Termodinamica dell`atmosfera

TERMODINAMICA DELL'ATMOSFERA
Evaporazione, condensazione e precipitazione influiscono notevolmente sul contenuto atmosferico di acqua
in forma vapore, liquida o solida. I loro rapporti, anche rispetto all'aria secca, variano in un ampio intervallo.
Pertanto la quantità di umidità contenuta in una certa "porzione" di aria deve essere considerata come una
delle proprietà specifiche dell’atmosfera alla stessa stregua della temperatura e della pressione.
Di seguito vengono presentate le principali grandezze dell’aria umida.
L’umidità specifica q (nota anche come contenuto di vapore) è la massa di vapor d'acqua mv contenuta
nella massa d'aria m :
q
mv
m
(2.1)
Le curve di ugual contenuto di vapore sono dette isoigrometriche.
Il rapporto di mescolamento r è la massa di vapor d'acqua contenuta in una massa unitaria di aria secca md :
r
mv
md
(2.2)
Queste due grandezze sono misurate in kg kg . Si usano tuttavia frequentemente le unità g kg che
risultano essere più pratiche in quanto mv
Essendo ovviamente:
m md
m.
mv
q ed r sono legate tra loro dalle seguenti espressioni:
r
q
1 q
r
q
1 r
(2.3 a)
(2.3 b)
Le grandezze q ed r :
risultano essere conservative rispetto a variazioni termiche isobariche ed adiabatiche subite da una massa
d’aria all’interno della quale non si produce evaporazione o condensazione;
forniscono una misura assoluta del contenuto di vapore presente in atmosfera.
La pressione di vapore e rappresenta il contributo che il vapor d’acqua fornisce alla pressione atmosferica
totale in una miscela di aria umida non satura. Poiché una massa di aria secca ed una di aria umida,
nell’intervallo termico di interesse meteorologico, seguono con buona approssimazione l’equazione di stato
dei gas perfetti, si ha che:
e
v
Rv T
(2.4)
in cui:
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
8
R
Mv
Rv
1
461,5 J kg
K
1
è la costante specifica per il vapor d’acqua;
18,015 g mol 1 è il peso molecolare dell’acqua.
Mv
E’ possibile inoltre esprimere Rv in funzione di Rd considerando che la costante specifica:
R M d Rd
M v Rv
Md
Rd
Mv
Rv
md
Rd
mv
1
Rd
in cui:
28,964 g mol 1
M v mv
0,622
M d md
Md
è il peso molecolare dell’aria secca;
Nel caso in cui la pressione parziale del vapor d’acqua si riferisca ad una miscela di aria satura sarà
rappresentata da ew (funzione esponenziale di T ) che, in aria non satura, risulta essere:
ew (T ) e
Impiegando l’equazione di stato dei gas per l’intero miscuglio di gas e la legge di Dalton:
pV
(
i
pi )V
(
mi Ri ) T
i
(md Rd
mv Rv ) T
La costante dei gas può pertanto essere riscritta come:
R
md Rd
m
Essendo e
q
mv
m
r
mv
md
e
e
mv Rv
p
p
(1 q ) Rd q Rv
p , si possono ottenere le relazioni approssimate che legano q , r ed e :
eV
Rd
e
Rv T
pd V eV
Rv p e Rd
d
Rd T Rv T
Rv
eV
e
e
Rv T Rd e
pdV
Rv pd
p e
p
Rd T
e
p (1
)e
e
p
(2.5 a)
(2.5 b)
r
(2.5 c)
q
(2.5 d)
dalle quali risulta ovviamente:
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
9
q
r
(2.6)
Nel caso in cui il contenuto di vapore raggiunga il valore di saturazione rispetto all’acqua si ha che:
ew (T )
p (1 ) ew (T )
qw
ew (T )
p
rw
(2.7 a)
Nel caso in cui il valore di saturazione sia riferito al ghiaccio, si ha analogamente:
ei (T )
p (1 ) ei (T )
qi
ei (T )
p
ri
(2.7 b)
L’umidità relativa U w , in condizioni di p e T ambiente, è comunemente definita dal rapporto percentuale
tra la massa di vapore rispetto alla massa di vapore saturo:
Uw
mv
mw
e
ew
q
qw
r
rw
(2.8 a)
Anche in questo caso, qualora il valore di saturazione sia riferito al ghiaccio, si ha:
Ui
mv
mi
e
ei
q
qi
r
ri
(2.8 b)
L’umidità relativa è pertanto quella grandezza fisica che fornisce indicazioni sullo stato della massa d’aria,
cioè sul suo rapporto di saturazione. Pertanto, insieme a p e T , rappresenta una delle tre grandezze
osservabili che, mediante l’impiego di appositi sensori, permettono di indagare il profilo verticale
dell’atmosfera e quindi conoscerne lo stato termodinamico.
