Esame di ELEMENTI DI PROBABILITA` E STATISTICA

UNIVERSITA’ DI BOLOGNA - FACOLTA’ DI ECONOMIA
Esami di ELEMENTI DI PROBABILITÀ E STATISTICA - CLEF
ANNO ACCADEMICO 2006-2007
9 Gennaio 2007
Esercizio 1
I bicchieri prodotti da una vetreria artigiana hanno un peso medio di 190 grammi con
varianza 9 grammi. Si supponga che il peso abbia una distribuzione normale e che pesi di
bicchieri diversi siano variabili aleatorie indipendenti.
(a) Quale è la probabilità che un bicchiere pesi meno di 187 grammi?
(b) Quale e’ la probabilità che un bicchiere abbia peso tra 187 e 195 grammi?
(c) Quale e’ la probabilità che su 10 bicchieri prodotti ce ne siano tre che pesano
meno di 187 grammi?
(d) Quale e’ la probabilità che su 100 bicchieri prodotti ce ne siano almeno 70 che
abbiano peso tra 187 grammi e 195 grammi?
(e) Supponendo che non si conosca il peso medio dei bicchieri, ma si sappia solo che
la varianza è 9 grammi, trovare un intervallo intorno alla media che contenga il
peso di un bicchiere scelto a caso con probabilità 0,90.
Esercizio 2
Per la prossima giornata del campionato di calcio intendiamo scommettere una uguale
somma pari a 10 euro sull'esito di ciascuna di 2 partite. In caso di vittoria della squadra su
cui abbiamo scommesso ci verrà corrisposta una somma pari a 40 euro, altrimenti niente.
Per ciascuna squadra la probabilità di vincere è 0,2 indipendentemente dall’altra squadra.
(a) Quale è la probabilità di vincere almeno una delle due scommesse?
(b) Quale è la probabilità di vincere complessivamente una somma inferiore a 80
euro?
(c) Si costruisca la distribuzione di probabilità del guadagno (la vincita meno la
puntata) derivante complessivamente dalle due scommesse.
(d) Si determini il guadagno atteso complessivo delle due scommesse.
Si supponga invece che la scommessa riguardi la stessa squadra di calcio per due giornate
di campionato diverse. Si supponga che la probabilità che la squadra vinca sia 0,2 per la
prima giornata, e per la seconda giornata sia 0,3 se ha vinto la prima volta, ma sia 0,1 se
la prima volta non ha vinto.
(e) Calcolare la distribuzione di probabilità delle vincite e il guadagno atteso.
Soluzioni
Esercizio 1
Indichiamo con X il peso di un bicchiere.
187  190 

(a) P( X  187)  P Z 
  (1)  1  (1)  1  0,8413  0,1587.
3


187

190
X  190 195  190 
5




(b) P(187  X  195)  P
  P  1  Z   
3
3
3
3



5
   1  1  0,9525  0,1587  0,7938.
3
(c) Indichiamo con Y ~ Bin (10;0,1587) la variabile che denota il numero di bicchieri
(su 10) il cui peso è inferiore a 187 grammi
10 
PY  3     0,1587 3  0,84137 .
3
(d) Indichiamo con W ~ Bin (100; 0,7938) la variabile che denota il numero di
bicchieri (su 100) il cui peso e’ compreso tra 187 e 195 grammi. Applicando il
Teorema Limite Centrale si può approssimare la Binomiale con la Normale:  
np = 100  0,7938  79,38 ;   npq = 4,046
Si deve calcolare
70  79,38
P( W  70) = P( Z 
)  P( Z  2,318)  1  (2,318)
4,046
 P(W  70)  0,9898
(e) Sia d tale che il peso di un bicchiere scelto a caso differisca dalla media meno di d
d

