LEZIONI SU
Radici Logico-matematiche
Lezione del 20 Ottobre
Premessa
informatica -- elaborazione dell'informazione
non solo calcoli numerici
anche (soprattutto ??) elaborazione non numerica,
di tipo logico-simbolico
informazione:
Allora
non solo fatti, ma anche relazioni tra i fatti
vediamo le radici di tipo logico-matematico
da Leibniz a von Neumann,
passando per
Boole, Freghe, Cantor, Hilbert, Goedel, Turing
Perchè proprio loro ?
Martin Davis
Engines of logic
Matematicians and the origin of computers
Molto in sintesi, senza pretese di completezza
Spero che queste note siano sufficienti
SEGNALARE ERRORI O ALTRO !!!!
In principio .........
..................
..................
qui certo qualcosa è successo
.................
Aristotele e dintorni
logica aristotelica : es.
sillogismi
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
[ Dunque ] Socrate è mortale
studio della struttura, delle regole, ....
che governano le frasi che esprimono un ragionamento
mancano i simboli, le regole di deduzione sintattiche
Ulteriori info:
The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2004 Edition)
http://plato.stanford.edu/archives/spr2004/entries/medieval-syllogism/
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..................
anche qui qualcosa è successo
..................
Leibniz
2
Il sogno di Leibniz
Gottfried Wilhelm von Leibniz (Lipsia, 1646 -- Hannover, 1716)
matematico, ingegnere giurista, filosofo, ..........
ma per vivere:
cercò di modernizzare le tecniche minerarie usando l'idea dei mulini
compilò la storia della famiglia Hannover
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Matematico:
calcolo differenziale ed integrale, come Newton,
ma con maggior chiarezza ed una notazione migliore
(quella che usiamo ora per integrali e derivate)
It was as though the notation did the work
ingegnere:
macchina con le 4 operazioni
..................................................
Il sogno (ispirato da Aristotele)
un'enciclopedia onnicomprensiva
l'Enciclopedia di Diderot, Voltaire, d'Alembert ....
venne pubblicata a Parigi tra il 1751 ed il 1772
un linguaggio matematico universale capace di esprimere ogni aspetto del
sapere umano
regole di calcolo che eprimevano/rivelavano i legami logici tra le varie
proposizioni
macchine capaci di usare le regole e calcolando "risolvere tutti i problemi"
Sapeva che da solo non poteve riuscirci, ma era convinto che mettendo
assieme un gruppetto di persone brillanti .....
3
Il sogno piu' in dettaglio
creare un compendio o enciclopedia che copre tutto lo scibile umano
individuare (tutti) i concetti e le nozioni chiave
per ciascuno di questi individuare il simbolo piu' adatto
individuare le relazioni logiche tra i concetti e le nozioni chiave
esprimerle tramite regole logiche "finitistiche"
Tale calculus ratiocinator (linguaggio + regole) avrebbe inoltre avuto le
proprietà di impedire di scrivere sciocchezze.....
Supponendo di poter veramente fare tutto e di riuscire a coprire veramente lo
scibile umano (completezza del sistema logico) allora si puo` veramente
pensare a
macchine capaci di applicare le regole e "risolvere tutti i problemi"
Quindi non piu' dispute o discussioni, basta sedersi e calcolare .....
Importanza della scelta dei simboli, della notazione:
confrontare notazione posizionale con cifre arabe e notazione romana
dal punto di vista del calcolo
In concreto:
Leibniz produsse differenti versioni di un primo frammento di calculus
ratiocinator, in particolare
un'algebra per la logica matematica (fino a che punto ???)
piu' di 150 anni prima di Boole
http://etext.leeds.ac.uk/leibniz/leibniz.htm
enunciazione di principi fondamentali, ma in modo informale, es.
Principio di identità degli indiscernibili:
due individui che hanno esattamente le stesse proprietà sono identici
oggi è uno degli assiomi della logica del 2o ordine:
(per ogni P) Px = Py
===>
x=y
4
Il sogno non finisce con Leibniz; si ritrova, limitato alla matematica, in
Hilbert.....
George BOOLE
(Lincoln, Inghilterra 1815 -- Ballintemple, County Cork, Irlanda 1864)
Non era nobile come Leibniz, ma figlio di un ciabattino, a 16 anni cominciò
ad insegnare in una scuola metodista; due anni dopo fu licenziato perchè
scoperto a "far matematica" di domenica ....
Divenne prof. di Matematica all'università, ma in Irlanda ....
Queen's College, Cork
il sillabo cominciava con
Fractional and Decimal Arithmetic ......
