BANDE DI ENERGIA
PERCHE’ ESISTONO I LIVELLI
ENERGETICI?
In meccanica quantistica le particelle
hanno anche una componente
ondulatoria
BANDE DI ENERGIA
Una particella
confinata in una
certa zona dello
spazio può essere
vista come
un’onda
stazionaria su
una corda con
estremi fissi
BANDE DI ENERGIA
Naturalmente
l’analogo degli
estremi fissi della
corda sono le
pareti della
scatola in cui è
confinata la
particella
BANDE DI ENERGIA
Il punto
fondamentale è
che gli estremi
devono essere
fissi: ma gli unici
punti fissi di
un’onda sono i
nodi
BANDE DI ENERGIA
Questo significa
che i nodi devono
coincidere con gli
estremi della
corda
BANDE DI ENERGIA
λ/2
Ma la distanza tra due
nodi vicini è pari a
mezza lunghezza
d’onda, ciò significa che
la metà della lunghezza
d’onda deve essere una
frazione intera della
distanza tra gli estremi
della corda
BANDE DI ENERGIA
In formule, se λ è
la lunghezza
d’onda, L quella
della corda, n un
numero intero:

L

2 n
2L

n
BANDE DI ENERGIA
2L

n
L
Nel caso di una
particella
racchiusa in una
scatola L è lo
spigolo della
scatola
BANDE DI ENERGIA
Ma la lunghezza d’onda è legata
alla velocità dalla relazione di
DeBroglie
h

