spazio2 - Sezione di Fisica

Spazio e tempo II
Nelle prime lezioni abbiamo usato un modello molto semplice della realtà:
Si può descrivere lo spazio con un sistema di coordinate fatto da metri, e questi non
dipendono da noi in nessun modo, ma sono una cosa “per conto loro”, è la stessa
cosa per il tempo, che viene misurato con un orologio tutto indipendente da noi.
In parte questo concetto viene espresso in modo scientifico con le trasformazioni di
Galilei
Galileo Galilei (1564-1642): matematico, filosofo, fisico (ha studiato anche
medicina), “…il suo contributo più importante consiste nel suo nuovo punto di vista
della natura della conoscenza fisica…”. Al suo tempo era anche considerato un
criminale asociale, minacciato con la tortura e chiuso gli ultimi 8 anni della sua vita in
casa – nonostante avesse promesso di migliorare.
S’ si muove a velocità v lungo la asse x di S
y
y
S’
x
x
S
x
punto
per
In S il punto ha le coordinate:
=> In S’ il punto ha:
t  t   0 x  x  0
x, y, t
x  x  v  t , y   y ,
t  t
trasformazione di Galilei
Attenzione!: nella discussione della relatività si usa chiamare le variabili
Non si tratta però della derivata
x 
dx
dt
x è solo un nome
x, x, etc
Con le trasformazioni di Galilei, la
lunghezza di un oggetto non cambia,
non dipende dal osservatore
x  x2  x1
x  x  v  t ,
y
y
S’
x
x
S
x1
x2
 x  x2  x1  x2  v  t  x1v  t  x2  x1
E le velocità – che sono velocità relative -,
si sommano:
x1
y
x2
Partenza dell’oggetto in S (al tempo t):
v 
y
Un oggetto si muova nel sistema S’ con
v x
S’
velocità v’ (più precisamente: un osservatore S
che sta fermo in S’, usando S’ per descrivere
la posizione di un punto, misura che detto oggetto si muove a velocità v)
Arrivo (al tempo t+t):
y  y, t  t
x2  x1
t
x
x1  x1  v  t
x2  x2  v  (t  t )
Visto da S, l’oggetto si muove a velocità:
x2  x1 x2  x1 v  t x2  x1


 v  v  v
t
t
t
Nel nostro modello del mondo, espresso con le trasformazioni di Galilei, velocità si
sommano, non sono una proprietà del oggetto, ma dipendono dal sistema di
riferimento scelto dall’osservatore – e non c’è nessun limite di velocità.
Nel nostro modello del mondo, espresso con le trasformazioni di Galilei
una velocità assoluta non è prevista, non è possibile, non è pensabile
Esiste invece una cosa che ha una sua velocità:
La luce. Viaggia sempre con velocità c  300.000 km
c
s
c
c
v
1
c
2 c
c
v
1
2
c
c
v
1
2
c
S’ si muove a velocità v lungo la asse x di S
Se un segnale di luce, che
viaggia
da punto (1) a punto (2)
viene osservato da S e da S’
con la stessa velocità = c
y
y
S’
S
x
punto(1)
segue qualitativamente che la lunghezza di un metro
e/o la velocità di cammino di un orologio devono
essere diverse per S e S’.
x
punto(2)
x
x
Per una discussione quantitativa usiamo un “orologio di luce”:
Un raggio di luce rimbalza fra due specchi,
tic
Quando viene riflesso in alto, il orologio fa “tic”,
quando viene riflesso in basso, fa “tac”.
L’orologio viaggia con S’ a velocita’ v ed e’ fermo
rispetto a S’
l

t

=>
(“t0“ perche x(tic) = x(tac))
0
c
l
t 0 
l
c
tac
y
x
l’osservatore S la vede come segue:
c
veff
vista da S, la luce ha una velocità veff
per superare la distanza l di
veff  c 2  v 2
v
x(tic)  x(tac)
l
t 0 
c
veff  c  v
2
y
2
c
veff
v
Con:
veff  c  v
2
2
 t 
l
c2  v2
l
t
t 
t0
1 
v

