LA LEGGE DI GRAVITAZIONE
Le Leggi di Keplero
Il primo video:
http://www.raiscuola.rai.it/articoli/le-leggi-di-keplero-parte-prima-luniverso-della-meccanica/8920/default.aspx
L'attrazione gravitazionale
Il secondo video:
http://www.youtube.com/watch?v=tjNEEUACgPQ
Stelle fisse e astri erranti
Osservando il cielo notturno privo di nuvole
si riesce a distinguere l’apparizione di Venere
(la prima “stella” della sera) e più tardi quello
di gruppi di stelle “fisse” dislocate
in posizioni regolari che mantengono inalterate
le distanze relative.
Un moto piano semplice
Un corpo (punto materiale) che si muove lungo una circonferenza
con velocità angolare costante a una distanza r dal centro è rappresentato,
da un vettore r, avente componenti:
x = r cos(t)
y = r sen(t)
Moto retrogrado: deferente ed epiciclo
In breve: un pianeta si muove per un lungo tratto, diciamo da est verso ovest,
e le osservazioni nei giorni successivi ci portano a ritroso verso est.
Proviamo a visualizzare il modello.
Nella figura il deferente ha raggio r1 e l’epiciclo raggio r2.
Il movimento in ogni istante del punto C può essere individuato dalla somma
dei vettori AB+BC, le cui componenti sono:
x = r1 cos() – r2 cos() e
y = r1 sen() – r2 sen()
Moto retrogrado: deferente ed epiciclo
Sostituendo le velocità angolari e la curva viene a dipendere dal parametro tempo t:
x = r1 cos(t) – r2 cos(tt)
y = r1 sen(t) – r2 sen(tt).
Attribuendo dei valori per tentativi è facile vedere (cambiando le velocità angolari)
la composizione dei due moti con la formazione dei nodi.
Leggi di Keplero
Nella figura che segue è rappresentata l’ellisse che descrive
l’orbita di Mercurio, prendendo come riferimento il Sole: se il semiasse maggiore
viene posto uguale a 1, quello minore è approssimativamente 0,98.
L’eccentricità del pianeta è quella più grande se confrontata
con le eccentricità dei pianeti conosciuti da Keplero !
Leggi di Keplero
Disegniamo, a partire dal fuoco, occupato dal Sole, un raggio vettore (con r variabile).
La distanza tra il centro dell’ellisse e il fuoco, piccola per la scala in figura, è pari al
prodotto del semiasse maggiore a per l’eccentricità e.
Leggi di Keplero
La seconda legge: Il raggio vettore, che in ogni istante definisce la distanza
tra Sole e pianeta, in accordo alla seconda legge di Keplero, spazza aree uguali
in uguali intervalli di tempo. In altre parole la velocità del pianeta è variabile.
La seconda legge è matematicamente equivalente alla proporzionalità inversa
tra distanza e velocità.
Essa deriva dal principio di conservazione del momento angolare.
La terza legge: il quadrato dei periodi di rivoluzione T sono proporzionali al cubo
dei semiassi maggiori a della ellissi percorse dagli astri erranti (T2=ka3).
Dalle leggi di Keplero
a quella di gravitazione di Newton
Abbiamo già visto che non è una forzatura grandissima ritenere che,
in prima approssimazione, l'orbita dei pianeti possa essere considerata circolare.
Nel moto circolare uniforme l’accelerazione centripeta è uguale a 2r, quindi per la
seconda legge della dinamica:
F = m2r= mr (2/T)2.
La forma della forza dev’essere in accordo alla terza legge di Keplero,
proporzionale all’inverso del quadrato della distanza e proporzionale alla massa
m del pianeta. Ipotizzando la completa simmetria tra Sole e pianeta anche la
forza di reazione esercitata dal pianeta sul Sole dev’essere proporzionale alla massa
M del Sole. Infine ponendo queste due forze uguali come intensità si arriva a scrivere
per la forza gravitazionale:
F= GMm/r2.
Intorno alla legge di gravitazione di Newton...
Esistono però soluzioni particolari del problema di tre
corpi interagenti gravitazionalmente che, nati come
curiosità nei lavori di Eulero e di Lagrange, sono oggi
applicate al controllo delle sonde spaziali.
I punti lagrangiani sono stati utilizzati in diversi progetti
delle agenzie spaziali. In particolare il punto Lagrangiano L1
ed è occupato dalla sonda ACE che studia i raggi cosmici.