P(  d  X    d)  0,90  2P(X    d)  1  2P Z 
 1 
3


d
d
d
2   1  0,9     0,95   1,64  d  4,92 .
3
3
3
Esercizio 2
Indichiamo con N la variabile casuale che rappresenta il numero di scommesse
vinte tra le due giocate (N = 0 oppure 1 oppure 2) e con V la variabile casuale che
descrive la vincita complessiva dalle due scommesse.
(a) La probabilità richiesta è
P
N 11 P
N 01 0, 2 0 
1 0, 22 0, 36
(b) La probabilità cercata è
P(V  80)  P( N  1)  1  P( N  2)  1  0, 2 2 (1  0, 2) 0  0, 96
(c) Indichiamo con G la variabile che descrive il guadagno derivante dalle due
scommesse. N può assumere i valori 0, 1 e 2. Vale G  40  N  20 . Pertanto, G
può assumere i valori -20, 20 e 60, con probabilità, rispettivamente,
P
G 20P
N 0, P(G  20)  P( N  1) e P(G  60)  P( N  2) . In
breve, la funzione di probabilità di G coincide con quella di N che è una variabile
Binomiale(2; 0,2). La distribuzione di probabilità di G è allora
G
-20
0
Prob. 0, 2 
1 0, 22 0, 64
20
2 0, 2
1 0, 20, 32
60
0, 2 
1 0, 20 0, 04
2
(d) È immediato dalla tabella del punto (c) determinare il guadagno atteso che è dato
da
E(G )  20  0, 64  20  0, 32  60  0, 04  4 euro.
o, alternativamente,
E(G )  E(40  N  20)  40  E( N)  20  40  (2  0, 2)  20  4 euro.
(e)
Indichiamo con V1e V2 rispettivamente gli eventi “vittoria la prima giornata” e
“vittoria la seconda giornata”. Inoltre S1 e S2 indicheranno rispettivamente le non-vittorie.
La distribuzione di probabilità e’
P (V1 e V2 ) = P (V2 | V1) P(V1) = 0,3*0,2 = 0,06
a cui corrisponde un guadagno di 60 Euro
P (S1 e V2 ) = P (V2 | S1) P(S1) = 0,1*0,8 = 0,08
a cui corrisponde un guadagno di 20 Euro
P (V1 e S2 ) = P (S2 | V1) P(V1) = 0,7*0,2 = 0,14
a cui corrisponde un guadagno di 20 Euro
P (S1 e S2 ) = P (S2 | S1) P(S1) = 0,9*0,8 = 0,72
a cui corrisponde un guadagno di -20 Euro
Il valore atteso è 60*0,06 + 20*0,22 – 20*0,72 = -6,4 Euro
UNIVERSITA’ DI BOLOGNA - FACOLTA’ DI ECONOMIA
Esame di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
ANNO ACCADEMICO 2006-2007
30 Gennaio 2007
Esercizio 1
Per le elezioni del sindaco in un dato comune si sono proposti 2 candidati: A,
della coalizione di centrodestra, e B del centrosinistra.
Dai dati relativi alle precedenti elezioni politiche è noto che il 40% della cittadinanza
sostiene il centrosinistra, un terzo sono elettori di centrodestra, e i restanti cittadini
appartengono all’elettorato di altri partiti
Supponendo che gli elettori delle due coalizioni votino per il proprio rappresentante, e
che i cittadini non appartenenti alle due coalizioni abbiano la stessa probabilità di votare
ciascuno dei due candidati
a) Calcolare la probabilità che un cittadino scelto a caso voti per il candidato sindaco
B, sostenuto dal centrosinistra.
b) Se un cittadino vota per il rappresentante del centrodestra, qual è la probabilità
che faccia parte dell’elettorato del centrodestra?
c) Quale e’ la probabilita’ che un cittadino voti per il candidato del centrodestra se
non e’ un elettore del centrodestra?
d) Scelti a caso tre elettori, qual e’ la probabilità che la maggioranza di essi voti per
il candidato sindaco B?
e) Il numero dei votanti nel comune in questione è 300 abitanti. Qual e’ la
probabilità che il sindaco del centrosinistra ottenga la maggioranza?
Esercizio 2
In seguito ad un particolare andamento del mercato finanziario, una nota agenzia di rating
ha stimato che il prezzo giornaliero di un titolo derivato si distribuisce secondo una
distribuzione uniforme di media 8 € e varianza 4/3 € 2 .
a) Calcolare la probabilità che l’andamento del prezzo sia superiore a 9 €;
b) Calcolare il momento secondo della distribuzione;
c) Calcolare e disegnare la funzione di ripartizione della distribuzione in questione;
d) Un investitore ritiene che la probabilità di osservare un prezzo superiore a 7,6 €
sia 1/2. E’ corretta una simile affermazione? Motivare adeguatamente la risposta.
e) Una seconda agenzia di rating invece afferma che l’andamento del prezzo
giornaliero di cui sopra si distribuisce secondo una legge di probabilità con la
seguente funzione di densità:



f(x)  



x(x - 1)
155
0
per 5  x  10
altrove
Questo puo’ essere un modello probabilistico adeguato?
Soluzione Esercizio 1
Indichiamo con A e B l’evento che un dato cittadino voti rispettivamente per il
candidato sindaco A oppure il candidato B, e indichiamo invece con elett_CS, elett_CD e
elett_Altri, rispettivamente, il fatto che sia un elettore di centrodestra, centrosinistra o di
altri partiti.
Secondo i dati dell’esercizio
P(elett_CD) = 1/3,
P(elett_CS) = 4/10 = 2/5,
P(elett_Altri) = 1-1/3 - 4/10 =
4/15
ed inoltre
P(A | elett_CD) = 1
= 1/2.
a)
P(B | elett_CS) = 1
P(A | elett_Altri) = P(B | elett_Altri)
Si applica il teorema delle probabilita’ totali per determinare la probabilita’ che
venga votato il rappresentante del centrosinistra B:
P(B) = P(B | elett_CS)P(elett_CS) + P(B | elett_CD)P(elett_CD + P(B | elett_Altri)·
2
1 4
8
P(elett_Altri) = 1   0   
= 0,533
5
2 15 15
b)
La probabilità che il voto vada al candidato del centrodestra e’
P(A) =1 - P(B) =
7
= 0,467
15
quindi per la regola delle probabilità condizionate
P(elett_CD | A) =
P( A  elett _ CD) P( A elett _ CD) P(elett _ CD)

