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La trigonometria
I teoremi sui triangoli rettangoli
La trigonometria studia le relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo.
Introduciamo la seguente convenzione.
Nel triangolo ABC, rettangolo in A, indichiamo:
•
con a la misura dell’ipotenusa (opposta al vertice A), con b la misura
del cateto opposto al vertice B, con c la misura del cateto opposto al
vertice C
•
con β l’angolo acuto di vertice B, con γ l’angolo acuto di vertice C.
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La trigonometria
I teoremi sui triangoli rettangoli
Primo Teorema
Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è
uguale:
 al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo
opposto al cateto stesso;
 al prodotto della misura dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo
(acuto) adiacente al cateto stesso.
In simboli:
b = a sin b
b = a cos g
c = a sing
c = a cos b
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La trigonometria
I teoremi sui triangoli rettangoli
Secondo Teorema
Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è
uguale:
 al prodotto della misura dell'altro cateto per la tangente dell'angolo
opposto al cateto stesso;
 al prodotto della misura dell'altro cateto per la cotangente
dell'angolo (acuto) adiacente al cateto stesso.
In simboli:
b = c tan b
b = c cotang
c = b tang
c = b cotanb
Con questi due teoremi possiamo risolvere qualunque problema di misura in cui sono coinvolti
triangoli rettangoli.
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La trigonometria
La circonferenza nel piano cartesiano
ESEMPI
In un triangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa CB è lunga 20 cm e l’angolo
Cˆ ha ampiezza 47°.
Vogliamo risolvere il triangolo.
Risolvere un triangolo significa trovare le misure dei suoi lati e dei suoi angoli.
Nel nostro caso:
Bˆ = 90° - 47° = 43°
C
47°
AC = BC × cos47° = 13,640
20 cm
AB = BC × sin47° = 14,627
A
B
4
La trigonometria
La circonferenza nel piano cartesiano
Risolviamo il triangolo rettangolo ABC, noti il cateto AB = 7cm e l’ampiezza dell’angolo
acuto opposto
Cˆ = 65°
C
65°
B̂  90  65  25
AC  AB  tan 25  3,264
AB  CB  sin 65
A
7 cm
B
AB
CB 
 7,724
sin 65
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La trigonometria
L’area di un triangolo e il teorema della corda
Dai due teoremi sui triangoli rettangoli possiamo derivare la formula per il calcolo dell’area di un
triangolo e il teorema della corda.
La misura dell'area di un triangolo è data dal semiprodotto delle misure di due lati per il seno
dell'angolo tra essi compreso.
In simboli:
1
s = ab sing
2
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La trigonometria
L’area di un triangolo e il teorema della corda
Teorema della corda
Teorema. In ogni circonferenza, ciascuna corda è uguale al
prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli
alla circonferenza che insistono sulla corda.
In simboli:
AB = 2r sina
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La trigonometria
La circonferenza nel piano cartesiano
ESEMPI
Calcoliamo l’area del triangolo ABC sapendo che
AC = 10 cm
e
AB = 8 cm
e che
 = 70°
A
1
area   8 10  sin 70  37,588
2
70°
10 cm
8 cm
B
C
8
La trigonometria
La circonferenza nel piano cartesiano
ESEMPI
In una circonferenza di raggio 10 cm una corda sottende un angolo al centro di ampiezza 130°.
Troviamo la lunghezza della corda.
Per la relazione esistente fra angoli al centro e angoli alla
circonferenza che insistono sullo stesso arco:
ˆ
AOB
ˆ
ACB =
= 65°
2
B
A
130°
O
α
AB = 2r sina = 2 ×10 × sin65° = 18,126
C
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La trigonometria
I triangoli qualsiasi
Estendiamo la convenzione fatta per indicare le misure dei lati e degli angoli di un triangolo rettangolo ad
un triangolo qualsiasi.
Nel triangolo ABC indichiamo con a la misura del lato opposto
al vertice A, con b quella del lato opposto al vertice B, con c
quella del lato opposto al vertice C.
L’ampiezza dell’angolo di vertice A verrà indicata con α, quella
dell’angolo di vertice B con β, quella dell’angolo con vertice C
con γ.