Babbage, studente a Cambridge, nel 1812 aveva fondato l'Analytical
Society con lo scopo di diffondere in GB la matematica continentale,
piu' moderna di quella britannica .........
Si occupò di vari argomenti, es. equazioni differenziali ......
ma rimane nella storia come uno dei padri della logica matematica
Non conosceva l'opera di Leibniz, ma, con un fuoco molto piu' ristretto, ebbe
scopi ed intuizioni simili:
formalizzazione metematica della logica
potere dell'algebra, dei simboli, della concisione
.......................
The Laws of Thought
An Investigation of the Laws of Thought, on which are founded the Mathematical
Theories of Logic and Probabilities (1854)
Ricordiamo che
Sistema Formale
Linguaggio:
Calcolo (apparato deduttivo):
5
simboli
assiomi
regole di formazione delle formule
regole di deduzione
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In concreto:
formulazione algebrica della logica
x, y, z, .... indicano classi di individui
x+y
xy
indica l'unione delle due classi (questo è l' or)
l'intersezione delle due classi (dunque and)
x-y
la classe di quelli che sono in x ma non in y
0
indica la classe vuota
1
indica l'universo del discorso
allora abbiamo, ad es. le leggi
xx=x
x+x= x
0x=0
1x =x
x + (1 - x) = 1
x (1 - x) = 0
Sono cose viste anche nel corso di Architetture dei calcolatori ....
merito di Claude Shannon (1916 - 2001)
noto come padre della Teoria dell'informazione
negli anni 30' vide il collegamento tra l'algebra di Boole ed i circuiti ....
La formalizzazione di Boole copre
la logica proposizionale
parte della logica del 1o ordine
(e include tutta la logica di Aristotele)
Manca, salvo errori:
apparato deduttivo (e qui arriva Frege)
dimostrazioni tramite calcolo equazionale
se
A=B
e
B=C
allora
A=C
se
A=B
e
A=C
allora
B=C
........................................................
Ulteriori info:
note del prof. Carlo Penco (Dip. di filosofia)
Le origini della logica matematica: Boole e Frege
http://www.dif.unige.it/epi/hp/penco/pub/boole.htm
7
Gottlob FREGE
(Wismar,1848 -- Bad Kleinen, 1925)
Entra all'università a Jena a 21 anni, dopo due va a Gottinga, dopo 3 anni
ottiene il PhD in matematica.
Poi diventa assistente e poi prof. associato a Jena; non diventerà mai
ordinario ......
Grandissmo matematico, meno grande come persona: invecchiando divenne
antisemita, xenofobo, ....
Citando
The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2005 Edition),
Edward N. Zalta (ed.)
http://plato.stanford.edu/archives/sum2005/entries/frege/
Frege founded the modern discipline of logic by developing a superior
method of formally representing the logic of thoughts and inferences.
He did this by developing:
(a) a formal system which formed the basis of modern logic,
(b) an elegant analysis of complex sentences and quantifier phrases ...
(c) a deep understanding of proof and definition,
(d) a theory of extensions which, though seriously flawed, offered an
intriguing picture of the foundations of mathematics,
(e) an insightful analysis of statements about number (i.e., of answers to the
question ‘How many?’),
(f) definitions and proofs of some of the basic axioms of number theory from
a limited set of logically primitive concepts and axioms, and
(g) a conception of logic as a discipline which has some compelling features.
...................................
8
In an attempt to realize Leibniz's ideas for a language of thought and a
rational calculus, Frege
developed a formal notation [$] for regimenting thought and reasoning.
Though this notation was first outlined in his Begriffsschrift [#] (1879),
the most mature statement of Frege's system was in his 2-volume
Grundgesetze der Arithmetik [&] (1893-1903).
Frege's 1893-1903 system is best characterized as a logic of terms which,
with the help of a few definitions, grounds the modern predicate calculus.
Note
[$]
con una sintassi precisa (per la prima volta)
[#]
sottotitolo:
A formula language, modeled upon that of arithmetic, for pure thought
[&]
I Fondamenti dell' aritmetica
In effetti, la logica di Frege è il calcolo del 2o ordine
(si quantificano anche variabili che rappresentano predicati o funzioni)
E` interessante vedere la notazione usata da Frege .....
vai a
http://plato.stanford.edu/archives/sum2005/entries/frege/
La notazione in uso ora si deve a Giuseppe Peano (1858-1932).
9
Sistema deduttivo con assiomi e regole per il 1o ordine
distinguendo bene tra assiomi e regole !!