P( A)
P( A)
1
= 3  0,714
7
15
P(A) = P( A elett _ CD )P( elett _ CD )+P(A elett _ CD )P( elett _ CD ) 
1
c)
7
1
 1
3  1  0,2
P(A elett _ CD )=
 15
2
5
P(elett _ CD)
3
Sia X la v.c. “numero di cittadini che hanno votato per il candidato B su un
campione casuale di 3 cittadini”
P( A)  P( A elett _ CD) P(elett _ CD)
d)
 8
 X  Binomiale  3;  e la probabilità richiesta è
 15 
P(
2
3
0
 3  8  7  3 8   7 
448 512
X  2)  P( X  2)  P( X  3)    
       3 3  1 3  0,5499
15
15
 2  15  15  3 15   15 
e) Sia Y la v.c. “numero di cittadini che hanno votato per il candidato B su un
campione
casuale di 300”. Si deve calcolare P (Y  151) .
8

Y  Binomiale  300;  e per il Teorema del Limite Centrale
15 

8
Y  300 
15  Y  160  N (0;1) .
8 7
16800
300  
15 15
15
151  160
PY  151  1  P(Y  151)  1  P( Z 
)  1   (1,04)   (1,04)  0,8508
16800
15
.
Soluzione dell’Esercizio 2
a) La media e la varianza di una distribuzione Uniforme(a,b) sono date dalle
seguenti formule:
 = (a+b)/ 2  2 = (b-a) 2 /12
quindi per trovare a e b si deve risolvere il sistema
ab

 8 2
 4 (b  a ) 2
 
12
3
dal quale si trova a = 6, b =10.
f(x)
1
4
x
6
9
10
Utilizzando le aree, si trova P(X > 9) = 1/4
b) Soluzione migliore:  2  E ( X 2 )  E ( X )   E ( X 2 ) 
2
oppure
4
196
 82 
 65,3
3
3
10
1
1  x3 
784
x
dx

6 4 4  3   12  65,3
6
10
2


c) F(x)  


0 per x  6
x-6
per 6  x  10
4
1 per x  10
x )  0,5 si ha per
d) L’affermazione è falsa dal momento che la probabilità P( X  ~
~
x  mediana e per la distribuzione uniforme la mediana coincide con la media =
8. Piu’ direttamente
P( X  7,6)  1  F (7,6)  0,6  0,5 .
e) Il modello probabilistico non e’ adeguato perché la funzione considerata non e’
una funzione di densita’ in quanto l’integrale non e' = 1
10
10

5
3
10
x( x  1)
1
1 x
x2 
1  1000 100 125 25 
2
dx 
(
x

x
)
dx




  1


 

155
155 5
155  3
2 
155  3
2
3
2
5
Esami di ELEMENTI DI PROBABILITÀ E STATISTICA - CLEF
ANNO ACCADEMICO 2006-2007
13 Febbraio 2007
Esercizio 1
In un videogame a pagamento si paga 1 EURO per giocare una partita: in caso di vittoria
la partita successiva è gratis, se si vince anche quella la successiva è ancora gratis, e così
via. Supponendo che ci sia uguale probabilità p = 0,2 di vincere in ciascuna partita, e che
le partite siano indipendenti,
a) dire qual è la distribuzione di probabilità del numero di partite giocate da un dato
giocatore, Alberto, che paga solo 1 EURO
b) dire qual è il numero atteso di partite giocate da Alberto.
Alberto e un suo amico, Bruno, hanno solo 1 Euro a testa e giocano entrambi.
c) Qual è la probabilità che il numero totale di partite giocate da Alberto e Bruno sia
= 3?
d) E la probabilità che sia = 4? Generalizzare la risposta trovando la distribuzione di
probabilità della variabile N = numero totale di partite giocate da Alberto e Bruno.
e) Se si sa che il numero totale di partite giocato dai due amici è 3, trovare la
distribuzione di probabilità del numero di partite giocate da Alberto.
Esercizio 2
Una ditta di calcolatori produce componenti elettronici la cui durata segue una
distribuzione normale di media 750 giorni e deviazione standard 30 giorni. La garanzia
dei componenti è di due anni. Ogni componente venduto e poi sostituito comporta una
perdita di 15 €.
a) Qual è la probabilità di dover sostituire un componente in garanzia?
b) Calcolare la probabilità che un componente scelto a caso duri più di 740 giorni ma
meno di 810.
c) Qual è la probabilità che dati due componenti indipendenti, la loro durata differisca
più di 20 giorni?
d) Qual è la probabilità di perdere più di 30 € avendo venduto 6 componenti?
e) Il signor Rossi acquista tre componenti per il suo computer. Calcolare la probabilità
che egli non dovrà avvalersi del diritto di garanzia per almeno due componenti.
Soluzioni
Esercizio 1
a)
Alberto gioca fino a che vince e si ferma alla prima partita persa; la
probabilità di perdere è 1 – p = 0,8. Sia X il numero di partite giocate. X è una
variabile casuale con distribuzione di probabilità cosiddetta geometrica, cioè:
x
1
2
3
...
k
...
P(X = x)
1-p
p(1 - p)
p 2 (1 - p)
...
p k-1 (1 - p)
...
Si osservi che la somma di tutte le probabilità è


