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Lezione XV-b
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Il ciclo di Carnot
Una serie di processi che fanno ritornare un sistema al suo stato originario è detta ciclo.
Un ciclo che comporta solo processi reversibile è denominato ciclo reversibile.
Di seguito si mostra un ciclo reversibile per un gas, nel diagramma p-V.
La linea continua rappresenta la successione
di punti che corrispondono a successivi
stati di equilibrio.
lungo la linea a-b-c il sistema si espande
e il lavoro fatto dal sistema corrisponde
all’area al di sotto della curva
Lungo la linea c-d-a il sistema si contrare
e l’area sotto la curva rappresenta il lavoro
fatto sul sistema
Il lavoro complessivo è l’area della curva
chiusa.
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Ora è chiaro che al di la del particolare percorso che noi potremmo decidere di volere
effettuare, per esempio nel diagramma
p-V ,
affinché un ciclo possa essere
effettivamente eseguito, occorre che sia materialmente realizzabile, dobbiamo cioè
immaginare condizioni fisiche da imporre al sistema che siano di facile implementazione.
Un ciclo di particolare interesse è il ciclo denominato Ciclo di Carnot.
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Nel Ciclo di Carnot, il sistema è costituito da una sostanza omogenea, per esempio un
gas, che compie 4 trasformazioni reversibili consecutive, due isoterme e due adiabatiche
in alternanza.
Vediamo in concreto: consideriamo un gas ideale in un cilindro la cui base è un buon
conduttore di calore, mentre le pareti del cilindro e il pistone sono isolanti. Oltre al
cilindro, avremo a disposizione:
•
due corpi con una capacità termica molto elevata, che funzioneranno come termostati
(ricordiamo che la capacità termica C = ΔQ / ΔT è la quantità di calore necessaria per
innalzare la temperatura di un grado, quindi se C è molto elevata, il sistema tende a
rimanere a temperatura pressoché costante  è un termostato)
• due corpi impermeabili al calore
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Il gas è in uno stato iniziale caratterizzato
da:
p1 V1 T1.
Il cilindro è posto sul termostato a
temperatura T1
Il gas si espande lentamente sino a
raggiungere p2
V2
restando a T1
Durante la trasformazione una quantità
di calore Q1 è assorbita dal gas
L’espansione è isoterma e il gas compie
lavoro nell’innalzare il pistone.
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Il cilindro viene posto su di un
sostengo isolante e si lascia
espandere il gas lentamente sino
a
p3 V3
e
T2.
L’espansione è adiabatica, cioè senza
scambio di calore.
Il gas compie lavoro nell’innalzare
ulteriormente il pistone.
La sua temperatura si abbassa fino
a T2
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Il cilindro viene posto su di un termostato
più freddo del precedente e cioè alla
temperatura raggiunta T2
.
Il gas viene lentamente compresso fino
a p4
V4
mantenendo
T2
Durante il processo, una quantità
di calore
Q2 viene trasferita
dal gas
al termostato.
La compressione è isoterma e il lavoro
è fatto sul gas dal pistone
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Il cilindro viene posto su un sostegno
isolante
Il gas viene compresso molto lentamente
fino a raggiungere lo stato iniziale
p1 V1 T1
La compressione è adiabatica (cioè senza
scambio di calore).
Viene fatto lavoro sul gas e la temperatura
sale fino a T1
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Il lavoro fatto durante tutto il ciclo è
rappresentato dall’area indicata in
figura
L’ammontare netto di calore ricevuto
dal sistema è dato da Q1 − Q2 dove
Q1 è il calore assorbito nel primo
processo e Q2 è il calore ceduto nel
terzo processo.
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In tutto questo, lo stato finale coincide con lo stato iniziale, quindi non vi è stata
variazione di energia interna del sistema. Quindi in base al Primo Principio:
L = Q1 − Q2
Cioè, il risultato netto del ciclo è stata la conversione di calore in lavoro.
Poiché il ciclo può essere ripetuto, si può ottenere il valore desiderato di lavoro.
Quindi questa è una macchina termica.
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Nel caso specifico abbiamo preso in considerazione un gas ideale e quindi la
sua semplice equazione di stato. Avremmo potuto utilizzare un gas reale o
qualsiasi altra sostanza, ottenendo un risultato simile, pur avendo percorsi differenti
nel piano p
V , corrispondenti alla particolare
equazione di stato della sostanza in
questione.
