GEOMETRIA EUCLIDEA
UNITA’ 1
CONCETTI GEOMETRICI
FONDAMENTALI
GEOMETRIA
Può essere
INTUITIVA
RAZIONALE
INTUITIVA
Si basa su
OSSERVAZIONI
PROVE
TENTATIVI
LA NATURA DELLA
GEOMETRIA
• Che cos’è la geometria?
• Qual è l’oggetto di studio della geometria?
• Quali sono le origini della geometria?
• Qual è il metodo della geometria?
“La geometria è l’arte di fare
i ragionamenti giusti
sulle figure sbagliate.”
Definizione ironica e paradossale, ma profondissima che presenta
tutte le componenti essenziali della geometria:
il ragionamento (logico) deduttivo;
i ragionamenti giusti;
l’intuizione concreta;
il riferimento alla realtà;
le figure, che non sono il vero oggetto dello studio della geometria.
“ figure “ … o … “ immagini mentali “
Le figure non sono il vero oggetto dello studio della
geometria, ma un appoggio alla formazione di quelle
immagini mentali (vero oggetto di studio della geometria)
che sono le elaborazioni fantastiche con cui la nostra
mente descrive le forme degli oggetti reali.
Le figure, cioè i segni, cioè i simboli, NON vanno letti in
modo ingenuo e superficiale, MA vanno tradotti nei
significati che noi conveniamo di attribuire loro, di cui
noi vogliamo caricarli. Tutte le figure, prese come meri
segni grafici, sono sempre sbagliate, per definizione; ma
se ci serviamo convenzionalmente di esse per
rappresentare un particolare concetto astratto, allora
possono essere un utile guida per i nostri ragionamenti
logico deduttivi.
Le radici della geometria
Non vi sono dubbi che la geometria
storicamente sia partita dalla realtà (il
nome stesso letteralmente vuol dire
‘misura della terra’), pensiamo alle
esigenze di agrimensori, astronomi,
architetti, … Ma, come ogni altra branca
della matematica, dopo aver risposto ad
esigenze più o meno pratiche, sotto la
pressione della loro necessità, essa
inevitabilmente acquista valore in se stessa
e trascende i confini dell’utilità pratica.
Il metodo ipotetico deduttivo
Se l’oggetto della geometria non è, come abbiamo già
detto, la realtà fisica in sé ma le immagini mentali che ci
creiamo per descriverla, allora è altrettanto vero che il
metodo d’indagine della geometria dev’essere diverso da
quello del ’fisico’, basato sull’osservazione di un
fenomeno (e sulla sua riproducibilità in laboratorio).
La costruzione del complesso edificio della geometria è
basata sul metodo ipotetico-deduttivo:
si fissano degli enti primitivi e degli assiomi che
descrivono le proprietà di cui godono tali enti, poi, a
partire da questi, si deducono nuovi risultati: i teoremi.
Questi ultimi assumono valore di verità solo dopo essere
stati dimostrati!
Tale metodo ebbe origine in matematica ai tempi di
Eudosso di Cnido e si consolidò negli “Elementi”di
Euclide.
Chi è più lungo fra T ed S?
e fra i segmenti AF e BF?
D
T
C
F
S
A
E
B
E adesso che ho ripulito il disegno?
Mai fidarsi delle apparenze!
F
T
S
A
B
GEOMETRIA
RAZIONALE
Parte da
CONCETTI
PRIMITIVI
Definiti mediante
ASSIOMI
CONCETTI
PRIMITIVI
ASSIOMI
Da cui si deducono
Mediante
definizioni
NUOVI ENTI
Mediante
dimostrazioni
NUOVE PROPRIETA’
(TEOREMI)
EUCLIDE … chi?!