Il contenuto di vapore ed il rapporto di mescolamento sono quindi facilmente calcolabili impiegando valori
di rw , tabulati in funzione di T .
Di seguito sarà utilizzata la simbologia più generale U U w , cioè l’umidità relativa riferita all’acqua in
quanto:
gli igrometri sono in grado di effettuare osservazioni in tutto l’intervallo termico caratteristico
dell’atmosfera;
la maggior parte delle nubi, nell’intervallo 20 C T 0 C , è costituita comunque da particelle di
acqua liquida, in condizioni cioè di sopraffusione. Solo in alta troposfera, a quote tali per cui
T
40 C , le formazioni nuvolose assumono caratteristiche ghiacciate.
L’Organizzazione Meteorologica Mondiale (OMM), nel 1947, ha definito l’umidità relativa U come il
quoziente dei rapporti di mescolamento dell’aria umida e di saturazione ( U
r
).
rw
Tale grandezza è significativa per giudicare la distanza di una massa d’aria dalla saturazione ed è
direttamente legata alle sensazioni fisiologiche di caldo/freddo, nonché ai fenomeni biologici collegati
all’umidità dell’aria, quindi all’ambiente in cui vivono piante ed animali.
La temperatura di rugiada Td rappresenta la temperatura alla quale l’aria deve essere raffreddata in
condizioni di p const e q r const affinché diventi satura. Per cui se:
T
Td
e ew (T ) ew (Td )
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
10
La Td rappresenta pertanto quel valore per il quale il contenuto di vapore saturo qw decresce fino ad
uguagliare il contenuto di vapore q .
Dalla definizione discende immediatamente che:
Td T con l’uguaglianza valida solo in condizioni di saturazione;
la differenza T Td è un indice del livello di saturazione della massa d’aria;
la Td è conservativa rispetto a variazioni isobariche di T .
Nelle regioni umide la Td presenta un massimo durante il giorno ed un minimo durante la notte. Nelle
regioni aride si ha l’inverso a causa della secchezza del suolo.
La temperatura virtuale è la temperatura che deve assumere una massa d’aria secca affinché abbia la stessa
densità di una data massa d’aria umida, ovvero, temperatura dell’aria secca avente la stessa pressione e
volume specifico di quella umida.
La forma algebrica si ottiene applicando all’equazione di stato dei gas perfetti l’ipotesi che l’aria umida sia
costituita da una miscela di aria secca e vapore:
pV
( pd
e) V
(md Rd
Rd m mv
m Rd 1
pV
mv
mv Rv ) T
Rv
T
Rd
mv 1
1 T
m
m Rd (1 0,608 q) T
m Rd 1
Rd md
mv
Rv
T
Rd
mv
Rv
1
m
Rd
m Rd 1 q
1
T
1 T
m Rd Tv
da cui:
Tv
(1 0,608q) T
T
(2.9)
dove:
1
1 q
0,608 q 0,61q 0
La correzione da apportare a T per avere Tv è:
Tv Tv T
0,608 q T
0,608 qw U T
Il valore massimo di Tv si avrà per:
U
1
quando la Tv raggiunge il valore di saturazione, Tvw .
Quindi, in generale:
Tv U Tvw
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
11
Allo scopo di individuare l’ordine di grandezza del contenuto di vapore, è necessario impiegare l’equazione
di Clapeyron dalla quale si ottiene la relazione per l’andamento della pressione di vapore. Per fare ciò si
consideri il seguente ciclo reversibile:
T dT
- avendo 1 kg di acqua a temperatura
-
si fornisce calore
-
ottenendo 1 kg di vapor saturo a temperatura
si raffredda fino a temperatura
si sottrae calore
-
si scalda per riottenere 1 kg di acqua a
Il lavoro è quindi:
-
Q Q le
T dT
T
Q
le
T dT
le
dL (Vw Vl ) dew
dL
le
(Vw Vl )
dew
le
dT
T
con:
Vl = volume del liquido
le = calore latente di evaporazione
Essendo inoltre:
Rv T
ew (T )
Vw
Vl
si ottiene:
Vw
dew
le
dew
ew
Rv T
le ew (T )
dT
T
kt dT
kt
integrabile solo per kt
ew
ew0 ekt (T
dT
T
le
RvT 2
const (ovvero T
const ):
T0 )
(2.10)
p
ew(T)
Fig. 1.
