Lezione05 - Docenti.unina

Sistemi di equazioni lineari
Sistemi di primo grado di due
equazioni a due incognite
Risolvere un sistema significa trovare la coppia di valori x e y che,
sostituita alle incognite, rende le equazioni delle identita'.
Come prima cosa bisogna ridurre il sistema in forma normale, cioe'
mettere i termini con la x e con la y prima dell'uguale ed i termini noti
dopo l'uguale.
Sistemi lineari
Si chiama sistema di m equazioni lineari in n incognite la
struttura :
formata da m equazioni lineari in n incognite.
I termini 𝑎𝑖𝑗 si chiamano coefficienti del sistema, gli 𝑥𝑗 sono
le incognite del sistema ed i 𝑏𝑖 si chiamano termini noti del
sistema.
Se i termini noti sono tutti nulli il sistema si dice omogeneo,
altrimenti si dice non omogeneo.
Sistemi lineari
Una n-pla ordinata (𝑘1 , … … . , 𝑘𝑛 ) si chiama soluzione del
sistema se sostituendo i valori di k alle incognite x
(rispettivamente) tutte le equazioni del sistema vengono
soddisfatte.
Ogni sistema di equazioni lineari m x n è equivalente (nel
senso che hanno le stesse soluzioni) ad un sistema n x n .
Mostriamo questo con due esempi :
1)
2)
Sistemi lineari
Considereremo solo sistemi di equazioni lineari n xn
(quadrato) perché ad essi ci si può sempre ricondurre.
Un sistema di equazioni lineari può essere posto nella forma
sintetica :
𝐴𝑥 =𝑏
In cui A è la matrice dei coefficienti del sistema, x è la matrice
colonna delle incognite del sistema, b è la matrice colonna dei
termini noti del sistema
…..cos’è una «matrice»?????
Matrici e determinanti
Matrici e determinanti
Una matrice è una disposizione rettangolare ordinata di numeri, detti
gli elementi della matrice. Questa è strutturata in righe e colonne.
Una matrice rettangolare m x n contiene pertanto m righe ed n
colonne.
Le due scritture seguenti identificano la medesima matrice di 3 righe
e 4 colonne
3 righe
4 colonne
Matrici e determinanti
Una matrice con un egual numero di righe e colonne cioè del tipo nxn si
dirà una matrice quadrata di ordine n.
Allora le seguenti matrici sono, nell'ordine, una matrice quadrata di ordine
2e3
Matrici e determinanti
In generale quindi una matrice potrà assumere la forma
Ad esempio:
Matrici e determinanti
Ad ogni matrice si può associare un numero: il determinante della
matrice.
Per esempio, i determinanti che contraddistinguono le due matrici
sopra si simbolizzano come
Calcolo del determinante di una
matrice
Per il determinante di secondo ordine si pone
ossia lo si considera pari alla differenza del prodotto dei termini
appartenenti alla diagonale principale della matrice con quello dei
termini della diagonale secondaria.
Calcolo del determinante di una
matrice
In seguito a questa definizione è facile verificare che, se nelle due righe
compaiono elementi corrispondenti proporzionali, allora il determinante è
nullo.
Difatti le espressioni
sono del tutto equivalenti: ma dalla a11a22 = a12a21, portando tutto a
primo membro si ottiene l'espressione nulla del determinante.
Calcolo del determinante di una
matrice
Per estendere tale regola al calcolo di determinanti di matrici di ordine
superiore al secondo osserviamo che per la matrice quadrata del terzo ordine
possiamo costruire il numero
e quindi procedere come nel caso dei determinanti del secondo ordine.
Come si vede si è moltiplicato ciascun elemento della prima riga per il
determinante di un ordine inferiore ottenuto omettendo la riga e la colonna
del termine in considerazione e infine si sono sommati i tre prodotti così
ottenuti.
il secondo termine a differenza degli altri
due possiede un coefficiente negativo
Calcolo del determinante di una
matrice
 il determinante non cambia se lo sviluppo viene eseguito rispetto agli
elementi di una qualsiasi altra riga (e non solo della prima) o qualsiasi
colonna
 Il valore di un determinante non cambia se si scambiano le righe con le
colonne, cioè
 Lo scambio di due righe o due colonne di un determinante equivale a
moltiplicarlo per -1.
 Moltiplicare tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) per un
numero a equivale a moltiplicare a per il determinante
 Se tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) sono nulli allora lo
è pure il determinante.
Calcolo di un determinante con il
metodo di Laplace
Il metodo di Laplace permette di calcolare il determinante di una
matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo.
Si hanno due metodi di Laplace, il primo cosiddetto "per righe" e il
secondo "per colonne".
