STORIA DELL’ALGEBRA
ALGEBRA RETORICA XVIII
a. C.-III
ALGEBRA SINCOPATA III-XVI Diofanto
ALGEBRA SIMBOLICA XVI- Viète
C. S. Roero
Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’lmuqabala
Operazione del “completamento”,
trasferimento di termini da un membro
all’altro
Arte di trasformare un’equazione in un’altra
ad essa equivalente
INCOGNITA
Say’ =cosa
Res latino
arte cossica, arte dei cossisti
Coss tedesco
1
algebra
Fino alla metà del XIX sec. l’Algebra era lo
studio delle equazioni
Serret 1866 Traité d’algèbre superieure
LAGRANGE 1770
Proprietà di simmetria delle radici
RUFFINI 1799
ABEL 1823
eqz di 5° non risolubile
GALOIS 1830
teoria dei gruppi – strutture algebriche
EGITTO EQUAZIONI LINEARI 1 incognita
Una quantità cui viene aggiunto un
suo settimo diventa 19. Assumi come
falsa risposta 7. Aggiungi 1/7 di essa
alla medesima quantità e hai come
risultato 8. Poi tante volte 8 deve
essere moltiplicato per dare 19,
quante 7 per dare il numero
corretto. Così dividi 19 per 8.
Ottieni 2+1/4+1/8. Ora moltiplica
questo per 7. La risposta è
16+1/2+178. Prendi 1/7 di questa
quantità e aggiungilo alla medesima,
il risultato è il richiesto 19.
2
EGITTO EQUAZIONI
1 grado
Metodo di falsa posizione
MESOPOTAMIA
Incognita lunghezza uš
Larghezza say Area a-šà volume sahar
Tavoletta
BM 13091
1-7
risoluzioni di equazioni 2° ad 1 incognita
8-14 sistemi di 2 equazioni in 2 incognite
(nella prima compare la somma dei quadrati,
nella 2a la somma o la differenza o il rapporto
o il prodotto delle incognite)
15-24 esercizi e applicazioni , con numero
qualsiasi di incognite
3
MESOPOTAMIA
Metodi utilizzati
Completamento del quadrato
Semisomma e semidifferenza
delle incognite
Problema 1 tavoletta BM 13901
Ho addizionato la
Completamento del quadrato
superficie e il lato del
quadrato 0;45
Tu porrai 1 l’unità
Tu dividerai in due l’unità:
0;30 e la moltiplicherai per
0;30: 0;15.
Tu aggiungerai 0;15 a
0;45: 1
E’ il quadrato di 1.
Tu sottrarrai 0;30 che hai
moltiplicato da 1: 0,30.
È il lato del quadrato.
4
Completamento del quadrato
Si basa sull’identità
analogamente
Semisomma e semidifferenza
problema 9 tavoletta BM 13901
Ho sommato la superficie di due
quadrati: 21,40, l’uno supera
l’altro di 10
Tu dividerai in due 21,40,
scriverai 10,50
Dividerai in due 10: 5
Moltiplicherai 5 per 5: 25
Sottrarrai 25 da 10,50: 10,25
Questo è il quadrato di 25
Scriverai 25 due volte
Aggiungerai il 5 che hai
moltiplicato al primo 25: 30, è
il primo quadrato
Sottrarrai 5 dal secondo 25: 20, è
il secondo quadrato
5
Semisomma e semidifferenza delle incognite
L’importanza dei problemi della duplicazione del cubo, della
quadratura del cerchio e della trisezione dell’angolo sta nel fatto
che i tentativi falliti di risolverli con riga e compasso condussero i
Greci a ideare nuove curve (coniche, quadratrice di Dinostrato,
curva di Ippia, concoide, cissoide, spirale, …) e ad ampliare il
campo di indagine geometrica.
Ippocrate di Chio (V sec a. C.)
Ippia di Elide (V-IV sec. a. C.)
Platone (427-347 a. C.)
Archita di Taranto (428-347 a. C.)
Menecmo (IV sec. a. C.),
Diocle (II sec. a. C.) ...
6
La duplicazione
del cubo
Ippocrate di Chio ridusse
il problema a quello
dell’inserzione di medi
proporzionali:
Dati due segmenti a, b,
costruirne altri due x, y che
con a e b , formino la
proporzione:
a:x=x:y=y:b
ma non lo risolse. Menecmo
Menecmo (IV sec. a. C.) ideatore delle coniche
ottenute considerando tre tipi di cono: rettangolo, acutangolo
e ottusangolo e li taglia sempre con un piano perpendicolare
a una generatrice
parabola
iperbole
ellisse
Risolse il problema della duplicazione
del cubo, passando all’inserzione di medi
proporzionali (Ippocrate) e intersecando
due parabole x2 = ay e y2 = 2ax
o un’iperbole e una parabola
7
► Prima Scuola di Alessandria
III sec. a.C. – 30 a.C.
- Euclide (300 a.C.) Elementi
La geometria come teoria ipoteticodeduttiva
- Archimede (287-212 a. C.)
La matematica non è concepita solo come analisi dei problemi astratti,
lontani dalle applicazioni, ma anche come studio di problemi
concreti con riferimento alle altre scienze (fisica, astronomia, …)
Sulla sfera e il cilindro, Misura del cerchio, Sulle spirali,
Sull’equilibrio dei piani, Quadratura della parabola,
Sui galleggianti, Metodo sui teoremi Meccanici, …
- Apollonio (262-190 a. C.) Coniche
► Seconda Scuola di Alessandria I a.C.-V d.C.