Relazione tra temperatura e pressione
di vapore saturo. Sono graficate le
curve per:
T T0 273,15 K : ew (T ) (blu);
ew
20
T T0 : Ew (in tratteggio rosso, acqua
liquida sopraffusa);
Ei (in punteggiato
e
verde,
10
ghiaccio).
Per
T T0 , e(T0 )
e0
6,1 hPa .
e0
Ew
Ei (ghiaccio)
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
T0
Td
T
T
12
Tale risultato rappresenta una forma approssimata della relazione tra pressione di vapore saturo e
temperatura.
Tuttavia le ipotesi fatte sono realistiche in relazione ai valori atmosferici e pertanto la (2.10) rappresenta un
risultato soddisfacente.
Questa forma esponenziale, ottenibile sia con procedimenti meno elementari e formalmente più corretti, sia
per via sperimentale (formula di Magnus), è quella citata nella definizione della pressione di vapore saturo e
rappresentata graficamente nella figura 1.
Per quanto riguarda l’ordine di grandezza del contenuto di vapore, in condizioni di aria satura a:
p 1000 hPa
;
T
T0
0 C
si ottiene che:
ew0 (T0 )
6,1 hPa
3
10 0,622 6,1
1000
qw
3,6 g kg
Dall’espressione del vapore saturo si vede come questo raddoppi ogni 10 C circa:
qw (T
10 C )
7,2 g kg
qw (T
20 C ) 14,4 g kg
qw (T
30 C )
28,8 g kg
Da cui si comprende coma i valori siano sempre molto piccoli sebbene, come nell’ultimo esempio, ad un
contenuto di vapore dei circa il 3% corrispondano condizioni di nebbia.
Capacità termica dell’aria umida
Nella termodinamica è noto che la capacità termica varia in funzione del tipo di gas in relazione alla sua
struttura molecolare. Infatti, per un gas:
monoatomico:
Cv
biatomico:
Cv
3
Rd
2
5
Rd
2
;
Cp
Cv
;
Cp
7
Rd
2
Rd
5
Rd
2
In tal modo, è possibile ottenere alcuni rapporti significativi per le successive applicazioni:
R*
Cp
R
cp
;
Cp
cp
Cv
cv
per l’aria secca, considerata biatomica in quanto composta essenzialmente da O2 e N 2 , si ha che:
c vd
2
0,286
7
0,718 J g 1 K
c pd
1,005 J g 1 K
d
;
1
1
7
1,4
5
0,171 cal g 1 K 1
d
0,24 cal g 1 K
1
Nel caso di aria umida la molecola di vapor d’acqua è triatomica e non lineare. La sua posizione può essere
descritta attraverso tre coordinate rotazionali e tre traslazionali. Pertanto nell’equazione dell’energia cinetica
compaiono sei termini quadratici. Dal teorema dell’equipartizione dell’energia, nell’ipotesi in cui la
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
13
componente vibrazionale non contribuisca al calore specifico (tutte le molecole sono nello stato di riposo), si
ha che:
cvv
c pv
v
6
Rv 3Rv 1,385 J g 1 K 1
0,331 cal g 1 K
2
4 Rv 1,846 J g 1 K 1
0,441 cal g 1 K 1
1
4
1,33
3
E’ opportuno tuttavia ricordare che nelle bande dello spettro IR (p.es. 6,27 m ) sono presenti bande di
assorbimento roto-vibrazionali prodotte dal vapor d’acqua a temperatura atmosferica.
Da osservazioni sperimentali e nell’ipotesi che tali grandezze siano indipendenti da T , si può scrivere con
buona approssimazione che:
c pv
1,870 J g 1 K
cvv
1,41 J g 1 K
1
0,447 cal g 1 K
1
0,337 cal g 1 K
1
1
Considerando ora una massa d’aria umida, il calore assorbito a p
Q
Q
dT
md qd
cp
mv qv
(1 q) qd
(1 q) c pd
q c pv
c pd 1
const per un incremento termico dT è:
q qv
cpv
c pd
1 q
Quindi, le relazioni che legano i calori specifici in atmosfera umida sono:
cp
c pd (1 0,87 q)
c pd (1 0,87 r )
(2.11 a)
ed in modo simile, essendo:
(1 0,61q) Rd
(1 0,87 q) c pd
R
cp
cv
cvd (1 0,97 q)
d
d
d
cvd (1 0,97 r )
(2.11 b)
(1 0,26 r )
(2.11 c)
(1 0,26 q)
(1 0,10 q)
1 0,61q
1 0,87 q
d
d
(1 0,10 r )
(2.11 d)
Tali grandezze sono pertanto funzioni del contenuto di vapore e, in particolare:
d
,
d
, cp
c pd , cv
cvd
Il segno di uguaglianza è ovviamente valido solo in condizioni di aria secca.