• Considerata la fama degli
‘Elementi’ e del loro autore,
le notizie che abbiamo sulla
vita di Euclide sono
sorprendentemente scarse
(non si sa neppure dove sia
nato). Certo è che, intorno al
300 a.C., insegnò matematica
ad Alessandria d’Egitto,
nell’accademia nota come il
MUSEO. Le leggende lo
dipingono come uomo
abbastanza anziano e di
temperamento gentile. Ma …
… GENTILE, MA … DECISO
• Si narra che Tolomeo I, illuminato monarca che istituì ad
Alessandria l’accademia nota come il “Museo” e che
chiamò tra gli altri Euclide ad insegnarvi matematica,
abbia chiesto una facile introduzione alla geometria allo
stesso Euclide, il quale, si dice, abbia fermamente
replicato che “non esiste nessuna strada regale che porti
alla geometria”
• Evidentemente Euclide non dava molta importanza agli
aspetti pratici della sua disciplina: infatti si racconta che
quando un allievo gli chiese che utilità avesse lo studio
della geometria, Euclide si rivolse al suo schiavo
dicendogli di dare una monetina all’allievo ”perché ha
bisogno di trarre guadagno da ciò che impara”
STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
DEFINIZIONI
ASSIOMI
POSTULATI
I-VI LA GEOMETRIA PIANA ELEMENTARE
VII-IX LA TEORIA DEI NUMERI
X LA CLASSIFICAZIONE DEGLI INCOMMENSURABILI
XI-XIII LA GEOMETRIA SOLIDA
ED IL METODO DI ESAUSTIONE
XIV-XV ALTRI RISULTATI SUI SOLIDI
DALLA GEOMETRIA INTUITIVA
ALLA GEOMETRIA RAZIONALE
Concetti o enti primitivi
Enti che non definiamo esplicitamente
Assiomi o postulati
Proprietà che “supponiamo” essere vere e
che pertanto non dimostriamo
Differenza fra ASSIOMI e
POSTULATI secondo Aristotele
• ASSIOMA:
• POSTULATO:
gli assiomi o nozioni
i postulati sono meno
comuni devono essere
evidenti e non
convincenti di per se
presuppongono l’assenso
stessi, sono verità
dell’allievo, poiché
comuni a tutte le scienze
riguardano soltanto la
disciplina in questione
(dal greco axios, degno
di credibilità)
(dal latino postulare,
richiedere)
I matematici moderni non fanno alcuna
differenza essenziale fra un assioma e un postulato
Gli assiomi scelti soddisfano la condizione di :
COMPATIBILITA’
(non devono contraddirsi l’uno con l’altro)
INDIPENDENZA
(dalle proprietà affermate dell’uno non si
devono poter dedurre le proprietà affermate
dell’altro)
ENTI GEOMETRICI
PRIMITIVI
Gli enti primitivi della Geometria sono:
PUNTI
P
r
RETTE
PIANI
ASSIOMI
- Su di una retta esistono infiniti punti
- Due punti distinti determinano una retta ed una sola
che li contiene
- I punti della retta sono ordinati secondo due versi o
sensi opposti l’uno all’altro. In ciascuno di questi due
versi della retta non vi è né primo né ultimo punto;
inoltre tra due qualsiasi punti distinti di essa esistono
altri punti intermedi
A
B
- Su di un piano esistono infiniti punti ed infinite rette
- La retta passante per due punti distinti di un
piano giace completamente sul piano
-Tre punti distinti che non appartengono ad una
medesima retta determinano un piano ed uno solo
che li contiene
GEOMETRIE EUCLIDEE
Le geometrie Euclidee accettano vero il postulato di
Euclide:
Per un punto P esterno ad una retta r passa una ed
una sola retta parallela alla retta data
r
P
Diverse sono state nella storia della matematica le
formulazioni del V postulato, citiamo ad esempio la
seguente:
date due rette parallele tagliate da una trasversale, la somma
dei due angoli coniugati interni è pari ad un angolo piatto;
Nella tradizione didattica moderna il V postulato è in genere
sostituito dall'assioma di Playfair:
Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente
ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta
parallela alla retta r data.
Il postulato delle parallele
ALCUNE DEFINIZIONI
SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una
retta è divisa da un suo punto.
O
Il punto è detto : origine delle semirette
SEGMENTO: la parte di retta compresa tra
due suoi punti
A
B
I punti vengono detti gli estremi del segmento
SEGMENTI PARTICOLARI
Segmenti CONSECUTIVI: due segmenti che
hanno in comune un estremo e nessun altro
punto
C
A
B
Segmenti ADIACENTI : due segmenti che
oltre ad essere consecutivi appartengono alla
stessa retta
A
B
C
SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui
un piano è diviso da una sua retta, la retta è
detta origine del semipiano
r
ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene
diviso un piano da due semirette aventi l’origine in
comune
Angolo concavo
Angolo convesso
Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti
dei suoi lati
Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i
prolungamenti dei suoi lati
ANGOLI PARTICOLARI
Angolo PIATTO : un lato è il prolungamento
dell’altro ( 180 °)
Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360°)
Angoli CONSECUTIVI: due angoli aventi in
comune il vertice, un lato e nessun altro punto
Angoli ADIACENTI: due angoli che oltre ad
essere consecutivi hanno i due lati non comuni
l’uno il prolungamento dell’altro
Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati
dell’uno sono i prolungamenti dell’altro
CONFRONTO E SOMMA DI SEGMENTI
Dati due segmenti la loro somma è il
segmento che si ottiene disponendoli uno
adiacente all’altro
b
a
a+b
a
a<b
b
Dati due segmenti se, sovrapponendo il primo
segmento al secondo facendo coincidere un
estremo, l’altro estremo è interno al secondo
segmento allora il primo è minore del
secondo; se è esterno è maggiore.
