Ottica_geometrica IIparte

OTTICA GEOMETRICA
II parte:
• Aberrazioni
• Occhio
• Strumentazione
Aberrazioni
• Le lenti forniscono immagini puntiformi relative ad oggetti puntiformi solo
quando sono verificate le approssimazioni di Gauss (raggi parassiali e
lente sottile);
• Esistono diversi tipi di aberrazioni:
Geometriche:
Quando non sono verificate le approssimazioni di Gauss :
1. Aberrazione sferica;
2.
Astigmatismo;
3.
Coma:
4.
Curvatura di campo;
5.
Distorsione.
Cromatiche:
quando la luce NON è monocromatica.
1) Aberrazioni sferica
• Si consideri una sorgente luminosa S puntiforme posta sull’asse ottico di
una lente.
• Se il fascio intercettato dalla lente ha un’apertura NON piccola (raggi NON
parassiali) ⇒ si perde la validità dell’approssimazione di Gauss ⇒ i raggi
emergenti NON sono più focalizzati su un unico punto ma in punti diversi a
secondo dell’angolo che formano con l’asse ottico.
1) Aberrazione sferica
• In particolare:
o I raggi che incidono sulla zona centrale della lente sono focalizzati a
maggiore distanza;
o Quelli che incidono sulla zona periferica si incontrano a minore distanza.
• Interponendo uno schermo tra FA e FC si ottiene un cerchio luminoso
circondato da una corona circolare.
• Il cerchio minimo si chiama cerchio di minima confusione e ed è la migliore
immagine del punto.
• L’aberrazione sferica può essere corretta diaframmando la lente, ossia
utilizzando la sola porzione in prossimità dell’asse ottico.
2) Astigmatismo
• Si consideri una sorgente luminosa S puntiforme NON posta sull’asse ottico
di una lente ⇒ si perde la validità dell’approssimazione di parassialità di
Gauss ⇒ i raggi emergenti NON sono più focalizzati sull’asse ottico ma su
piani diversi.
• L’astigmatismo è determinato dalla non perfetta sfericità della lente per cui i
raggi di curvatura di due sezioni ortogonali della lente non sono esattamente
uguali.
2) Astigmatismo
a) I raggi appartenenti al
contenente l’asse ottico
sorgente sono focalizzati al
del segmento AB, mentre
appartenenti al piano ad
ortogonale sono focalizzati al
del segmento A’B’;
piano
e la
centro
quelli
esso
centro
b) Tra i due segmenti l’immagine è
costituita da un dischetto ellittico o
circolare;
c) Il cerchietto Cmf si chiama cerchio
di minima confusione astigmatica
in quanto rappresenta la migliore
immagine corrispondente al fascio.
3) Coma
• La coma si ha quando l'oggetto ripreso è spostato lateralmente rispetto
all'asse del sistema di un angolo θ (raggi non parassiali e incidenti di un
angolo θ rispetto all’asse ottico) ⇒ I raggi che passano per il centro di una
lente con distanza focale 𝑓, sono focalizzati alla distanza 𝑓 𝑡𝑎𝑛𝜃.
• I raggi che passano in periferia sono focalizzati invece in un punto diverso
sull'asse, più lontano nel caso della coma positiva e più vicino nella coma
negativa.
• In generale, un fascio di raggi passanti per la lente ad una certa distanza dal
centro, è focalizzato in una forma ad anello sul piano focale. La
sovrapposizione di questi diversi anelli origina una forma a V, simile alla
coda di una cometa.
• Come per l'aberrazione sferica, la coma
può essere ridotta (e in alcuni casi
eliminata) scegliendo opportunamente la
curvatura delle lenti in funzione dell'uso.
4) Curvatura di campo
• L’immagine viene costruita per punti su una superficie curva non piana.
• Questo tipo di aberrazione si verifica quando a ciascun punto di un oggetto
piano corrisponde ancora un punto immagine, ma l’immagine complessiva
che ne risulta è curva, invece che piana.
5) Distorsione di campo
• E’ un’aberrazione causata dalla variazione dell’ingrandimento con la
distanza dall’asse.