Temperatura potenziale, temperatura potenziale virtuale e temperatura equivalente
Una importante espressione che si vuole ora richiamare è l’equazione di Poisson. Si consideri in tal modo la
relazione del 1° principio della Termodinamica:
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
14
Q m cv dT
p dV
Per eliminare il termine di volume, grandezza non usata in meteorologia in quanto non osservabile, si
differenzia l’eq.di stato dei gas perfetti:
p dV V dp m Rd dT
p dV
Q
m Rd dT m Rd T
m cv dT
dp
p
m Rd dT m Rd T
dp
p
Per una trasformazione reversibile a p
Q
Rd
m c p dT
cp
const si ricava quindi:
m cv dT m Rd dT
cv
che nel caso di una espansione o compressione adiabatica diviene:
Q
0
m cv dT
m (c p
m c p dT (c p
cv ) dT
cv ) T
m (c p
cv ) T
dp
p
dp
p
Quindi:
dT
T
cp
cv dp
cp
p
dp
p
(2.12)
che, integrata, fornisce una delle forme dell’equazione di Poisson:
T
T0
p
p0
(2.13)
Esempi:
1.
Calcolo della variazione termica nel caso di aria secca:
c p 1000 J kg 1 K ;
Rd 287 J kg 1 K ;
T 300 K ;
p 1000 hPa;
dp 100 hPa
dT 9 K
2.
d
0,286
Qualora si costruisca un sistema di coordinate ortogonali in cui:
x T
;
y
p
l’equazione di Poisson si riduce ad un fascio di rette passante per l’origine:
x
x0
y
y0
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
15
Attraverso una semplice trasformazione, è possibile ottenere un sistema di riferimento (denominato
diagramma adiabatico o di Stüve) caratterizzato dall’asse y capovolto:
x'
T T0
y'
p0
p
Fig. 2.
Schematizzazione di un diagramma adiabatico.
Il fascio di rette passanti per l’origine degli assi coordinati
rappresenta l’equazione di Poisson.
Dalla (2.13) è possibile definire il concetto di temperatura potenziale come la temperatura che assume una
massa d’aria quando, mediante una trasformazione adiabatica secca, raggiunge la pressione di riferimento
p0 1000 hPa :
T
1000
p
(2.14)
In un processo adiabatico essa rappresenta una grandezza conservativa che rimane costante con la quota.
z
Fig. 3.
Rappresentazione schematica di una trasformazione
adiabatica in atmosfera impiegando un sistema di assi
coordinati ( , z ).
In analogia con il concetto di temperatura virtuale Tv , è possibile definire altresì la temperatura potenziale
virtuale
v
v
:
(1 0,608q)
che assume nuovamente il valore massimo nel caso della saturazione. Le differenze tra
solo nel caso di aria secca.
(2.15)
v
e
scompaiono
Nel caso di aria umida, dalla (2.11 c) si evince che il termine
varia in funzione del contenuto di vapore;
pertanto nel punto di coordinate p e T passeranno differenti adiabatiche in ragione del diverso valore di q .
Da quanto espresso in precedenza, evidenziabile analizzando le (2.11), è possibile comprendere che la
rappresentazione grafica di un processo adiabatico umido in un diagramma ( T , p ) risulterà essere non molto
differente da quella di un processo adiabatico secco ed in particolare risulterà leggermente meno inclinata, in
quanto T varia più debolmente (figura 3 bis).
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
16
z
Fig. 3bis.
Rappresentazione schematica della differenza tra una
trasformazione adiabatica secca (in celeste) ed una umida (in
rosso) impiegando un sistema di assi coordinati ( T , z ).
T
La piccola differenza termica esistente tra i due andamenti è facilmente ottenibile differenziando l’equazione
di Poisson rispetto alla variabile q . In tal modo, per la pressione di riferimento p p0 1000 hPa :
d
1000
T
p
m
m
q
0,07
m
(1 0 , 26q )
ln
1000
p
1000
p
0 , 07 q
0,1 K
Pertanto si può esprimere il concetto fondamentale per il prosieguo della trattazione che un processo
adiabatico secco approssima bene una trasformazione adiabatica umida.
E’ noto che quando una certa quantità di vapore contenuto in una massa d’aria condensa, viene liberata una
certa quantità di calore latente di condensazione (o evaporazione) le .
Si consideri quindi un processo isoentalpico (adiabatico ed isobarico) ideale di evaporazione da un
contenitore (isolato termicamente) riempito di aria avente temperatura iniziale T e contenuto di vapore q .