2
c
t0
con
2
2
 c v


l
c
1
1  v c 
2
c
c v
2
2

1
1
2
1
v
c2
t    t0
Dilatazione
del tempo
x
orologio B
v
0:00
orologio A
0:00
fermo
Orologi in movimento
sono più lenti,
per un fattore
orologio B
5:30
1
v
v2
1 2
c
6:00
fermo
orologio C
0:00
ding dong
ding dong
5:00
5:00
Quando avete
suonato le
campane?
Strano, loro
suonano le
campane alle
5.30
0:30
Eventi che succedono
contemporamente per l’osservatore
“fermo”, non succedono
contemporamente per l’osservatore
in viaggio
Un ora
fa
6:00
E: Le particella muoni sono instabili, con
Vita media di 2.200 ms (muoni fermi, orologi fermi in laboratorio)
Se invece i muoni sono in movimento attraverso il laboratorio (con velocità
v=0.9994c)
la vita media misurata con gli orologi del laboratorio diventa:

1
1  v c 
2

1
1  0.9994
2
 28.87
t    t0  28.87  2.200ms  63.51ms
t    t0
E:
La vostra navicella spaziale si allontana dalla Terra con velocità relativa di 0.9990 c.
Dopo aver viaggiato per 10.0 anni (secondo il vostro orologio, “x(tic)= x(tac)”) vi
fermate (sempre rispetto alla terra) alla Stella XY, girate e tornate in dietro in direzione
della Terra con la stessa velocità relativa (in modulo). Il viaggio di ritorno dura altri 10.0
anni.
Quanto e’ durato l’intero viaggio secondo una misurazione fatta sulla Terra?
(si trascurino le fasi di accelerazione)
Andata: t0 = 10.0 anni
Con v = 0.9990 c:
t 
t0
1 
v

2
c

10.0a
1  0.999
c

2
c
 22.37 10.0a  224a
Nel viaggio di ritorno tutti i dati rimangano gli stessi, la durata complessiva
secondo voi e’ di 20 .0 anni, ma
ttot  2  224a  448a
Se l’astronave viaggia dalla terra alla stella XY,
L’orologio fermo, t0, e’ nella astronave ( x(tic)=x(tac) )
Ma il metro fermo, L0, e’ quello della terra (distanza terra-stella)
Visto dall’
astronave
Visto dall’
astronave
L  v  t0  v  t 
1

 L0 
1

L  L0 
1

contrazione della
lunghezza
Una astronave di lunghezza 100 m (L0)
passa a velocità v=0.9*c
Che lunghezza osserviamo noi?
L  L0 
1