I commentatori e gli enciclopedisti
Pappo (III-IV sec.) Collezione matematica
Proclo (V sec.) Commento al I libro degli Elementi di Euclide
Euclide Elementi libri II VI
Algebra
geometrica
Applicazione
delle
aree
8
Elementi
ab
a2
b2
ab
II.4
Se si divide a caso una linea retta, il
quadrato di tutta la retta è uguale
alla somma dei quadrati delle parti e
del doppio del rettangolo compreso
dalle parti stesse.
Applicazione delle aree ed equazioni
Applicazione parabolica (applicazione)
Costruire un rettangolo di area data S su una base
data b
Applicazione ellittica (mancanza)
Costruire un rettangolo di area data S su una parte
di un segmento dato b, in modo che l’altezza sia la
parte rimanente del segmento
Applicazione iperbolica (eccesso)
Costruire un rettangolo di area data S su un
segmento dato b più un segmento aggiuntivo, in
modo che l’altezza sia uguale al segmento aggiunto.
9
Applicazione parabolica (applicazione)
Costruire un rettangolo di area data S su una base data b
S
x
b
Applicazione ellittica (mancanza)
S
x
b-x
Applicazione iperbolica (eccesso)
S
x
x
b+x
Elementi
II.5
Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo
compreso dalle parti disuguali della retta insieme col
quadrato della differenza fra le due parti, è uguale al
quadrato della metà della retta.
D
A
C
a-x
B
K
L
H
E
G
ADHK applicazione ellittica
M
F
Forma geometrica della formula
risolutiva dell’equazione di 2°
10
Elementi
VI.27 in forma più generale e
separando i casi in cui è possibile risolvere il problema
Tra tutti parallelogrammi costruiti su uno stesso segmento e
mancanti di parallelogrammi simili a quello descritto sulla metà
del segmento dato è massimo quello costruito sulla metà del
segmento dato ed è simile al parallelogramma mancante
L
D
G
A
C
D
G
K
N
C
M
B
E
M
F
A
E
F
ACDL>AKFG
L
N
K
B
Diorisma: l’area da applicare
non deve superare il quadrato
costruito su metà base
Elementi
VI.27
11
Apollonio
e le coniche
III-II a. C.
Apollonio di Perga
(circa 262-190 a. C.)
La sua vita trascorse fra Alessandria,
dove ricevette la sua educazione
scientifica, e Pergamo dove c’erano
importanti centri di studi superiori e
ricche biblioteche.
Le sue doti di matematico erano così
notevoli che era chiamato “il grande
geometra”.
La sua opera più importante sono le
Coniche in 8 libri di cui l’ottavo è
andato perduto, dove vi è una teoria
completa delle sezioni coniche.
P. Ver Eecke, Les Coniques
d’Apollonius de Perge, 1923
T. Heath, Apollonius of Perga.
Treatise on Conic Sections, 1896
12
Diversamente da Menecmo che utilizzava tre diversi tipi
di cono circolare retto, Apollonio ottiene le coniche come
sezione di un solo cono circolare obliquo (considera le
due falde) e fa variare l’inclinazione del piano secante.
A
AO asse del cono
β
base del cono
E
C
B
O
α
L’intersezione del piano β con il
triangolo assiale ABC è detta
diametro della conica
D
Libro I, def. 1 “Se una retta,
che si prolunga all’infinito e
passa sempre per un punto
fisso, viene fatta ruotare
lungo la circonferenza di un
cerchio che non si trovi nello
stesso piano del punto, in
modo che passi
successivamente per ogni
punto di quella circonferenza,
la retta che ruota traccerà la
superficie di un cono doppio”
β interseca α secondo DE.
Se si prende BC (diametro del
cerchio base)
DE
allora ABC è il triangolo assiale
(contiene l’asse del cono)
13
A
β
α
E
Coniche I, 11
parabola
PM//AC BC
DE
QV//DE
Se PL ∈ β e PL
PM e tale che
PL : PA = BC2 : BA·AC
allora
PL : lato retto
QV2=PL ·PV
Si costruisce HK//BC
HQK ∈ alla sezione (cerchio) con
piano // α, dunque QV2 = HV ·VK
Considero i triangoli simili PHV~AKH ~ABC
HV : PV = BC : AC
Da PM // AC e dalla similitudine di AHK e ABC
VK : PA = BC : BA
HV · VK : PV · PA = BC2 : AC · BA
QV2
PL : PA
2
QV : PV · PA = PL : PA = PL ·PV : PV ·PA
QV2=PL · PV
Apollonio utilizza l’origine
stereometrica delle coniche come
sezioni del cono solo per ottenere la
proprietà fondamentale delle
sezioni coniche che è piana
(sistema di riferimento: diametro
della conica e tangente alla conica
in un estremo del diametro). A
partire da questa proprietà ricava i
successivi sviluppi della teoria.
p
Parabola,
Coniche I.11
QV2=PL ·PV
oggi
Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo (PV·PL)
14
Iperbole,
Coniche, I.12
Se PL : PP’ = BFxFC : AF2 allora
QV2=PV ·VR
Dim.: teor. Euclide
triangoli simili PHV, ABF
triangoli simili P’VK, AFC
triangoli simili P’LP, P’RV
QV2=PV ·VR
Iperbole,
Coniche, I.12
QV2=PV ·VR
Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VR)
QV = y
PV = x
PL = p
PP’= d
L
R
15
Se PL : PP’ = BF FC : AF2
allora QV2=PV ·VR
Ellisse, Coniche, I.13
A
P
V
H
Q
L
K
P’
QV = y
PV = x
PL = p
PP’= d
R
B
C
M
F
Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VR)
Caratteristiche dell’opera Coniche
♦Apollonio usa l’origine stereometrica delle coniche solo per
ottenere la proprietà fondamentale di ogni conica (proprietà piana)
ed è questa che costituisce la base dei successivi sviluppi della
teoria
♦ Gli strumenti matematici utilizzati sono:
- l’algebra geometrica (che serve per surrogare la mancanza
dell’algebra) i cui ingredienti sono la teoria delle proporzioni
(Elementi, libro V) che permette di eseguire operazioni di
moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice;
l’applicazione delle aree (Elementi, II) che offre il mezzo di risolvere
problemi che conducono a equazioni di 1° e 2° grado (Elementi, II.5,
II.14)
- l’uso delle coordinate, il modo di dare la relazione fondamentale
delle coniche è stabilire un legame fra ascisse e ordinate di un
sistema di riferimento: diametro della conica (asse x) e tangente alla
conica in un estremo del diametro (asse y). Gli assi possono essere sia
ortogonali che obliqui. Ordinata:
sec. XVII ordinatim applicata (tracciata ordinatamente)
16
Uso dell’applicazione delle aree (geometria)
per ‘costruire’ - ‘risolvere’ un problema (equazione)
Trovare un quadrato la cui area sia uguale a quella di un dato
rettangolo ABCD
Si prolunghi AB di un segmento
BE = BC.