(vedere note di Penco; qui: - indica not e -> indica implicazione)
Assiomi
1
p -> (q ->p)
2
p -> (q ->r) -> ((p ->q) -> (p-> r)
3
(p -> (q -> r)) -> (q -> (p -> r)) (scambio dell'antecedente)
4
(p ->q) -> (- q -> - p) (contrapposizione)
5
- - p -> p
7
(x = y) -> (Px -> Py)
8
x=x
9
(per ogni x) Px
6
p -> - - p
-> Py
Regola
Modus Ponens
A
A -> B
-------------------B
Non ho capito se avesse anche una qualche regola analoga alla
Generalizzazione:
se ho dimostrato una formula con una x libera, F[x]
posso concludere (per ogni x) F[x]
Inoltre ho un dubbio: mi sembra serva un assioma per "collegare"
implicazione e quantificazione, del tipo:
( (per ogni x) (A -> B) ) -> ( A -> (per ogni x) B )
se x non è libero in A
Sappiamo che, per il 1o ordine, questo sistema è
corretto: i teoremi sono formule valide e
completo (una volta "colpetato" ...):
esiste una dimostrazione per ogni formula valida
ma non esiste un algoritmo che, presa in input una formula
o se è valida produce una dimostrazione
o altrimenti risponde NO
quindi non permette di costruire la macchina che sognava Leibniz
ma non è colpa di Frege ... è proprio impossibile, come si vedrà.
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Aritmetica e mal di pancia
Nei Grundgesetze der Arithmetik Frege cercò di fondare l'aritmetica sul suo
sistema logico (utilizzando ulteriori assiomi specifici).
Per fare ciò utilizzò la teoria intuitiva degli insiemi di Cantor,
in particolare utilizzò liberamente insiemi di insiemi:
il numero 3 è la collezione (insieme) di tutti gli insiemi di 3 elementi
Nel 1902, mentre il secondo volume del trattato era in stampa, ricevette una
lettera da Bertrand Russel che dimostrava che un uso incontrollato di
insiemi di insiemi può portare ad inconsistenze
A Frege non restò che mettere una postilla al suo libro ....
Il paradosso di Russel
Nasce dal Principio di comprensione della teoria intuitiva degli insiemi:
data una proprietà P, si può sempre considerare l'insieme corrispondente
{ x | P(x) }
Allora consideriamo la proprietà
non appartenere a se stesso
e l'insieme A = { x | x non appartiene a se stesso }
qui gli x sono insiemi e A è un insieme di insiemi
Domanda: A appartiene ad A ?
se la risposta è si'
allora, per def., A non appartiene ad A
se la risposta è no
allora, per def., A appartiene ad A
assurdo..... e quindi A non può esistere o meglio non è un insieme !
Per tranquillizzare gli ansiosi:
se si usa il principio a partire da un insieme certificato non ci sono problemi
se U è un insieme (certificato, es: i reali, tutte le stringhe binarie...)
e P è una proprietà su U
allora
{ x di U | P(x) }
è un vero insieme
Nel caso di A , come U avremmo dovuto prendere l'insieme di tutti gli
insiemi .... che però non esiste (non è un insieme, ma una classe)
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Georg CANTOR
(Pietroburgo, Russia, 1845 -- Halle, Germany, 1918)
The history of set theory is rather different from the history of most other
areas of mathematics.
For most areas a long process can usually be traced in which ideas evolve
until an ultimate flash of inspiration, often by a number of mathematicians
almost simultaneously, produces a discovery of major importance.
Set theory however .... is the creation of one person, Georg Cantor ....
In 1874 Cantor published an article which marks the birth of set theory. ....
In [this] paper Cantor considers at least two different kinds of infinity.
Before ... all infinite collections were considered the same size. .....
the real numbers cannot be put into one-one correspondence with the
natural numbers .....
poi da due si arriva ad una infinità di infiniti
In 1895 and 1897 Cantor published his final double treatise on set theory.
It contains an introduction that looks like a modern book on set theory,
defining set, subset, etc.
In 1897 the first published paradox appeared, published by Cesare BuraliForti .....
It is believed that Cantor discovered this paradox himself in 1885 and wrote
to Hilbert about it in 1886. ....
The ultimate paradox was found by Russell in 1902 (and found independently
by Zermelo).....
Zermelo in 1908 was the first to attempt an axiomatisation of set theory.
Many other mathematicians attempted to axiomatise set theory. Fraenkel,
von Neumann, Bernays and Gödel ......
Gödel showed the limitations of any axiomatic theory and the aims of many
mathematicians such as Frege and Hilbert could never be achieved.
Curio: il simbolo di appartenenza si deve a Giuseppe Peano (1858-1932)
MacTutor History of Mathematics
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http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Beginnings_of_set_theory.html
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