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La trigonometria
I triangoli qualsiasi
Teorema dei seni
Teorema. In un triangolo è costante il rapporto fra un lato ed il
seno dell’angolo ad esso opposto; tale rapporto è uguale alla
misura del diametro della circonferenza circoscritta al triangolo.
a
b
c
=
=
= 2r
sina sin b sing
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La trigonometria
La circonferenza nel piano cartesiano
A
ESEMPIO
Calcoliamo il perimetro del triangolo ABC noti
AB = 30 cm
ˆ = 45°
ABC
ˆ = 60°
BCA
Applichiamo il teorema dei seni per calcolare
AC
45°
B
AB
AC
=
sin60° sin45°
60°
C
AC = 10 6
BÂC = 180° - 45° - 60° = 75°
Applichiamo il teorema dei seni per calcolare
BC
AB

sin 75 sin 60
BC
AB
BC 
 sin 75
sin 60
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La trigonometria
La circonferenza nel piano cartesiano
Calcoliamo sin75° (ad esempio con le formule di addizione 75° = 45° + 30°):
sin75° =
Troviamo ora
6+ 2
4
BC
BC = 15 2 + 5 6
(
)
(
2 p ABC = 15 2 + 6 + 2
)
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La trigonometria
I triangoli qualsiasi
Teorema del coseno
Teorema. In ogni triangolo, il quadrato della misura di un lato è uguale
alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, diminuita del
loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell'angolo fra essi
compreso.
In simboli
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos a
b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos b
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos g
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La trigonometria
I triangoli qualsiasi
ESEMPIO
C
Calcoliamo il perimetro del triangolo ABC noti
AB = 4 3 cm
ˆ = 30°
ABC
4 cm
BC = 4 cm
30°
Applichiamo il teorema del coseno per trovare
2
( )
AC
A
4 3 cm
B
2
AC = 4 3 + 42 - 2 × 4 3 × 4 × cos30° = 16
Quindi
AC = 4
(
)
(
) (
)
2 p ABC = 4 + 4 + 4 3 = 4 2 + 3 cm
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La trigonometria
I triangoli qualsiasi
La risoluzione dei triangoli
Il teorema dei seni e quello del coseno ci consentono di risolvere qualsiasi triangolo.
Ricordiamo alcune proprietà geometriche utili nell’analisi di un problema relativo ai triangoli:
•
la somma degli angoli interni di un triangolo è 180; di conseguenza, se si conoscono le misure
di due angoli si può trovare quella del terzo;
•
al lato maggiore è opposto l'angolo maggiore e, viceversa, all'angolo maggiore è opposto il
lato maggiore;
•
ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza (disuguaglianze
triangolari); questa proprietà è utile come controllo nella risoluzione dei problemi: non sarà
possibile accettare casi in cui, per esempio, i lati misurano 3, 4 e 8 perché 8 non è minore di
3 + 4.
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La trigonometria
I triangoli qualsiasi
C
ESEMPIO
b = 3+ 3
Risolvi il triangolo ABC sapendo che
a = 2 3 cm
b = 3+ 3
c =3 2
A
) ( ) ( )
( )
2
2
b2 +c 2 -a2 3 + 3 + 3 2 - 2 3
cos a =
=
2bc
2× 3+ 3 ×3 2
Quindi
2 3 =a
β
α
Il problema ha soluzione perché le misure dei lati soddisfano
le disuguaglianze triangolari.
Per ottenere l’ampiezza di α possiamo utilizzare il teorema del
coseno:
(
γ
c =3 2
B
2
=
2
2
a = 45°
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La trigonometria
I triangoli qualsiasi
Utilizziamo ancora il teorema del coseno per calcolare l’ampiezza di β, perché rispetto al teorema dei
seni consente di determinare la tipologia dell’angolo (acuto, ottuso).
( ) ( ) (
2
2
2 3 + 3 2 - 3+ 3
a2 +c 2 - b2
cos b =
=
2ac
2× 2 3 ×3 2
Quindi
)
2
=
6- 2
4
b = 75°
g = 180° - ( 45° + 75°) = 60°
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La trigonometria
I triangoli qualsiasi
La trigonometria ha molte applicazioni nella pratica, in particolare in fisica e topografia.
ESEMPIO
Vogliamo calcolare la distanza in linea d’aria per una futura galleria tra due località A e B, separate da
una collina, ma collegate tra loro da una strada che passa per la località C.
Del triangolo ABC sono noti a, b e l’angolo compreso γ,
che misurano 2,5 km, 5,2 km e 80°.
Per il teorema del coseno
AB = a 2 + b 2 - 2ab cos g
B
A
b
AB = 2,52 + 5,22 - 2× 2,5× 5,2× cos80° » 5,36Km
a
γ
C
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