Si prenda il punto medio F di AE,
si tracci il cerchio di centro F e
raggio FE.
Sia G il punto di intersezione del
prolungamento del lato BE del
E rettangolo dato con la
circonferenza, allora BG è il
segmento cercato.
G
x
F
A
B
b
a
D
il triangolo AGE è rettangolo e
dunque
BG2 = AB⋅⋅BE = AB⋅⋅BC
C
x2 = a ⋅ b
La tangente alla parabola
Q’
Q
K
T
P
V
V’
Prop. I. 33
“Si prenda un punto T
sul diametro di una parabola
fuori della curva e tale che
TP = PV,
dove V è il piede dell’ordinata
da Q al diametro PV.
La retta TQ sarà tangente alla
parabola”
Apollonio dimostra che TQ è tale che ogni suo punto diverso da
Q giace fuori dalla parabola.
Quello che usa non è un metodo generale applicabile ad
ogni curva, ma vale solo relativamente alla parabola.
17
Schema riassuntivo delle Coniche
18
DIOFANTO III sec. d. C.
ARITHMETICA 13 libri
problemi determinati e indeterminati
I.27 Trovare due numeri tali che la loro somma e il loro
prodotto siano numeri dati
Condizione necessaria:
Il quadrato della
semisomma supera di un
quadrato perfetto il
prodotto
19
Diofanto Arithmetica
I.27
Condizione necessaria: Il quadrato della semisomma
supera di un quadrato perfetto il prodotto
Diofanto Arithmetica III.4
Problema indeterminato
Trovare tre
numeri tali che
se il quadrato
della loro somma
è sottratto da
ciascuno di essi,
il resto sia un
quadrato.
Poniamo che la somma
sia un aritmo x
20
Diofanto Arithmetica
Algebra sincopata abbreviazioni per incognite
x
S
x2
∆y
x3
Ky
x4
∆y∆
Il resto è scritto a parole, ad esempio
Medioevo
476 caduta impero romano Occ.
1453 caduta impero romano Oriente
► Grande fioritura della cultura islamica VIII - XV
traduzioni e commenti dei classici, algebra, geometria, aritmetica
► Omar Al Khayyam (XI-XII sec.)
soluzione geometrica delle equazioni di
terzo grado, critica ad Euclide
► In Occidente geometria pratica,
prospettiva, riscoperta dei classici
► Nicole Oresme - Parigi XIV sec.
introduce i diagrammi
21
Confini dell’impero abbaside al tempo di Harun al-Rashid
storia
CALIFFI – biblioteche, arabi
chiedono ai bizantini libri come
indennità di guerra
MANSUR 754-775 chiede a
Bisanzio trattati matematici
Euclide
HARUN AL-RASHID 786-809
incoraggia scienziati e traduzioni
in lingua araba e siriaca
Mille e
una notte
MAMUN 813-833 sogno - Baghdad
la casa della saggezza
22
Le scienze arabe VIII-XVI
Scienze fisiche:
medicina – botanica –
veterinaria – agraria
Filosofia:
logica – metafisica –
fondamenti
Matematica:
aritmetica – geometria
Astronomia
Musica
traduzioni
Scienze religiose
Geografia
Scienze linguistiche
Scienze storiche
Scienze giuridiche:
diritto – computo di eredità,
…
Astrologia
Teologia e filosofia
Retorica
TRADUZIONI di opere matematiche IX sec.