• L’oggetto viene riprodotto con modifica della sua forma a causa
dell’ingrandimento differente in funzione della distanza dei suoi punti
dall’asse ottico.
• Essa viene evidenziata illuminando un reticolo e proiettandone l’immagine
con una lente di grande apertura.
Aberrazione cromatica
• Fenomeno di dispersione della luce ⇒ 𝑛 varia al variare di l ;
𝑛1 𝑛2
• Ricordando che:
, si deve avere che al variare di 𝑛 varia anche
=
𝑓1 𝑓2
la distanza focale per le diverse componenti della luce;
• Se si considera un fascio di luce incidente NON monocromatico, ogni
componente di colore subirà una diversa rifrazione;
• Ogni colore converge in un proprio punto immagine dell’asse;
• L’effetto visibile è una macchiolina colorata con i bordi colorati.
L’occhio umano
• Occhio: organo preposto alla funzione visiva
• VISTA: funzione base dell’occhio, percezione visiva di oggetti
• VISIONE: elaborazione, comparazione e integrazione delle caratteristiche
degli oggetti percepiti mediante le funzioni cerebrali
• L’occhio, quale organo della vista, può essere distinto da un punto di vista
funzionale in due parti:
o Parte diottrica,
o Parte sensoriale.
Noi ci occuperemo solo dell’occhio da un punto di vista diottrico.
Struttura dell’occhio umano
• Bulbo oculare: quasi sferico, 𝑑 ≅ 2.3 𝑐𝑚;
• Sclera: membrana esterna che avvolge l’occhio;
• Coroide: membrana interna, assorbe la luce dispersa;
• Cornea: parte anteriore della
sclera (Rcurv= 8 mm, 𝑛 = 1.33),
devia gran parte della luce;
• Umor acqueo: liquido (costituito da
acqua, sali, proteine ) contenuto tra
cornea e cristallino (𝑛 = 1.33);
• Iride: muscolo ad anello, determina
l’apertura delle pupilla;
• Pupilla: diaframma, la sua apertura
(regolata dall’iride) determina la quantità
di luce che entra nell’occhio;
• Cristallino:
Struttura dell’occhio umano
• sostanza gelatinosa trasparente,
• lente biconvessa con (a riposo)
o R1 ≈ 10 mm;
o R2 ≈ - 8 mm
• lunghezza focale variabile regolata
dai muscoli ciliari (𝑛 ≈ 1.44)
• raggio di curvatura grande per
la messa a fuoco di oggetti lontani
• la lunghezza focale diminuisce
per mettere a fuoco oggetti più vicini
• Umor vitreo: sostanza gelatinosa
tra cristallino e retina (𝑛 ≈ 1.33)
• Potere diottrico totale:
D ≈ 60 diott. ⇒ f = 1/D ≈ 17 mm
• Retina:
• Macchia lutea, ricca di bastoncelli (crepuscolo)
• Fovea: massima acutezza visiva, costituita da coni (colori primari)
Struttura dell’occhio umano
• Circa 108 cellule sensibili
• Nervo ottico: circa 106 fibre per la trasmissione delle informazioni al cervello:
•
Muscolo ciliare: modificando il
Rcurvatura della parte anteriore del
cristallino consente l’accomodamento
visivo, cioè di adattare la distanza
Focale del cristallino;
• Legamento sospensorio
L’occhio semplificato
L’ occhio semplificato è uno schema ottico dell’occhio, tale che, applicando ad
esso le leggi dell’ottica, si trova, un comportamento della luce molto simile a quello
che si ottiene nell’occhio reale.