Calcolo di un determinante con il
metodo di Laplace
Sviluppo di Laplace (rispetto alla riga i-esima)
La formula dello sviluppo di Laplace rispetto alla riga i-ma di una matrice A
di ordine n è la seguente:
|A| =
aijdet Aij
dove Aij è la sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-ma riga e la j-ma
colonna. Il determinante det Aij è detto minore complementare
dell'elemento aij ; il prodotto (-1)i+jdet Aij è detto complemento algebrico
.
Calcolo di un determinante con il
metodo di Laplace
Primo teorema di Laplace: il determinante di una matrice
quadrata A è pari alla somma dei prodotti degli elementi di
una riga qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.
Calcolo di un determinante con il
metodo di Laplace
Si consideri la matrice
A=
Calcoliamo il determinante sviluppando rispetto alla prima riga, ovvero
det A = (-1)1+11·det A11+ (-1)1+20 ·det A12 + (-1)1+31·det A13
det A = det
- 0· det
+ 1 ·det
Calcolo di un determinante con il
metodo di Laplace
Si ottiene così
det A = (1)(1)(1·1 - 4·3) + (-1)(0)(2·1 - 0·3) + (1)(1)(2·4 - 0·1) = 1 -12 + 0 + 8 = -3
Verificare che applicando lo sviluppo di Laplace rispetto ad
un'altra riga ad esempio la terza, si ottiene lo stesso numero.
Calcolo di un determinante con il
metodo di Laplace
Sviluppo di Laplace rispetto ad una colonna
Si può dimostrare che lo sviluppo di Laplace rispetto ad una
qualsiasi colonna individua sempre il determinante ovvero:
|A| =
aijdet Aij
Secondo teorema di Laplace: il determinante di una matrice
(quadrata) A è pari alla somma dei prodotti degli elementi di
una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.
Calcolo di un determinante con il
metodo di Laplace
Osservazione
Il calcolo del determinante di una matrice di dimensione 4 x 4 ,
sviluppando ad esempio rispetto alla prima riga, è pari a:
det A= a11 det A11 - a12 det A12 + a13 det A13 - a14 detA14 dove adesso le
sottomatrici A11 , A12 , A13 ,A14 sono di dimensioni 3 x 3 quindi per
completare il calcolo dobbiamo riapplicare lo sviluppo di Laplace a tali
sottomatrici. Ovviamente nel selezionare una riga o una colonna per
applicare lo sviluppo di Laplace si sceglierà quella che contiene il maggior
numero di zeri allo scopo di ridurre al minimo i calcoli necessari.
In ogni caso per matrici di grandi dimensioni il numero dei calcoli diviene
enorme e il tempo richiesto per eseguirli può diventare lungo anche per un
elaboratore elettronico.
Regola di Sarrus
per le matrici quadrate di ordine 3
Nel caso di una matrice quadrata di ordine 3, è possibile calcolare il determinante
con la regola di Sarrus:
si accostano alla terza colonna della matrice la prima e la seconda colonna,
ovvero:
Regola di Sarrus
Quindi si esegue la somma dei prodotti degli elementi situati sulle diagonali di
colore blu e si sottrae la somma dei prodotti degli elementi situati sulle diagonali di
colore rosso, ovvero
det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
- a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33
Prodotto di matrici righe per colonne
Date due matrici A e B la prima di tipo mxn e la seconda di tipo nxp è
possibile definire un prodotto, detto prodotto righe per colonne, nel
modo seguente: si considera la prima matrice come un accostamento di
righe e la seconda come un accostamento di colonne e si eseguono i
prodotti dei vettori.
Prodotto di matrici righe per colonne
Sia A una matrice m x n e B una matrice n x k, si definisce prodotto tra le
matrici A e B la matrice C = A B il cui generico elemento ci,j è la somma dei
prodotti degli elementi della i-esima riga di A per i corrispondenti elementi
della j-esima colonna di B, ovvero
=
La matrice prodotto C ha tante righe quante sono le righe di A e tante
colonne quante sono le colonne di B.
Prodotto di matrici righe per colonne
Esempio
Si considerino le matrici
B=
A=
Poichè A ha dimensione (2 x 3) e B (3 x 4) è possibile eseguire il prodotto tra queste
due matrici e la dimensione di C = A B è (2 x 4).
L'elemento di posto c11 è dato dal prodotto scalare tra la prima riga di A e la prima
colonna di B ovvero:
=
= (2·1+1·2+(-1)·(-1)) = 5 ……..
C=AB=
Prodotto di matrici righe per colonne
Matrice Trasposta
Data una matrice, si chiama matrice trasposta
righe di A
la matrice che ha per colonne le
La matrice che si ottiene dalla matrice A scambiandone le righe con le colonne
si chiama matrice trasposta di A e si indica con AT.
