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Analisi e gestione del rischio
Lezione 12 – Rischio di credito di
portafogli
Rischio di portafogli di crediti
• Il mercato dei prodotti strutturati degli anni recenti
si è particolarmente sviluppato in prodotti che
forniscono l’esposizione a un portafoglio di
credito.
• I derivati su basket di crediti hanno svolto lo
stesso ruolo dei derivati creditizi a livello
univariato. Possono essere utilizzati
– Per trasferire il rischio di credito
– Per costruire sinteticamente esposizioni a portafogli di
“nomi”
Portafogli di CDS
• Assumiamo di avere un portafoglio di un numero
limitato anche se non trascurabile di CDS
(assumiamo 50-100 nomi, ad esempio)
• Vogliamo definire la probabilità di perdita su tutto
il portafoglio. Definiamo Q(k) la probabilità di
osservare k default entro la scadenza del CDS e
assumiamo, per semplicità che la LGD sia data e
la stessa per tutti gli n nomi.
n
EL  LGD kQk 
k 1
Derivati “first-to-default”
• Consideriamo un derivato di credito che paga
“protezione”, la prima volta che un elemento del
paniere di “nomi” di riferimento è in default. La
protezione si estende fino al tempo T.
• Valore del derivato è
FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0))
• Q(0) è la probabilità di sopravvivenza di tutti i
nomi nel basket. Possiamo anche scrivere
Q(0) Q(1 > T, 2 > T…)
Derivati “first-x-to-default”
• Consideriamo invece un derivato di credito
che paga “protezione”, sui primi x default
dei “nomi” di riferimento del paniere
precedente.
• Il valore del derivato sarà ovviamente
x
n
FTDx   LGD kQk   xLGD  Qk 
k 1
k  x 1
La specificazione di Q(x)
• Valutare i derivati di credito su basket
richiede quindi la specificazione della
distribuzione congiunta di default Q(x)
• Tale distribuzione dipende da due elementi
– La probabilità di default (e la LGD, se
considerata stocastica), di ciascun “nome” nel
basket
– La struttura di correlazione (dipendenza) tra
default (e LGD) dei “nomi” nel basket.
Modelli di Q(x)
• Le ipotesi che possono essere fatte sulla perdita
attesa di ciascun nome sono
– Pool omogeneo di nomi (stessa probabilità di default e
stessa LGD)
– Pool eterogeneo di nomi (diversa probabilità di default
e diversa LGD)
• Le ipotesi sulla struttura di dipendenza sono
–
–
–
–
Default indipendenti
Modelli in forma ridotta multivariati (Marshall Olkin)
Funzioni di copula
Factor copula (default condizionalmente indipendenti)
Default indipendenti
• Nell’ipotesi che i default siano indipendenti le
scelte più ovvie per la distribuzione congiunta
sono
– La distribuzione binomiale
n x
n x
Qx    q 1  q 
 x
– La distribuzione di Poisson
n



exp    i T  t   i T  t 
 i 1
 i 1

Q x  
x!
n
x
Intensità di portafoglio
• Il modello di Poisson è particolarmente utile perché
consente l’immediata estensione dei modelli in forma
ridotta a portafogli di crediti.
• L’assunzione di indipendenza implica che
Q(0) = Q(1 > T, 2 > T…) = Q(1 > T) Q(2 > T)…
e nei modelli intensity based
Q(1 > T) Q( 2 > T)…= exp[– (1 + 2 +…)(T – t)]
• Otteniamo quindi un’intensità di default di portafoglio che
è la somma delle intensità di default individuali dei singoli
nomi:
 = 1 + 2 +…
Valutazione di un first-to-default
• Ricordiamo che il valore di un first-to-default
swap è ricavato da
FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0))
• Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi
LGDv(t,T)(1 – exp[– (T – t)])
=
LGDv(t,T)(1 – exp[– (1 + 2 +…)(T – t)])
• Il problema è trovare un’estensione di questo
modello al caso in cui ci sia dipendenza tra gli
eventi di default.
Distribuzione di Marshall Olkin
• La distribuzione di Marshall Olkin è la naturale
estensione del processo di Poisson al caso
multivariato.
• Assumiamo il caso di due “nomi”. Secondo la
distribuzione di Marshall Olkin abbiamo
Q(1 > T, 2 > T) = exp[– (1 + 2 + 12)(T – t)]
• La correlazione tra i tempi di sopravvivenza è
12 = 12 /(1 + 2 + 12)
Intensità di portafoglio
• L’idea della distribuzione di Marshall Olkin è che
shock diversi causano il default di sotto-insiemi
dei nomi.
• Il problema è che può esistere un numero
arbitrariamente alto di shock, e questo rende la
calibrazione del modello proibitiva
• In genere viene proposta
la specificazione
n
   i  123.... n
i 1
Valutazione di un first-to-default
• Ricordiamo che il valore di un first-to-default swap è
ricavato da
FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0))
• Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi
LGDv(t,T)(1 – exp[– (T – t)])
=
LGDv(t,T)(1 – exp[– (1 + 2 +…+ n+ 12…n)(T – t)])
• Si noti che l’aumento della correlazione tra i tempi di
default riduce il valore del contratto first-to-default.