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Analisi e gestione del rischio
Lezione 14
Basket Credit Derivatives
Funzioni di Copula
Rischio di portafogli di crediti
• Il mercato dei prodotti strutturati degli anni recenti
si è particolarmente sviluppato in prodotti che
forniscono l’esposizione a un portafoglio di
credito.
• I derivati su basket di crediti hanno svolto lo
stesso ruolo dei derivati creditizi a livello
univariato. Possono essere utilizzati
– Per trasferire il rischio di credito
– Per costruire sinteticamente esposizioni a portafogli di
“nomi”
Portafogli di CDS
• Assumiamo di avere un portafoglio di un numero
limitato anche se non trascurabile di CDS
(assumiamo 50-100 nomi, ad esempio)
• Vogliamo definire la probabilità di perdita su tutto
il portafoglio. Definiamo Q(k) la probabilità di
osservare k default entro la scadenza del CDS e
assumiamo, per semplicità che la LGD sia data e
la stessa per tutti gli n nomi.
n
EL  LGD kQk 
k 1
Derivati “first-to-default”
• Consideriamo un derivato di credito che paga
“protezione”, la prima volta che un elemento del
paniere di “nomi” di riferimento è in default. La
protezione si estende fino al tempo T.
• Valore del derivato è
FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0))
• Q(0) è la probabilità di sopravvivenza di tutti i
nomi nel basket. Possiamo anche scrivere
Q(0) Q(1 > T, 2 > T…)
Derivati “first-x-to-default”
• Consideriamo invece un derivato di credito
che paga “protezione”, sui primi x default
dei “nomi” di riferimento del paniere
precedente.
• Il valore del derivato sarà ovviamente
x
n
FTDx   LGD kQk   xLGD  Qk 
k 1
k  x 1
La specificazione di Q(x)
• Valutare i derivati di credito su basket
richiede quindi la specificazione della
distribuzione congiunta di default Q(x)
• Tale distribuzione dipende da due elementi
– La probabilità di default (e la LGD, se
considerata stocastica), di ciascun “nome” nel
basket
– La struttura di correlazione (dipendenza) tra
default (e LGD) dei “nomi” nel basket.
Modelli di Q(x)
• Le ipotesi che possono essere fatte sulla perdita
attesa di ciascun nome sono
– Pool omogeneo di nomi (stessa probabilità di default e
stessa LGD)
– Pool eterogeneo di nomi (diversa probabilità di default
e diversa LGD)
• Le ipotesi sulla struttura di dipendenza sono
–
–
–
–
Default indipendenti
Modelli in forma ridotta multivariati (Marshall Olkin)
Funzioni di copula
Factor copula (default condizionalmente indipendenti)
Default indipendenti
• Nell’ipotesi che i default siano indipendenti le
scelte più ovvie per la distribuzione congiunta
sono
– La distribuzione binomiale
n x
n x
Qx    q 1  q 
 x
– La distribuzione di Poisson
n