1. La cornea si può considerare, dato il
suo piccolo spessore un diottro
sferico, di raggio di curvatura 8 mm;
2. Il cristallino, formato da sei strati
con indice di rifrazione differente, si
può considerare come un’unica lente
biconvessa sottile di indice di
rifrazione 1.42;
3. Si può assumere che l’umor acqueo
(𝑛 = 1.333) e l’umor vitreo (𝑛 = 1.336)
abbiano lo stesso indice di rifrazione:
1.336: è come avere lo stesso mezzo
ottico tra cornea e cristallino e tra
cristallino e retina;
L’occhio semplificato
4. Il centro di curvatura della cornea è spostato dalla parte temporale relativamente al centro
delle superfici del cristallino, spostamento che è circa di 0.1 mm e che comporta una
variazione di circa 1° nella nostra definizione di asse ottico. Non si fa quindi un grosso errore
nel considerare tutti i centri di curvatura su una retta, che si può chiamare asse ottico
dell'occhio;
5. Nell’approssimazione parassiale si assume che i
raggi di luce siano inclinati rispetto alle
perpendicolari alle superfici rifrangenti, con
angoli di incidenza i piccoli abbastanza perché
il sen(i)  i. Poichè solo un fascio ristretto di
raggi riesce a penetrare attraverso la pupilla
(diametro variabile tra 2 e 8 mm) si ha una
differenza massima di circa l’1% tra i e sen(i)
per le varie superfici rifrangenti. Non si fa quindi
un
grosso
errore
nell’applicare
l’approssimazione parassiale.
6. Potendo considerare l’occhio come un sistema ottico centrato, possiamo definire oltre ai punti
focali (del sistema cornea-cristallino), anche i punti nodali: ad un raggio incidente passante
per il primo punto nodale (punto nodale oggetto), corrisponde un raggio emergente parallelo e
passante per il secondo punto nodale (punto nodale immagine).
L’occhio come sistema ottico
• L’occhio può essere schematizzato come un diottro con dentro una lente
sottile.
• Il diottro è costituito da aria-umor acqueo (cornea, umor a. e umor v. hanno
lo stesso 𝑛, e quindi da un punto di sta ottico costituiscono un unico
mezzo);
• La lente sottile è il cristallino.
L’occhio come sistema ottico
Equazione dei punti coniugati del diottro:
𝑛1
𝑛2
𝑛2 − 𝑛1
+
=
𝑝
𝑞
𝑅
Equazione dei punti coniugati della lente sottile: 𝑛 = 𝑛1
𝑛1
+
= 𝑛2 − 𝑛1
𝑝
𝑞
𝑛2
;
𝑛
1
𝑛1 = indice di rifrazione del mezzo in cui è immersa la lente;
𝑛2 = indice di rifrazione della lente)
Nel caso dell’occhio, facendo riferimento alla figura, si ha:
1
1
−
𝑅1 𝑅2
𝑛1
𝑛2
𝑛2 − 𝑛1
+
=
𝑝
𝑞′
𝑅12
𝑛2
𝑛2
+
= 𝑛3 − 𝑛2
𝛿 − 𝑞′ 𝑞 − 𝛿
1
1
−
𝑅23 𝑅32
Punti coniugati dell’occhio
𝑛1,2,3 =indice di rifrazione dell’aria (=1), dell’umor acqueo, del cristallino
𝑅12= R della cornea
𝑅23= R della faccia anteriore del cristallino
𝑅32= R della faccia posteriore del cristallino
𝛿= distanza fra la cornea ed il centro del cristallino (≈5mm)
VISIONE REMOTA
Per 𝑝 = ∞ e 𝑅23 = 10 𝑚𝑚 (posizione a riposo dei muscoli ciliati) determino la distanza 𝑞 a cui si
forma l’immagine:
Eq. del diottro:
da cui:
𝑛2
𝑛2 − 𝑛1
1
1
=
→
=
𝑞′
𝑅12
𝑞′ 𝑛2
𝑛2 − 𝑛1
𝑅12
=
1 0.33
1.33
8
= 0.031 𝑚𝑚
𝒒′ = 𝟑𝟐. 𝟐 𝒎𝒎
Sostituisco nell’eq. della lente convergente e ricavo 𝑞:
𝑛2
𝑛2
+
= 𝑛3 − 𝑛2
𝛿 − 𝑞′ 𝑞 − 𝛿
da cui:
1
1
−
𝑅23 𝑅32
𝒒 = 𝟐𝟑 𝒎𝒎~𝑫
𝑛1 = 1
𝑛2 = 1.33
𝑛3 = 1.42
𝑅12 = 8𝑚𝑚
𝑅23 = 10𝑚𝑚
𝑅32 = −6𝑚𝑚
𝛿≈5mm
VISIONE PROSSIMA
Per 𝑝 = 250 𝑚𝑚 (visione distinta) e 𝑞 = 22 𝑚𝑚 (immagine sulla retina) determino 𝑅23:
Eq. del diottro:
𝒒′ = 𝑛2
𝑝 𝑅12
𝑝 𝑛2 − 𝑛1
− 𝑅12 𝑛1
= 𝟑𝟓. 𝟒 𝒎𝒎
Sostituisco nell’eq. della lente convergente e ricavo 𝑅23:
𝑛2
𝑛2
+
= 𝑛3 − 𝑛2
𝛿 − 𝑞′ 𝑞 − 𝛿
1
1
−
𝑅23 𝑅32
𝑛1 = 1
da cui:
𝑹𝟐𝟑 = 𝟔. 𝟖 𝒎𝒎
𝑛2 = 1.33
𝑛3 = 1.42
Si ottiene 𝑅23 che è variabile tramite l’azione dei muscoli ciliati.