CONFRONTO E SOMMA
DI ANGOLI CONVESSI
Dati due angoli convessi la loro somma è l’angolo che
si ottiene disponendoli uno consecutivo all’altro
Angolo ottuso
Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di
un angolo retto
Angolo acuto
Un angolo si dice ACUTO se è minore di un
angolo retto
Due angoli la cui somma è un angolo piatto si
dicono SUPPLEMENTARI
Angoli supplementari: Due angoli si dicono
supplementari se: α + β = 180° (es. angoli adiacenti)
Due angoli la cui somma è un angolo retto si
dicono COMPLEMENTARI
Angoli complementari: Due angoli si dicono
complementari se: α + β = 90°
Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono
ESPLEMENTARI
MISURA DI ANGOLI
Gli angoli possono misurarsi in :
1) gradi : un grado è la novantesima parte di un angolo retto
2) radianti : un radiante è la misura di un angolo al centro di
una circonferenza che sottende un arco di lunghezza pari al
raggio
Relazione tra misure degli angoli espresse in gradi (α )e
radianti ( r )
360° : 2π = α : r
da cui r = π α / 180 o α = 180 r /π
se α < 90° ( π/2) = angolo acuto
se α = 90° ( π/2) = angolo retto
se α > 90° ( π/2) = angolo ottuso se α = 180° ( π) = angolo
piatto
se α = 360° (2 π) = angolo giro
PRINCIPALI PROTAGONISTI
DELLA RIFONDAZIONE
• Moritz PASCH (1843-1930) ‘Lezioni sulla
nuova geometria’, 1882.
• Giuseppe PEANO (1858-1932) ‘Principii
di geometria’, 1889
• Giuseppe VERONESE (1854-1917)
‘Fondamenti di geometria’, 1891
• David HILBERT (1862-1943)
‘Grundlagen der geometrie’, 1899
HILBERT … chi?!
• David Hilbert (1862-1943),
matematico tedesco nato a
Konigsberg, molti lo
considerano il più grande
matematico del suo tempo
soprattutto per l’importanza da
lui data all’idea di struttura.
• I pregi dei Grundlagen
• La “curva di Hilbert”
• I 23 problemi di Hilbert
• Grundlagen der Geometrie
L’ERA DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
• Sebbene fossero state mosse critiche alla struttura logica
degli Elementi di Euclide fin dal momento in cui vennero
scritti, i difetti erano considerati di scarsa importanza. Fu
il lavoro sulle “Geometrie Non Euclidee”(G.N.E.) a
rendere consapevoli i matematici della reale importanza
delle deficienze della struttura di Euclide, perché nel
portare a termine le dimostrazioni dovevano essere
particolarmente critici su ciò che stavano accetttando:
nelle G.N.E. veniva a mancare quella verità intuitiva (ma
a volte fuorviante) dovuta al ricorso al disegno (ad es. il
falso teorema sul triangolo).
Tutto ciò obbligò i matematici a dedicarsi alla
‘costruzione dei fondamenti’ della geometria euclidea e di
altre ‘geometrie’ che potessero godere della stessa dignità
di quella euclidea. Tale attività si sviluppò intensamente
negli ultimi trent’anni del XIX secolo.
STRUTTURA DEI GRUNDLAGEN
SISTEMA DI ASSIOMI DI HILBERT
8 ASSIOMI DI CONNESSIONE
4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO
5 ASSIOMI DI CONGRUENZA
ASSIOMA DELLE PARALLELE
2 ASSIOMI DI CONTINUITA’
POLIGONALE
• Una figura formata da più segmenti
disposti consecutivamente di definisce
poligonale
Poligonale
aperta
Poligonale
chiusa
Poligonale
intrecciata
POLIGONO
• PARTE DI PIANO COMPRESA IN UNA
POLIGONALE CHIUSA NON
INTRECCIATA
CONGRUENZA
• FIGURE CONGRUENTI SE SONO
SOVRAPPONIBILI