E in effetti , la schematizzazione del Ciclo di Carnot fornisce informazioni utili sul
comportamento di qualsiasi macchina termica.
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Rendimento di una macchina termica
Si definisce rendimento
ρ
di una macchina termica il rapporto fra il lavoro fatto dalla
macchina durante un ciclo, e il calore prelevato dal termostato a temperatura più elevata.
Cioè:
𝐿
ρ=
𝑄1
=
𝑄1 −𝑄2
𝑄1
=1−
𝑄2
𝑄1
Questa equazione indica che il rendimento di una macchina termica è inferiore a 1 fino a
quando il calore 𝑄2 ceduto al termostato a temperatura più bassa non è uguale a zero.
I risultati sperimentali indicano che ogni macchina restituisce comunque una certa quantità
di calore durante il processo. Non esiste una macchina termica che sia in grado di produrre
una quantità di lavoro L pari al calore assorbito
Q1.
Un ciclo di Carnot eseguito al contrario agisce come un frigorifero, trasferendo calore da un
corpo a temperatura più bassa ad uno a temperatura più alta, a patto di eseguire lavoro
dall’esterno.
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Abbiamo affermato che:
il rendimento di una macchina termica è inferiore a 1 fino a quando il calore 𝑄2
ceduto al termostato a temperatura più bassa non è uguale a zero.
L’esperienza mostra il calore ceduto da una macchina termica non è mai zero
Quindi: una macchina termica non può avere rendimento pari a 1, cioè non può
semplicemente trasformare energia termica tutta in lavoro (sebbene questo non
violerebbe il I principio della Termodinamica).
L’impossibilità di questi processi è sancita dal
II Principio della Termodinamica
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Il II Principio della Termodinamica può essere enunciato nei seguenti modi:
E’ impossibile che il solo risultato di un processo termodinamico sia la trasformazione
in lavoro di calore estratto da una sorgente a temperatura uniforme
(Formulazione di Kelvin)
E’ impossibile realizzare un processo il cui unico risultato sia un passaggio di calore
da un corpo ad una data temperatura ad uno a temperatura più alta.
(Formulazione di Clausius)
In sostanza il II Principio è una sorta di postulato basato sull’esperienza.
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Scala termodinamica assoluta delle temperature
Risulta che il rendimento ρ di una macchina reversibile non dipende dalla sostanza che è
soggetta alle trasformazioni, ma dipende soltanto dalle due temperature fra cui opera.
E poiché
ρ= 1−
allora anche il rapporto Q2
𝑄2
𝑄1
/ Q1 deve dipendere solo dalle temperature.
Questo
suggerisce l’introduzione di una nuova scala di temperature:
Se
θ1
e θ2 rappresentano queste due nuove temperature, allora scriveremo:
θ1
θ2
=
𝑄1
𝑄2
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Cioè, in questa scala le temperature stanno fra di loro come le quantità di calore
assorbite e cedute da una macchina di Carnot che opera fra queste due temperature.
Cioè abbiamo usato come proprietà termometriche Q1 e
Q2
Poiché una scala del genere è indipendente dalle particolari caratteristiche di una data
sostanza, viene definita scala termodinamica assoluta delle temperature
Per completarne la definizione, assegneremo il valore arbitrario di 273,16 ° assoluti
al punto triplo dell’acqua.
Adottando queste definizione per T , il rendimento ρ risulta essere
ρ
=1−
𝑇2
𝑇1
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Dalla:
ρ
=1−
𝑇2
𝑇1
risulta che per ottenere un’efficienza del 100% dovremmo avere 𝑇2 =
0.
Soltanto quando il termostato a temperatura più bassa è allo zero assoluto il calore assorbito
dal termostato a temperatura più elevata verrebbe interamente convertito in lavoro
Ora l’esperienza dimostra che più bassa è la temperatura, più difficile è abbassarla
ulteriormente. Questo ha condotto alla formulazione del III Principio della Termodinamica:
E impossibile ridurre un qualunque sistema allo zero assoluto con un numero finito di
processi qualunque sia il procedimento adottato e comunque si idealizzi il sistema stesso
Quindi non è ammissibile l’esistenza di una macchina termica con efficienza del 100%,
perché necessiterebbe di un termostato allo zero assoluto.
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Entropia
Proveremo adesso a formulare il II Principio in una forma più quantitativa.
Supponiamo che un corpo caldo e un corpo freddo vengano messi a contatto.
Dopo un certo intervallo di tempo, essi raggiungeranno l’equilibrio termico, si
porteranno cioè alla stessa temperatura.
