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Interazione debole di corrente carica
In analogia con la descrizione dell’ interazione elettromagnetica, per la
quale l’ ampiezza di transizione in un processo di diffusione tra fermioni
carichi point-like è data dalla (1.13):
 eeq 
eeM if   2 [ue (k ' )  ue (k )][uq ( p' )  uq ( p)]
k
e
q 
k’
la teoria di Fermi dell’ interazione debole descrive
q=k’-k
anch’essa lo scattering come un’ interazione
corrente-corrente:
quark
M if  G[ue (k ' )  u (k )][uu ( p' )  ud ( p)] (2.11)
p
In assenza (al momento) di una teoria di campo completa
Fermi introdusse la costante di interazione debole G, che
ha le dimensioni dell’ inverso del quadrato dell’ energia:
 k
2
[G] = [1/q ]
eq
p’
quark
e-
G
L’ interazione è di “corrente carica”, nel senso che (a
p
differenza dello scattering e.m.) la carica del fermione
uscente cambia di un unità rispetto a quella del fermione
quark d
entrante: la carica elettrica è stata trasferita nell’ interazione.
k’
p’
quark u
Storicamente, l’ interazione ‘di contatto’ (ossia non ‘mediata’ dal quanto
di un campo come il fotone) fu introdotta da Fermi per descrivere il
decadimento b del neutrone all’ interno dei nuclei radioattivi, che è il ‘prototipo’
dell’ interazione debole di corrente carica;
(2.12)
p
n  p e- e
n
ee
A livello elementare dei costituenti:
(2.12’)
d u
e-
e
u
n
u
d
d
Il processo (2.12’) è descritto dalla stessa
matrice di transizione del processo di scattering:
e d  e- u
GF
in cui l’ antineutrino ‘uscente’ dall’ interazione di decadimento è
sostituito dal neutrino entrante nel processo di diffusione.
p
d
u
e-
e
L’interazione vettoriale di contatto a’ la Fermi non basta a descrivere la
fenomenologia (violazione della parità, neutrini solo a elicità negativa).
La forma più generale possibile di una interazione corrente-corrente, che
preservi l’ invarianza di Lorentz di Mif, e che può essere costruita dagli
spinori delle particelle in gioco e dalle matrici di Dirac, è la seguente
[vedremo infatti successivamente come per il decadimento b la semplice
forma (2.11) non è sufficiente a descrivere correttamente l’ interazione ] :
M if 
 C (u O u
i
i  S , P ,V ,T , A
u
i d
)(ueOi u )  C 'i (uu Oi ud )(ueOi 5u )
(2.13)
viola la conservazione della parità
(contrazione di termini con proprietà
di trasf. opposte)
dove per brevità si sono omessi i quadri-momenti delle particelle e gli
Oi sono operatori bilineari covarianti delle matrici di Dirac 
[convenzionalmente, la matrice 5 nel termine di violazione della parità
viene inserita nella corrente leptonica]:
  i   
OA   5 
OS  1
     0
Specificamente:
OV   
i
i
OT     [  ,   ]  (         )
2
2
OP   5
5
5
0

1

2
5
3
•
•
•
Gli elementi S e V non possono causare decadimenti con spin flip del
nucleone (DJ>0, decadimenti di tipo “Fermi”). Se fossero presenti entrambi
in M causerebbero termini di interferenza  effetti nello spettro di energia
dell’elettrone uscente (che NON sono osservati).
G,j elementi A e T contribuiscono anche a decadimenti di tipo “GamowTeller” (DJ=1); di nuovo, ci si attende effetti di interferenza se entrambi
sono presenti, ma essi non si osservano
Quali combinazioni di coupling sono attive nel decadimento b si può
dedurre dalla distribuzione dell’angolo tra elettrone e neutrino, da
v
I ( )  1  a cos
c
1
1
a  1( S ),1(V ), (T ), ( A)
3
3
tutavia è ovviamente più pratico studiare l’angolo fra elettrone e rinculo
adronico (ma non facile, e infatti questo causò inizialmente confusione).
•
•
La quantità fisica che determina univocamente quali siano gli operatori da
usare, dato per assodato che l’antineutrino è right-handed dall’esperimento
di Goldhaber, è l’elicità dell’elettrone: per V e A deve essere negativa, per
S e T positiva. Il decadimento del pione carico ne è una dimostrazione.
Attraverso varie misure si trova che l’interazione è vettore-assiale.
Il decadimento del pione carico può essere calcolato scrivendo l’elemento
di matrice come un prodotto del vettore q per la corrente leptonica.
Se ipotizziamo una forma V-A per la corrente debole, ad esempio, abbiamo
G
( p  k ) f [u ( p ) (1   )v(k )]
2
M


