Il mondo iperreale attraverso i microscopi ottici
Riccardo Dossena
Liceo Scientifico “G. Novello” - Codogno (LO)
VI Giornata Nazionale di Analisi Non Standard
Lucca, 1 ottobre 2016
Cosa sono i microscopi ottici?
Fonte: H.J. Keisler, Elementary Calculus
Cosa sono i microscopi ottici?
Fonte: H.J. Keisler, Elementary Calculus
degli strumenti ottici, che a volte ci consentono di ottenere un
risultato in modo più rapido e più chiaro che col calcolo. Poiché
un arco di circonferenza osservato a un microscopio nonstandard è indistinguibile da un tratto rettilineo, è immediato
ricavare che per ogni infinitesimo non nullo δ si ha che
sin δ ~ δ . Vi ricordo che abbiamo convenuto di usare il simbolo
di uguaglianza in luogo di quello di indistinguibilità, salvo
situazioni in cui è utile o necessario fare questa distinzione, e
scriveremo semplicemente che sin δ = δ .
Cosa sono i microscopi ottici?
Sulla circonferenza goniometrica consideriamo, per semplicità,
un angolo x del primo quadrante e un incremento infinitesimo
dx . Chiamiamo OA e OB i raggi che comprendono l'incremento
angolare dx e con A′ e B′ le proiezioni sull'asse delle ascisse
rispettivamente di A e di B. Puntiamo allora un microscopio nonstandard in modo da avere l'arco AB nel campo visivo. L'arco
AB appare indistinguibile da un segmento rettilineo e i tratti
Fonte: G. Goldoni, Il professor Apotema insegna. . .
La retta reale e il microscopio standard
La retta reale e il microscopio standard
La retta reale e il microscopio standard
La retta reale e il microscopio standard
a+
a−
a
7! 0
1
n
1
n
2
n
7! 1
a+
...
7! −1
7! 2
a+
a−
a
7! 0
1
n
1
n
2
n
7! 1
a+
...
7! −1
7! 2
Ciò si può ottenere con la trasformazione µ : R ! R definita da
µ(x ) =
x −a
1
n
= n(x − a)
a+
a−
a
7! 0
1
n
1
n
2
n
7! 1
a+
...
7! −1
7! 2
Ciò si può ottenere con la trasformazione µ : R ! R definita da
µ(x ) =
x −a
1
n
= n(x − a)
identificando x con la sua immagine µ(x )
La retta iperreale e i microscopi infinitesimali
L’immagine visiva della retta iperreale è identica a quella della
retta reale
La retta iperreale e i microscopi infinitesimali
L’immagine visiva della retta iperreale è identica a quella della
retta reale
A maggior ragione non possiamo distinguere numeri che
differiscono per un infinitesimo ε
Per visualizzare la differenza fra c e c + ε introduciamo la
trasformazione µ : R∗ ! R∗ definita da
µ(x ) =
x −c
ε
Per visualizzare la differenza fra c e c + ε introduciamo la
trasformazione µ : R∗ ! R∗ definita da
µ(x ) =
µ(c) = 0
µ(c + ε) = 1
µ(c − ε) = −1
x −c
ε
Per visualizzare la differenza fra c e c + ε introduciamo la
trasformazione µ : R∗ ! R∗ definita da
µ(x ) =
µ(c) = 0
µ(c + ε) = 1
µ(c − ε) = −1
x −c
ε
Per visualizzare la differenza fra c e c + ε introduciamo la
trasformazione µ : R∗ ! R∗ definita da
µ(x ) =
x −c
ε
µ(c) = 0
µ(c + ε) = 1
µ(c − ε) = −1
e identifichiamo x con la sua immagine µ(x )
Osservazione
Qual è l’immagine tramite µ di un numero iperreale come
c + ε2
anch’esso infinitamente vicino a c?
Osservazione
Qual è l’immagine tramite µ di un numero iperreale come
c + ε2
anch’esso infinitamente vicino a c?