Euclide Elementi
Data
scritti di ottica
di meccanica, …
Archimede tutte le
opere
Apollonio Coniche
De sectione rationis
Pappo
Diofanto Arithmetica
Nicomaco di Gerasa
Erone di Alessandria
23
Scienze matematiche
contributi principali
Algebra
Teoria delle equazioni di 2° e 3° grado
Algebra dei polinomi
Geometria
V postulato di Euclide
Costruzioni con riga e compasso
Teoria delle coniche
Aritmetica - numerazione posizionale
indiana
Trasmissione di opere classiche
790 - 850 AL-KHWARIZMI
padre dell’algebra
Algoritmi
de numero indorum
Al-kitab
al-muhtasar fi hisab algiabr wa’l-muqabala
Breve opera sul calcolo di spostare e
raccogliere
Problemi su contratti commerciali
Teoria equazioni di 1° e 2° grado
Geometria e algebra
Divisione di eredità
24
1 Igin
2 Andras
3 Ormis
4 Arbas
5 Quinas
6 Calcus
7 Zenis
8 Temenias
9 Celentis
0 Zephir
Evoluzione delle cifre indo-arabiche
Algoritmi de numero indorum
B. Boncompagni Algoritmi de numero indorum (Roma 1857)
K. Vogel Mohammed ibn Musa Alchwarizm’s Algorithmus (Aalen 1963)
Algoritmus → algoritmo
Al-kitab al-muhtasar fi hisab
al-giabr wa’l-muqabala
Breve opera sul calcolo di spostare e
raccogliere
opera che racchiude le più raffinate e le
più nobili operazioni di calcolo di cui gli
uomini hanno bisogno per la ripartizione
delle loro eredità e delle loro donazioni,
per le divisioni e i giudizi, per i loro
commerci e per tutte le operazioni che
essi hanno fra loro relative agli strumenti,
alla ripartizione delle acque dei fiumi,
all’architettura e ad altri aspetti della vita
civile
25
dirham (moneta greca dracma) numero
say’ cosa o gizr radice
incognita res
mal bene quadrato dell’incognita census
EQUAZIONI
6 tipi canonici
ax2 = bx
2. I quadrati sono uguali a numero
ax2 = c
3. Le radici sono uguali a numero
ax = c
4. I quadrati e le radici sono uguali a numero ax2 + bx = c
5. I quadrati e i numeri sono uguali alle radici ax2 + c = bx
l. I quadrati sono uguali alle radici
6. Le radici e i numeri sono uguali ai quadrati bx + c = ax2
operazioni
al-jabr completamento, riempimento restauratio
al-muqabala messa in opposizione, bilanciamento
oppositio
al-hatt coefficiente dell’incognita ridotto all’unità
x2 + (10 – x)2 = 58
2x2 + 100 – 20x = 58
con l’al-jabr
2x2 + 100 = 20x + 58
con l’al-muqabala
2x2 + 42 = 20x
e infine l’al-hatt dà
x2 + 21 = 20x
che riconduce l’equazione di partenza al tipo 5
26
Algebra retorica
l. I quadrati sono uguali alle radici
2. I quadrati sono uguali a un numero
3. Le radici sono uguali a un numero
ax2 = bx
ax2 = c
ax = c
x2 = 5x
“La radice del quadrato è 5 e 25 costituisce il suo
quadrato”
1/2 x = 10 ⇒ x = 20
x2 = 400
Formula per radicali
Tipo 4
x2 + 10x = 39
x2 + px = q
Dimostrazione geometrica
D
Quadrato x2
4 rettangoli
10/4 x
4 quadratini che
completano il quadrato
x
x
10/4
H
x=3
27
Completamento del quadrato
x2 + px = q
x
x
10/4
Tipo 4
x2
+ 10x = 39
px = q
x2 +
x2 + 2·5x
5
x
39+25=64
5+x=8
5
x=3
28
Quadrati e numeri uguali a radici
x2 + 21 = 10x
Il seguente esempio è un’illustrazione di
questo tipo: un quadrato e 21 unità
uguali a 10 radici.
La regola risolutiva è la seguente:
dividi per 2 le radici, ottieni 5.
Moltiplica 5 per se stesso, hai 25.
Sottrai 21 che è sommato al quadrato,
resta 4. Estrai la radice, che dà 2 e
sottrai questo dalla metà della radice,
cioè da 5, resta 3. Questa é la radice del
quadrato che cerchi e il suo quadrato è
9. Se lo desideri, aggiungi quella alla
metà della radice. Ottieni 7, che è la
radice del quadrato che cerchi e il cui
quadrato è 49.
x2 + q = p x
10 : 2 = 5
5 · 5 = 25
25 – 21 = 4
5–2=3
x = 3 x2 = 9
2+5=7
x = 7 x2 = 49
discussione sulle radici
Se tu affronti un problema che si riconduce a
questo tipo di equazione, verifica l’esattezza della
soluzione con l’addizione, come si è detto. Se non
è possibile risolverlo con l’addizione, otterrai
certamente il risultato con la sottrazione. Questo è
il solo tipo in cui ci si serve dell’addizione e della
sottrazione, cosa che non trovi nei tipi precedenti.
Devi inoltre sapere che se in questo caso tu dividi
a metà la radice e la moltiplichi per se stessa e il
prodotto risulta minore del numero che è aggiunto
al quadrato, allora il problema è impossibile.
Se invece risulta uguale al numero, ne segue che la
radice del quadrato sarà uguale alla metà delle
radici che sono col quadrato, senza che si tolga o
si aggiunga qualcosa.
∆> 0
due radici
distinte
(p/2)2 < q
∆<0
(p/2)2 = q
∆=0
due radici
coincidenti
29
Tipo 5 x2 + 21 = 10x
x2 + q = p x x < p/2
GCDE = px
GCDE=ABCD+GBAE
L
M
E
K
A
H
I
p/2
F
B
GBAE=(p–x)x = q
GFKM= (p/2)2
IHKL = (p/2 − x)2
D
x
G
ABCD = x2
C
EILM = FBAH
IHKL= GFKM – GBAE
(p/2−
−x)2 = (p/2)2 − q
IH = AH=
AD = HD–AH
Tipo 5
x2 + 21 = 10x
x2 + q = p x
A
E
D
L
ABCD=x2 GF=FC=p/2
AL=BF=x-p/2
BFHI=(x-p/2)2
GFKM = (p/2)2
GBLM+IHKL=GBAE = q
BFHI=GFKM-GBAE=(p/2)2-q
BF=...