exp    i T  t   i T  t 
 i 1
 i 1

Q x  
x!
n
x
Intensità di portafoglio
• Il modello di Poisson è particolarmente utile perché
consente l’immediata estensione dei modelli in forma
ridotta a portafogli di crediti.
• L’assunzione di indipendenza implica che
Q(0) = Q(1 > T, 2 > T…) = Q(1 > T) Q(2 > T)…
e nei modelli intensity based
Q(1 > T) Q( 2 > T)…= exp[– (1 + 2 +…)(T – t)]
• Otteniamo quindi un’intensità di default di portafoglio che
è la somma delle intensità di default individuali dei singoli
nomi:
 = 1 + 2 +…
Valutazione di un first-to-default
• Ricordiamo che il valore di un first-to-default
swap è ricavato da
FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0))
• Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi
LGDv(t,T)(1 – exp[– (T – t)])
=
LGDv(t,T)(1 – exp[– (1 + 2 +…)(T – t)])
• Il problema è trovare un’estensione di questo
modello al caso in cui ci sia dipendenza tra gli
eventi di default.
Distribuzione di Marshall Olkin
• La distribuzione di Marshall Olkin è la naturale
estensione del processo di Poisson al caso
multivariato.
• Assumiamo il caso di due “nomi”. Secondo la
distribuzione di Marshall Olkin abbiamo
Q(1 > T, 2 > T) = exp[– (1 + 2 + 12)(T – t)]
• La correlazione tra i tempi di sopravvivenza è
12 = 12 /(1 + 2 + 12)
Intensità di portafoglio
• L’idea della distribuzione di Marshall Olkin è che
shock diversi causano il default di sotto-insiemi
dei nomi.
• Il problema è che può esistere un numero
arbitrariamente alto di shock, e questo rende la
calibrazione del modello proibitiva
• In genere viene proposta
la specificazione
n
   i  123.... n
i 1
Valutazione di un first-to-default
• Ricordiamo che il valore di un first-to-default swap è
ricavato da
FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0))
• Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi
LGDv(t,T)(1 – exp[– (T – t)])
=
LGDv(t,T)(1 – exp[– (1 + 2 +…+ n+ 12…n)(T – t)])
• Si noti che l’aumento della correlazione tra i tempi di
default riduce il valore del contratto first-to-default.
Funzioni di copula
• Alla base delle funzioni di copula c’è il principio
delle trasformazione con integrale di probabilità.
• Se per una variabile Xi con distribuzione di
probabilità Hi calcoliamo la trasformata integrale ui
=Hi(Xi), ui ha distribuzione uniforme in [0,1].
• Dalla distribuzione congiunta H(X1, X2,…, Xn ),
H(X1, X2,…, Xn ) =
= H(H1-1 (u1), H2-1 (u2),…, Hn-1 (un) )=C(u1, u2,…,un)
• La funzione C(u1, u2,…,un) è detta funzione di
copula. Che proprietà deve avere?
Funzioni di copula
• Prendiamo per esempio il caso bivariato.
• Una funzione z = C(u,v) è detta copula se e solo se
z, u e v sono in [0,1]
C(0,v) = C(u,0) = 0, C(1,v) = v, C(u,1) = u
C(u2, v2 ) – C(u1, v2 ) – C (u2, v1) – C (u1, v1)  0 per
tutti i valori u2 > u1 e v2 > v1
• Teorema di Sklar: ogni distribuzione congiunta può
essere scritta come una funzione di copula che abbia le
distribuzioni marginali come argomenti e qualsiasi
funzione di copula che abbia distribuzioni come
argomenti è una distribuzione congiunta
Funzioni di copula: esempi
• Due rischi A e B con probabilità congiunta H(A,B) e probabilità
marginali Ha(A) e Hb(B)
H(A,B) = C(Ha , Hb), e C è una funzione di copula.
• Casi:
1) Cind(Ha , Hb) = HaHb, rischi indipendenti
2) Cmax(Ha , Hb) =min(Ha,Hb) dipendenza perfetta positiva
3) Cmin(Ha , Hb) =max(Ha + Hb –1,0) dipendenza perfetta negativa
• Dipendenza imperfetta (limiti di Fréchet)
max(Ha + Hb –1,0)  C(Ha , Hb)  min(Ha,Hb)
Correlazione
• Uno dei problemi della non-normalità dei rendimenti a livello
multivariato è che la correlazione lineare non è affidabile
• Può verificarsi che la correlazione lineare risulti inferiore a 1
(superiore a – 1) anche se due variabili sono perfettamente
dipendenti.
• Questo si verifica quando
– Le distribuzioni marginali non sono ellittiche
– Le relazioni tra le due variabili non sono lineari
• Esempio: x ~ N(0,1), y = x2 ~ 1 è semplice mostrare che la
covarianza è zero, anche se ovviamente x e y sono perfettamente
correlati.
Funzioni di copula e struttura di
dipendenza
• Le funzioni di copula sono legate alle statistiche non-parametriche di
dipendenza, come il  di Kendall o il S di Spearman’s
• Si noti, che, a differenza degli stimatori non parametrici, l’indice di
correlazione lineare  dipende dalle distribuzioni marginali e può
non coprire l’intero range tra – 1 e + 1, e rende problematica la

determinazione delgrado
relativo di dipendenza.

  H x, y   H x H  y dxdy
a
  
1 1
 S  12   C u, v dudv  3
0 0
1 1
  4  C u, v dC u , v   1
0 0
b
Esempi di funzioni di copula
Copule ellittiche
• Distribuzioni multivariate ellittiche, come la normale o la t
di Student, possono essere utilizzati come funzioni di
copula.
• Copule normali sono ottenute da
C(u1, u2,…, uN) = N(N – 1 (u1 ), N – 1 (u2 ), …, N – 1 (uN ); )
e gli eventi estremi sono indipendenti.
• Per funzioni di copula Student t con v gradi di libertà
C(u1, u2,…, uN) = T(T – 1 (u1 ), T – 1 (u2 ), …, T – 1 (uN ); , v)
eventi estremi sono dipendenti, e l’indice di tail
dependence è una funzione di  e v.
Esempi di funzioni di copula
Copule archimedee
• Copule archimedee sono costruite a partire da una
funzione generatrice  da cui calcoliamo
C(u,v) =  – 1 [(u)+(v)]
• Un esempio è la copula di Clayton. Ponendo
(t) = [t –a – 1]/a
otteniamo
C(u,v) = max[u –a+v –a – 1,0] –1/a