µ(c + ε2 ) =
c + ε2 − c
=ε
ε
Osservazione
Qual è l’immagine tramite µ di un numero iperreale come
c + ε2
anch’esso infinitamente vicino a c?
µ(c + ε2 ) =
c + ε2 − c
= ε ≈ 0 (infinitesimo)
ε
quindi il numero c + ε2 andrebbe rappresentato nella stessa
posizione di c
Per capire esattamente qual è l’immagine di un qualsiasi numero
iperreale finito è utile considerare la parte standard di µ
µ̄(x ) = st(µ(x )) = st
x −c
ε
Per capire esattamente qual è l’immagine di un qualsiasi numero
iperreale finito è utile considerare la parte standard di µ
µ̄(x ) = st(µ(x )) = st
µ̄(c) = 0
µ̄(c + ε) = 1
µ̄(c − ε) = −1
µ̄(c + ε2 ) = 0
x −c
ε
Per capire esattamente qual è l’immagine di un qualsiasi numero
iperreale finito è utile considerare la parte standard di µ
µ̄(x ) = st(µ(x )) = st
µ̄(c) = 0
µ̄(c + ε) = 1
µ̄(c − ε) = −1
µ̄(c + ε2 ) = 0
x −c
ε
Microscopio non-standard
Siano c ∈ R∗ e ε > 0 infinitesimo. La funzione
µ : R∗ ! R∗ ,
µ(x ) =
x −c
ε
è chiamata lente-ε puntata in c. Il campo visivo di µ è l’insieme
Cµ = {x ∈ R∗ | µ(x ) è finito}.
Considerando la parte standard di µ, otteniamo la funzione
µ̄ : Cµ ! R,
µ̄(x ) = st
x −c
ε
chiamata lente-ε ottica puntata in c (o microscopio ottico).
Il campo visivo di una lente-ε è l’insieme dei numeri che appaiono
nell’immagine attraverso la corrispondente lente ottica µ̄.
Di fatto viene rappresentata solo una parte del campo visivo,
mediante un cerchio centrato di solito dove viene puntata la lente.
Se ε è infinitesimo, ε2 è “ancora più infinitesimo”
Se ε è infinitesimo, ε2 è “ancora più infinitesimo”
ε2
è infinitesimo, cioè ε rispetto a ε2 è infinitamente
il rapporto
ε
grande
Se ε è infinitesimo, ε2 è “ancora più infinitesimo”
ε2
è infinitesimo, cioè ε rispetto a ε2 è infinitamente
il rapporto
ε
grande
Definizione
Dati due infinitesimi non nulli ε e δ, diciamo che
ε
ε ha ordine superiore rispetto a δ se è infinitesimo;
δ
ε ha lo stesso ordine di δ se
ε
è finito non infinitesimo;
δ
ε ha ordine inferiore rispetto a δ se
ε
è infinito.
δ
Cosa si può effettivamente vedere attraverso una lente-ε ottica
puntata in c ∈ R∗ ?
Cosa si può effettivamente vedere attraverso una lente-ε ottica
puntata in c ∈ R∗ ?
Si possono distinguere separati da c solo i numeri del tipo
c +λ
con λ infinitesimo dello stesso ordine di ε.
Cosa si può effettivamente vedere attraverso una lente-ε ottica
puntata in c ∈ R∗ ?
Si possono distinguere separati da c solo i numeri del tipo
c +λ
con λ infinitesimo dello stesso ordine di ε.
λ di ordine inferiore rispetto a ε ⇒ c + λ esce dal campo visivo
Cosa si può effettivamente vedere attraverso una lente-ε ottica
puntata in c ∈ R∗ ?
Si possono distinguere separati da c solo i numeri del tipo
c +λ
con λ infinitesimo dello stesso ordine di ε.