K
M
x2
(p/2)2
H
I
p/2
x - p/2
G
B
x > p/2
F
BC=FC+BF=
C
30
Tipo 6
3x + 4 = x2
M
B
x
q
N
R
px+q=x2
C
K
H
(p/2)2
p
L
G
T
p/2
A
x
ABCD=x2 ARHD = px
RBCH = x2 – px = q
quadrato TKHG = (p/2)2
TL = CH = MN = x – p
GL=CM=CG,
GL=GT+LT=GH+HC
LNKT=RBMN
NMCH+BMNR=RBCH=q=gnomone
NMCHGTKN
D
LMCG=TKHG+q=(p/2)2+q
CG =
CD = CG+GD
Abu-Kamil (850-930)
Libro sull’al-jabr e l’almuqabala
elevato livello teorico - tendenza all’aritmetizzazione
cubo x3
quadrato-quadrato x4
quadrato-quadrato-cosa x5
espressioni con irrazionali
regole per la determinazione immediata di x2 sotto forma di
radicali
Ogni regola è dimostrata geometricamente e si prescinde dall’omogeneità dimensionale
31
Abu-Kamil (850-930)
Dividere 10 in due parti x e 10 – x tali che
moltiplicata per
diventa
(10 – x)/x = y è trasformata in
Elevando al quadrato giunge a un’equazione di 2° di soluzione
X-XII sec.
due correnti
indirizzo aritmetico-algebrico
X sec.
indirizzo geometrico-algebrico
traduzione araba dell’opera di Diofanto
961-976 Abul-Wafa
Libro sull’aritmetica necessaria
agli scribi e ai mercanti
965-1093 ibn al-Haytham
Al-hazen
973-1048 Al-Biruni
XI sec al-Karagi Al-Fahri
1048-1123 Omar al-Khayyam
Sulle dimostrazioni dei problemi di
algebra e almuqabala
XI-XII sec
as-Samaw’al
Libro luminoso sull’aritmetica
XII sec. Sharaf al-din al-Tusi
Teoria delle equazioni
32
Algebra e Aritmetica
al-Khwarizmi
regola di approssimazione radice quadrata di
N = a2 + r
al-Uqlidisi (morto intorno al 952)
al-Karagi
Algebra e Aritmetica
al-hisabi maestro di aritmetica
Manuale sulla scienza
dell’aritmetica
Al-Fakri
scopo dell’algebra
Potenze
x5 = x2 x3 quadrato-cubo
x6 = x3 x3 cubo-cubo
1:x=x:x2=x2:x3=x3:x4=...
tabella dei coefficienti di
(a + b)n fino a n = 12
33
Algebra e Aritmetica
AL-KARAGI
Al-Fakri
l’algebra è l’aritmetica dell’incognita
ax2n + bxn = c
ax2n + c = bxn
bxn + c = ax2n
ax2m+n = bxm+n + cxm
Algebra e Aritmetica
al-Karagi Manuale sulla scienza dell’aritmetica
quadrato
Gnomone (rettangoli uguali di lati n e
D
C
n2
E
F
1+2+3+...+n)
Area gnomone
2n(1+2+...+n) – n2 = n3
Essendo
S
1+2+3+...+n =n(n+1)/2
A
R
G
B
da cui
13+23+ …+n3 = (1+2+ …+n)2
34
XI-XII sec as-Samaw’al
Libro luminoso sull’aritmetica
Regole da usare coi negativi
4 3
2
1
0
1
2
3
4
______________________________________
x4
x3
x2
x
1
1/x 1/x2
Algoritmo per la divisione dei polinomi
Algoritmo per l’estrazione di radici quadrate di
polinomi
...
indirizzo geometrico-algebrico
equazioni cubiche - problemi classici
duplicazione del cubo Menecmo parabola x2 = ay
iperbole xy = ab
problema di Archimede
“Dividere una sfera data in modo tale che il rapporto fra i
volumi dei segmenti ottenuti sia uguale ad un rapporto
dato”
965-1093 ibn al-Haytham Al-hazen
973-1048 Al-Biruni trisezione dell’angolo
35
Rubaiyyàt
Ogni mattina che il volto del tulipano si
riempie di rugiada,
la corolla della viola si incurva sul prato.
in verità, mi piace il boccio della rosa
Che si raccoglie attorno il lembo della sua
veste.
Sotto specie di verità, non di metafora,
noi siamo dei pezzi da gioco, e il cielo è il
giocatore.
Giochiamo una partita sulla scacchiera della
vita,
e ad uno ad uno ce ne torniamo nella
cassetta del Nulla
Questa volta del cielo in cui noi ci troviamo
smarriti,
ci appare a somiglianza di una lanterna
Omar al-Khayyam
magica.
1048-1122
Il sole è la candela, il mondo la lanterna,
Poeta
matematico
astronomo
e noi siam come le immagini che vi vanno
intorno rotando.
Rubaiyyàt
Giacché non si può contar sulla vita
dalla sera al mattino,
bisogna in conclusione seminare ogni
seme di bontà.
Giacché a nessuno lasceranno in
possesso questo mondo,
bisogna almeno sapersi serbare il cuor
degli amici.
Omar al-Khayyam
1048-1122
Dicono dolce l’aria di primavera
dolce la corda del liuto e la flebile
melodia,
dolce il profumo della rosa, il canto
degli uccelli, il roseto,
O stolti, tutto ciò sol con l’Amico è
dolce!
36
Rubaiyyàt
Ci troviamo a vivere sotto questa volta del
cielo piena di frottole.
L’anima è una caraffa, la morte una pietra,
il cielo un pazzo.
La coppa della mia vita è giunta ai settanta:
e quegli la romperà appena essa sia colma.
Il cielo versa dalle nuvole petali candidi.
Diresti che si sparge sul giardino una
pioggia di fiori.
Nella coppa pari a un giglio io verso il vino
rosato,
ché dalla nuvola color di viola scende una
pioggia di gelsomini.