𝑅12 = 8𝑚𝑚
𝑅23 =?
𝑅32 = −6𝑚𝑚
𝛿≈5mm
La minima distanza a cui l’occhio può mettere a fuoco è chiamata punto prossimo, e,
con sforzo, questa può arrivare a 50 mm, corrispondenti ad un valore:
𝑅23 ≅ 3 𝑚𝑚
• L’invecchiamento produce una diminuzione di elasticità del cristallino che per cui il
potere di accomodamento diminuisce ed il punto prossimo si allontana sempre di più.
• E’ interessante osservare che la cornea ha un potere di rifrazione predominante
rispetto al cristallino. Una riprova di ciò è lo sfocamento con cui gli oggetti appaiono
quando si aprono gli occhi sotto acqua.
• In questo caso la cornea si trova a separare due mezzi: l’acqua e l’umor acqueo, di
indice di rifrazione quasi uguale: di fatto, viene a mancare l’azione della cornea e
l’unico sistema rifrangente è costituito dal cristallino.
Esercizio sul potere diottrico della cornea.
Calcolare il potere diottrico della cornea (𝑅 = 8 𝑚𝑚, 𝑛 = 1.33) e del cristallino (𝑅1 =
10 𝑚𝑚, 𝑅2 = 6 𝑚𝑚, 𝑛′ = 1.44). Si assuma 1 l’indice di rifrazione dell’aria.
Ricorda che:
Ipermetropia
La ipermetropia è generalmente dovuta ad un «accorciamento dell’occhio lungo
l’asse rispetto alla forma sferica normale, o , in altri termini, ad un minore potere
convergente del cristallino
• un punto all’infinito ha per immagine un punto dietro la cornea
• si corregge anteponendo all’occhio una lente convergente che sposti in
indietro (verso la retina) il punto di convergenza
Ipermetropia
Come calcolare la focale della lente
correttiva:
• In pratica la lente convergente serve
a portare l’oggetto da una distanza p
che l’occhio non riesce a mettere a
fuoco ad una distanza più lontana
pari al punto prossimo dell’occhio.
• Per fare questo la lente deve avere
una focale tale che sia soddisfatta la
seguente condizione:
1
𝑝𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜
𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒
+
1
𝑞𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜
𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒
=
1
𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒
Difetto da punto prossimo
Il punto prossimo di un occhio è posto a 1.25 𝑚 davanti ad esso. Quale è il
suo difetto di vista e quale lente occorre per correggerlo?
• L’occhio è ipermetrope perché non riesce a vedere ad una distanza minore
di 125 cm
• Occorre pertanto usare una lente convergente.
• Per trovare la lunghezza focale necessaria alla lente di correzione, si pone
nella formula dei punti coniugati:
1
𝑝𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜
𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒
+
1
𝑞𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜
𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒
=
1
𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒
• Si ha pertanto:
1
1
1
𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒
−
=
15 125 𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎
• Da cui:
𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎𝑖𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑝𝑒 =
15 ∙ 125
= 17.0𝑐𝑚
125 − 15
Difetti della vista
Ipermetropia
Presbiopia
(diminuzione del
Potere di
Accomodamento)
Miopia
Miopia
La miopia è generalmente dovuta ad un «allungamento» dell’occhio lungo
l’asse rispetto alla forma sferica normale, o , in altri termini, ad un maggiore
potere convergente del cristallino
• un punto all’infinito ha per immagine un punto davanti la cornea
• si corregge anteponendo all’occhio una lente convergente che sposti in
avanti (verso la retina) il punto di convergenza.
