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Induzione elettromagnetica
Legge di Faraday

dB

dt
una variazione del flusso
magnetico induce una
forza elettromotrice indotta
Forza elettromotrice
   E  ds
tra A e B di una regione di spazio sede di
un campo elettrico c'è una differenza di
potenziale di 1 V (volt) se la forza
elettrica (in newton) compie il lavoro di 1
J (joule) per portare una carica di 1 C
(coulomb) da A a B
Legge di Faraday

dB
  E  ds  
dt
Flusso Magnetico Attraverso Spira
Analogo al Flusso Elettrico (Legge di Gauss)
(1) B Uniforme
B  B A  BA cos  B  A
(2) B Non-Uniforme
Φ B   B  dA
S
Legge di Lenz, segno meno
FE ha il verso opposto alla variazione di
flusso
(a) avvicinamento; (b) la corrente indotta crea un campo
magnetico che si oppone al flusso crescente. (c) allontanamento;
(d) il campo indotto si oppone al flusso decrescente
campo magnetico Bin entrante
sbarretta conduttrice mobile di lunghezza
binari conduttori fissi
corrente indotta I
Legge di Lenz, conservazione dell’energia
Bin entrante
(a) la sbarretta si muove verso
destra. Il campo concatenato è
crescente. La corrente ha verso
antiorario in modo da produrre un
campo magnetico uscente
(b) campo concatenato decrescente.
Corrente indotta con verso orario
in modo da produrre campo
magnetico entrante
Variazione dell’angolo
B  B  A  BA
B  B  A  0
Generatore
corrente alternata
i
una bobina con N spire ruotante con velocità angolare
costante w immersa in un campo magnetico di intensità
B uniforme genera una f.e.m. indotta (ed una corrente
indotta se inserita in un circuito):
E t   E0 sin w t 
E0  N A B w
E0
I
R
i t   I sin w t 
E(
V
R
E
E0
 A
t
La potenza erogata dal generatore vale:
pt   E i  E0 I sin
2
w t 
p
i
E0 I
I
t
t
Mutua Induttanza
La corrente I2 in 2 induce un
flusso di campo magnetico
12 in 1.
12  M12 I 2
M12  M 21  M
12  M 12
dI 2
dt
Trasformatore
p
d
 Np
;
dt
s
p
Ns > Np:
Ns < Np:
s
d
 Ns
dt
Ns

Np
Trasmissione potenza elettrica
linea a.t.
Potenza elettrica trasmessa = 120 kW
Resistenza totale della linea = 0.40 W
(a) 240 V
(b) 24000 V
P 1.2 10 W
I 
 500 A
2
V 2.4 10 V
PL  I 2 R  (500 A) 2 (0.40W)  100kW
si dissipa 83%!!
P 1.2 105W
5
(a)
I
(b)

 5.0 A
V 2.4 10 V
PL  I 2 R  (5.0 A) 2 (0.40W)  10W
4
si dissipa 0.0083%
Campi elettrici indotti
Se in un anello di Cu B aumenta in maniera uniforme (dB/dt=cost)  anche B aumenterà in
maniera uniforme  nell’anello f.e.m. indotta  i indotta  all’interno dell’anello c’è un
campo elettrico indotto E le cui linee di campo sono circolari concentriche con l’anello. Se
B=cost allora E=0.
Una carica q0 in moto lungo la circonferenza di raggio r in un giro subirà il lavoro L=q0E
(E=f.e.m.) ma il lavoro può anche essere espresso come prodotto di forza per spostamento:
F  ds  q0 E 2 r cioè si ha
L  F  ds  q E  ds  E  E  ds


Il campo elettrico indotto NON è conservativo.
La legge di Faraday può essere scritta come:
0


d B
 E  ds   dt
Il potenziale elettrico ha senso soltanto per le cariche statiche.
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ll coefficiente di autoinduzione è il rapporto tra il flusso del campo
magnetico concatenato e la corrente, per una spira:
derivando (assumendo L costante nel tempo)
per la legge di Faraday-Lenz
L opposto del rapporto tra la f.e.m
autoindotta e generata ai morsetti
del componente e la derivata
della corrente di(t)/dt che lo
attraversa
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I
la corrente induce una forza
elettromotrice che, per la legge di
Lenz, si oppone alla variazione
dell'intensità della corrente
stessa.
L

dI
 L
dt
Nessun effetto se corrente costante
Energia Induttore
1. Inizialmente nulla (induttore “scarico”)
2. Gradualmente si incrementa la corrente
dI
dW  Pdt   I dt  L I dt  LI dI
dt
3. Si integra per il calcolo del lavoro totale
W   dW 
I