λ di ordine inferiore rispetto a ε ⇒ c + λ esce dal campo visivo
λ di ordine superiore rispetto a ε ⇒ c + λ e c appaiono sovrapposti
Una lente-ε riesce a separare ε da 0, ma non ε2 che è di ordine
superiore rispetto a ε
Una lente-ε riesce a separare ε da 0, ma non ε2 che è di ordine
superiore rispetto a ε
Per separarli serve una lente-ε2
Una lente-ε riesce a separare ε da 0, ma non ε2 che è di ordine
superiore rispetto a ε
Per separarli serve una lente-ε2 , ma ε esce dal campo visivo
Microscopi puntati in microscopi
Definizione
Un microscopio puntato in un microscopio è una lente applicata in
un punto di un’altra lente
Microscopi puntati in microscopi
Definizione
Un microscopio puntato in un microscopio è una lente applicata in
un punto di un’altra lente
Microscopi puntati in microscopi
Definizione
Un microscopio puntato in un microscopio è una lente applicata in
un punto di un’altra lente
Microscopio non-standard in due dimensioni
Siano (α, β) ∈ R∗ 2 e ε > 0 infinitesimo. La funzione
µ: R
∗2
∗2
!R ,
µ(x , y ) =
x −α y −β
,
ε
ε
è detta lente-ε puntata in (α, β). Il campo visivo di µ è l’insieme
Cµ = {(x , y ) ∈ R∗ 2 | µ(x , y ) è finito}.
Considerando le parti standard di µ, otteniamo la funzione
µ̄ : Cµ ! R ,
2
x −α x −β
µ̄(x , y ) = st
,
ε
ε
detta lente-ε ottica puntata in (α, β) (o microscopio ottico).
Funzioni derivabili
y = f (x ) derivabile in a
Funzioni derivabili
y = f (x ) derivabile in a
dx incremento infinitesimo
dy = f (a + dx ) − f (a)
≈ f 0 (a)dx
f (a + dx ) = f 0 (a)dx + f (a) + εdx
(ε infinitesimo)
Funzioni derivabili
y = f (x ) derivabile in a
dx incremento infinitesimo
dy = f (a + dx ) − f (a)
≈ f 0 (a)dx
lente-dx su (a, f (a))
(a, f (a)) 7! (0, 0)
f (a + dx ) = f 0 (a)dx + f (a) + εdx
(ε infinitesimo)
x − a y − f (a)
(x , y ) 7! st
,
dx
dx
Funzioni derivabili
y = f (x ) derivabile in a
dx incremento infinitesimo
dy = f (a + dx ) − f (a)
≈ f 0 (a)dx
lente-dx su (a, f (a))
(a, f (a)) 7! (0, 0)
f (a + dx ) = f 0 (a)dx + f (a) + εdx
(ε infinitesimo)
x − a y − f (a)
(x , y ) 7! st
,
dx
dx
(a + dx , f (a + dx ))
Funzioni derivabili
y = f (x ) derivabile in a
dx incremento infinitesimo
dy = f (a + dx ) − f (a)
≈ f 0 (a)dx
lente-dx su (a, f (a))
(a, f (a)) 7! (0, 0)
f (a + dx ) = f 0 (a)dx + f (a) + εdx
(ε infinitesimo)
x − a y − f (a)
(x , y ) 7! st
,
dx
dx
(a + dx , f (a + dx )) 7!
st(1, f 0 (a) + ε) 7!
