Conduttivita': legata al trasporto di carica nel cristallo Elettrone: Pacchetto d'onde → Vel. elettrone = Vel. di gruppo 1 ∇k ε ℏ dv dk m* d 2ε d (ℏk ) → F = m*a = m* = m* ∇k v = 2 dt dt ℏ dk 2 dt ∇ v ,∇ v , ∇ v → v = ∇k ω = k x p = ℏk m* dp → F = ℏ 2 dt −1 1 → ( m* ) = 2 ℏ 2 2 d ε d ε ≡ 2 dk dki dk j k y k z ∇k v d 2ε =1 dk 2 d 2ε , m* massa efficace 2 dk grandezza con 9 componenti: tensore di massa efficace Significato: ai = 1 d 2ε Fj → Caso generale: a ℏ 2 dki dk j F → In principio: m * dipendente dalla direzione; spesso = scalare Rel di dispersione in approssimazione parabolica : m* indipendente da k Ek = E (k 0 ) + dE dk ⋅ (k − k 0 ) + k0 1 d 2E 2 dk 2 2 (k − k 0 ) ≈ E (k0 ) + k0 ℏ2 2 ( k − k0 ) 2m * =0 (minimo) m* = ℏ2 → Segno di m * legato a concavita' → ± !! d 2E dk 2 k 0 Massa efficace negativa: concetto difficile da maneggiare Azione di un campo esterno: F = q (E + v × B ) = m * a → a = q (E + v × B ) m* → Ridefiniamo: m* → m * → Relazione fra F e a invariata q → ±q secondo il segno ± di m * q > 0 : lacuna = stato vuoto in una banda permessa → Moto portatori in un potenziale periodico: elettroni in BC lacune in BV Confronto fra osservabili in modelli alla Sommerfeld e alla Bloch Popolamento delle bande: T = 0 K 2N elettroni in b.valenza, 0 elettroni in b. conduzione Isolanti & Semiconduttori Corrente di banda piena: Esempio caso 1D: q ∑ vi = 0 L i i Per ogni elettrone con + vi ce n'e' un altro con − vi I = jA = ρ A∑ vi = − Popolamento delle bande: T > 0 K Attivazione termica di elettroni da BV a BC Effetto di un campo elettrico: Shift verso stati a en. piu' alta → Perdita della compensazione delle velocita' → I1 , I 2 ≠ 0 Elettroni mobili in BV: Quelli che contribuiscono a I stessa v di quelli in BC v= dE dk Vel. banda di conduzione Vel. banda di valenza Lacune: quasi-particelle con carica positiva Elettroni Lacune Origine dell'idea di lacuna: q q q IV = − ∑ vi = + ∑ vi − ∑ vi = + ∑ vi L stati L tutti L stati stati gli stati occupati occupati vuoti Infatti: ∑ vi = 0 banda piena Tutti gli stati Esempi piu' casalinghi di lacune: Movimento del 'buco' : opposto al movimento del 'pieno' Concentrazioni di elettroni/lacune: Banda di conduzione o di valenza n(E) = g (E) f (E) g ( E ) densita' degli stati per intervallo unitario di energia f ( E ) probabilita' di occupazione di uno stato di energia E g ( E ) , p ( E ) indipendenti G (k ) dk = 2 V 3 ( 2π ) G (k ) 4πk 2 dk densita' degli stati per intervallo unitario di energia k2 g (k ) dk = dk = 2 dk come sopra, per unita' di volume π V 2 2 dE ℏ 2 k ℏ k E = Ec + → = * 2m* dk m g (k ) k 2 m* g ( E ) dE = g (k ) dk → g ( E ) = = 2 2 dE π ℏ k dk 1 k 2 m* 1 m* k= 2m* ( E − Ec ) → g ( E ) = 2 2 = 2 2m* ( E − Ec ) 2 π ℏ k πℏ ℏ ℏ 32 → g (E) = (2m* ) 2π 2 ℏ 3 E − Ec 32 gC ( E ) = ( 2 m* ) 2π 2ℏ 3 E − EC dens. stati nella banda di conduzione 32 gV ( E ) = ( 2 m* ) 2π 2ℏ 3 EV − E dens. stati nella banda di valenza Probabilita' di occupazione: Distribuzione di Fermi-Dirac f (E) = g 1+ e E − EF kT , g molteplicita', EF livello di Fermi