Estensione naturale di un insieme - Classe delle Lauree in Scienze

numero? Per rispondere alla prima domanda è necessario un apposito assioma (vedi paragrafo
successivo), mentre per il secondo quesito si hanno le seguenti definizioni e proprietà:
DEFINIZIONE 4: Dati xR* e r R, diremo che r è la parte standard (o parte reale) di x se e
solo se x  mon(r), vale a dire sse x  r. In simboli:
r = st(x) sse x  mon(r),
sse x  r,
sse (  0) x  r = ,
sse (  0) x = r + .
Nota: sottolineiamo che non è detto che esista, per ogni x, un tale numero reale; ma se esso esiste,
allora è unico (vedi nota sulle monadi).
E’ bene ribadire che se un iperreale x ha parte standard r, x è senz’altro un finito; infatti si
avrà che r 1 < x = r +  < r +1, cioè x è compreso tra due numeri reali.
L’affermazione contronominale dice che se x è un infinito allora x non ha parte standard.
Poniamo
R*fin 
{x R*: (r, s R) r < x < s}, insieme degli iperreali finiti.
def
LA TEORIA ASSIOMATICA DEI NUMERI IPERREALI
Linguaggio: il linguaggio della teoria dei numeri iperreali è uguale a quello della teoria dei
numeri reali, esposto nel relativo capitolo (pag. 13):
L (R*) = L (R).
Assiomi:
Assiomi di estensione:
Est1) I numeri reali sono anche numeri iperreali. In simboli:
R  R*
Est2)
In R* vi è almeno un numero infinitesimo strettamente positivo. In formula:
(xR*) (rR+ \{0}) 0< x < r
Est3)
I. Ogni relazione n-aria definita tra numeri reali, R  Rn, si estende in modo naturale ad
un’unica relazione n-aria tra numeri iperrreali, R *  (R*)n, detta estensione naturale di R .
II. Ogni funzione n-aria definita tra numeri reali, f  RnR, si estende in modo naturale ad
un’unica funzione n-aria tra numeri iperrreali, f *  (R*)n R, detta estensione naturale di f .
Assioma del transfer
Tr)
St)
Ogni enunciato (formula chiusa) di L (R) vero in R è vero anche in R*.
Assioma della parte standard
Ogni numero iperreale finito è infinitamente vicino ad un numero reale. In formula:
(x R*fin)(rR) x  r
PRINCIPALI CONSEGUENZE IMMEDIATE
1. Dall’assioma Est2 segue che R è contenuto propriamente in R*, dato che l’unico infinitesimo
presente in R è 0.
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2. Tra le relazioni e le funzioni definite tra numeri reali che si estendono agli iperreali, vi sono le
relazioni d’ordine e le operazioni definite (vedi pag 14 e segg.).
Se x, yR*, “x è minore o uguale ad y” si dovrebbe scrivere “x * y”,
“la differenza tra x e y” si dovrebbe indicare “x * y”, eccetera.
Per non appesantire le scritture useremo invece i soliti simboli già usati per i numeri reali,
omettendo gli asterischi tutte le volte che questo non crea problemi di comprensione. Ciò è
possibile e sensato, dal momento che, per l’assioma Tr, tutte le proprietà algebriche e ordinali
di tali relazioni esprimibili con una formula di L (R) valgono anche per gli iperreali.
3. RIPASSO: per la definizione di “formula di L (R)” e di “enunciato” si riveda la pag. 13.
Nella NOTA della stessa pagina è detto che gli assiomi algebrici e ordinali di R sono
enunciati; essendo tali assiomi ovviamente veri per i numeri reali, per l’assioma del transfer
essi sono veri anche per gli iperreali. Lo stesso dicasi per tutte le proprietà algebriche e
ordinali delle relazioni ed operazioni definite successivamente.
L’assioma di completezza C non è esprimibile con una formula di L (R), quindi ad esso non si
applica l’assioma del transfer. I teoremi di precompletezza, P1) e P2), sono invece enunciati di
L (R) veri in R, quindi veri anche in R*.
4. L’assioma St garantisce che ogni numero iperreale finito x si trova nella monade di almeno un
numero reale. Si è provato, a pag. 66, che le monadi sono a due disgiunte, perciò in realtà tale
numero reale è unico, ed è la parte standard di x.
NOTA: Per ragioni di semplicità e di migliore leggibilità delle formule, useremo, tutte le volte che è
possibile, i simboli di variabile differenziati per infinitesimi (lettere greche minuscole), finiti
(lettere iniziali minuscole dell’alfabeto) e infiniti (lettere centrali maiuscole), come nei capitoli
precedenti.
PROPRIETA’ DELLA PARTE STANDARD
Ribadiamo che
un numero iprreale ha parte standard (parte reale) sse è un iperreale finito.
Siano dunque a, b, c iperreali finiti, eventualmente infinitesimi, e siano st(a) = r, st(b) = s e
st(c) = t, con r, s, t R; allora
condizioni
proprietà
st(a) = 0
a0
st(a) = a
aR
ab
st(a) = st(b)
st(a) = st(a) = r
1
1
1
st( ) =