p

5
con cui si trova la larghezza di decadimento in funzione dell’incognita
“funzione di struttura del pione”, una costante (non ci sono
2
2
2
2
2
variabili in gioco, q =Mp )
m 
G 2
2


f m m 1 
8p
 m 
p
p

2
p
Nonostante l’incognita fp un test quantitativo della teoria, e sulla correttezza
dell’elemento di matrice scritto, è possibile calcolando il rapporto fra
larghezze di decadimento del pione in elettrone e muone:
(p  e )
m m m 
  0.00012
 ( ) 
(p   ) m  m  m 
2

e
e
2
p
2
e
2



p
2
2

La soppressione del decadimento in elettrone è opposto a quanto ci si
aspetta per l’ampiezza dello spazio delle fasi. Il motivo è dinamico: V-A
prevede che i leptoni relativistici siano left-handed, mentre il decadimento
li forza ad essere right-handed!
Ulteriori informazioni vengono da altri studi dei decadimenti dei
pioni e dei muoni.
• Muoni derivanti da decadimento del pione carico portati a riposo
in un assorbitore (C) che non ne modifica lo stato di spin
permettono a Garwin di misurare lo spettro degli elettroni
emessi, che risulta piccato al massimo valore m/2. La
configurazione del decadimento è allora quella che segue:
p+


p


e+


• La distribuzione angolare degli elettroni segue una distribuzione
I() = 1-1/3 cos  V-A
L’ analisi dei dati relativi ai decadimenti b nucleari (sia con DJ=0,1 dove
J è lo spin del nucleone; discuteremo in dettaglio più avanti l’analisi dei
decadimenti b nelle transizioni cosidette “di Fermi” e “di Gamow-Teller”)
dimostra che i termini scalare (S), pseudoscalare (P) e tensore (T)
nell’ ampiezza (2.13) sono nulli.
Sperimentalmente, si osserva inoltre che i neutrini sono “left-handed” (e
gli anti-neutrini sono right-handed) [ esperimento di Goldhaber et al.,
Phys. Rev. 109 (1958), 1015].
(Dedico poo avanti
due parole a
questo esperimento
fondamentale.)
In pratica si trova che la forma più generale compatibile con i dati
sperimentali è la seguente:
M if  [uu ( p' )  (CV  C A 5 )ud ( p)][ue (k ' )  (1   5 )u (k )]
(2.14)
L’esperimento di Goldhaber
• Una pietra miliare della fisica degli anni 60 è la misura dell’elicità
del neutrino di Goldhaber, Grodzins, e Sunjar
•
•
•
•
•
•
152Eu
(JP=0-) decade per cattura K in 152Sm* (JP=1-, B=24%); la
diseccitazione in 152Sm (JP=0+) ha t=7*10-14s (E=961 keV).
Il neutrino viene emesso con Ev=900 keV (importante in seguito!)
La conservazione del momento angolare implica che 152Sm* e 
hanno la stessa “handedness” basta misurare la handedness del
nucleo eccitato.
Il gamma conserva l’informazione del rinculo adronico, e ha la
stessa polarizzazione se emesso nella direzione del rinculo.
La polarizzazione dei  può operarsi usando la diversa sezione
d’urto Compton dei fotoni in ferro magnetizzato parallelamente o
antiparallelamente alla direzione dei fotoni (xs massima se  e
elettrone hanno spin antiparalleli)
Ok, ma come misurare selettivamente i fotoni “forward emitted” ?
•
•
•
Si usa il fatto che nel decadimento radiativo, il fotone “cede” il momento E0/c
al nucleo, e quindi l’energia di emissione è ridotta di un fattore E0/(2Mc2). Se
un altro nucleo di 152Sm viene eccitato, anch’esso richiede che il fotone che
lo eccita abbia energia E0+E0/(2Mc2). La differenza fra energia del fotone
emesso e energia del fotone assorbito in scattering risonante è DE=E0/Mc2,
ed è molto maggiore della larghezza intrinseca dello stato  il
riassorbimento di solito non ha luogo; ha luogo solo se il fotone riceve un
“boost” dal moto iniziale del 152Sm* !!
Quindi il riassorbimento ha luogo solo per quei fotoni che sono emessi in
avanti ? Vediamo.
E(Sm*) = P2/2M = E2/2Mc2 = Mv2/2  v/c = E/Mc2
Per fotoni emessi ad angolo  dal Sm* si ha
E = E0(1+v/c cos) –E02/(2Mc2)
Successivamente, nel riassorbimento viene perduto un altro fattore
E02/(2Mc2) per cui
E = E0(1+v/c cos) –E02/(Mc2)