Durante il processo non vi è perdita di energia del sistema nel suo insieme, tuttavia il
sistema nel suo insieme ha perso la sua capacità a compiere lavoro, infatti prima di essere
messi a contatto i due corpi potevano costituire i due termostati di una macchina termica.
Vista in questi termini, la cosa assume un significato interessante: la capacità di un
sistema termodinamico a compiere lavoro non dipende dalla sua energia interna.
Cosa che era ben diversa, in meccanica, nel caso dell’energia potenziale di un sistema.
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Occorre quindi definire una nuova grandezza fisica che descriva la capacità di un
sistema a compiere lavoro. Questa nuova grandezza fisica è l’ Entropia
Per dare una definizione operativa di questa nuova grandezza fisica, ricordiamo
che abbiamo visto che per due trasformazioni isoterme reversibili limitate da due
adiabatiche vale la relazione:
𝑇2
𝑄2
=
𝑇1
𝑄1

𝑄1
𝑄2
=
𝑇1
𝑇2
Dove Q è il calore assorbito in un
processo isotermo alla temperatura T
p
𝑇1
𝑇2
V
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In un Ciclo di Carnot, il calore viene assorbito alla temperatura T1 e viene ceduto alla
temperatura T2
Quindi nel Ciclo di Carnot esiste una differenza di segno fra Q1 e Q2
Cioè in un Ciclo di Carnot risulta:
𝑄1
𝑄2
+
𝑇1
𝑇2
Cioè la somma delle quantità Q
=0
/ T per un Ciclo di Carnot è nulla
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Si dimostra che un qualsiasi ciclo reversibile può essere approssimato ad un gruppo
di cicli di Carnot:
p
V
Di conseguenza per l’intero ciclo si avrà
∑
𝑄𝑖
𝑇𝑖
=0
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Più grande è il numero di cicli infinitesimi di cui componiamo il nostro ciclo,
migliore sarà la nostra approssimazione e poiché l’integrale è il limite di una
sommatoria, scriveremo:
d𝑄
𝑇
dove il simbolo
=0
indica che l’integrale è riferito ad un ciclo.
Se l’integrale in un ciclo reversibile chiuso di questa quantità è zero, l’integrale fra due
qualsiasi punti
a e b del ciclo sarà dipendente solo dalla posizione di a e di b, cioè
dallo stato termodinamico del sistema in a e in b
Abbiamo quindi trovato una proprietà del sistema che dipende solo dallo stato del
sistema e non da come ci si arriva
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Definiremo questa quantità Entropia del sistema.
Risulta che il cambiamento di Entropia
S in un ciclo reversibile chiuso è nullo.
Questa grandezza rappresenta la capacità del sistema a compiere
lavoro tramite un processo reversibile .
Il suo valore dipende solo dallo stato del sistema
Si dimostra invece che nel caso irreversibile la variazione di Entropia in un ciclo non è nulla.
La variazione di Entropia in un ciclo irreversibile è sempre positiva e questo corrisponde
ad una perdita netta di capacità del sistema a compiere lavoro.
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E più in generale si dimostra che quando un sistema termodinamico interagisce con
l’ambiente esterno passando da uno stato 1 ad uno stato 2 la sua variazione di
Entropia è data da:
S2 –S1 =
∫
∫
2
1
2
S2 –S1 >
1
d𝑄
𝑇
d𝑄
𝑇
Se il sistema è isolato,
(processo reversibile)
(processo irreversibile)
dQ = 0 e quindi.
S2 = S1
(processo reversibile)
S2 > S1
(processo irreversibile)
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Arriviamo così al seguente nuovo enunciato del II Principio:
Ogni processo naturale (i processi naturali sono tutti irreversibili) avviene solo nella
direzione tale da causare un aumento della Entropia dell’insieme: sistema + ambiente.
Nel caso di un sistema isolato, l’Entropia tende ad aumentare.
E anche vero che tutti i processi naturali avvengono spontaneamente nella direzione
in cui aumenta il disordine. Ci si aspetta quindi una connessione fra l’Entropia e il
grado di disordine di un sistema.
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La meccanica statistica dimostra che questa relazione è data dalla:
S = k ln w
dove:
S = Entropia del sistema
k = Costante di Boltzman
w = probabilità che il sistema si trovi in un dato stato microscopico
Questa relazione crea una corrispondenza fra un proprietà macroscopica, l’Entropia,
e una proprietà microscopica, la probabilità.
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