Omar alKhayyam
Omar al-Khayyam
1048-1122
Sulle dimostrazioni dei problemi di
al-jabr e al-muqabala
l’algebra è la teoria delle equazioni
Non riesce a trovare la soluzione per radicali
delle equazioni cubiche
“Forse uno di quelli che verranno dopo
di noi riuscirà a trovarla.”
classifica 14 tipi di equazioni cubiche
risoluzione con l’intersezione di coniche
37
Omar al-Khayyam
Sulle dimostrazioni dei problemi di
al-jabr e al-muqabala
quadrinomie
14 tipi di equazioni
cubiche
binomia
trinomie
x3=a.
x3+bx=a
x3+a=bx
bx+a=x3
x3+cx2=a
x3+a=cx2
x3=a+cx2
tre termini positivi uguali ad un
termine positivo
x3 + cx2 + a = bx
x3 = a + bx + cx2
x3 + a + bx = cx2
x3 + bx + cx2 = a
due termini positivi sono uguali a due
positivi
x3 + cx2 = bx + a
x3 + a = cx3 + bx
x3 + bx = cx2 + a
“Sulle dimostrazioni dei problemi di aljabr e al-muqabala”.
38
L’ascissa QS del punto
P di intersezione delle
curve rappresentate in
figura è la radice cercata.
Al-Khayyam non scrive
equazioni, ma usa
le proporzioni
C(q/2,0)
39
Grafico della funzione y = x3 +3x -10 eseguito con Maple
40
Visualizzazione con Cabri
Equazioni trinomie senza termine di secondo grado
x3 + bx = c
Equazioni trinomie senza termine di primo grado
x3 + ax2 = c
Equazioni quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad
un termine positivo
x3 + ax2 + bx = c
Equazioni quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a
due termini positivi
x3 + bx = ax2 + c
Equazioni trinomie senza termine di secondo grado
x3 + bx = c
41
Equazioni trinomie senza termine di primo grado
x3 + ax2 = c
Equazioni quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivo
x3 + ax2 + bx = c
42
Equazioni quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivi
x3 + bx = ax2 + c
Caso di 3 soluzioni positive
43
Omar al-Khayyam
Sulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e
al-muqabala
x3 + p2x =p2 q
Cerchio
x2+y2=qx
Parabola
x2=py
Fine XII
Sharaf Al-Din al-Tusi
Teoria delle equazioni cubiche
sviluppa lo studio delle curve
discussione sistematica dell’esistenza delle radici
positive, legata al ruolo del discriminante
Teoria delle equazioni
Soluzioni approssimate
44
Sharaf Al-Din al-Tusi
Teoria delle equazioni
soluzioni approssimate
x3+px=N
x3+36x=91 750 087
x = x1+x2+x3
x1 = a·102
x3=(x
1+x2+x3
)3
x2 = b·10
x3 = c
36x= 36x1+36x2+36x3
x3=a3106+3a2b105+3ab2104+3a2c104+6abc103+b3103+3ac2
102+3b2c102+3bc210+c3
36x=36a102+36b10+36c
Si cerca a tale che a3<91 si trova a=4 tabella
N
91750087
3
x1 36x1
64
144
N1
27735687
N1= 91750087-64000000-14400=27735687
N - x13· 106 - 36x1·102
Sharaf Al-Din al-Tusi
Teoria delle equazioni
soluzioni approssimate
Si cerca b tale che 3a2b<277 cioè 3·16 b<277 trova
b=5
N1
x 23
27735687
125
3x1x22+ 3x2x12+36x2 2 7 0 0 1 8 0
N2
608887
N2 = N1 – 3a2b·105 – 3ab2104 – b3103 – 36b10
Si cerca c tale che 3a2c<60 cioè 3·16 c<60 trova c=1
x = 4·102 + 5·10 + 1= 451
45
variabilità e moto [ sec XIV]
Fu uno dei temi preferiti nelle università, in particolare a
Oxford e a Parigi. I filosofi scolastici del Merton College
di Oxford formularono la cosiddetta regola mertoniana:
se un corpo si muove di moto uniformemente
accelerato, la distanza percorsa è uguale a quella
che percorrerebbe nello stesso intervallo di tempo un
altro corpo con moto uniforme e velocità pari a quella
raggiunta dal primo corpo nell’istante di mezzo
dell’intervallo temporale.
La velocità non era definita in modo rigoroso, ma era intesa come una “qualità del
moto”
Nicole Oresme (1323?-1382) ebbe l’idea di rappresentare geometricamente i
vari moti: lungo una linea orizzontale segna dei punti che rappresentano gli istanti
di tempo (longitudini) e da ogni punto innalza un segmento perpendicolare la cui
lunghezza rappresenta la velocità in quell’istante (latitudini)
Moto uniforme v = costante
Moto uniformemente
accelerato [uniformemente
difforme]
v0=0
v0>0
Moto vario [difformemente
difforme]
Con i suoi diagrammi Oresme poteva
“dimostrare” la regola mertoniana
v1
v2
t1
t2
L’area del trapezio
rettangolo, che
rappresenta lo spazio
percorso con moto
uniformemente
accelerato, è uguale
all’area del rettangolo
che rappresenta lo
spazio percorso con
velocità costante pari
a
Tractatus de latitudinibus formarum
46
Rinascimento
secoli XV e XVI
► 1447 primo libro a stampa
Nascita della prospettiva
- Leon Battista Alberti (1404-1472)
- Piero della Francesca (1410?-1492)
- Albrecht Dürer (1471-1528)
► Nel Cinquecento si assiste a:
- un formidabile sviluppo dell’algebra ad opera degli algebristi italiani
(S. Dal Ferro, N. Tartaglia, G. Cardano, L. Ferrari, R. Bombelli,
risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado)
- la riscoperta dei classici greci (commenti e traduzioni di Euclide,
Archimede e Apollonio )
► François Viète (1540-1603) getta un ponte fra algebra e geometria
classica
► Johann Kepler (1571-1630)
le coniche, calcolo di volumi con tecniche infinitesimali
Equazioni di terzo grado
Leonardo Fibonacci Pisano Flos 1225
Fornisce una soluzione approssimata in
forma sessagesimale 1; 22, 7, 42, 33, 4, 40
Paolo Gherardi Libro di ragioni 1328
classifica 9 casi e le formule risolutive
sono errate perché generalizzazioni della
formula di secondo grado
47
Equazioni di terzo grado
Mastro Dardi Aliabra Argibra 1344
Formule risolutive esatte per particolari
equazioni, ma non svela il procedimento
Equazioni di terzo e quarto grado
Mastro Dardi Aliabra Argibra 1344
Qual è l’interesse mensile richiesto a quel tale cui sono state
prestate 100 lire se dopo 3 anni tra capitale e interesse sono state
restituite 150 lire?