Si supponga quindi che, versando dell’acqua all’interno del contenitore, questa evapori sottraendo del calore
all’aria. La quantità di calore sottratto all’aria per evaporazione della massa di acqua a T const è:
Qe
d mv
le
Il calore (sensibile) ceduto dall’aria all’acqua è:
Qp
m c p dT
In questo processo isoentalpico:
Qp
Qe
0
m c p dT le dmv
0
la variazione della temperatura dell’aria è quindi:
dT
dT
le d mv
cp m
2500 dq
2,5 dq
le
dq
cp
g g o (kg kg )
g kg
L’evaporazione di un g di acqua determina la diminuzione della temperatura dell’aria di circa 2,5 C .
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
17
Si definisce quindi temperatura equivalente quella temperatura che la massa d’aria umida assumerebbe in un
processo a p const se tutto il vapore condensasse, venendo eliminato con continuità, ed il calore latente
le servisse solamente per scaldare l’aria secca:
Te T
dT
T
2,5 q
(2.16)
Nella trattazione formale di tutte queste trasformazioni è necessario prestare molta attenzione ai segni. Nel
caso di:
evaporazione, l’atmosfera cede calore latente raffreddandosi;
condensazione, l’atmosfera si scalda acquisendo calore latente.
Il processo appena descritto è tuttavia puramente ideale e fisicamente impossibile, poichè a p
quando il vapore condensa:
la massa d’aria si scalda;
il punto di saturazione si allontana;
il processo tende ad arrestarsi.
Una trattazione più approfondita dei processi isoentalpici verrà sviluppata successivamente.
const ,
Entalpia, Energia Interna, Entropia dell’aria umida
Considerando l’aria umida come un sistema chiuso, nell’ipotesi di gas perfetto le classiche funzioni di stato
per unità di massa sono:
u
cvT u0
h
c pT
h0
s c p ln T
R ln p s0
in cui:
R
md Rd
mv Rv
cp
m
c p d (1 0,87 q )
cv
cv d (1 0,97 q )
(1 0,608 q ) Rd
c p d (1 0,87 r )
cv d (1 0,97 r )
Nello studio delle nubi (di gocce d’acqua o cristalli di ghiaccio) si dovrà tener conto di sistemi eterogenei
chiusi in cui ciascuna fase è un sistema aperto.
Nell’ipotesi che la fase condensata sia l’acqua, l’entalpia è:
dH
H
T
H
T
p ,m
H
p
p ,m
H
p
dT
dT
dp (hv hw ) dmv
T ,m
(2.17)
dp le dmv
T ,m
L’entalpia del sistema è la somma delle H dei componenti nelle due fasi:
H
md hd
md hd
mv hv
mvle
mw hw
md hd
mv (hv
mt hw
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
hw ) mt hw
(2.18)
18
con:
mt
mv mw
md
const
const massa totale della componente acquosa (vapore+liquido);
La (2.18) può essere riscritta come:
dH
(md c pd
md c pv
mwcw )dT le dm
mcp dT le dm
(2.19)
in cui mcp rappresenta il valor medio del termine in parentesi.
A tale risultato si giunge considerando che per l’acqua, nell’ipotesi di gas perfetto:
hd
T
cp
cpd
p ,m
cv
hw
T
,
hv
T
cpv
,
p ,m
hd
T
hv
p
T ,m
0
T ,m
cw (differiscono poco tra le fasi liquida e solida):
cw
p ,m
Per ottenere l’entalpia di ciascuno stato è necessario integrare la (2.19) scegliendo uno stato di riferimento in
cui specificare un determinato valore di T e mv . Per cui nello stato di riferimento H 0 , T0 è la
temperatura allo stato in cui tutta l’acqua è nella fase liquida.
Si consideri ora un processo in cui il sistema assume la temperatura T e la massa mv diventa gassosa. E’
possibile utilizzare due strade:
1) far evaporare mv grammi di acqua a p , T0 const ;
riscaldare il sistema fino a T .
riscaldare aria secca +acqua fino a T ;
far evaporare mv grammi di acqua a T const .
