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Analisi e gestione del rischio
Lezione 13
Funzioni di copula
• Alla base delle funzioni di copula c’è il principio
delle trasformazione con integrale di probabilità.
• Se per una variabile Xi con distribuzione di
probabilità Hi calcoliamo la trasformata integrale ui
=Hi(Xi), ui ha distribuzione uniforme in [0,1].
• Dalla distribuzione congiunta H(X1, X2,…, Xn ),
H(X1, X2,…, Xn ) =
= H(H1-1 (u1), H2-1 (u2),…, Hn-1 (un) )=C(u1, u2,…,un)
• La funzione C(u1, u2,…,un) è detta funzione di
copula. Che proprietà deve avere?
Funzioni di copula
• Prendiamo per esempio il caso bivariato.
• Una funzione z = C(u,v) è detta copula se e solo se
z, u e v sono in [0,1]
C(0,v) = C(u,0) = 0, C(1,v) = v, C(u,1) = u
C(u2, v2 ) – C(u1, v2 ) – C (u2, v1) + C (u1, v1)  0 per
tutti i valori u2 > u1 e v2 > v1
• Teorema di Sklar: ogni distribuzione congiunta può
essere scritta come una funzione di copula che abbia le
distribuzioni marginali come argomenti e qualsiasi
funzione di copula che abbia distribuzioni come
argomenti è una distribuzione congiunta
Funzioni di copula: esempi
• Due rischi A e B con probabilità congiunta H(A,B) e probabilità
marginali Ha(A) e Hb(B)
H(A,B) = C(Ha , Hb), e C è una funzione di copula.
• Casi:
1) Cind(Ha , Hb) = HaHb, rischi indipendenti
2) Cmax(Ha , Hb) =min(Ha,Hb) dipendenza perfetta positiva
3) Cmin(Ha , Hb) =max(Ha + Hb –1,0) dipendenza perfetta negativa
• Dipendenza imperfetta (limiti di Fréchet)
max(Ha + Hb –1,0)  C(Ha , Hb)  min(Ha,Hb)
Correlazione
• Uno dei problemi della non-normalità dei rendimenti a livello
multivariato è che la correlazione lineare non è affidabile
• Può verificarsi che la correlazione lineare risulti inferiore a 1
(superiore a – 1) anche se due variabili sono perfettamente
dipendenti.
• Questo si verifica quando
– Le distribuzioni marginali non sono ellittiche
– Le relazioni tra le due variabili non sono lineari
• Esempio: x ~ N(0,1), y = x2 ~ 1 è semplice mostrare che la
covarianza è zero, anche se ovviamente x e y sono perfettamente
correlati.
Funzioni di copula e struttura di
dipendenza
• Le funzioni di copula sono legate alle statistiche non-parametriche di
dipendenza, come il  di Kendall o il S di Spearman’s
• Si noti, che, a differenza degli stimatori non parametrici, l’indice di
correlazione lineare  dipende dalle distribuzioni marginali e può
non coprire l’intero range tra – 1 e + 1, e rende problematica la

determinazione delgrado
relativo di dipendenza.

  H x, y   H x H  y dxdy
a
  
1 1
 S  12   C u, v dudv  3
0 0
1 1
  4  C u, v dC u , v   1
0 0
b
Esempi di funzioni di copula
Copule ellittiche
• Distribuzioni multivariate ellittiche, come la normale o la t
di Student, possono essere utilizzati come funzioni di
copula.
• Copule normali sono ottenute da
C(u1, u2,…, uN) = N(N – 1 (u1 ), N – 1 (u2 ), …, N – 1 (uN ); )
e gli eventi estremi sono indipendenti.
• Per funzioni di copula Student t con v gradi di libertà
C(u1, u2,…, uN) = T(T – 1 (u1 ), T – 1 (u2 ), …, T – 1 (uN ); , v)
eventi estremi sono dipendenti, e l’indice di tail
dependence è una funzione di  e v.
Esempi di funzioni di copula
Copule archimedee
• Copule archimedee sono costruite a partire da una
funzione generatrice  da cui calcoliamo
C(u,v) =  – 1 [(u)+(v)]
• Un esempio è la copula di Clayton. Ponendo
(t) = [t –a – 1]/a
otteniamo
C(u,v) = max[u –a+v –a – 1,0] –1/a