In risonanza, E0 = E e questo si ha se
E0E v/c cos = E02/(Mc2)
cioè
E0 = E cos


Sm*
Il moto termico nella sorgente e nel bersaglio modificano le energie dei
nuclei in gioco, rendendo possibile lo scattering risonante per i fotoni
“forward” dato che E=900 keV.
Eu
La inventiva di Goldhaber et al. si vede
dalla semplicità dell’arrangiamento finale:
con un semplice conteggio di fotoni in un
fotomoltiplicatore e uno switch per il campo
magnetizzante B, si misura lo spin dei
neutrini, le particelle elementari più elusive
in assoluto!!
Fe
B

Pb
NaI
Sm2O3
PMT
Da altri esperimenti (scattering di neutrini) si trova che la violazione di parità
nelle interazioni deboli è massimale, ovvero neutrini e antineutrini hanno
elicità opposta.
Se la corrente adronica nell’ interazione è uguale a quella leptonica
(ossia CA= -CV ), si ha la “teoria V-A” dell’ interazione debole di corrente
carica:
G
M if 
[uu ( p' )  (1   5 )ud ( p)][ue (k ' )  (1   5 )u (k )]
2
(2.15)
Nel decadimento b nucleare ciò non è vero. Sperimentalmente,
dalle frequenze di decadimento delle transizioni di Fermi (“vettoriali
pure”: 14O 14N+e+e) e “miste” (di Gamow-Teller (“vettoriali-assiali”)
e di Fermi, come ad esempio il decadimento di neutroni liberi: n pe-e )
CA
si misura:
 1.26  0.02
CV
Questo è dovuto all’ interazione forte tra i quarks all’ interno del nucleone,
che alle energie tipiche dei decadimenti b (  MeV) sono importanti.
Alle alte energie utilizzate nei processi di DIS i quarks si possono considerare
liberi, e la teoria V-A “pura” risulta valida.
Sezioni d’urto dei processi di scattering debole
Vedremo più avanti che la sezione d’ urto per lo scattering debole
è dell’ordine di:
2
(s)  G s/p
Per s = 1 GeV2 :
 ( s  1GeV )  1.33 10 GeV 1GeV / p  0.4 10 GeV 
10
2
4
10
2
 0.4 10 (0.197 fm)  0.4 10  0.038810 m 
10
2
10
30
2
 0.4 10  0.388mb  0.015 fb
10
Questa sezione d’urto va confrontata , ad esempio, con quella per lo
scattering e.m. e+e-  +- , che vedremo essere:
QED(s=1 GeV) = 87 nb
ossia circa 9 ordini di grandezza maggiore
2
Il calcolo della sezione d’ urto del processo di scattering debole d e- u
procede in maniera analoga a quella del processo elettromagnetico
eq eq , con le sostituzioni:
2 2
e e q 
 4   G 2
 q 
     (1   5 )
Il termine che nel processo di QED vale
2
e
2
q
m m M if
2
 e 2e 2 q 
e 2e 2 q  s 2  u 2 
  4 2[( k ' p' )( kp)  (k ' p)( kp' )] 
 2 
q
2


 t

ora vale [calcolo laborioso; cfr. Perkins, app.F ] :
(2.16)
2
e
2
q
m m M if
2
 4G [( k ' p' )( kp)]  G s
2
2 2
s/2
dove si è utilizzata la variabile s di Mandelstam.
 k
p
d
k’
ep’
u
s=(k+p)22kp
In definitiva, per la sezione d’urto:
d
1 mm

M if
2
d (2p )
s
2
e
d  2p sin  d 
*
*
 2pd (cos  )  4pdy
*
2
q
2
k=(E,k)

2
G s

(2p ) 2
e-
k’=(E’, k’)
*
d
u
 d 


 dy 
 e d e  u
  d   u

2
Gs
p
(2.17)
dove si è espressa la sezione d’urto in funzione della variabile di
inelasticità introdotta nel DIS [cfr. (2.8)]:
E  E'
y
E
1
[Si dimostra (es. 2.1) che 1  y  (1  cos  * ) e quindi d (cos  * )  2dy
2
dove * è l’angolo di scattering nel CM; N.B.: la relazione tra y e l’angolo
di scattering nel laboratorio è sin 2  / 2  Mxy
]
2E '
B

Per il processo di diffusione da anti-neutrini (dal punto
di vista sperimentale, interessa lo scattering da
anti-neutrini del muone):   u    d
o del processo di scattering inverso:  d    u
l’ elemento di matrice è lo stesso del processo
da neutrini:   d   u
A
d
(I)

D
-
k
k’
p
p’ u C
d   u 
AB  CD
s  ( p A  pB )  ( pd  p ) 2
u  ( p A  p D )  ( pd  p   ) 2
se si sostituiscono le particelle della corrente
leptonica (, ) con le antiparticelle con momenti
opposti (“crossing”), ossia sostituendo
crossing

s
s  u   (1  cos  )
nelle
2
variabili cinematiche che entrano nell’ ampiezza
di scattering:
A
B
d p
( II )
-k
-k’ D
+
p’
u
C
d   u 
AD  CB
(2.18)
mm M
2
2

q
spin
2
if
G s m m  M
2
2
2
2

q
spin
2
if
G u
2
2
s ( II )  ( pd  p  ) 2 
 ( pd  p   ) 2  u ( I )
In definitiva, con la sostituzione (2.18) la sezione d’urto (2.17) diventa:
d
1 1 2 2

me mq  M if
2
d (2p ) s
spin
da cui
 d

 dy
2
G 2u 2
G 2 s(1  cos  ) 2


2
(2p ) s
(2p ) 2 4

G s


(1  y ) 2
p
  u    d
d  2pd (cos )  4pdy
2
(2.19)
1  cos  2(1  y )
dove di nuovo si è espressa la sezione d’urto differenziale in funzione
della variabile di inelasticità y.
Per invarianza rispetto all’inversione CPT, si ha inoltre:
 d

 dy

 d 
G2s


 

(1  y ) 2
p
  u    d  dy   u    d
(2.19’)
Riassumendo, abbiamo i seguenti “mattoni fondamentali” per costruire
le sezioni d’ urto di diffusione neutrino - nucleone:
 d

 dy

G2s


 u
p
  dd 
  u

 d

 dy

G2s


(1  y ) 2
 d
p
  uu 
 d

-
Notiamo le
elicità:


+


d
u
u
d
p:
p:
-
u
 elicità permessa per , d
+
,
d
 elicità proibita per
d
 la sezione d’urto si annulla a p
(ossia ad y = 1; si ricordi: 1-y = (1+cos)/2 )
Siamo ora in grado di studiare il processo di deep inelastic scattering
debole, utilizzando cioè come sonde i neutrini e gli anti-neutrini; vedremo che
essi mettono in evidenza la stessa struttura nucleare (lo stesso andamento
delle densità partoniche in funzione del momento frazionario x e lo stesso
comportamento di invarianza di scala delle funzioni di struttura).
Nota sulle elicità
Nei processi di scattering puntiforme ad alta energia solo gli spin delle
particelle contribuiscono al momento angolare, e trascurando le masse gli
stati di particella devono pensarsi autostati di elicità -1, quelli di antiparticella
elicità +1.
Questo ha la chiara conseguenza dei fattori visti nello scattering di neutrini:
quando lo spin totale (preso come asse dello scattering nel CM quello di
quantizzazione) è Jin=0 tutti gli angoli di emissione sono permessi; quando
lo spin totale è Jin=1, solo uno dei tre possibili stati di elicità è permesso, e si
ha una riduzione di un fattore 3 della sezione d’urto:
 d 


 dy 

  d   u
  d   u
 d 


 dy 
2
Gs
p
2
1
Gs
0
p
  
dy 
2
Gs
  u   d
  u  d
 d 
R

 dy 
2
Gs
p
2
  u   d
  u  d
0
 d 
/

 dy 
  d   u
  d  u

1
3
Gs
2
Gs

(1  y )    
(1  y ) dy 
p
p
3p
1
2
2
Scattering neutrino-nucleone
Abbiamo visto che la sezione d’urto doppio-differenziale per il DIS
elettromagnetico su una targhetta isoscalare è data dalla (2.9):
 d 
2p 2 s
2



1

(
1

y
)
F2 ( x) 
4
q
(2.9)  dxdy  eN eX


2p 2 s
2 5
q( x)  q ( x)x

1

(
1

y
)
4
q
18
ottenuta sulla base dell’ ipotesi partonica e della sezione d’urto del
processo elementare di QED (scattering Mott eqeq), che può scriversi
anche come
ee
2 2
2
2
k
e
1 e eq  s 2  u 2 
1 e eq s  u 2 
 d 
k’

1 2  


 2 
2
2
2 
 d  eq eq (4p ) 2 s  t
 (4p ) 2t  s 
q=k’-k
2
2 2
2 2
1 e eq s   1
1 e eq s
 
2



1

(
1

cos

)

1

1

y




2
4
(4p ) 2 2q 4   2
p’
  (4p ) 2q
p eq




quark
=-q2
t
u = -s(1+cos)/2
= 1-y
quark
In maniera analoga, partendo dalle sezioni d’urto
elementari (2.17) e (2.19’) per lo scattering debole:
 d
(2.17) 
 dy

G2s


p
  d  u
 d
(2.19’) 
 dy


G2s


(1  y ) 2
p
  u    d
2
N    X
k’
G
u
d

si ottiene la sezione d’urto per lo scattering di
neutrino su una targhetta isoscalare che contiene
quark q(x) ed antiquark q(x):
d 


 dxdy 
-
 k
k
k’
-
G
u
d
2
G 1
xsq( x)  xs(1  y) q ( x)

p 2
2
(2.20)
e 2e 2 q (4p ) 2  2e 2 q
2


G
[si ricordi la sostituzione: q 4
; si noti anche che
q4
l’ energia del CM del processo elementare che coinvolge il quark di momento
frazionario x all’ interno del nucleone è s’=xs ]
Gli anti-neutrini vengono diffusi dai quark u e anti-d
all’ interno del nucleone; la loro sezione d’urto è
data quindi da:
G
 d 
G 1



xs(1  y) 2 q( x)  xsq ( x) (2.21)
 dxdy  N   X p 2
2


u
d

+
G
Ne consegue dunque che nell’ ipotesi partonica,
la somma delle sezioni d’urto doppio differenziali
per lo scattering di neutrini e di anti-neutrini:
 d 


 dxdy N   X
+

u
d
 d 
G 2 xs
G 2 xs
2

 

1  (1  y) q( x) 
1  (1  y) 2 q ( x)
2p
2p
 dxdy  N   X

 d 


 dxdy N   X



 d 
G 2 xs

 

1  (1  y) 2 q( x)  q ( x)
2p
 dxdy  N   X


misura la stessa funzione di densità partonica q(x)+q(x) misurata dallo
scattering e.m. eqeq [cfr. (2.9) e (2.9’)].
Possiamo anche scrivere la precedente come segue:
 d 

(2.22) 
 dxdy N   X
 d 
G2s
G2s
2

 

1  (1  y) xq( x)  q ( x) 
1  (1  y) 2 F2N ( x)
2p
 dxdy  N   X 2p

dove si è introdotta la
funzione di struttura “debole”:



F2N   f i ( x) x  [q( x)  q ( x)] x
i
analogamente a quanto fatto per lo scattering e.m. .
La predizione del modello a quark per il nucleone, con le assegnazioni
di carica +2/3 e -1/3 per i quark up e down , è quindi che il rapporto:
 d 


 dxdy  eN eX
 d 
 d 



 
 dxdy N    X  dxdy  N    X
sia indipendente da x, e che la funzione
di struttura F2N misurata attraverso la
relazione (2.22) sia:
18
F2N ( x)  F2eN ( x)
5
è la funzione di struttura e.m. misurata attraverso la relazione
dove F2eN
(2.9) :
 d 
2p 2 s
2
eN



1

(
1

y
)
F
2 ( x)
4
q
 dxdy  eN eX


Storicamente, la verifica sperimentale arrivò dal confronto dei dati dai
neutrini ottenuti con la camera a bolle GARGAMELLE (situata inizialmente
presso il proto-sincrotrone (PS) da
F2N(x)
26 GeV del CERN, e
successivamente collocata presso il
SuperProtoSincrotrone (SPS) da
400 GeV) con i dati di DIS e.m. di
SLAC:
A differenza dello scattering e.m.,
l’ insieme dei dati di neutrini e antineutrini permette di separare il
contributo da quark ed antiquark;
infatti :
 d 

(2.23) 
 dxdy N   X
x=-q2/2M
 d 
G2s
G2s
2

 

1  (1  y) xq( x)  q ( x) 
1  (1  y) 2 xF3N ( x)
2p
 dxdy  N   X 2p
dove si è introdotta la funzione


F3N  q( x)  q ( x)


E’ quindi possibile determinare
separatamente le densità partoniche
di quark e anti-quark:
[da: Perkins, Fig. (8.13)]
q( x)  ( F2  xF3 ) / 2 x
q ( x)  ( F2  xF3 ) / 2 x
x=-q2/2M
Sperimentalmente si osserva che i quarks sono portatori di circa il 70% del
momento totale portato dai partoni; gli antiquark sono concentrati a valori di
basso momento frazionario.
Dai dati risulta:
1
1
1
18
N
eN


q
(
x
)

q
(
x
)
xdx

F
(
x
)
dx

F
2 ( x)dx  0.50
0
0 2

5 0
ossia l’integrale del momento frazionario portato dai partoni è all’incirca solo
la metà del momento totale del nucleone!
Vi sono altri costituenti, non dotati di carica e.m. e debole, che sono portatori
di un’ equivalente frazione di momento; essi sono, come vedremo, i “gluoni”,
i mediatori dell’ interazione forte tra i quark all’ interno del nucleone.
L’integrale di F3(x) = q(x)-q(x) misura invece il numero di quarks di valenza nel
nucleone, poiche’ il ‘mare’ contiene un egual numero di quark e antiquark;
Vale cioè la ‘regola di somma” di Gross-Llewellyn Smith: 1
che risulta verificata sperimentalmente
[CDHS, Zeit.Phys.C1,143 (1979), Phys. Rev. Lett.42,
1317 (1979)].
N
F
 3 ( x)dx  3
0
1
Anche singolarmente le differenze sono quelle che ci
si aspetta: combinando dati di eN e N scattering si trova
 [u ( x )  u ( x )]dx  2
0
1
 [ d ( x )  d ( x )]dx  1
0
Collisione di CC N nella
Big European Bubble Chamber
(BEBC):
  N     adroni


“Narrow-band”  beam al
SPS del CERN, E200 GeV;
il muone è identificato grazie alla
sua penetrazione attraverso il ferro, e
misurato da camere a fili proporzionali
[da: Perkins, Fig. 8.1]
BEBC
[Nucl.Instr.Meth. 154 (1978), 445.]
Camera a bolle:
- Targhetta : mistura H2/Ne
- Massa fiduciale M = 14 tons
- Immersa in un campo magnetico
B= 3 T (magnete superconduttore)
Dp/p 7%
Identificatore di muoni:
150 m2 di camere proporzionali a multifilo
(MWPC)

beam
Esperimento CDHS
 beam
( Cern-Dortmund-Heidelberg-Saclay
collaboration)
[Nucl. Instr.Meth. 148 (1978) 235 ]
Fe+scintillatore;
(19 moduli, separati da
camere a deriva)
Massa 1200 tons
eventi di CN
eventi di CC
Confronto F2N - F2e.m.
F2
Esperimenti BCDMS, NMC:
e-N scattering a SLAC
Esperimento CCFR:
N scattering al CERN
5 vN
F ( x, q )  F2 ( x, q 2 )(1   corr ( s ( x), c( x))
18
eN
2
2
piccola correzione per i
quark strange e charm del “mare”
Notare la dipendenza di F2 da q2
a x fissato (“violazione dell’
invarianza di scaling”, vedi cap.4)
Q2(GeV2)
[QCD Workshop, Aachen, 1992]
Parte I, Capitolo 3
- Quarks e gluoni; “colore”
- QCD e violazione dello “scaling”
- La “running coupling constant” s(q2)
QCD e violazione dello “scaling”
I nucleoni sono stati legati di quarks che interagiscono “fortemente” [ in
aggiunta cioè all’ interazione e.m., che è piccola; essa è responsabile, ad
esempio, della piccola differenza di massa tra il neutrone: n = |ddu> ed il
protone p = |uud>:
mn-mp  (939.6 – 938.3) MeV  1.3 MeV
l’ energia di legame e.m. (negativa) necessaria per tenere insieme i
quark nel volume del nucleone, è in valore assoluto maggiore per
il protone (cariche dei quark q=2/3,2/3,-1/3) che per il neutrone
(cariche q= -1/3,-1/3,2/3) ].
L’interazione forte tra quark, portatori di una carica forte detta
convenzionalmente “di colore” (per distinguerla dal “fIavour”, sapore,
che è associato all’ interazione debole) avviene attraverso lo scambio di
mediatori, detti gluoni (elettricamente neutri: essi non sono “visti” dallo
scattering eN) portatori anch’essi di carica forte: i gluoni sono cioè
“colorati” (a differenza del fotone, che non ha carica e.m.)
Cenni sull’isospin
• Come il protone e il neutrone, che hanno simile massa, identico spin, e
quasi identiche sezioni d’urto di scattering, anche nuclei leggeri furono
trovati avere proprietà simili (mirror nuclei, es. 7Li,7Be). Heisenberg
introdusse il concetto di Isospin per descrivere questa simmetria.
• La simmetria implica la conservazione dell’isospin nelle interazioni forti:
l’hamiltoniana di QCD non è sensibile al sapore dei quarks.
• L’isospin si descrive in completa analogia allo spin. Stati a 2 particelle sono
descritti da SU(2): 2x2=3x1  tripletto simmetrico, singoletto a.s
• (SU(2): gruppo speciale unitario di matrici unimodulari a det=1; descritto
dalla rappresentazione fondamentale delle  di Pauli)
1 1 1 1
| I , I | 1,1 | , | , | p | p 
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
1
| I , I | 1,0  (| , | ,   | , | , ) 
(| p | n   | n | p )
2 2 2 2
2 2 2 2
2
1 1 1 1
| I , I | 1,1 | , | , | n | n 
2 2 2 2
3
3
3
| I , I | 0,0 
3
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1
(| , | ,   | , | , ) 
(| p | n   | n | p )
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
Storicamente, la necessità di un ulteriore numero quantico di colore
(che differenzia cioè tre ulteriori possibili stati per un quark “up” o “down”:
uR, uG, uB , dR, dG, dB “rosso”, “verde”, “blu” )
era sorta dall’ interpretazione degli adroni osservati nella spettroscopia
adronica (includendo le particelle dotate di numero quantico di
stranezza, come mesoni K) come multipletti del gruppo di
simmetria SU (3)flavor (che generalizza la simmetria SU(2) di isospin):
Modello a quark degli adroni ( “eightfold way”, che prende il nome dal
multipletto, un ottetto, di stati con masse più basse), proposto inizialmente
da Gell-Mann [Phys.Lett.8(1964), 214] e indipendentemente da Zweig
[CERN report TH401,1964]:
Gli adroni (mesoni: spin intero: 0, 1; barioni: spin semintero: 1/2, 3/2 ) sono
stati quantici appartenenti a rappresentazioni del gruppo di simmetria SU(3),
costruiti a partire da un tripletto di stati di quark : up (u), down (d), strange (s).
La simmetria SU(3)flavor estende a due numeri quantici (l’ “isospin” I e la
Stranezza S ) il concetto di invarianza delle interazioni forti osservata
rispetto alla carica elettromagnetica (invarianza di isospin).
il protone |p> (I3=1/2) e il neutrone |n> (I3=-1/2) hanno la stessa interazione
forte all’ interno dei nuclei, ed hanno la stessa massa (a parte piccole
correzioni di origine e.m.).
Ad esempio, gli 8 barioni di spin ½ più leggeri osservati in natura, “stabili”
rispetto all’ interazione forte ( a parte il protone, decadono tutti per interazione
debole con vita media t > 10-12 s):
numero barionico
Y=B+S
“stranezza”
0

0

0
p, n, L , S , S , X , X
ddu=n
uud=p m  940
1
sono membri di un unico ottetto,
L0, S0
SS+
rappresentazione di SU(3)
m  1150
0
-1
X-
X0
m  1320
I3
La simmetria SU(3)flavor è solo approssimativa, nel senso che membri di
uno stesso multipletto hanno masse molto diverse (mentre membri dello
stesso multipletto di SU(2), le linee orizzontali ad “ipercarica” Y = costante
nei diagrammi, hanno masse circa uguali); tuttavia lo schema di assegnazione
dei numeri quantici funziona molto bene e il modello ha avuto un notevole
potere predittivo nello stabilire l’ esistenza di nuovi stati quantici.
Ad esempio, i barioni di spin 3/2 (essi non sono
Y
stabili rispetto alle interazioni forti a parte  :
decadono con vita media 10-23 s ) appartengono
D-=ddd
1
ad un decupletto
0
D++=uuu
D(1232)
uus
dds
-
La particella
(scoperta nel 1964) fu predetta
-1
sulla base del modello a quark e della
differenza di massa costante ( 150 MeV) tra
-2
i multipletti costituiti da particelle di
egual stranezza .
uss
dss
sss
S(1380)
X(1530)
(1670)
-3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2 I3
Prodotto di rappresentazioni in SU(3)
• SU(3) è descritto nella sua rappresentazione fondamentale da 8
generatori, le matrici 3x3 (l di Gell-Mann), che godono delle proprietà di
commutazione [1/2 li,1/2lj]=ifijk1/2lk
• Vi sono due operatori che commutano, Y e I3. Nella applicazione a SU(3)
di sapore, sono l’ipercarica e la terza componente dell’isospin
• Possiamo porre i quarks u,d,s nella rappresentazione fondamentale (3) di
SU(3), e gli antiquark nella sua coniugata. Con essi si possono costruire gli
adroni (rappresentazioni irriducibili) dal prodotto di rappresentazioni.
Questo ci permette di studiarne le proprietà di simmetria
• Si usano i “diagrammi peso”, che si combinano con semplici regole. Le
rappresentazioni, specificate da I3 e Y, hanno simmetria esagonale; ogni
sito nel diagramma è occupato da almeno uno stato; stati “interni” alla
figura geometrica hanno via via più stati in ogni sito.
3  3  8 1
• Si possono calcolare i prodotti di rappresentazioni: 3  3  6  3
con i diagrammi peso fondamentali di 3 e del suo
6  3  10  8
coniugato (esempio 3.1)
3  3  3  10  8  8  1
Il modello SU(3)F prevede stati (effettivamente osservati) ai ‘vertici’ del
decupletto nel diagramma (I3,Y) :
D++(1232) = |uuu>,
D-(1232) = |ddd>,
-(1672) = |sss>
nei quali i tre quark indistinguibili sono tutti nello stesso stato quantico
(con spin allineati sz=+1/2).
Ciò è in contrasto con il principio di esclusione di Pauli, e richiede
l’ introduzione di un ulteriore numero quantico (la carica di colore) per
differenziare i fermioni costituenti; per cui, ad esempio, D++(1232) = |uRuGuB>
Il singoletto di SU(3)C dall decomposizione di 3x3x3 è scrivibile
(1/6)0.5[RGB+GBR+BRG-GRB-RBG-BGR] ed è antisimmetrico,
come richiesto.
Evidenze sperimentali dell’ esistenza del “colore” provengono dalla misura
del “rapporto R” alle alte energie dei collisori e+e- ,
 (e  e   adroni )
R
 (e  e       )
e dalla misura della frequenza di decadimento del mesone p0.
Come vedremo in seguito, R  NC, numero di cariche di colore.
La teoria di campo che descrive l’interazione forte è la Cromo-Dinamica
Quantistica (QCD), sviluppata in stretta analogia con la QED, ma ponendo
alla base della teoria il gruppo di simmetria (non abeliano) SU(3)color al posto
del gruppo abeliano U(1) rispetto al quale è invariante la QED.
La QED è invariante rispetto alla trasformazione locale di gauge
[cfr. (1.5), (1.5’)]:
 ( x)  eie ( x ) ( x)
(1.5)
A ( x)  A ( x)    ( x)
(dove, ricordiamo, e è la carica elettrica del fermione Y e A è il
campo del fotone ) e la dinamica è introdotta dalla derivata covariante
inserita nella Lagrangiana del sistema: i   D  i   eA
La QCD postula invarianza della fisica per le trasformazioni di gauge
(3.1)
 i ( x)  U i ( x)  e
ig a ( x ) la
 i ( x)
Ga ( x)  Ga ( x)    a ( x)  gf abc b ( x)Gc ( x)
(la somma sugli indici ripetuti a e b è sottintesa)
( i=1,2,3 indice di colore
a=1,2..8 indice dei
campi gluonici )
L’ invarianza della QED rispetto ad una moltiplicazione di fase (gruppo di
simmetria U(1)) è generalizzata in QCD all’ invarianza rispetto ad una
‘rotazione’ nello spazio dei 3 gradi di libertà di colore.
qR ( x) 