Se A è di tipo [m; n], AT e di tipo [n;m].
Matrice inversa
Sia A una matrice quadrata di ordine n.
Si definisce matrice inversa di A o più semplicemente inversa
di A e si indica con il simbolo A-1 la matrice quadrata (se
esiste) di ordine n tale che
A A-1 = A-1 A = I
Matrici invertibili
Se una matrice A ha inversa allora A è detta invertibile o
non singolare
- Se una matrice ha una riga di zeri (ad esempio la prima riga), il prodotto tra
tale matrice ed una qualsiasi altra dello stesso ordine produrrà sempre la prima
riga tutta nulla di conseguenza una tale matrice non è invertibile in quanto la
definizione di inversa richiede che in ogni riga ci sia un elemento uguale ad 1.
Matrici invertibili
Poiché due matrici sono uguali se hanno gli stessi elementi, deve risultare:
in questo sistema le variabili sono x, y, z, t e si tratta in realtà di due sistemi di due
equazioni in due incognite.
Matrici invertibili
Esempio
Si consideri la matrice
A=
e una qualsiasi matrice B dello stesso ordine, ad esempio
B=
Risulta AB =
.
diverso da
e quindi A non è invertibile.
- Se una matrice è diagonale allora è invertibile se e solo se gli elementi
sulla diagonale aii sono non nulli; in tal caso l'inversa è ancora una matrice
diagonale con elementi uguali a 1/ aii
Matrici invertibili
anche se una matrice ha elementi tutti diversi da zero non è detto che sia invertibile
Sia
A=
Verifichiamo utilizzando la definizione che la matrice A non è invertibile, ovvero
che non esiste una matrice B tale che A B = B A = I. Denotiamo con
B=
La matrice cercata. Deve risultare:
=
Matrici invertibili
se e solo se x , y , z , t verificano i seguenti sistemi:
Poichè il primo membro della seconda equazione è il doppio della prima, il sistema
risulta impossibile e quindi A non ammette inversa.
Matrici invertibili
Condizione necessaria e sufficiente per l’invertibilità di una
matrice quadrata
si consideri una matrice generica di dimensioni 2 x 2
A=
E' possibile dimostrare che:
Teorema
La matrice A è invertibile se e solo se a11a22- a21a12 ≠ 0,
In tal caso la matrice inversa di A è
Minori di una matrice
Sia A una matrice rettangolare m x n. Da questa matrice è possibile
“estrarre” delle matrici quadrate p x p dove p ≤ min(m , n).
Il determinate di ciascuna di queste matrici si chiama minore di
ordine p della matrice A .
Esempio: data la matrice 3x3
il suo unico minore di ordine 3 corrisponde al determinante della
stessa mentre sono suoi minori di ordine 2 i seguenti determinanti :
Matrici, determinanti e sistemi lineari
Nell'ambito della teoria riguardante i sistemi lineari di primo
grado, queste regole facilitano la risoluzione dei sistemi
contenenti 2 o più incognite.
Sistemi lineari
Quindi, un sistema di equazioni n lineari in n incognite:
𝑎11 𝑥1 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
………
𝑎𝑛1 𝑥1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
può essere posto nella forma sintetica :
𝐴𝑥 =𝑏
In cui A è la matrice dei coefficienti del sistema, x è la matrice
colonna delle incognite del sistema, b è la matrice colonna dei
termini noti del sistema
Sistemi lineari
Ovvero:
𝐴=
𝑎11
…
𝑎𝑛1
𝑥=
𝑥1
…
𝑥𝑛
𝑏=
𝑏1
…
𝑏𝑛
…
….
…
𝑎1𝑛
….
𝑎𝑛𝑛
Matrice nxn
Matrice colonna (nx1)
Matrice colonna (nx1)
Sistemi lineari
Nel caso che det A ≠ 0 sia ha l’importante teorema:
- se A è invertibile (det A ≠ 0) il sistema A x = b ha la sola
soluzione
𝑥 = 𝐴−1 𝑏
Il sistema può essere risolto utilizzando il metodo della matrice
inversa.
Sistemi lineari
Il sistema, equivalentemente, può essere risolto utilizzando il
metodi di Cramer:
Sistemi lineari
Il sistema di equazioni lineari Ax = b ha una ed una sola
soluzione se la matrice A è invertibile, ovvero se det A ≠ 0.
Nei casi in cui la matrice A non è invertibile, cioè quando
det A = 0 , si può avere nessuna soluzione oppure infinite
soluzioni (in funzione di uno o più parametri indipendenti).
Esempi
si vogliano risolvere i sistemi :
Risolvere sia manualmente con il metodo di riduzione a
gradini che al calcolatore, usando il metodo matriciale, i
seguenti sistemi di equazioni lineari: