C-Lez_3_omotetiche

RELAZIONI DIMENSIONALI
E COSTANTI DI PROGETTAZIONE



Basandosi sulle relazioni di funzionamento dei componenti
elettromagnetici è possibile stabilire una serie di relazioni
dimensionali che consentono di stabilire le linee principali di
progetto e l’effettuazione di progettazioni di massima che
permettono di prevedere costo e pesi dei componenti stessi.
È inoltre possibile stabilire costanti di progettazione e
determinare sollecitazioni elettriche e termiche.
Ai fini di una corretta progettazione e di un
dimensionamento adeguato è fondamentale identificare le
sollecitazioni e le grandezze specifiche che consentono di
valutare il grado di sfruttamento di un componente
elettromeccanico con funzionamento elettromagnetico.
SOLLECITAZIONI ELETTRICHE NELLE
MACCHINE ROTANTI

Densità di corrente:

I
(A/mm2) con
S cu a
 I = corrente nominale dell’avvolgimento;
 Scu = sezione del conduttore considerato;
 a = numero di rami in parallelo dell’avvolgimento.

Densità lineare di corrente:
Nt I
n cqm2pI
Ai 

(Afili / cm)
aDi
aDi
 Nt = numero totale dei conduttori sulla periferia del traferro;
 Di = diametro al traferro;
 nc = numero dei conduttori in cava;
 q = numero di cave per polo e fase;
 m = numero di fasi;
2p = numero di poli.
GRANDEZZE SPECIFICHE NELLE
MACCHINE ROTANTI

Perdite per unità di superficie del traferro:
Pcu
Nt L i I 2
A i
p'cu 


2
Di Li Scu a Di Li

(W/mm2)
dove si è posto:
 Li = lunghezza ideale della macchina;
  = conducibilità del materiale conduttore

Carico termico della cava:
Nt L i
I 2
Pcu
a Scu Nt 2Scu nc 2Scu
p"cu 



(W / mm 2)
NcSc
Nc uc L i
Nc uc 
uc 
2
dove si è posto:
 Nc = numero delle cave;
 uc = perimetro della cava;
 Sc = superficie della cava;
 nc = numero di conduttori per cava.
Aumentare e/o Ai significa aumentare il carico termico della
cava, è quindi necessario intervenire sul sistema di
raffreddamento della macchina.
SOLLECITAZIONI MAGNETICHE
NELLE MACCHINE ROTANTI
Valore dell’induzione nelle varie parti della macchine ed in
particolare:
B  induzione al traferro
valutata dove il traferro è minimo.
Il valore di Bè condizionato dal valore di B nelle altre parti della
macchina e dalla saturazione nei materiali ferromagnetici.
SOLLECITAZIONI ELETTRICHE E
MAGNETICHE NEI TRASFORMATORI

I
Scu a
(A / mm 2 )
NI
Ai 
(A spire / m)
h
densità di corrente
densità lineare di corrente
dove si è posto:
 N = numero delle spire dell’avvolgimento;
 h = altezza della colonna.
 Si considera BMc valore massimo dell’induzione nella colonna,
correlata a BMg nei gioghi.
MACCHINE OMOTETICHE




Studio delle proprietà di macchine geometricamente simili, che
variano nello stesso rapporto.
Rende possibile il dimensionamento di nuove macchine a partire
dal progetto o da altre macchine già realizzate.
Lo studio viene effettuato a parità di sollecitazioni unitarie.
Sono considerate omotetiche macchine morfologicamente simili
che abbiano:
 lo stesso principio di funzionamento;
 lo stesso tipo di raffreddamento;
 la stessa velocità di rotazione o di traslazione;
 la stessa frequenza;
 le stesse sollecitazioni elettriche;
 le stesse sollecitazioni magnetiche.
RELAZIONI DIMENSIONALI


Consideriamo due macchine omotetiche A e B:
 s = fattore di scala lineare
 lA = dimensione lineare della macchine A.
 lB = dimensione lineare della macchina B.
La potenza interna P è proporzionale al prodotto della f.e.m. E
per la corrente I:
P  EI

Per la f.e.m. si ha:
E  B Straf
per le macchine rotanti
E  B M cS c
per i trasformatori
con Straf = superficie del traferro e
Sc = sezione della colonna

Per la corrente si ha:
I  Scu
si ha quindi:
IA
 s2
IB
EA
 s2
EB
Si ottiene perciò:
PA
 s4
PB
se G e V sono rispettivamente il peso ed il volume della macchina
si ha:
G A VA

= s3
G B VB
considerando il peso per unità di potenza g = G/P abbiamo:
gA 1
=
gB s
Si ha quindi una diminuzione di g al crescere di P.
Chiamiamo Pt le perdite pt = Pt/P le perdite per unità di potenza.
Si ha:
PtA G A
3
=
s
PtB
Gb
e
p tA 1

p tB s
Si ha quindi una diminuzione di p al crescere di P. Ciò comporta,
al crescere della potenza, la possibilità ottenere rendimenti
elevati, pur con un sempre maggior sfruttamento della macchina.
DISSIPAZIONE DEL CALORE
 Le
perdite sono proporzionali al peso del componente.
cessione all’ambiente del calore prodotto da tali perdite,
avviene attraverso la superficie esterna.
 La
peso dipende da s3 e la superficie di scambio termico da s2,
quindi le perdite, al crescere delle dimensioni e quindi del
volume e della superficie esterna della macchina, aumentano più
rapidamente della superficie di scambio termico attraverso la
quale vengono dissipate.
 Il
fatto comporta che all’aumentare della potenza di una
macchina elettrica devono essere adottati sistemi di
raffreddamento sempre più sofisticati che portino ad uno
scambio termico più efficace, cioè con un maggiore carico
termico (W/cm2) sulla superficie di scambio.
 Tale
Esempio: CAVO ELETTRICO
Nella sua forma più semplice un cavo elettrico può essere
considerato un cilindro di sezione circolare S con raggio r:
S =  r2
consideriamo un cavo di lunghezza l
e quindi con superficie laterale
SL = 2  r l
poiché
SL >> S
il calore viene smaltito praticamente tutto attraverso
SL. Le perdite sono proporzionali al volume V:
V =  r2 l
Supponendo di raddoppiare il raggio la superficie
laterale del cavo diventa:
S1L = 4  r l
ed il volume:
V 1= 4  r2 l
Supponiamo che la temperatura e la densità di corrente nei due
casi rimangano costanti. Nel primo caso il rapporto fra le perdite e
la superficie laterale vale:
P = ( r2 l  2)/(2  r l) = 1/2 r  2
raddoppiando il raggio il rapporto diventa:
P 1= (4  r2 l  2)/(4  r l) = r  2
Si ha cioè il raddoppio delle perdite per unità di superficie e
quindi, in realtà, un aumento della temperatura del cavo. Per
mantenere costante la temperatura è quindi necessario ridurre la
densità di corrente 
PORTATE E DENSITÀ DI CORRENTE PER UN
CAVO BIPOLARE CON POSA IN ARIA LIBERA
Sezione Portata Densità di corrente 
mm2
A
A/mm2
1,5
24
16
2,5
33
13,2
4
45
11,4
6
58
9,7
10
80
8
16
107
6,7
25
142
5,7
I (A)
Portata I di un cavo in funzione della
sezione S.
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Serie1
0
5
10
15
20
25
2
S (mm )
Densità di corrente  in un cavo in
funzione della sezione S.
 (A/mm2)
20
15
10
Serie1
5
0
0
5
10
15
2
S (mm )
20
25
SOLLECITAZIONI DIELETTRICHE

La sollecitazione a cui si fa riferimento per il dimensionamento
dei sistemi di isolamento è il campo elettrico, la cui
configurazione rappresenta un dato fondamentale di progetto.
Considerando una situazione semplificata di campo uniforme,
siano:
- dis = spessore dell’isolamento;
- K = gradiente elettrico.
KA
E A / d isA

s
KB
E B / d isB

Si può allora scrivere:

All’aumentare di P (con s4), aumenta E (con s2) ed aumenta K
(con s). Ciò comporta l’impossibilità di costruire, oltre un certo
limite, macchine rigorosamente omotetiche.



Per ogni macchina si ha un livello ottimale di tensione e
corrente direttamente legato al valore della potenza nominale.
Al crescere di P si ha un incremento più elevato di I ed una
minore crescita di E. (P = E I).
Questa situazione influenza la morfologia delle cave ed il
numero dei conduttori in cava.
Cava semichiusa
per macchina di
piccola potenza a
bassa tensione.
(nc elevato)
Cava aperta per
macchina di
grande potenza ad
alta tensione.
(nc = 2)
FREQUENZA

Supponendo di operare con:
I = cost.
e
B = cost.
si ha:
P  E f
Occorre valutare attentamente:
i problemi meccanici;
i problemi relativi all’isolamento elettrico.
NUMERO DI COPPIE POLARI E
GIOGHI DI STATORE

A parità di flusso totale, di diametro al traferro e
di altezza hd dei denti, lo spessore hg del giogo di
statore diminuisce all’aumentare del numero dei
poli 2p. Si ha ad esempio:
per 2p = 2
per 2p = 20 - 30
hg/hd = 2,5 - 3,5
hg/hd = 0,7 - 1,5
In pratica all’aumentare del numero dei poli il
rapporto Di/Li aumenta.
GIOGHI STATORICI IN FUNZIONE DEL
NUMERO DEI POLI.
2 POLI
4 POLI
8 POLI
COSTANTI DI DIMENSIONAMENTO
TRASFORMATORE
COSTANTE DI UTILIZZAZIONE.
P  EI
E  B McS Cf
I  Aih
Per macchine omotetiche BMc ed Ai sono costanti.
si può quindi porre:
P = Cu f S c h
e quindi:
P
Cu 
 B Mc A i
fS C h
Il valore di Cu dipende dal tipo costruttivo e dalla
potenza della macchina. Noti P ed f è quindi possibile
determinare il prodotto Sc*h.
COSTANTE DI FLUSSO.
Per il progetto di un trasformatore è anche possibile
basarsi su un diverso parametro.
 Per una singola colonna la f.e.m. primaria vale:
E1 = N1f
 = 4,44 ;
 = BMcSf
avendo posto:
Sf = sezione netta del ferro;
BMc = induzione massima nella colonna.