k 1
b)
(1  p) p k 1  (1  p)
Il valore atteso della distribuzione geometrica di parametro 0,8 è
E(X) =
c)
1
1
1 p


k 1
k (1  p) p k 1  1/(1 – p) = 1/0,8 = 1,25.
Siano NA e NB rispettivamente il numero di partite giocate da Alberto e Bruno
P(N = 3) = P(NA + NB = 3) = P(NA = 1 e NB = 2 oppure NA = 2 e NB = 1)
= P(NA = 1, NB = 2) + P(NA = 2, NB = 1)
= P(NA = 1)·P(NB = 2) + P(NA = 2)·P(NB = 1)
= (1 – p) p(1 – p) + p(1 – p) (1 – p) = 2p(1 – p)2 = 0,256
d)
In modo analogo si dimostra che
P(N = 4) = 3p2(1 – p)2 = 0,0768
La formula generale è
P(N = k) = (k – 1) p k-2 (1 – p) 2
e)
Dobbiamo trovare P(NA= 1 | N = 3) e P(NA= 2 | N = 3).
Per la formula della probabilità condizionata
P(NA= 1 | N = 3) = P(NA= 1 ∩ N = 3) / P(N = 3) = P(NA= 1 ∩ NB = 2) / P(N = 3)
p(1 – p)2 / 2p(1 – p)2 = ½.
Chiaramente anche P(NA= 2 | N = 3) = 1/2.
Si osservi che questo risultato non dipende dal valore di p.
Esercizio 2
a) La durata X segue una distribuzione normale X N(750; 900) per cui la probabilità
di dover sostituire un componente in garanzia, ovvero la probabilità che la sua
durata sia inferiore a 2 anni ( = 730 giorni) è data da:
730  750 
2


 2
2
P Z 
  P Z         1     0,251
30
3



 3
3
 740  750 X  750 810  750 
 1

 1


b) P(740  X  810)  P
  P   Z  2   2     
30
30
30


 3

 3

 1 
= 2  1      0,9772  1  0,63  0,6072.
 3 

c) Sia X 1 la durata del primo componente e X 2 la durata del secondo 
X 1 - X 2  N(0; 900  900 ). Si deve calcolare:
P(|X 1 - X 2 | > 20) = 1 - P(|X 1 - X 2 | < 20) =
  20  
  20  0
20  0 
1  P
Z 
  1  2
  1  2  20,47   2  2  0,6808  0,6384
1800 
 1800
  1800  
30
= 2
15
componenti. La probabilità che un componente duri meno di 2 anni ( = 730
giorni) = 0,251.
Y 1 = numero di componenti venduti e sostituiti su 6 segue una distribuzione
Binomiale(6; 0,251) per cui si ottiene :
d) Perdere più di 30 € vuol dire vendere e poi dover sostituire più di
PY1  2  1  P(Y1  2) = 1 - [P(Y 1 = 0) + P(Y 1 = 1) + P(Y 1 = 2)] =
 6 

 6
 6
1   0,2510 0,749 6   0,25110,749 5   0,2512 0,749 4   1  0,177  0,355  0,297   0,171
1
 2
 0 