Calcolo degli interessi per un periodo di 4 anni
48
EQUAZIONI
Calcolo degli interessi per un periodo di 5 anni
Piero della Francesca Trattato d’abaco
Luca Pacioli Summa de arithmetica,
geometria, proporzioni et proporzionalità
1494 Venezia
Equazioni di terzo grado
1530-1534
Cartelli di sfida matematica
Antonio Maria del Fiore sfida
Zuannin de Tonini da Coi
Nicolò Tartaglia
Scipione dal Ferro 1465-1526
Girolamo Cardano
Annibale della Nave
Nicolò Tartaglia 1500-1557
49
Ms. 595 Biblioteca Universitaria Bologna Pompeo
Bolognetti
Scipione dal
Ferro 1465-1526
Il capitolo di cose e cubo uguale a
numero.
Quando le cose e li cubi si agguagliano al
numero, ridurai la equatione a 1 cubo,
partendo per la quantità delli cubi. Poi
cuba la terza parte delle cose, poi quadra
la metà dil numero, e questo summa con il
detto cubato, et la radice quadra di detta
summa più la metà dil numero fa un
binomio, et la radice cuba di tal binomio
men la radice cuba dil suo residuo val la
cosa.
Tartaglia confida a Cardano la
sua formula sotto giuramento
che non la svelerà
Cardano1501-1576
Tartaglia 1500-1557
50
Tartaglia
Quando che 'l cubo con le cose appresso
Se agguaglia a qualche numero discreto
Trovami dui altri, differenti in esso;
Dapoi terrai, questo per consueto,
Che 'l loro produtto, sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto;
El residuo poi suo generale,
Delli lor lati cubi, ben sottratti
Varrà la tua cosa principale.
Tartaglia
In el secondo, de cotesti atti
Quando che 'l cubo, restasse lui solo,
Tu osserverai quest'altri contratti
Del numer farai due tal part' a volo,
Che l' una, in l' altra, si produca schietto,
El terzo cubo delle cose in stolo;
Delle quali poi, per commun precetto,
Terrai li lati cubi, insieme gionti,
Et cotal somma, sarà il tuo concetto
51
Tartaglia
El terzo, poi de questi nostri conti,
Se solve col secondo, se ben guardi
Che per natura son quasi congionti.
Questi trovai, et non con passi tardi
Nel mille cinquecent' e quattro e trenta
Con fondamenti ben saldi, e gagliardi
Nella Città del mar 'intorno centa.
Venezia 1534
Tartaglia
52
Tartaglia
caso 1°
Tartaglia
caso 2°
53
Tartaglia
caso 3°
Girolamo Cardano 1501-1576
Ars Magna 1545
Pubblica le soluzioni
dell’equazione di terzo e di
quarto grado
Mostra di saper eliminare il
termine
nell’equazione di grado n
con un’opportuna
traslazione
54
CARDANO Ars Magna 1545
Dimostrazione geometrica
Solidi AB3, BC3, 3AB2 BC, 3AB BC2
CARDANO Ars Magna 1545
interpretazione
originale
55
CARDANO Ars Magna 1545
Raffaele BOMBELLI 1530-1572
Opera su l’Algebra 1572
Il caso irriducibile: q2/4 - p3/27 < 0 porta alla radice
quadrata di un numero negativo, espressione
intrattabile,
“sofistica e lontana dalla natura dei numeri”
56
Caso irriducibile
ha 3 radici reali
Bombelli dà un senso
alle radici dei numeri
negativi
Rafael BOMBELLI 1530-1572
Radici quadrate di una quantità negativa
Più di meno
pdm
Meno di meno
mdm
Più via più di meno fa più di meno
Meno via più di meno fa meno di meno
Più via meno di meno fa meno di meno
Meno via meno di meno fa più di meno
Più di meno via più di meno fa meno
Più di meno via men di meno fa più
Meno di meno via più di meno fa più
Meno di meno via men di meno fa meno
57
Equazioni di quarto grado
Ludovico Ferrari 1522-1565 allievo di Cardano
Luca Pacioli Summa de arithmetica, geometria,
proporzioni et proporzionalità 1494 Venezia
Equazioni di quarto grado
INDIA Bhaskara 1115-1178 Vija Ganita
Se sei versato nelle operazioni di algebra, dimmi il numero il
cui biquadrato meno il doppio della somma del quadrato e 200
volte il numero è uguale alla miriade meno uno.
58
Equazioni di quarto grado
Zuannin de Tonini da Coi (Giovanni Colla) sfida Tartaglia nel 1535
Dividere 20 in tre parti che siano in proporzione continua e tali che
il prodotto delle due minori sia 8
Equazioni di quarto grado
1539 Cardano chiede a Tartaglia di risolvergli un
quesito postogli da Zuannin de Tonini da Coi,
analogo al precedente
“Questo proponeva Zuannin de Tonini da Coi, e
diceva che non era risolubile; io invece dicevo che si
sarebbe potuto risolvere, solo che tuttavia non
sapevo come sino a che non lo risolse FERRARI.”
