Presentazione standard di PowerPoint

Funzioni reali di variabile reale
Definizione di funzione tra due insiemi
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice funzione (o
anche applicazione) da A a B una legge che ad ogni
elemento dell’ insieme A associa un elemento di B .
In genere le funzioni si indicano con le lettere minuscole;
per indicare che f è una funzione da A a B si scrive
f: A→B
Definizione di funzione tra due
insiemi
Funzioni suriettive, iniettive, biiettive
In generale, l’insieme dei valori non deve necessariamente coincidere con tutto il
codominio:
Insieme
dei valori
Funzioni suriettive, iniettive, biunivoche
Definizione: Una funzione si dice suriettiva sse ogni elemento
del codominio è immagine di almeno un elemento del
dominio.
In tal caso si ha che l'immagine coincide con il codominio:
f è suriettiva sse per ogni y C esiste x D tale che f(x)=y
Definizione: Una funzione si dice iniettiva sse a elementi distinti
di D fa corrispondere elementi distinti di C:
f è iniettiva sse per ogni x1, x2 D se x1≠x2, allora f(x1)≠f(x2)
Definizione: Una funzione iniettiva e suriettiva si dice biunivoca
Funzione inversa, funzione identità,
funzione composta
Funzione composta
Consideriamo le funzioni
g : A -> B
f : B -> C
chiameremo funzione composta l'applicazione da A a C
fog : A -> C
tale che
fog(x)= f(g(x))
Esempi di funzioni composte
Esempi di funzioni composte
Funzione inversa
Esiste sempre f-1?
Esiste sempre f-1?
è possibile definire l’inversa di una funzione
soltanto se f è iniettiva
Esiste sempre f-1?
Nei grafici seguenti, costruiti a partire da una tabella elaborata con un foglio
elettronico, sono rappresentate delle funzioni: quali funzioni sono iniettive e quali
non lo sono…….
Funzione lineare
Esiste sempre f-1?
Nei grafici seguenti, costruiti a partire da una tabella elaborata con un foglio
elettronico, sono rappresentate delle funzioni: quali funzioni sono iniettive e quali
non lo sono…….
Funzione cubica
Esiste sempre f-1?
Nei grafici seguenti, costruiti a partire da una tabella elaborata con un foglio
elettronico, sono rappresentate delle funzioni: quali funzioni sono iniettive e quali
non lo sono…….
Funzione quadratica
Esiste sempre f-1?
Nei grafici seguenti, costruiti a partire da una tabella elaborata con un foglio
elettronico, sono rappresentate delle funzioni: quali funzioni sono iniettive e quali
non lo sono…….
Funzione della proporzionalità inversa
Esiste sempre f-1?
Nei grafici seguenti, costruiti a partire da una tabella elaborata con un foglio
elettronico, sono rappresentate delle funzioni: quali funzioni sono iniettive e quali
non lo sono…….
Esiste sempre f-1?
Nei grafici seguenti, costruiti a partire da una tabella elaborata con un foglio
elettronico, sono rappresentate delle funzioni: quali funzioni sono iniettive e quali
non lo sono…….
Grafico di una funzione e sua costruzione
per punti
Grafico di una funzione e sua costruzione
per punti
Grafico di una funzione e sua costruzione
per punti
Grafico di una funzione e sua costruzione
per punti
Funzioni reali di variabile reale
grafico di y=-f(x)
grafico di y=-f(x)
I grafici y=f(x) e y=-f(x) sono l’uno il
simmetrico dell’altro rispetto all’asse delle
ascisse
grafico di y=-f(x)
grafico di y = f(-x)
Con considerazioni del tutto analoghe si può costruire il
grafico della funzione y=f(-x).
Infatti basta effettuare una simmetria di asse y=0, in modo
tale da associare al punto P(x,y) il punto P’(-x,y), ossia il suo
trasformato rispetto alla simmetria suddetta.
Se per una funzione f(x)=f(-x) si dice che la funzione f è pari.
Se per una funzione f(-x)=-f(x), vale a dire f(x)=-f(-x), si dice
che la funzione è dispari.
Quindi una trasformazione di simmetria rispetto all’asse delle
ordinate lascia invariato il grafico, mentre per le dispari si
troverà y=-f(x)
grafico di y = f(-x)
I grafici y=f(x) e y=f(-x) sono l’uno il
simmetrico dell’altro rispetto all’asse delle
ordinate
grafico di y = f(-x)
Simmetrie rispetto agli assi
grafichiamo y=-tan x a partire dal grafico noto di y=tanx
Simmetrie rispetto agli assi
Tracciamo il grafico di y=sin(-x) applicando la simmetria
rispetto all'asse delle ascisse al grafico (noto) di y=sinx
Simmetria centrale
La simmetria centrale di centro O
è una trasformazione che ad ogni
punto P del piano associa un
punto P' tale che O è il punto
medio del segmento PP'.
considerando la definizione delle
coordinate del punto medio:
Simmetria rispetto all'origine
Se il punto O coincide con l’origine degli ass cartesiani:
y=-f(-x)
Simmetria rispetto all'origine
Il grafico di una funzione
simmetrica è simmetrico rispetto
all'asse delle y:
Il grafico di una funzione
antisimmetrica è simmetrico
rispetto all'origine:
NOTA
Osserviamo che i grafici delle tre funzioni goniometriche sin,
cos e tan hanno delle simmetrie interne che corrispondono a
proprietà algebriche delle funzioni stesse:
simmetrico
rispetto all'origine
simmetrico rispetto
all'asse delle ordinate
simmetrico rispetto
all'origine
grafico di y=f(x+k)
consideriamo un punto P(x,y) che soddisfa l’equazione y=f(x).