I 0
LI dI  L I
1
2
2
Induttore e induttanza
Induttore: per produrre un campo magnetico noto in una determinata regione.
Il simbolo :
(
Se la corrente circolante nelle N spire (o avvolgimenti) del solenoide in cui è presente un
flusso di B dato da B è i, l’induttanza è:
L
N B
i
La grandezza NB è chiamata flusso concatenato all’induttanza. L’unità di misura
dell’induttanza è l’henry. 1 H = 1 T m2 A-1.
Nel caso di un solenoide (indefinito) con n spire per unità di lunghezza percorso dalla
corrente i, il campo magnetico è B = m0 i n. Il flusso concatenato vale:
NB  nl BA
e quindi l’induttanza è
L
N B nlBA nlm 0inA


 m 0 n 2lA
i
i
i
E vicino al centro del solenoide l’induttanza per unità di lunghezza vale L/l=m0n2A
Come nel caso della capacità, essa dipende da fattori geometrici
Circuito RL
Un circuito ad una maglia con R e L ed un generatore E. Quando il tasto S chiude il circuito,
in assenza di L la corrente tenderebbe istantaneamente al valore i0= E /R. La presenza di L
invece causa l’insorgere della f.e.m. indotta EL che limita la crescita di i.
Applicando la legge delle maglie di Kirchhoff al circuito RL, si ha:
 iR  L
di
E  0
dt
Integrando tale equazione ed imponendo le condizioni iniziali i=0 per t=0 e i= i0= E /R per
t, si arriva all’espressione:
 t
E

i  1  e t L 
R

dove tL=L/R è la costante di tempo
induttiva. Per t=tL la corrente vale
i = 0.63 i0.
Spegnendo in queste condizioni il
generatore, invece, si ha:
di
iR  L  0
dt
E  tt L
i e
R
Induttanze in serie ed in parallelo
Induttori in serie
(senza accoppiamento magnetico)
Induttori in parallelo
(senza accoppiamento magnetico)
i
L1
L3
L2
Per la legge di Kirchhoff delle maglie, le
f.e.m. si sommano:
di
di
di
di
 L1  L2  L3  L
dt
dt
dt
dt
Per cui si ha:
E

Da cui si ottiene:
L
i
i
L3
L2
Per la legge di Kirchhoff dei nodi, le
correnti si sommano:
di di di
di
i  i1  i2  i3
  1 2 3
dt dt dt dt
Per la legge di Faraday:
L  L1  L2  L3
L
L1
E
E E E
 

L
L1 L2 L3
1 1
1
1



=
L L1 L2 L3
E= -L di/dt
1

L

i
1
Li
Energia immagazzinata in un
Induttore
UL  L I
1
2
2
Esempio: Solenoide
lunghezza l, raggio R, avvolgimenti n, corrente I :
B  m0 nI
L  mo n  R l
2
U B  LI 
1
2
2
1
2
m n  R l I
2
2
o
 B2  2
UB  
 R l
 2mo 
densità di
energia
Volume
2
2
Induttore in Circuito
Induttore: Elemento con autoinduzione
Idealmente con resistenza nulla
Simbolo:
Circuito RL
dI
i Vi    IR  L dt  0
Circuito RL
dI
dI
1 


  IR  L  0   
I  
dt
dt
L R
R
Decadimento Esponenziale
dA
1
 A
dt
t
A
1.0A0
A  A0 e
0.5A0
t t
A0/e =
0.368 A0
0.0A0
0t
1t
2t
3t
Time t
4t
5t
6t
saturazione
dA
1
   A  Af
dt
t
A
1.0Af

A  Af 1  e
0.5Af
0.0Af
0t
1t
2t
3t
Time t
4t
t t
5t

6t

Circuito RL
dI
1 



I  
dt
L R
R
Al tempo t= 0 si chiude l’interruttore
I (t ) 

1 e 

R
t /t
L/R costante di tempo
(unità: secondi)
Circuito RL
t=0+: La corrente cresce (saturazione) l’induttore
“lavora”
t=∞: La corrente è stazionaria. L’induttore è “fuori
gioco”
circuito RL
induttore
resistore
Il valore efficace di una grandezza elettrica alternata
sinusoidale (di periodo T) equivale a quel valore che
in regime di corrente continua svilupperebbe gli stessi
effetti termici (effetto Joule)
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