e) Y2 = numero di componenti venduti e non sostituiti su un totale di 3 segue una
distribuzione Binomiale(3; 0,749)
PY2  2 = P(Y 2 = 2) + P(Y 2 = 3) =
 3
 3
=  0,749 2 0,2511   0,749 3 0,2510  0,422  0,42  0,842 .
 2
 3
UNIVERSITA’ DI BOLOGNA - FACOLTA’ DI ECONOMIA
Esame di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
ANNO ACCADEMICO 2006-2007
28 Maggio 2007
Esercizio 1
Alcuni semafori a 3 fasi (rosso verede giallo) sono programmati in modo da
restare per il 48% del tempo sul rosso, altrettanto sul verde, e il tempo restante sul giallo.
Il signor X è un guidatore prudente e non passa mai con il giallo.
a)
Il signor X va al lavoro con l’auto. Se ci sono 6 semafori del tipo descritto
sopra sulla sua strada e non sono sincronizzati, qual è la probabilità che X non
si debba fermare mai?
b)
Qual è la probabilità che X si debba fermare o 2 o 3 volte?
Il signor Y fa un altro percorso con 7 semafori non sincronizzati dello stesso tipo
precedentemente descritto, ma va di fretta e di abitudine passa anche con il semaforo
giallo.
c)
Qual è la probabilità che il signor Y si debba fermare al massimo 2 volte?
d)
Calcolare la differenza media del numero di fermate al semaforo tra Y e X, se
i due percorsi sono indipendenti.
Il signor Z fa lo stesso percorso di X, è una persona distratta e ogni tanto passa anche con
il semaforo rosso: in media questo gli succede una volta su cento. Se tutti e 6 i semafori
sono dotati di un sistema di controllo per multare gli automobilisti che passano con il
rosso,
e)
Calcolare la probabilità che Z non sia multato mai in un mese di 25 giorni
lavorativi, considerando sia l’andata che il ritorno dal lavoro.
f)
Calcolare la probabilità che Z sia multato almeno 2 volte nello stesso mese.
Esercizio 2
Il rendimento di un titolo e' una v.c. X. Posto convenzionalmente = a il
rendimento massimo, la funzione di densita' di probabilità si esprime come segue
┌ 4/(3a) - 2x/(3a2)
f(x) = ┤
└ 0
per 0  x  a
altrove
a) Verificare che si tratta di una funzione di densità qualunque sia a
b) Trovare la media di X
c) Trovare la varianza di X
d) Calcolare la funzione di distribuzione F(x) e tracciarne un grafico.
e) Calcolare la mediana di X
f) Calcolare la probabilità che sia X > 0,75a se si sa che il rendimento è almeno
0,5a.
[Suggerimento: in caso di difficoltà porre a = 1]
Soluzioni
Esercizio 1
a) La probabilità che Il signor X non si debba fermare non si debba fermare a un
dato semaforo e’ la probabilità del verde P(V), pari a 0,48. Se ci sono 6 semafori
indipendenti, la probabilità che non si debba fermare mai è P(V)6 = 0,012
b) Il numero di volte in cui X si deve fermare è una v.c. NX con distribuzione Bin(6;
0,52)
P(NX = 2 oppure NX = 3) = P(NX =2) + P(NX = 3)
= 6!/2!4! (0,52)2(0,48)4 + 6!/3!3! (0,52)3 (0,48)3
= 0,2153 + 0,311 = 0,5263 = 52,63%
c) Y si ferma solo con il rosso. Il numero di volte in cui Y si deve fermare è una v.c.
NY con distribuzione Bin(7; 0,48).
P(NY max 2 ) = P(NY = 0) + P(NY = 1) + P(NY = 2)
= (0,52)7 + 7 (0,48) (0,52)6 + 21 (0,48)2 (0,52)5
= 0,0102 + 0,06643 + 0,18395 = 0,26
Quindi la probabilità che Y si debba fermare al massimo 2 volte è 26%.
d) Il valore atteso di NX è E(NX) = 6*0,52 = 3,12
Il valore atteso di NY è E(NY) = 7*0,48 = 3,36
E(NX - NY) = - 0,24
MORALE: Conviene passare con il giallo? No, e’ meglio invece cercare un percorso
che eviti i semafori.
e) La probabilità che Z sia multato è uguale a quella di trovare il semaforo rosso e di
passare lo stesso
P(Multa ) = P(Z passa | semaforo è rosso) P(semaforo rosso) = 0,01*0,48
= 0,0048.
In un mese di 25 giorni lavorativi, sul suo percorso per il lavoro Z passa 300
semafori. Il numero di multe MZ è una v.c. binomiale Bin(300; 0,0048) che possiamo
approssimare con una variabile di Poisson di parametro 
P(MZ = 0) = e- = 0,237
f)
P(MZ almeno = 2) = 1 - [P(MZ = 0) + P(MZ = 1)]
= 1 - e- (1 + 
Esercizio 2
a)
Prima di tutto bisogna verificare che 0 f(x) in [0,a]. Inoltre
a
 4x x 2 
4 1
=
 f(x) dx  3a  3a 2  = 3 - 3 = 1

0
0
a
a
 2x 2 2x 3 
2
2
4
E(X) =  x f(x) dx = 

 = a- a= a
2
9
9
 3a 9a  0 3
0
a
b)
a
c)
=
2
4
V(X) =  x f(x) dx -   a 2 =
9
0
2
a
 4x 3 x 4   4  2 2 4 2 1 2 16 2
a