La corrente nell’avvolgimento primario vale:
I1 = Sr1 1
con
Sr1 = sezione del conduttore dell’avvolgimento
primario;
1 = densità di corrente nell’avvolgimento primario.
 La potenza di una colonna vale:
P = E1I1 = N1fSr11 = (N1Sr1)1f
Esprimiamo in funzione di grandezze caratteristiche del tipo di macchina. Se consideriamo:
Gr = peso dell’avvolgimento primario;
Gf = peso del ferro di una colonna;

r = peso specifico del materiale conduttore;
f = peso specifico del materiale ferromagnetico;
lr = lunghezza della spira media;
lf = lunghezza del tratto di circuito magnetico che
compete alla colonna.
si ha:
Gr = 2rN1Sr1lr ,
Gf = fSflf
Gr
2  r lr

N 1 S r1
Gf S f  f lf
da cui
N 1 S r1
S f  f lf G r

2  r lr Gf

Possiamo quindi scrivere:
 S f  f lf Gr 
  f lf G r  1f 2
P  

  1 f 
2  r l r G f B Mc
 2  r l r Gf 
da cui, adottando un valore medio di 1 per primario e
secondario si ha:


2 r l r G f PB Mc
 f l f G r f
Se introduciamo le perdite:
Pr p r G r


Pf p f G f
Dove si è posto:
Pr = perdite nei conduttori;
pr = perdite specifiche nei conduttori;
Pf = perdite nei materiali ferromagnetici;
pf = perdite specifiche nei materiali ferromagnetici.
Poiché si ha:
r/f = 8,9/7,6 = 1,17
esprimendo P in kVA e sostituendo si ottiene:
p r l r PB Mc
  22,96
p f l f f
Per trasformatori dello stesso tipo le grandezze:
pr/pf ;
lr/lf ; BMc ;; 
sonosensibilmente costanti, si può quindi porre:

P 2
(wb)
K
10
f
Il valore di K influenza molti parametri caratteristici
della macchina fra cui la tensione di spira, la sezione
della colonna e la reattanza di dispersione e quindi la
tensione di corto circuito.
VALORI ORIENTATIVI DI K
TIPO DI TRASFORMATORE
TRIFASE A 3 COLONNE
TRIFASE CORAZZATO
MONOFASE A 2 COLONNE
MONOFASE CORAZZATO
VALORE DI K
1 - 1,6
2-3
1,2 - 1,9
3-4
COSTANTI DI DIMENSIONAMENTO
MACCHINE ROTANTI
COSTANTE DI UTILIZZAZIONE
Anche in questo caso si ha:
P  EI ed inoltre
I  D i A i
D i
E  nB   p L i  nB 
Li
2p
Se si considerano macchine omotetiche si deve avere:
B = cost.
Ai = cost.

Possiamo allora scrivere, se n sono i giri al minuto:
P  Cu nD i2 L i da cui:
P
Cu 
 B Ai
2
nD i L i
La costante di utilizzazione Cu costituisce un possibile
punto di partenza per il progetto. Infatti fissato Cu, noti
P ed n si determina il prodotto Di2Li. Fissato Di in base a
criteri legati alle frequenze di risonanza dell’albero ed
alla morfologia della macchine si ottiene Li, lunghezza
ideale, vale a dire lunghezza equivalente della macchina
al traferro tenendo conto dei canali di raffreddamento.
VALORI RELATIVI DI CU PER
TURBOALTERNATORI DI DIVERSA
POTENZA
4
3,5
3
RAFFR. CON ARIA
2,5
RAFFRE. CON H2
2
1,5
RAFFR. CON
ACQUA
1
0,5
0
0
500
1000
COSTANTE DI PESO

Per caratterizzare una macchina sono normalmente
assegnati i seguenti elementi di progetto:
 Tipo di macchina.
 Forma costruttiva.
 Tipo di raffreddamento.
 Tensione nominale.
 Potenza nominale (P).
 Frequenza nominale (f).
 Velocità di rotazione (n).


Dalle relazioni dimensionali precedentemente
considerate si può determinare la dipendenza del
peso G da P, n ed f.
Si può inoltre tenere conto degli elementi elencati ai
punti 1, 2, 3, 4 con un coefficiente sperimentale Cp.
Si può quindi porre per le macchine rotanti:
 P
G  Cpr  
 n
3
4
in pratica è più aderente alla realtà la relazione:
 P
G  Cpr  
 n
2
3

Per i trasformatori si può stabilire una relazione
analoga:
3
 P 4
G  Cpt  
f
Valori orientativi di Cpr e di Cpt.
TIPO DI MACCHINA
M. SINCRONA A POLI
SALIENTI
MACCHINA ASINCRONA
M. A COMMUTAZIONE
TRASF. DI DISTRIBUZIONE
Cpr o Cpt
5.000 - 7.000
3.500 - 6.000
5.000 - 8.000
300 - 600
P in kVA, n in giri/minuto ed f in Hz.