(1, f 0 (a))
Funzioni derivabili
Consideriamo il punto
(a + λ, f (a + λ))
con λ infinitesimo dello stesso
ordine di dx
f (a + dx ) = f 0 (a)dx + f (a) + εdx
(ε infinitesimo)
x − a y − f (a)
(x , y ) 7! st
,
dx
dx
Funzioni derivabili
Consideriamo il punto
(a + λ, f (a + λ))
con λ infinitesimo dello stesso
ordine di dx
visto attraverso la lente-dx
st
f (a + dx ) = f 0 (a)dx + f (a) + εdx
(ε infinitesimo)
x − a y − f (a)
(x , y ) 7! st
,
dx
dx
λ
f 0 (a)λ + λε
, st
dx
dx
= st
λ
f 0 (a)λ λε
, st
+
dx
dx
dx
Funzioni derivabili
Consideriamo il punto
(a + λ, f (a + λ))
con λ infinitesimo dello stesso
ordine di dx
visto attraverso la lente-dx
st
f (a + dx ) = f 0 (a)dx + f (a) + εdx
(ε infinitesimo)
x − a y − f (a)
(x , y ) 7! st
,
dx
dx
λ
f 0 (a)λ + λε
, st
dx
dx
= st
λ
f 0 (a)λ λε
, st
+
dx
dx
dx
λ
λε
è finito e
infinitesimo
dx
dx
Funzioni derivabili
quindi
(a + λ, f (a + λ)) 7!
λ
λ
, f 0 (a) st
st
dx
dx
f (a + dx ) = f 0 (a)dx + f (a) + εdx
(ε infinitesimo)
x − a y − f (a)
(x , y ) 7! st
,
dx
dx
Funzioni derivabili
quindi
(a + λ, f (a + λ)) 7!
λ
λ
, f 0 (a) st
st
dx
dx
λ
, si ha che i
dx
punti di y = f (x ) che
rientrano nel campo visivo
della lente vengono mandati in
posto t = st
f (a + dx ) = f 0 (a)dx + f (a) + εdx
(ε infinitesimo)
(t, f 0 (a)t)
(x , y ) 7! st
x − a y − f (a)
,
dx
dx
cioè nel grafico della tangente!
Funzioni derivabili
La curva e la tangente risultano
indistinguibili se viste attraverso
una lente-dx puntata in (a, f (a))
f (a + dx ) = f 0 (a)dx + f (a) + εdx
(ε infinitesimo)
x − a y − f (a)
(x , y ) 7! st
,
dx
dx
Funzioni derivabili e microscopi puntati in microscopi
Funzioni derivabili e microscopi puntati in microscopi
Sia f derivabile due volte in a. Puntiamo in (a + dx , f (a + dx )) la
lente-dx 2
x − (a + dx ) y − f (a + dx )
(x , y ) 7! st
,
dx 2
dx 2
e sviluppiamo f (a + dx ) con la formula di Taylor del secondo ordine
1
f (a + dx ) = f (a) + f 0 (a)dx + f 00 (a)dx 2 + ε1 dx 2
2
dove ε1 è infinitesimo.
Diamo poi ad a + dx un incremento λ dello stesso ordine di dx 2 .
Vediamo, usando ancora la formula di Taylor, qual è l’immagine di
(a + dx + λ, f (a + dx + λ))
1
f (a+dx +λ) = f (a)+f 0 (a)(dx +λ)+ f 00 (a)(dx +λ)2 +ε2 (dx +λ)2 ⇒
2
⇒ (a+dx +λ, f (a+dx +λ)) 7!