Si avranno, in corrispondenza delle due strade riassunte di seguito, due espressioni diverse nella forma, ma
equivalenti nella sostanza:
2)
H
H0
m c p (T T0 ) le (T0 ) dm
(2.20 a)
H
H0
(md c pd
(2.20 b)
mt cw ) (T T0 ) le (T ) mv
T0
md
temp:
T
aria secca:
md
vapor d’acqua:
0
acqua liquida:
mt
1)
2)
mv
T
mw
T
md
md
0
mt
mw
mv
Pertanto:
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
19
le (T ) le (T0 ) (c p v
cm )(T T0 )
Si ricorda che le decresce di circa lo 0,1 %
In tal modo dalla (2.20 b) è possibile avere:
H
(md c pd
mt cw ) T
le (T ) mv
C di incremento di T .
const
(2.21)
Nel caso di massa d’aria secca unitaria (pedice 1):
H1
(c pd
rt cw )T lv (T )r const
dove:
rt
mt
.
md
Se infine si ipotizzano:
piccoli i valori dei calori specifici del vapore e dell’acqua;
mt
md
le indipendente da T :
H1
h
cp T
le q const
cp T
le r const
(2.22)
valide per i processi 1) e 2).
Analogamente ad H , si ottiene per l’energia interna U :
U1
u
cv T
(le
Rv T ) q const
cv T
(le
Rv T ) r const
cv T
le q const
avendo trascurato RvT (
cv T
(2.23)
le r const
5 6% le ).
Nel caso di S , non si può trascurare il contributo di p ai processi:
S1
s
c p ln T
c p ln T
le q
const
T
lr
Rd ln p e
const
T
Rd ln p
(2.24)
Trasformazione adiabatica di aria satura.
Si è mostrato in precedenza come l’equazione di Poisson descriva i processi adiabatici reversibili in aria
secca e come le trasformazioni umide siano riconducibili, con buona approssimazione, a quelle secche.
E’ necessario pertanto determinare una relazione più generale, valida per l’aria satura, che possa ricondurre a
quella di Poisson nel caso secco.
Si consideri pertanto una massa d’aria per la quale:
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
20
m
md
m
md
1
mw ml
mw
md
ml
md
1 rw rl
1 a
ed in cui si sono definiti la fase liquida con il pedice l ed i rapporti di mescolamento acqua/aria:
rw
mw
md
a
rw rl
;
rl
ml
md
Ipotizzando una trasformazione adiabatica (in cui anche i cambiamenti di fase rimangono interni alla massa
d’aria umida) e reversibile (come successione di stati di equilibrio), l’entropia S del sistema si conserva. È
possibile quindi pensare ad un sistema chiuso in cui una particella d’aria satura (nube) si espande (adiabatica
reversibile) e trattiene l’acqua che condensa (ciò è valido anche nel caso del ghiaccio).
Per le proprietà additive di S , è possibile sommare le entropie degli stati iniziali e finali delle tre fasi del
sistema:
S
Sd
Sw
Sl
(2.25)
che verranno meglio dettagliate di seguito.
Nel caso di aria secca:
dSd
Sd
Qd
T
dT
T
md c p d
md [c p d ln T
(c p d
(c p d
cv d )
dpd
pd
cv d ) ln pd ] const
Da cui risulta che l’entropia specifica è:
sd
c p d ln T (c p d
cv d ) ln pd
const
(2.26)
Nel caso di acqua liquida:
dSl
Sl
Ql
dT
ml cl
T
T
ml cl ln T const
Da cui risulta che l’entropia specifica è:
sl
cl ln T
const
(2.27)
Nel caso di acqua che abbia subito un cambiamento di stato nella fase di vapore saturo (è una trasformazione
reversibile dal vapore saturo all’acqua liquida):
Sw
mw sl
S eva p
mw sl mw
le
T
Da cui risulta che l’entropia specifica è:
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
21
sw
le
T
sl
const
(2.28)
Per una massa unitaria di aria secca la (2.25) diventa pertanto:
S
sd
rl sl
rw sw const
sd
rl sl
rw ( sl
sd
A sl
rw S evap const
S evap ) const
da cui, definendo lo stato iniziale con il pedice i , si ottiene che:
sd
a sl
rw Sevap
sdi
a sli
rwi Sevapi
(2.29)
Introducendo le (2.26), (2.27) e (2.28) nella (2.29), si ha:
c pd ln T (c p cv ) d ln pd
a cl ln T
c pd ln Ti (c p cv ) d ln pdi
rw
a cl ln Ti
le
T
rwi
lei
Ti
da cui si ottiene l’espressione per l’adiabatica satura esatta:
ln
T
Ti
(c p cv ) d
(c pd
a cl )
ln
pd
pdi
1
(c pd
a cl )
rwi
lei
Ti
rw
le
T
(2.30)
in cui è facilmente individuabile la differenza con l’equazione di Poisson (2.12):
ln
T
Ti
cp
cv
cp
ln
d
p
pi
E’ possibile semplificare la (2.30) ipotizzando che:
pd p ;
inizialmente non sia presente acqua liquida: a cl
rw
10
2
10
3
c pd
a
rw ;
1
10 .