 -  a = a - a 2
6
9
81
9
a
9


6a  0

13 2
a
162
d)
0
per x  0



 4x x 2
per 0  x  a
 
F(x)   3a 3a 2


1
per x  a



e)
Vogliamo trovare x tale che F(x) = 0,5 

1
4x x 2

=
2
2
3a 3a
2
x - 4ax + (3/2)a2 = 0

x = 2a + a 2,5
oppure
x = 2a - a 2,5
La soluzione con il segno + è da scartare perché al di fuori di [0,a], quindi il valore
mediano è
a(2 - 2,5) = 0,4a circa
f)
Vogliamo calcolare la probabilità condizionata
P(X > 0,75a | X > 0,5a)
= P(X > 0,75) / P(X > 0,5a)
= (1 - F(3a/4 )) / (1 - F(a /2))

3 
1  1  2 
4   3 / 16  9
= 
= 0,45
 2 1  5 / 12 20
1  3  12 
UNIVERSITA’ DI BOLOGNA - FACOLTA’ DI ECONOMIA
Esame di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
- ANNO ACCADEMICO 2006-2007
26 Giugno 2007
Esercizio 1
Un investitore è indeciso tra due diverse proposte finanziarie, A e B, il cui
rendimento percentuale è incerto. Sulla base delle informazioni a disposizione è possibile
assumere che i rendimenti di entrambi gli investimenti si distribuiscano in modo normale,
con valori attesi rispettivamente dati da  A  8% e  B  10% , e deviazioni standard
e
(a)
Calcolare la probabilità che il rendimento percentuale dell'investimento A sia
superiore al 10%.
(b)
Calcolare la probabilità che il rendimento di B sia compreso tra 8% e 15%.
(c)
Supponendo che i due investimenti siano tra loro indipendenti, calcolare la
probabilità che il rendimento di B sia superiore a quello di A.
(d)
L'investitore non è molto propenso a rischiare e decide di scegliere l'alternativa
che con maggiore probabilità gli garantirà un rendimento superiore al 5%. Quale
tra i due investimenti
dovrà scegliere?
(e)
Quali devono essere il valore medio e la deviazione standard di un investimento C
che con probabilità 95% dà un rendimento maggiore del 5% e con probabilità
1% un rendimento inferiore al 2%?
Esercizio 2
Quando si chiama il 444 di una compagnia telefonica, corrispondente a un
particolare servizio telefonico, nell’80% dei casi si riceve il messaggio di attendere in
linea, e a quel punto la persona che chiama deve decidere se rimanere in linea o
riagganciare. La percentuale di clienti che riagganciano è 60%.
(a)
Qual è la probabilità che quando si chiama il 444 la telefonata vada a buon fine,
cioè il cliente parli con l’operatore?
(b)
Se un cliente sta parlando, qual è la probabilità che abbia ottenuto subito la
comunicazione senza aver dovuto attendere?
Quando si riesce a parlare subito senza dover attendere in linea, la durata T di una
telefonata è una variabile casuale continua che segue una distribuzione esponenziale con
densità


f(t) = ½e-t/2
f(t) = 0
dove t indica il tempo.
se 0 t
se t < 0
(c)
Calcolare la durata media della telefonata.
(d)
Se la compagnia telefonica fa pagare le chiamate 1 Euro per lo scatto alla risposta
più 1 Euro per ogni minuto o frazione di minuto, calcolare la probabilità per una chiamata
al numero 444 si spendano almeno 5 Euro.
(e)
Quando si riceve il messaggio di attendere e non si riaggancia, ma si rimane in
attesa della risposta, la durata della telefonata T segue la legge di probabilità
t
P(T  t) = 1 – exp(- ) se 0 t,
6
Calcolare la densità di probabilità.
P(T  t) = 0
se t < 0
Soluzioni
Esercizio 1
Indichiamo con R A e RB le variabili casuali che descrivono i rendimenti percentuali
dei due investimenti, dove dal testo sappiamo che R A  N (8 ; 2 2 ) e RB  N (10 ; 4 2 ) .
(a)
(b)
Dobbiamo calcolare P( R A  10) . Allora
 10  8 
P( R A  10)  1  P( R A  10)  1  
  1  (1)  1  0, 8413  0,1587 .
 2 
 15  10 
 8  10 
P(8  RB  15)  
  