Miopia
Come calcolare la focale della lente
correttiva:
• In pratica la lente convergente serve
a portare l’oggetto da una distanza
p che l’occhio non riesce a mettere
a fuoco ad una distanza q pari al
punto remoto.
• Per fare questo la lente deve avere
una focale tale che sia soddisfatta la
seguente condizione:
1
1
1
+
=
∞ 𝑞𝑟𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑖𝑜𝑝𝑒
𝒇𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒕𝒕𝒊𝒗𝒂
𝒎𝒊𝒐𝒑𝒆
= 𝒒𝒓𝒆𝒎𝒐𝒕𝒐
Difetto da punto remoto
Il punto remoto di un occhio è posto a 3.0 𝑚 davanti ad esso. Quale è il suo
difetto di vista e quale lente occorre per correggerlo?
• L’occhio è miope perché riesce a vedere bene solo oggetti ad una distanza
minore di 3.0 𝑚
• Occorre pertanto usare una lente divergente
• Per trovare la lunghezza focale necessaria alla lente di correzione, si pone
nella formula dei punti coniugati:
• Si ha pertanto:
𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑚𝑖𝑜𝑝𝑒
𝑃𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑚𝑖𝑜𝑝𝑒
= 𝑞𝑟𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜 = 3.0 𝑚
=
1
𝑓𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎
= 0.33 𝑚−1
Difetti della vista
Astigmatismo
• L’A è dovuto al fatto
che la cornea non è
perfettamente sferica e
per questo non riesce a
formare sullo stesso
piano immagini nitide di
due linee perpendicolari
tra loro.
• Il difetto viene corretto
mediante lenti
cilindriche che
focalizzano l’immagine
sulla sola linea sfocata.
Cylindrical lens
Astigmatismo
• Nell’occhio non corretto i raggi di luce si focalizzano dietro la retina in un piano, e
sulla retina nell’altro;
• Il difetto viene corretto da una lente cilindrica disposta in modo che la curvatura si
trovi solo nel piano che mostri il difetto;
• Il punto rappresenta il centro del cristallino;
• Una lente cilindrica piano-convessa aumenta la convergenza del fascio e serve a
correggere diminuzioni del raggio di curvatura della cornea;
• Una lente cilindrica piano-concava diminuisce la convergenza del fascio e serve a
correggere aumenti del raggio di curvatura della cornea.
a) piano orizzontale
b) piano verticale
Acuità visiva
L’acuità visiva, individuata dall’angolo θ𝑚 , corrisponde alla distanza 𝑑𝑚 alla quale i due
oggetti puntiformi sono separabili.
• I principali fattori che limitano il potere separatore dell’occhio sono due:
1. La minima distanza tra i fotorecettori situati sulla retina;
2. La diffrazione.
• Si dimostra che, considerando una luce incidente con 𝜆 = 5 ∙ 10−5 𝑐𝑚, il fattore
limitante l’a.v. per l’occhio umano è il primo.
• L’a.v. dipende, inoltre, dall’età e dall’intensità della luce.
• Si determina, in base a considerazioni geometriche, che il valore limite è:
θ𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 = 8 ∙ 10−4 𝑟𝑎𝑑
Valutare la distanza a cui sono distinguibili i fari di un’automobile distanti fra loro 1.2 𝑚.
Si assuma l’acuità visiva pari a θ𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 = 8 ∙ 10−4 𝑟𝑎𝑑.
I fari dell’automobile vengono osservati sotto l’angolo θ.
Dalla figura si desume:
𝑑
1.2 𝑚
𝑙=
=
= 1500𝑚
𝑡𝑔θ𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒
8 ∙ 10−4
A secondo della distanza, e quindi
dell’angolo θ, le frange di diffrazione:
(a) permettono,
(b) non permettono
di osservare i fari distinti.