mv
BANDE DI ENERGIA
h

mv
2L

n
h
v
n
2mL
Combinando
queste due
e
ricavandone
la velocità si
ottiene:
BANDE DI ENERGIA
Nel caso di una particella che si
muova liberamente tra le pareti
della scatola l’energia è
puramente cinetica
1 2
E  mv
2
BANDE DI ENERGIA
Quindi, combinando le due
formule, si ottiene:
1 2
E  mv
2
h
v
n
2mL
2
h
2
E
n
2
8mL
BANDE DI ENERGIA
2
h
2
E
n
2
8mL
Questa è la
formula dei
livelli energetici
di una particella
che si muove
liberamente in
una scatola
n è il numero quantico principale
BANDE DI ENERGIA
13,6eV
E
2
n
Non è,
ovviamente,
paragonabile alla
formula di Bohr
per l’atomo di
idrogeno; in quel
caso infatti
l’elettrone non è
libero
BANDE DI ENERGIA
Nel legame metallico gli elettroni
di valenza sono per certi versi
liberi di muoversi nel reticolo
degli ioni
BANDE DI ENERGIA
D’altra parte essi
risentono ancora
fortemente del
campo
coulombiano
generato dagli
ioni
BANDE DI ENERGIA
I livelli energetici
nel campo
coulombiano sono
pochi e separati da
un grosso salto di
energia,
BANDE DI ENERGIA
Nel caso dell’atomo
di idrogeno, ad
esempio, i livelli 1 e
2 sono separati da
un salto di quasi 10
elettronvolt
BANDE DI ENERGIA
ENERGIA
Al contrario, i livelli
della particella nella
scatola sono moltissimi ed
estremamente
ravvicinati
BANDE DI ENERGIA
I livelli energetici degli elettroni in un
solido cristallino assumono una
struttura intermedia tra i due casi:
BANDE DI ENERGIA
Vi è un enorme numero di livelli
molto ravvicinati, come nel caso della
particella nella scatola…
…ma questi livelli sono raggruppati in
BANDE DI ENERGIA, separate da
intervalli molto ampi privi di livelli
BANDE DI ENERGIA
ENERGIA
Bande
Intervalli
BANDE DI ENERGIA
ENERGIA
Bisogna inoltre
ricordare che gli
elettroni sono
fermioni, quindi
su ogni livello ce
ne possono stare
al più due con
spin opposto
BANDE DI ENERGIA
ENERGIA
Poiché ogni
banda è formata
da un numero
grande, ma finito
di livelli, ciò
significa che le
bande verranno
riempite di
elettroni dalla più
bassa a salire
BANDE DI ENERGIA
ENERGIA
La più alta banda
piena si dice
BANDA DI
VALENZA.
La prima banda
vuota BANDA DI
CONDUZIONE
BANDE DI ENERGIA
ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
L’intervallo tra
banda di
conduzione e
banda di valenza
si dice ENERGY
GAP
BANDE DI ENERGIA
ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
L’energy gap è
tipicamente
dell’ordine di
alcuni
elettronvolt,
energia
paragonabile a
quella dei salti tra
i livelli atomici
BANDE DI ENERGIA
In un conduttore percorso da
corrente l’energia degli elettroni è di
due tipi:
• energia termica, che origina il
moto caotico degli elettroni nel
reticolo cristallino
•Energia elettrica, che genera il
moto ordinato noto come corrente
elettrica
BANDE DI ENERGIA
L’energia termica degli elettroni, a
temperature ordinarie, è dell’ordine
di qualche centesimo di eV
BANDE DI ENERGIA
L’energia che un generatore elettrico
può fornire ad un elettrone è in
genere molto più piccola di quella
termica, non più di pochi
decimillesimi di eV
BANDE DI ENERGIA
Ricordiamo inoltre questo principio
basilare: un elettrone può saltare da
un livello ad un altro a due
condizioni:
• che il livello di destinazione sia
libero
• che gli sia fornita un’energia pari
alla differenza di energia tra i due
livelli
BANDE DI ENERGIA
Ricapitoliamo poi le energia in gioco:
• Energy gap: qualche
elettronvolt
• Energia termica: qualche
centesimo di elettronvolt
• Energia elettrica: qualche
decimillesimo di elettronvolt
BANDE DI ENERGIA
Ne concludiamo quindi che
L’ENERGIA ELETTRICA NON PUO’
CONSENTIRE IL SALTO DA UNA
BANDA ALL’ALTRA, MA SOLO TRA
LIVELLI DELLA STESSA BANDA
BANDE DI ENERGIA
ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
Consideriamo il caso
di un corpo in cui la
banda di valenza è
totalmente occupata
da elettroni mentre
la banda di
conduzione è vuota
BANDE DI ENERGIA
ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
Gli elettroni non
possono acquistare
energia elettrica
perché non hanno
livelli vuoti
abbastanza vicini in
cui saltare
BANDE DI ENERGIA
ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
Il corpo risulterà
quindi un
ISOLANTE
BANDE DI ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
Consideriamo il caso
di un corpo in cui la
banda di valenza
non è del tutto
piena…
BANDE DI ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE
BANDA DI VALENZA
O quello equivalente
in cui l’energy gap
non esiste e le due
bande sono fuse
BANDE DI ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE
BANDA DI VALENZA
In entrambi i casi gli
elettroni possono
acquisire anche
minime quantità di
energia elettrica in
quanto hanno livelli
liberi vicinissimi
BANDE DI ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE
BANDA DI VALENZA
In questo caso il
corpo risulta un
CONDUTTORE
BANDE DI ENERGIA
Si è fin qui trascurato il ruolo
dell’energia termica: pur essendo
in media molto bassa alcuni
elettroni potrebbero averne
abbastanza per superare l’energy
gap
BANDE DI ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
Si avrebbero così
livelli liberi in banda
di valenza ed
elettroni in banda di
conduzione
BANDE DI ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
Questo può avvenire
di fatto solo se
l’energy gap è
piccolo, mentre se è
grande l’effetto è
insignificante
BANDE DI ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDA DI VALENZA
Le sostanze in cui
nonostante la
struttura a bande sia
da isolante avviene
la conduzione si
dicono
semiconduttori
BANDE DI ENERGIA
Germanio e silicio hanno un energy
gap pari rispettivamente a 0,67 e 1,1
eV, e sono i più noti semiconduttori
BANDE DI ENERGIA
Il carbonio nella forma di diamante ha
un energy gap di 5,5 eV ed è un ottimo
isolante