   (1, 25)   (0, 5)
 4 
 4 
dove (1, 25)  0, 8944 e (0, 5)  1  (0, 5)  1  0, 6915  0, 3085 . Pertanto
P(8  RB  15)  0, 8944  0, 3085  0, 5859 .
(c) Dobbiamo ora calcolare P( RB  R A ) . Se indichiamo con D  RB  RA la
differenza tra i due rendimenti, allora P( RB  RA )  P( D  0) .Dall'indipendenza
dei rendimenti e dalla normalità distributiva di R A e RB segue che
D  N ( D ;  2D ) dove
 D  E[ RB  RA ]  E[ RB ]  E[ RA ]  10  8  2
ed inoltre
 2D  Var[ RB  R A ]  Var[ RB ]  Var[ R A ]  16  4  20.
Pertanto D  N (2 ; 20) da cui segue che
02
P( D  0)  1  P( D  0)  1  
  1  (0, 45)  (0, 45)  0, 6736
 20 
il che porterebbe a preferire l'investimento B.
Confrontando tra loro le probabilità P( R A  5) e P( RB  5) si ha che
 58
P( R A  5)  1  
  1   (1, 5)  (1, 5)  0, 9332
 2 
 5  10 
P( RB  5)  1  
  1   (1, 25)   (1, 25)  0, 8944
 4 
e pertanto l'investitore sarà portato a scegliere A.
(d)
(e)
2
RC  N ( C ;  C ) . Standardizzando
 5  C
P( RC  5)  1  
 C
ed inoltre

  0, 95

 5  C
da cui 
 C

  1, 65

 2  C 
 2  C 
  0, 01
   2,33.
da cui 
P( RC  2)  


C
C




La soluzione del sistema è 
C = 12,27% , C = 4,41%.
Esercizio 2
(a)
La probabilità che la telefonata vada a buon fine, cioè il cliente parli con
l’operatore è la probabilità di parlare subito oppure attendere e parlare dopo. La
probabilità di parlare subito è = 0,20. La probabilità di parlare dopo è
P(bisogna attendere  non riagganciare) =
= P(non riagganciare | bisogna attendere) * P(bisogna attendere) =
= 0,4 * 0,8 = 0,32
Quindi
(b)
P(parlare) = 0,2 + 0,32 = 0,52.
P(non essere messo ad attendere | parlare) =
= P(non essere messo ad attendere  parlare) / P(parlare)
= P(non essere messo ad attendere) / P(parlare)
= 0,2 / 0,52 = 0,385
(c)
La durata media è 2 minuti (= valore atteso della variabile esponenziale)
(d)
La spesa X è almeno 5 Euro se la durata della telefonata è maggiore di 3 minuti:

P(5 X) = P( 3 < T ) = 1 - P(T 3) =
3
(e)


= e-1,5 = 0,22
3
La densità di probabilità.è la derivata della funzione di ripartizione
F(t) = P(T  t)
e vale


- t/2
 f(t)dt = - e

f(t) =
1 -t / 6
e
se 0 t
6
f(t) = 0
se t < 0
UNIVERSITA’ DI BOLOGNA - FACOLTA’ DI ECONOMIA
Esame di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
- ANNO ACCADEMICO 2006-2007
10 Settembre 2007
Esercizio 1
In un esperimento effettuato per studiare il comportamento di un agente economico che
deve scegliere tra diverse azioni, tutte con un esito incerto, l’esito e’ rappresentato da due
quantità aleatorie X1 e X2 (che rappresentano rispettivamente una vincita e una perdita) la
cui distribuzione di probabilità congiunta è la seguente
X1 = 0
X1= 50 Euro
0,1
0,5
X2 = 0
0,2
0,2
X2 = 100 Euro
a)
b)
c)
d)
Trovare le distribuzioni marginali di X1 e X2 e dire se sono indipendenti.
Trovare il valore atteso del premio totale X1 + X2.
Trovare la varianza di X1 + X2.
Trovare la distribuzione di probabilità del premio totale condizionatamente al
fatto che non sia negativo.
e) Ai partecipanti all’esperimento si chiede di scegliere le probabilità congiunte nella
tabella in modo che il valore atteso del premio totale non sia mai negativo. Dire
quali sono i valori massimi di ciascuna probabilità nella tabella.
Esercizio 2
L’economia legata all’industria del riciclaggio ha un ruolo sempre più incisivo. In
particolare la rottamazione delle auto porta al recupero di alcuni materiali, tra cui il
poliuretano dall’imbottitura dei sedili. Supponiamo che X, il quantitativo aleatorio di
poliuretano (espresso in Kg) ricavabile da un’auto,
possa essere descritto
approssimativamente attraverso una variabile normale N(18; 4).
a) Calcolare la probabilità che la quantità ricavata da una data automobile sia
maggiore di 15 Kg.
b) Calcolare la mediana e il terzo quartile della distribuzione.
c) Se si rottamano 200 auto, qual è la distribuzione di probabilità di Y = il
quantitativo di poliuretano ricavato in totale?
L’evidenza empirica fa osservare che la distribuzione normale non descrive bene
l’andamento di questa variabile, che invece si presta ad essere descritta meglio con la
densità
1 1