a
st (a) r
st(a + b) = st(a) + st(b) = r + s
st(a b) = st(a) st(b) = r s
a
st (a) r
st( ) =

b
st (b) s
st(an) = (st(a))n = rn
a non infinitesimo, cioè a  mon(0)
b non infinitesimo, cioè b  mon(0)
nN
n  N, a  0
st( n a ) = n st (a) = n r
st(|a|) = |st(a)| = | r |
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a<b
st(a)  st(b)
NOTA BENE: prima di applicare le regole di calcolo della parte standard è necessario accertarsi
che il numero iperreale in questione sia un iperreale finito, esaminando le sue componenti
algebriche. Nel caso si tratti di una forma indeterminata, è necessario eliminare l’indeterminazione
prima di passare al calcolo della parte standard.
 2  2
Esempio 1: sia   0 e sia  
; per stabilire se   R*fin se ne studiano numeratore e
3  2
denominatore: il numeratore è il valore assoluto della somma di due infinitesimi, perciò è un
infinitesimo, quindi un finito: |2 + 2| = |  |  0, mentre il denominatore è un finito non
infinitesimo: 3 + 2  2. Quindi , in quanto quoziente di un infinitesimo e di un finito non

infinitesimo, diciamo  = , è un iperreale finito infinitesimo, dunque ha parte standard e
b
st ( ) 0
st() =
 = 0.
st (b) 2
4 a5
, con a  11 e a  11. Per stabilire se x  R*fin se ne studiano
11  a
separatamente numeratore e denominatore, tenendo conto delle ipotesi su a, cioè del fatto che
a = 11 + , con   0.
Si ha dunque, per il numeratore, 4  a  5 = 4  11    5 = 4  16   ; poiché
Esempio 2: sia x =
16    4, 4  16   = 4  (4 + ) =  , infinitesimo non nullo.

Anche il denominatore, 11  a = 11  (11+ ) = , è un infinitesimo non nullo; non è quindi
possibile applicare la regola di calcolo della parte standard per un quoziente.
Poiché x si presenta come una forma indeterminata del quoziente, per eliminare
l’indeterminazione conviene razionalizzare il numeratore, moltiplicando e dividendo x per
4 + 16   :
4  16  
4  16   4  16  
16  (16   )

=
=
=
=


4  16  
  (4  16   )
  (4  16   )
1
1
1
1
=
=
=
 .
4  (4   ) 8   8
4  16  
1
Se ne conclude che x  R*fin e che st(x) = .
8
x=
SOTTINSIEMI NOTEVOLI DI R*
Estensione naturale di un insieme
Numeri ipernaturali, iperinteri, iperrazionali
Potenze con esponente reale
Teorema dell’iperrazionale
ESTENSIONE NATURALE DELLE FUNZIONI
IPERREALI NOTEVOLI
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