Il suo trasformato in una traslazione è il punto P’(x’,y’) che ha
coordinate:
x’=x+a
y’=y+b
Per costruire il grafico di y=f(x+k) dobbiamo operare una
traslazione lungo l’asse x sul grafico già noto della curva y=f(x)
grafico di y=f(x+k)
grafico di y =f(x)+k
Per costruire il grafico di y=f(x)+k dobbiamo operare una
traslazione di ampiezza k lungo l’asse y sul grafico già noto
della curva y=f(x)
Traslazioni
y=f(x+k) e y=f(x)+k sono traslazioni della funzione f(x)
Ad esempio, possiamo tracciare il grafico di y=cos(x+/2)-2
traslando il grafico noto di y=cosx
Traslazioni
sin(x+/2)=cosx → possiamo ottenere il grafico di cosx
traslando il grafico di y=sinx
Traslazioni
In particolare, poichè le funzioni goniometriche sono
periodiche, il seno ed il coseno hanno periodo 2 e la tangente
ha periodo :
sin(x + 2k ) = sinx ;
cos(x + 2k ) = cosx;
tan(x + k ) = tanx
kZ
possiamo limitare lo studio ad un singolo periodo
grafico di y=|f(x)|
y=f( | x | )
Il grafico si ottiene quindi da
quello di y=f(x) operando
una simmetria rispetto all’asse
delle ordinate della sola parte
che appartiene al semipiano
positivo delle ascisse
y=kf(x)
y=kf(x)
y =f(kx)
y =f(kx)
Dilatazione
Dilatazione
Attenzione a non confondere le dilatazioni con degli
«ingrandimenti» (anche solo lungo una direzione):
la dimensione dell'immagine trasformata dipende dai fattori
di trasformazione h (in orizzontale) e k (in
verticale), che
• ingrandiscono se maggiori di 1, e riducono se minori di
uno;
• sono indipendenti tra loro (per esempio, una dilatazione
con fattori h > 1 e k < 1 «ingrandisce» in orizzontale e
«riduce» in verticale).
Dilatazione
Un caso particolare è dato dalle dilatazioni in cui i fattori
coincidono.
Si chiama omotetia una dilatazione i cui fattori coincidono,
che ha quindi equazione
• se k > 1 l'omotetia si chiama ingrandimento;
• se k < 1 l'omotetia si chiama riduzione;
• se k = 1 l'omotetia si chiama identità.
Dilatazione
Tracciamo il grafico di y = 3/2cos (x) (in grassetto) dilatando
verticalmente il grafico (noto, tratteggiato) di y = cosx di un
fattore 3/2 :
Dilatazione
Tracciamo il grafico di y = cos(3/2 x) (in grassetto) dilatando
orizzontalmente il grafico (noto, tratteggiato) di y = cosx di un
fattore 2/3 :
Dilatazione
Tracciamo il grafico di y = 3/2cos(3/2)x (in grassetto)
dilatando il grafico (noto, tratteggiato) di y = cosx di fattori
3/2 e 2/3 :
Dilatazione
Tracciamo il grafico di y = 2cos(1/2 x) (in grassetto)
dilatando il grafico (noto, tratteggiato) di y = cosx
attraverso una omotetia di fattore 2:
y = |f (|x|)|
y = |f (|x|)|
Grafici di funzioni e trasformazioni nel piano
Possiamo quindi trovare il grafico di una funzione che sia
ottenuta da una funzione nota attraverso traslazioni,
simmetrie rispetto agli assi e all'origine e dilatazioni…..
La retta
La retta
Nel piano cartesiano si ottiene il grafico di una retta ogni volta
che si deve rappresentare/descrivere una generica relazione di
proporzionalità diretta.
L’equazione più generale di una retta nel piano cartesiano è
data da:
ax+by+c=0
Con a, b,c numeri appartenenti a R.
Questa equazione si chiama equazione implicita della retta
perché non viene esplicitata alcuna variabile rispetto all’altra
La retta
Passando alla equazione esplicita della retta è più immediato
ricavare informazioni importanti quali la pendenza della retta e
intersezioni con gli assi coordinati.
Per ottenere l’equazione esplicita, rendiamo esplicita la
dipendenza della y dalla x:
ax+bx+c=0 
by=-ax-c 
𝑎
𝑐
𝑦=− 𝑥 −
𝑏
𝑏
Nell’ipotesi b≠0 possiamo porre
𝑎
𝑐
− =𝑚
− =𝑞
𝑏
𝑏
E scrivere
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞
La retta
Il coefficiente m si chiama coefficiente angolare della retta e
indica la pendenza della retta.
q è l’intercetta e rappresenta il valore dell’ordinata in cui la
retta taglia l’asse delle ordinate.
Se m=0 la retta risulta parallela all’asse x e se q=0 si ottiene
l’equazione cartesiana dell’asse delle x ovvero y=0.
grafico di y=-f(x)
grafico di y=-f(x)
grafico di y = f(-x)
grafico di y = f(-x)
grafico di y=f(x+k)
grafico di y=f(x+k)
grafico di y =f(x)+k
grafico di y=|f(x)|
y=f( | x | )
y=kf(x)
y=kf(x)
y =f(kx)
y =f(kx)
y = |f (|x|)|
y = |f (|x|)|