f(x) =
se
12,5 x  
(NB
ln è il
ln 2 x
logaritmo naturale)
f(x) = 0
altrove.
d) Verificare che f(x) è una funzione di densità e calcolare la funzione di
ripartizione F(x).
e) Calcolare il valore medio e la varianza di X.
f) Se si rottamano 200 auto, qual è approssimativamente la distribuzione di
probabilità di Y = il quantitativo di poliuretano ricavato in totale.
Soluzioni
Esercizio 1
a)
Distribuzione marginale di
X1
P(X1 = 0) = 0,3
P(X2 = 0) = 0,6
Distribuzione
marginale di X2
P(X1= 50 Euro) = 0,7
P(X2 = 100 Euro) = 0,4
NON sono indipendenti: ad es.
P(X1 = 0 e X2 = 0) = 0,1  P(X1 = 0)*P(X2 = 0) = 0,3*06 = 0,18
b)
E(X1 + X2) = E(X1 ) + E(X2) = 0*0,3 + 50*0,7 + 0*0,6 -100*0,4 = -5 Euro
c)
Distribuzione di X1 +X2
P(X1 +X2 = 0) = 0,1
P(X1 +X2 = 50) = 0,5
P(X1 +X2 = -50) = 0,2
P(X1 +X2 = -100) = 0,2
V(X1 + X2) = E[(X1 +X2)2] - [E(X1 +X2)]2
= (0*0,1 + 502*0,5 + 1002* 0,2 + 502*0,2) -52
= 3725 Euro2
d)
Il premio totale non è negativo solo se X2 = 0 e quindi P(X1 + X2  0) = 0,6
La distribuzione di X1 + X2 condizionata a X2 = 0 è la distribuzione di X1 condizionata a
X2 = 0.
P(X1+X2 = 0| X2 = 0) = 0,1/0,6 = 1/6
P(X1+X2 = 50| X2 = 0) = 0,5/0,6 = 5/6
e)
Posto
X2 = 0
X2 = 100 Euro
X1 = 0
p11
p21
X1= 50 Euro
p12
p22
Deve essere
E(X1 +X2) = 0* p11+ 50* p12 - 100* p21 - 50 * p22  0
Quindi
2 p21 + p22 p12
Inoltre deve essere
p11+ p12 + p21 + p22 = 1
Quindi ci sono dei vincoli per i valori di probabilità. I valori massimi sono dati nelle
seguenti tabelle
X2 = 0
X2 = 100 Euro
X1 = 0
1
0
X1= 50 Euro
0
0
X1 = 0
X2 = 0
X1= 50 Euro
1
0
0
X2 = 100 Euro
0
X2 = 0
X2 = 100 Euro
X1 = 0
0
1/3
X1= 50 Euro
2/3
0
X2 = 0
X2 = 100 Euro
X1 = 0
0
0
X1= 50 Euro
1/2
1/2
Esercizio 2
a)
Se X ~ N(18; 4)
P(X > 15) = 1- P(X 15) = 1- P(Z 1- P(Z -1,5) = P(Z 1,5) =
0,9332.
b)
La mediana della distribuzione normale ha lo stesso valore della media =
18 Kg.
Il terzo quartile corrisponde al valore a tale che P(X  a ) = 0,75, quindi
(a - 18)/2 = 0,68
c)
da cui a = 19,36
Il totale è Y = X1+...+X200 , essendo Xi ~ N(18; 4) da cui
Y ~ N(3600; 800)
L’evidenza empirica fa osservare che la distribuzione normale non descrive bene
l’andamento di questa variabile, che invece si presta ad essere descritta meglio con la
densità
1 1

ln 2 x
logaritmo naturale)
f(x) =
f(x) = 0
d)
se
12,5 x  
(NB
ln è il
altrove.
Verifichiamo che f(x) è una funzione di densità: intanto f(x)  0. Inoltre
25
25

12 ,5
1 1
1
25
 1

 dx  
 ln x 

 ln
1
ln 2 x
12,5
 ln 2
12 ,5 ln 2
Calcoliamo la funzione di ripartizione F(x).
=0
x
F(x) =

se x < 12,5
x
f (t )dt 
12, 5
=1
1 1
1
x
 dt 
ln
ln 2 t
ln 2 12,5
12, 5

se x > 25
se 12,5  x  25
e)
Il valore medio di X e la varianza:
25
E(X) =
1
1
1
25  12,5  18,0337
x  dx 

ln 2 12,5 x
ln 2
25
25
1
1  x2 
2 1
E(X )=
x dx 
   338,132
ln 2 12,5 x
ln 2  2  12,5
2
 Var(X) = 338,132-(18,0337) 2 =12,912
f)
Per il teorema del limite centrale la distribuzione di probabilità di Y = il
quantitativo di poliuretano ricavato in totale se si rottamano 200 auto, è
approssimativamente una distribuzione normale N(18,03*200; 12,9*200).