| ∆F | dF
P = lim
=
ΔS → 0 ΔS
dS
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Unità di misura della pressione
• pascal (pa) forza di 1 N su di una superficie di 1 m2 unità del S. I.
• bar = 10 N/cm2 = 105 pa,
1 mbar = 102 pa
• torr o mm Hg pressione esercitata da una colonna di mercurio alta 1 mm
F mg ρ S h g
P (1torr) = =
=
= ρ gh
S
S
S
10−3
13.5951 −6 × 10−3 × 9.80665
pa 1.33322 mbar
= 133.322
=
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• atmosfera (atm)
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pressione media dell’aria a livello del mare alla temperatura T=°15 e latitudine λ= 45 gradi
(corrisponde a 760 torr)
1atm =760 torr = 760× 133.322= 101325 pa = 1013.25 mbar
1 atm = 1,01325 bar = 1013,25 mbar = 760 torr ( mm Hg)
1 bar = 0,9869 atm
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Termometro a gas a volume costante
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la seconda legge di Gay-Lussac isocora fornisce la funzione termometrica
e per la costruzione della scala Celsius si utilizza il termometro a gas rarefatto
per i gas ideali ( perfetti ) vale, tra le altre, la seconda legge di Gay-Lussac isocora
t
P = P0 (1+ C )
sperimentalmente si misura α0 e riesce α 0 = 273.15 C
α0
data una quantità costante di gas reale mantenuta a volume costante l’acquisizione o
la cessione di calore determinano una variazione della pressione del gas
h misura la differenza di pressione tra gas e ambiente h ∝ P − Pest
h
si assume allora una relazione lineare
del tipo:
t = a P+b
0 = a P0 + b
100 = a P100 + b
da cui
tC = 100
P − P0
P100 − P0
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in realta’ le cose sono molto piu’ complicate … a rigore la legge di Gay Lussac isocora
vale soltanto per un gas perfetto percio’ se si utilizza un gas reale si deve operare
a pressioni del gas nel bulbo molto basse di modo che, qualunque sia il gas usato
al diminuire della pressione nel bulbo ci si avvicini sempre piu’ alle condizioni di gas perfetto
il valore finale della temperatura si ottiene tramite una successione di misure
effettuate diminuendo via via la pressione del gas nel bulbo ed estrapolando a pressione del gas
nel bulbo nulla (P0 ® 0 ),
P − P0
tC = lim 100
= lim 100
P0 → 0
P0 → 0
P100 − P0
P − P0
100
P0 (1 +
) − P0
α0
P
= lim α0 ( − 1)
P0 → 0
P0
in conclusione
P
tC = lim 273.15 ( − 1)
P0 → 0
P0
temperatura del punto di ebollizione dello zolfo misurata
con termometro a gas a volume costante
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infine l’uso del termometro a gas a volume costante e’ molto complicato anche perche’
ogni volta che si riduce la pressione del gas nel bulbo per fare una misura si deve ritarare
il termometro…
cosi’ ottenuta e’
alla fine si verifica sperimentalmente che la misura della temperatura
indipendente
dal tipo di gas contenuto nel bulbo
ma, e ancora piu’ importante : le proprietà dei gas rarefatti suggeriscono l’esistenza di
una temperatura limite :
dato che il minimo valore della pressione è nullo P(min) = 0 qualunque sia il valore ( fisso )
di P0 si ha
P(min)
tC (min) = lim α0 (
− 1)
P0 → 0
P0
= − α0 = − 273.15 oC
0
tC (min) = lim α0 ( − 1)
P0 → 0
P0
temperatura che può essere assunta come zero assoluto delle temperature
mantenendo la stessa spaziatura tra i gradi, si ottiene
TK ≡ T = tC + α0 = tC + 273.15
detta “scala assoluta” o “scala Kelvin” delle temperature
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da notare che se
TK = tC + α0
e la seconda legge di Gay-Lussac isocora
allora
tC = TK − α 0
tC
P = P0 (1+ )
α0
diviene
TK
P = P0
α0
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La scala delle temperature Kelvin ( procedura di taratura adottata dopo il 1954 nel S.I. )
la scala Celsius basata sui due punti fissi presenta inconvenienti quindi la procedura di taratura
del termometro e’ stata modificata :
si postula nuovamente l’esistenza di una relazione lineare tra caratteristica termometrica z
e temperatura ma del tipo
T = az
ossia si pone b = 0 nella T = az + b
invece non cambia nulla per quanto riguarda la graduazione del termometro
infatti si mantiene la spaziatura tra i gradi identica a quella delle scale Celsius e Kelvin
definite in precedenza
poiche’ T = az
per tarare la scala e’ sufficiente assumere un solo punto fisso
il “punto triplo dell’acqua”
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Punto triplo dell’acqua
si pone un po’ di acqua distillata in un bulbo rigido sigillato in cui viene tolta tutta l’aria e
si mette il bulbo a contatto con una sostanza refrigerante fino a formare un sottile strato
di ghiaccio
all’equilibrio all’interno del bulbo si ha la la coesistenza delle tre fasi dell’ acqua
liquida, solida e gassosa con temperatura ben definita : 0.01 °C ovvero 273.16 °K
indipendente dalla pressione esterna
la pressione nel bulbo inizialmente sotto vuoto si porta a 4.6 mm di mercurio
in conclusione la funzione termometrica per la scala Kelvin delle temperature e’
T = az + b
b=0
273.16 = a z pt
273.16
a=
z pt
quindi T =
273.16
z
z pt
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Scale Termometriche
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la relazione tra la scala Kelvin e quella Celsius e’ del tipo
T ( 0C ) = T ( K ) - 273.15
un grado Kelvin e’ uguale ad un grado Celsius
nei paesi anglosassoni e’ diffusa la scala Fahrenheit
la relazione tra la scala Fahrenheit quella Celsius e’ : =
T ( 0F )
9
5
T ( 0C ) + 32
viceversa, per passare da gradi Fahrenheit a gradi Celsius T ( 0C ) =
un grado Fahrenheit non e’ uguale ad un grado Celsius
5
[T ( 0 F ) - 32]
9
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Backup Slides
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