Ottenendo l’espressione per l’adiabatica satura semplificata:
ln
T
Ti
c p cv
cp
ln
d
p
pi
le
1
rw i i
c pd
Ti
rw
le
T
(2.31)
Senza entrare nei dettagli si fornisce infine l’equazione approssimata per l’adiabatica satura che, nel caso in
0 , coincide con la (2.12):
cui qw
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
22
le
qw
cp
dp
2
le qw p
1
c p Rv T 2
T
dT
(2.32)
Processi pseudoadiabatici
Le espressioni dell’adiabatica satura dipendono dai rapporti di mescolamento del vapor d’acqua rw e
dell’acqua rl che variano in funzione della concentrazione di acqua liquida per ogni sistema considerato. In
ogni punto del diagramma termodinamico, corrispondente ad uno stato definito di p e T , si ha un unico
valore di rw , ma rl è un parametro arbitrario del sistema che in un processo adiabatico dipenderà dal livello
di saturazione. Quindi, per ciascun punto del diagramma passa un numero infinito di adiabatiche sature
reversibili che differiscono per un termine dipendente dal contenuto di acqua liquida.
Per evitare ciò si è convenuto di utilizzare un processo di espansione pseudoadiabatico che definisce
univocamente queste curve. Questo è irreversibile in quanto aperto: l’acqua, appena condensata nel sistema,
viene eliminata istantaneamente.
Ciò implica che ml
a
rw rl
0 , da cui:
rw
Si ipotizza ora che il processo di condensazione ed eliminazione della massa di acqua dml avvenga in due
fasi distinte:
espansione adiabatica satura reversibile e condensazione di dml ;
precipitazione di dml .
Nel primo passo, dalla (2.30), si ottiene un’espressione che rappresenta la variazione di T e p in un
processo pseudoadiabatico:
(c p d
a cl ) d ln T Rd d ln pd
d
rw le
T
0
(2.34)
Nel secondo non si ha variazione di T e p . La dipendenza funzionale del contenuto di vapore rw dalla
temperatura comporta che l’integrale della (2.34) assuma la forma:
c p d ln T
cl rw d ln T Rd ln pd
rw le
T
const
(2.35)
Essendo il processo pseudoadiabatico irreversibile, nel caso si voglia invertire la trasformazione sarà
necessario ipotizzare l’introduzione, istante per istante, di una quota d’acqua che mantenga la saturazione.
Usando le stesse approssimazioni dei processi (isoentropici) adiabatici saturi reversibili si ottiene anche per i
processi pseudoadiabatici la (2.32). Si può quindi affermare che non c’è significativa differenza tra questi
processi e quindi, qualora non sia richiesta elevata precisione si calcolo (diagrammi termodinamici)
l’adiabatica satura corrisponde ad un processo pseudoadiabatico.
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
23
La temperatura pseudo equivalente, la temperatura pseudo equivalente potenziale, la temperatura pseudo
potenziale e la temperatura equivalente potenziale
Si supponga ora di sviluppare un ciclo in cui una particella d’aria, avente caratteristiche iniziali ( r ; p ; T ),
non si mescoli o non si disperda nell’ambiente circostante.
La particella si espande inizialmente secondo una trasformazione adiabatica secca dal livello di riferimento
p fino al livello di condensazione pc . La temperatura a cui avviene la condensazione è:
Tc
T
pc
p
Successivamente la particella si espande ulteriormente secondo una trasformazione adiabatica satura fino al
livello p1 . Si supponga inoltre che l’acqua prodotta nel processo di condensazione precipiti istantaneamente.
Le nuove caratteristiche del sistema sono ora ( rw ; p1; T1 ). Tale processo, definito come pseudo-adiabatico, è
ovviamente irreversibile. La temperatura assunta dalla particella d’aria è quindi:
T1
Tc
p1
pc
e
le
1
l
r c rw e
c p Tc
T1
p
T 1
p
e
le
1
l
r c rw e
c p Tc
T1
Il ciclo viene infine chiuso attraverso una compressione adiabatica secca della particella d’aria fino alla
pressione p . La temperatura finale risulta essere T ' T :
T
'
T1
p
p1
Te
1 lec
l
r
rw e
c p Tc
T1
Nell’ipotesi in cui tutto il vapore venga eliminato attraverso la precipitazione (si pensi che rw
processo idealmente espandibile sino al livello in cui p
temperatura pseudo-equivalente ( T '
Tp e
T e
0 in un
0 ) si ha che la temperatura finale rappresenta la
Tpe' ). In tal modo:
1 lec
r
c p Tc
(2.36)
La temperatura Tp e differisce dalla Te in quanto la prima si ottiene per condensazione in un processo di
espansione adiabatica, mentre la seconda si ottiene per condensazione in un processo isobarico. Tale
differenza, tuttavia, è piccola. Infatti, ricordando lo sviluppo in serie di un esponenziale:
e a x 1 ax
1 2 2
a x
2
1 3 3
a x ...