Con v=0.9*c =>
L  100m  1  0.81  100m  0.436  43.6m
per
v c:
v2
1 2
c
1
in
v2
1 2
c
diventa 0
visto dall’“osservatore fermo” il tempo del viaggiatore “si ferma”.
per
vc
v2
1 2
c
in
v2
1 2
c
diventerebbe negativo
=> Niente può avere una velocità più alta di c,
non esistono velocità infinite.
Non per l’esame:
La “ragione pratica” del perchè velocità infinite non possono essere raggiunte sta
nel fatto che aumentando l’energia cinetica di un corpo (con una forza che lo
accelera) anche la sua massa aumenta.
Spingendo più forte un corpo che ha quasi la velocità della luce, questo corpo non
aumenterà di tanto la sua velocità, ma invece la sua massa.
E  m  c2 
m0  c 2
2
v
1 2
c
E vale
m0 c 2  
E 2  (m0  c 2 ) 2  ( p  c) 2
p   mv
Trasformazioni di Lorentz
x 
x  v t
2
v
1 2
c
t 
t (v
) x
c2
v2
1 2
c
y  y
z  z
La teoria di Relatività non è una cosa accademica, che riguarda solo particelle che
viaggiano ad altissime velocità,
ma invece ha applicazione molto pratiche e quotidiane – infatti noi probabilmente non
esiteremmo senza gli effetti protettivi della relatività.
un flusso di elettroni viaggia in un filo di metallo:
Ogni volta che un elettrone esce dalla fine del filo, un altro elettrone entra all’
inizio del filo, cosi che il numero totale di elettroni rimane costante.
Normalmente ci sarà un numero di ioni
positivi nel filo uguali al numero di elettroni
in moto, cosi il filo è neutrale.
Un altro elettrone distante dal filo non
sentirà nessuna forza
Detto più precisamente:
Il numero di elettroni rimane costante, e il filo in totale non diventa
carico perchè allo stesso
filo, ne esce un altro elettron
tempo quando entra un elettrone nel
Anche per il elettrone distante – che
non si muove rispetto al filo : ta = tb
xa
xb
Un elettrone entra
nel filo a tempo ta
Un elettrone esce
dal filo a tempo tb
ta = tb
Teoricamente, gli elettroni possono anche essere numerati: ci sono
sempre m elettroni nel filo
n+m
n
n+1
Se invece l’elettrone distante si muove a velocità v, la situazione cambia: ta e tb (visto
dal elettrone in moto) non saranno più uguali.
Vuol dire: per l’elettrone distante, quando l’elettrone “n” entra nel filo, l’elettrone n+m
non esce ancora
Per l’elettrone distante, il filo adesso contiene più di m elettroni.
=> Per l’elettrone, il filo e’ carico:
n
n+1
n+m
Visto che in generale l’elettrone si muove lentamente,
v<<c, questo effetto relativistico è molto piccolo. Però,
come vedremmo in seguito, la forze elettrica è molto
forte, e ci sono tantissimi elettroni nel filo….
L’elettrone in moto viene
spinto via dal filo
(o attratto, dipende dalla
direzione del suo viaggio)
xa
xb
Non per l’esame,
Ma solamente per dimostrarvi che anche voi con alcune ore di lezione in più
potreste capire in dettaglio anche queste cose estremamente avanzate,
scriviamo la formula precisa:
Per ta=tb l’elettrone in viaggio trova (dalle equazioni di Lorenz):
t a 
t a  ( v c 2 )  xa
ta  tb 
1
v
c2
xa  xb
v
c
2
tb 
2
t a  ( v c 2 )  xb
1 v
2
c2
0
e da
1 v
t a  tb
2
c2
segue direttamente che il
numero totale di “carica in
eccesso”, è di conseguenza
la forza che agisce sul
elettrone in viaggio
Forze gravitazionale e elettrica
(spazio e tempo III)
I campi
Si parla di un campo, quando ad ogni punto dello spazio si può associare una
grandezza. Se questa grandezza e’ un vettore, il campo si chiama vettoriale.
Si può illustrare un campo vettoriale con le linee di campo: le linee di campo vanno
nella direzione dei vettori, e la distanza fra le linee indica la grandezza di questi
vettori, esempio:
Campo di velocità di un fiume: ad ogni punto nel fiume, l’acqua ha una certa
velocità.
Dove la sezione del flusso si abbassa, per esempio per la metà, le densità delle
linee di flusso raddoppia per ragioni di geometria.
=> Il fatto che una massa (per esempio la terra) ne attiri un’altra (per esempio
una mela) può anche essere descritto in termini di un campo vettoriale.
Per cominciare la discussione in modo più semplice possibile, assumiamo
che questa seconda massa sia molto piccola, così che non faccia un
contributo rilevante al campo creato dalla massa primaria.
Nel nostro esempio: la mela viene attirata dalla terra, ma senza modificare
il campo della forza di gravità.
Il campo di forza intorno alla
massa potrebbe essere così:
M
Vogliamo però anche assumere, che rotare la massa non cambia il campo:
Adesso, rotando in