Ferrari elenca 20 possibili tipi di equazioni di quarto
grado, 14 quadrinomie, 6 trinomie
59
Ludovico Ferrari 1522-1565 allievo di Cardano
Il metodo consiste inizialmente nel cambiare la variabile ed
eliminare il termine di terzo grado
Se non è un quadrato perfetto, lo si rende tale con opportune
aggiunte, in modo da scrivere l’equazione nella forma
Ferrari aggiunge alcuni termini così da avere
quadrati perfetti
Ora si dovrà scegliere w in modo che il secondo membro
risulti un quadrato ed essendo
Si dovrà imporre che il discriminante sia zero, cioè
Equazione di terzo grado in w, detta risolvente cubica di
Ferrari, una cui soluzione permette di scrivere
60
la soluzione dell’equazione
cubica, per cui si avrà solo da risolvere
un’equazione di secondo grado
Sia
esempio
61
François Viète 1540-1603
In artem analyticem isagoge sursim excussa ex
operae restitutae mathematicae analyseos seu
algebra nova 1591
“L’arte che oggi presento è un’arte nuova, o per lo meno un’arte
talmente degradata dal tempo, talmente sporcata e intricata dai
barbari, che ho creduto necessario, dopo avere eliminato tutte le
proposizioni erronee, … di donarle una forma interamente
nuova. … Tutti i matematici sanno che sotto il nome di Algebra
et Almucabala, che essi vantano e chiamano la Grande Arte, si
nasconde una miniera d’oro di incomparabile ricchezza. Essi
fecero anche delle ecatombe e dei sacrifici ad Apollo quando
avevano trovato la soluzione di uno solo di quei problemi, che io
risolvo spontaneamente a decine, a ventine, un fatto che prova
che la mia arte è il metodo d’invenzione più sicuro in
matematica”.
Viète In artem analyticem isagoge
•logistica numerosa, il calcolo numerico
• logistica speciosa, il calcolo letterale
“Per rendere con un artificio questo metodo più facile,
le grandezze date si distingueranno dalle grandezze
incognite o cercate, rappresentandole con un simbolo
costante, immutabile e ben chiaro, indicando, per
esempio, le grandezze cercate con la lettera A oppure
con un’altra vocale A E, I, O, U, Y e le grandezze date
con le consonanti B, D, G, ecc.”.
62
Terminologia
e simbolismo
latus o radix
quadratum
cubus
incognita x
A
Aq
Ac
Aqq
Aqc
quadrato-quadratum
quadrato-cubus
+addizione, –
in o sub
Rq
Rc
Rqq
aeq.
Zetesi
sottrazione, = minus incertum,
moltiplicazione,---- divisione,
radice quadrata,
radice cubica,
radice quarta,
uguaglianza.
Forma canonica delle equazioni
Le operazioni che riconducono un’equazione alla sua forma
canonica sono:
• l’antitesi (trasposizione), cioè il passaggio dei termini da un
membro all’altro;
• l’hypobabismo (abbassamento), abbassamento della
potenza massima dell’incognita in un’equazione mancante del
termine noto;
• il parabolismo (divisione), che consente di togliere,
mediante divisione, il coefficiente della potenza massima
dell’incognita.
63
Viète mira a fondere il linguaggio della geometria con
quello dell’algebra, per cui spesso, dopo aver scritto
l’equazione in forma canonica, la mette sotto forma di
analogismo, cioè il primo membro dell’equazione è
uguale al prodotto degli estremi di una proporzione e il
secondo membro al prodotto dei medi.
esempio: l’equazione
corrisponde a
Viète la scrive come analogismo, nella forma
Viète De aequationum recognitione
et emendatione 1615
Tramite la ZETESI procede ad un esame diretto delle relazioni
fra l’incognita, i coefficienti e i termini noti dell’equazione
canonica
Interpretazione delle equazioni di secondo e terzo grado come
proprietà di una serie incognita di 3 o 4 grandezze in proporzione
continua
Dati la media proporzionale e la somma degli estremi trovare
le grandezze
64
Teoria delle equazioni algebriche
2° grado
tipo soluzioni:
2 reali se
2 complesse se
legami radici-coefficienti
Teoria delle equazioni algebriche
3° grado
tipo soluzioni:
3 reali se
1 reale, 2 complesse se ∆>0
legami radici-coefficienti
65
Teoria delle equazioni algebriche
problemi studiati
esistenza di soluzioni
AA. Girard 1629
ogni eqz di grado n ha esattamente n radici
teorema fondamentale dell’algebra
1799 Carl Friedrich Gauss
Ogni equazione algebrica ammette almeno una
radice reale o complessa
determinazione soluzioni: esatte o approssimate
Teoria delle equazioni algebriche
Dai problemi di calcolo delle radici delle equazioni
algebriche sorti nel Cinquecento, sotto la spinta delle
difficoltà di soluzione delle equazioni di quinto grado,
progressivamente l'attenzione si spostò sulle proprietà
che legano il sistema delle radici al campo dei
coefficienti. La principale di queste proprietà era data
dalle funzioni simmetriche elementari delle radici, che
sono date direttamente, a meno del segno, dai
coefficienti dell'equazione.
66
equazioni algebriche
1770 J. L. Lagrange Réflexions sur la résolution
algébrique des équations
1799 Gauss teorema fondamentale dell’algebra
1799 P. Ruffini
L’equazione di grado 5 non è in generale
risolubile per radicali
1824 N. Abel
1829-1832 E. Galois teoria dei gruppi
1846 ad opera di Liouville è edita sul Journal de
Math. Pure et appl. la teoria di Evariste Galois
67