3!
la Tp e diventa al primo ordine:
Tpe
T 1
1 lec
r
c p Tc
T
r
lec T
c p Tc
In condizioni di aria quasi satura, cioè se la condensazione avviene per Tc
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
(2.37)
T:
24
Tpe
T
lec
r
cp
T
q
lec
cp
Te
(2.38)
in cui, avendo trascurato nel procedimento termini positivi, risulta sempre Tpe
Te .
Qualora tale processo fosse sviluppato fino al livello di riferimento standard ( p0
l’espressione per la temperatura pseudo-equivalente potenziale
temperatura pseudo-potenziale
p
pe
Tpe
p0
p
p
p
T 0
p
pe
1000 hPa ), si otterrebbe
i cui valori sono simili a quelli della
:
e
1 lec
r
c p Tc
e
1 lec
r
c p Tc
(2.39)
e
in cui, avendo trascurato come nella (2.38) i termini positivi, risulta sempre
e.
pe
La temperatura equivalente potenziale e , rappresenta quindi la temperatura che assumerebbe una massa
d’aria quando la temperatura equivalente venisse riportata alla pressione di riferimento mediante un processo
adiabatico secco:
e
p0
p
Te
(2.40)
Ovviamente per aria secca ( r
q
0 ):
p
Fig. 4.
Rappresentazione schematica di alcune temperature
di interesse.
In verde i processi adiabatici secchi.
In violetto l’adiabatica satura.
In tratteggio grigio, le diverse temperature riportate a
livello p0 1000 hPa .
Da notare come sia stata appositamente ampliata la
differenza tra Te , Tp , e , p affinchè sia possibile
p
pC
p
il riconoscimento grafico.
p0
TC
T
Te
Tp
e
p
T
L’errore commesso in quest’ultima approssimazione è tanto maggiore quanto più si è in quota, ovvero
quanto minore è p , infatti:
p
e
f
p0
p
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
25
Tornando ai concetti di Te e Tp e , si vuole ricordare che, cedendo alla massa d’aria calore latente di
condensazione a:
p const si ottiene Te ;
p
const (decrescente) si ottiene Tp e .
Poiché il calore latente varia con T (e quindi con la quota), il calore totale ceduto a pressione variabile è
maggiore del calore latente ceduto p const .
E’ possibile infine concludere che:
la rappresenta una grandezza conservativa nel caso di trasformazione adiabatica secca;
in un processo di espansione adiabatica satura (pseudo-adiabatica) la
aumenta a causa della cessione
di calore latente. In un processo di espansione in cui si produce condensazione, infatti, il contenuto di
vapore diminuisce, per cui sviluppando la (2.39), si ottiene:
cp
d
lec
Tc
dr
0
in una trasformazione adiabatica satura le grandezze conservate sono pertanto rappresentate dalle
p
pe
e.
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
26
BOZZA
ew (hPa)
ei (hPa)
Pressione di vapor saturo
(acqua liquida e ghiaccio)
7
6
5
4
3
2
1
0
-50
-40
-30
-20
-10
0
T (°C)
ew (hPa)
ei (hPa)
130
120
110
Pressione di vapor saturo
(acqua liquida e ghiaccio)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-50
-40
-30
-20
-10
0
T (°C)
cw (J/kg K)
10
20
30
40
50
ci (J/kg K)
6000
Calore specifico
5000
4000
3000
2000
1000
0
-100
-80
-60
-40
-20
0
10
20
30
40
50
T (°C)
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
27
Tabella dei calori latenti
Evaporazione = Condensazione:
Fusione = Solidificazione:
Sublimazione = Brinamento:
539 Kcal kg
1
2260 KJ kg
1
80 Kcal kg
1
335 KJ kg
1
619 Kcal kg
1
2595 KJ kg
1
r
Fig. mm
Rappresentazione schematica delle diverse curve di
umidità relativa a livello del mare in un diagramma (
T , r ). La curva in blu spesso rappresenta il valore di
saturazione (100%). Le altre tre curve in blu fino
indicano valori di 75%, 40% e 20%.
Uw=1
50
40
30
20
10
0
0
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera
10
20
30
40
T
28