=
λ f (a + dx + λ) − f (a + dx )
,
dx 2
dx
λ f 0 (a)λ + 12 f 00 (a)λ2 + f 00 (a)dx λ
,
+
dx 2
dx 2
ε2 dx 2 + ε2 λ2 + 2ε2 dx λ − ε1 dx 2
+
dx 2
e prendendo le parti standard, la lente ottica dà
λ
λ
st
, f 0 (a) st
dx 2
dx 2
=
Lungo la tangente, il punto corrispondente allo stesso incremento
(a + dx + λ, f (a) + f 0 (a)(dx + λ))
ha come immagine
λ f 0 (a)(dx + λ) − f 0 (a)dx − 12 f 00 (a)dx 2 − ε1 dx 2
,
dx 2
dx 2
=
=
λ λf 0 (a) − 12 f 00 (a)dx 2 − ε1 dx 2
,
=
dx 2
dx 2
λ
λ
1 00
0
=
, f (a) 2 − f (a) − ε1
dx 2
dx
2
e prendendo le parti standard, la lente ottica dà
λ
λ
st
, f 0 (a) st
dx 2
dx 2
1
− f 00 (a)
2
dando ad a + dx
incrementi infinitesimi λ
dello stesso ordine di dx 2 e
ponendo
t = st
λ
dx 2
attraverso la lente-dx 2
ottica
funzione ! (t, f 0 (a)t)
1
tangente ! t, f 0 (a)t − f 00 (a)
2
dando ad a + dx
incrementi infinitesimi λ
dello stesso ordine di dx 2 e
ponendo
t = st
λ
dx 2
attraverso la lente-dx 2
ottica
funzione ! (t, f 0 (a)t)
1
tangente ! t, f 0 (a)t − f 00 (a)
2
dando ad a + dx
incrementi infinitesimi λ
dello stesso ordine di dx 2 e
ponendo
t = st
λ
dx 2
attraverso la lente-dx 2
ottica
funzione ! (t, f 0 (a)t)
1
tangente ! t, f 0 (a)t − f 00 (a)
2
dando ad a + dx
incrementi infinitesimi λ
dello stesso ordine di dx 2 e
ponendo
t = st
λ
dx 2
attraverso la lente-dx 2
ottica
funzione ! (t, f 0 (a)t)
1
tangente ! t, f 0 (a)t − f 00 (a)
2
f 00 (a) > 0 ⇒ f concava verso l’alto ⇒ tangente sotto il grafico di f
f 00 (a) < 0 ⇒ f concava verso il basso ⇒ tangente sopra il grafico di f
Una semplice applicazione
Se f è derivabile due volte in a, dove ha un flesso, si ha f 00 (a) = 0
Una semplice applicazione
Se f è derivabile due volte in a, dove ha un flesso, si ha f 00 (a) = 0
Una semplice applicazione
Se f è derivabile due volte in a, dove ha un flesso, si ha f 00 (a) = 0
il grafico è privo di concavità e anche il secondo microscopio non
rileva differenze fra la curva e la tangente
Cerchiamo i flessi della curva
y = x 3 − 2x 2
Cerchiamo i flessi della curva
y = x 3 − 2x 2
consideriamo un incremento infinitesimo dx della variabile
indipendente e calcoliamo dy
Cerchiamo i flessi della curva
y = x 3 − 2x 2
consideriamo un incremento infinitesimo dx della variabile
indipendente e calcoliamo dy
dy = (x + dx )3 − 2(x + dx )2 − (x 3 − 2x 2 ) =
2
2
= x 3 + 3x 2 dx + 3xdx 2 + dx 3 − 2x
− 4xdx − 2dx 2 − x 3 + 2x
=
= (3x 2 − 4x )dx + (3x − 2)dx 2 + dx 3
dy =
dy = (3x 2 − 4x )dx +
incremento rilevato
dal 1◦ microscopio
dy = (3x 2 − 4x )dx + (3x − 2)dx 2
incremento rilevato
dal 1◦ microscopio
incremento rilevato
dal 2◦ microscopio
+
dy = (3x 2 − 4x )dx + (3x − 2)dx 2
incremento rilevato
dal 1◦ microscopio
incremento rilevato
dal 2◦ microscopio
+
dx 3
infinitesimo di
ordine superiore
(trascurato)
annullando il termine dello stesso ordine di dx 2
(3x − 2)dx 2 = 0
annullando il termine dello stesso ordine di dx 2
(3x − 2)dx 2 = 0
⇒
3x − 2 = 0
annullando il termine dello stesso ordine di dx 2
(3x − 2)dx 2 = 0
⇒
che è il punto di flesso cercato!
3x − 2 = 0
⇒
x=
2
3
Questa presentazione è reperibile al sito
http://rdossena.altervista.org