la densità delle linee
non cambia

y
Caso bi-dimensionale:
x
Lo spazio abbia solamente due direzioni, x e y:
Non sappiamo dire un numero assoluto per le
linee di campo, ma sicuramente
r
per ogni circonferenza di 2rp troveremo lo
stesso numero di linee di campo
che vuol dire che la densità della linee di
campo si abbassa con r
come
1
r
Nel caso tri-dimensionale:
Il numero di linee di campo è la stessa per
ogni sfera di raggio r.
Superficie della sfera:
4  r 2 p
=> densità delle linee
di campo diventa
=>La forza (che è proporzionale alla densità delle linee) diventa
1
r2
1
r2
F
1
r2
Altra assunzione ancora:
I campi di due masse si sovrappongono, senza disturbarsi a vicenda –
La forza creata da due masse è il doppio della forza creata da una massa
Esempio: Con un insieme di masse Mi, che sono una sempre la metà
Dell’altra, come
M i  1 2  M i 1
Si può creare una qualsiasi massa, così come si può creare un qualsiasi
numero con i numeri digitali
E perciò è vero: se la doppia massa crea la doppia forza, in generale
deve essere vero, che la forza è proporzionale alla massa
F M
Il campo gravitazionale esploriamo con una piccola massa di prova, m.
Dal precedente lucido e’ chiaro, che anche per esse deve essere vero,
che la forza che sente, e’ proporzionale alla sua massa, m.
In somma: la forza che crea una massa M su
una massa m deve essere proporzionale a
F
1
r2
F M
F m
M m
 F  G 2
r
M
E ovviamente deve essere: forza= -controforza
m
Se vogliamo considerare anche il
carattere vettoriale del campo, usiamo
semplicemente la riduzione del vettore r
stesso


M m  r
F  G 2 
r
r
Mantenendo la nostra assunzione, che i campi di due sorgenti si
sovrappongono senza disturbarsi è vero anche:
1) La massa di prova può anche essere grande, senza che F cambi. Scriviamo
invece di M e m più in generale m1 e m2.
2) Le linee del campo saranno una sovrapposizione dei due campi che m1 e m2
avrebbero separatamente (e che sono separatamente simmetrici in f), e in
conseguenza il campo risultante totale non potrà avere più simmetria rotatoria
Segue la legge della gravità:
m1  m2
 F  G
r2
(I.Newton)
G  6.7 10
11
3
m2
11 m
N  2  6.7 10
kg
kg  s 2
Ad oggi, G non può essere ottenuto da
considerazioni generali, ma deve essere misurato
Tre particelle con m1=6.0 kg, m2=m3=4.0 kg,
a=2.0cm
y
Qual è la forza di gravità netta F1 esercitata su
m1 dalle altre masse?
m2
a
G  m1  m2
F12 
 4.0 10 6 N
2
a
F13 
G  m1  m3
 1.0 106 N
2
(2a)
F1  F122  F132  4.1106 N
m3
2a
m1
x
Segue la legge della gravità:
m1  m2
 F  G
r2
G  6.7 10
11
3
m2
11 m
N  2  6.7 10
kg
kg  s 2
Ad oggi, G non può essere ottenuto da
considerazioni generali, ma deve essere misurato
(I.Newton)
In prossimità della superficie terrestre, questa forza diventa uguale alla forza
peso, che abbiamo già discusso nel precedente
F  G
mterra  m
 m g
2
r
mterra
 g  G 2
r
m = “massa di prova”
r = raggio della terra
Date le masse dei nove pianeti del sistema solare ed i loro raggi, completare
la tabellina, calcolando l’ accelerazione di gravità sulle loro superfici
Pianeta
Mercurio
Venere
Marte
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
Plutone
Raggio
(Km)
2433
6080
3386
71370
60369
24045
22716
5700
Massa (kg)
3,2.1023
4,9.1024
6,4.1023
1,9.1027
5,7.1026
8,7.1025
1,0.1026
1,1.1024
L’ accelerazione di gravità alla superficie è circa: g  G
M
R2
G è la costante universale di gravitazione: G = 6,67.10-11 Nm2/kg2
Sostituendo a R il raggio riportato nella prima tabellina, a M la massa del particolare
pianeta, si ottiene:
Pianeta
Mercurio
Venere
Marte
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
Plutone
Raggio
(Km)
2433
6080
3386
71370
60369
24045
22716
5700
Massa
(kg)
3,2.1023
4,9.1024
6,4.1023
1,9.1027
5,7.1026
8,7.1025
1,0.1026
1,1.1024
g (m/s2)
3,60
8,84
3,72
24,87
10,43
10,04
12,92
2,26
Per forze conservative:


 F ( x)  dx
f
Lavoro svolto dalla forza su una particella
che si muove dal punto i al punto f
i


U    F ( x)  dx
f
i
Variazione di energia potenziale subita dal
sistema
Velocità di fuga

Lavoro per portare una massa, m, da R al infinito:
 F (r )  dr
R
m m
con F  G  terra2
r



1
  1
F
(
r
)

dr

G

m

m

dr

G

m

m

terra
terra
R
R r 2
r 
 R
mterra  m
 G
R
Velocità di fuga:
Se mettiamo lo zero dell’ energia
potenziale all’ infinito:
U  G 
mterra  m
R
1
2
mterra  m
mv  G 
R
v
2
2G  M
 11.2 km
s
R
Giove ha diversi satelliti. Si consideri il satellite Io: esso orbita intorno a Giove in
42h 28m 16s, ad una distanza da Giove di 430000 km. Calcolare la massa di
Giove
M G M Io
2
F

G

M

R
Dalle leggi di Newton abbiamo:
Io
2
R
Cancellando la massa di Io ad entrambi i membri e tenendo conto della velocità
angolare di Io:

2p
2p

 4,1 10 5 rad / s
T 152896
E della distanza da Giove si ha:
1 2 3
M G   R  2 10 27 kg
G
Tutti argomenti presentati riguardano solo lo spazio –
Segue, che anche per altre “proprietà” e non solo per la massa, questa legge deve
essere valida (a parte la costante),
se i campi si sovrappongono e se la sorgente del campo è simmetrica sotto rotazioni.
Perciò dalla forza fra cariche elettriche segue una legge della
stessa forma, sono diversi solo le unità e la costante
Con costante elettrostatica:
m2
9
k  9.0 10 N  2
q1  q2
C
F k 2
Per ragioni storiche la costante
r
elettrostatica spesso viene
espresso come
Con l’unica differenza, che esistono due tipi di
1
k
carica elettrica – positiva e negativa -,
4 p  0
così la forza può essere attrattiva o repulsiva,
mentre la forza di gravità è sempre attrattiva
Charles Augustin Coulomb (1785)
 0 “costante dielettrica del vuoto”
La carica elettrica, q, ha
come unità il Coulomb
(definito fra poco)
Alcune osservazioni
1) spesso, la sorgente del campo non è simmetrica verso rotazione, per
esempio la pianeta terra non è una sfera perfetta. Perciò vale solo in
approssimazione
m m
F  G
1
2
r2
2) Anche non è sempre vero che campi si sovrappongano senza disturbarsi.
Per esempio per la forza forte questo non è vero. Il campo della forza forte è
sorgente del campo di forza forte: ogni volume di campo crea un altro campo,
che interagisce con il campo da cui è stato creato, creando un altro campo,
che a sua volta ….
3) Non sappiamo di sicuro, cosa vuol dire “m” e “r” quando
m  , r  0
Paragone di forze
q1  q2
F k 2
r
 F  G
m1  m2
r2
Dato una certa distanza, r, la forza F dipende da “G” e “m” o “k” e “q”
m viene misurato in chilogrammi: un chilogrammo è circa la massa di una busta di
mele
q viene misurato in Coulomb: 1 Coulom è la carica elettrica che fluisce attraverso una
piccola lampadina ogni secondo (1 Coulomb = 1 Ampere per 1 secondo)
=> Sia m sia q vengono espresso in unità “quotidiane” che corrispondono alla
nostra esperienza nel mondo macroscopico
Il fatto, che le costanti G e k siano molto differenti vuol
veramente dire, che la forza elettrica è molto, molto più
forte della forza di gravità.
G  6.7 10
11
m2
N 2
kg
m2
k  9.0 10 N  2
C
9
Se dividiamo il campo di forza
per la “carica di prova”
q2
q1  q2
F k 2
r
Otteniamo un campo che descrive solo l’effetto della
carica q1
Lo chiamiamo campo elettrico, E