Le quantità Yi in (3.1) sono 3 campi spinoriali:


 ( x)   q ( x) 
i
G
 q ( x) 


B
(q è il quark di sapore generico: q =u, d, s…) e la matrice U
è la generica matrice di rotazione 3X3 del gruppo SU(3):
U
8
e
ig
 a ( x )la
a1
dove le matrici 3x3 la sono gli 8 generatori del gruppo SU(3):
0

l1   1
0

0

l4   0
1

1 0

0 0
0 0 
0 1

0 0
0 0 
0

l2   i
0

0

l5   0
i

 i 0

0 0
0 0 
0 i

0 0
0 0 
1

l3   0
0

0

l6   0
0

0

1 0
0 0 
0
0 0

0 1
1 0 
(3.2)
1 0 0 
0 0 0 



1 
l7   0 0  i  l8 
0 1 0 
3
0 0  2
0 i 0 




a(x) sono funzioni arbitrarie delle 4-coordinate e g è la carica forte
(analogo della carica elettrica in QED).
Al posto del fotone, associato all’ unico generatore del gruppo U(1),
esistono 8 campi mediatori gluonici Ga(x) associati agli 8 generatori del
gruppo SU(3) e le costanti fabc che compaiono nella trasformazione
di gauge dei campi, eq. (3.1)b, sono le “costanti di struttura” di SU(3),
che definiscono completamente l’ algebra dei generatori di SU(3):
[la, lb] = i Scfabclc
La derivata covariante che introduce, garantendo l’invarianza di gauge
della Lagrangiana, l’interazione tra i campi spinoriali dei quark ed i gluoni
è ora:
(3.3)
g
D  i   a la Ga
2
qi(x) ig la
 ij
i,j=R,Y,B
QCD:
I quarks interagiscono scambiandosi gluoni
colorati; al vertice di interazione la quantità
iglaij sostituisce ie che compare in QED
qj (x)
a=1,..8
Ga(x)
ie
eQED:
eA(x)
Gli 8 campi vettoriali G hanno termini cinetici simili al
fattore -1/4FF che si introduce nella Lagrangiana di
QED, ma questa volta serve un fattore addizionale, dovuto
alla loro proprietà di commutazione:
G   G   G  gf G G
a
a


a

n
b

abc

c

Possiamo scrivere la Lagrangiana di QCD per campi spinoriali
di quarks, dotati di colore, e 8 campi di gluoni auto-interagenti,
come segue:
j
j
1
L  i   ( D )    m    G G
4
( D )     ig(T ) G
k

q

q
jk
q
q
q
q
j
q
a


a
a

jk
jk

a
jk

(Ti=li/2)
Come per il fotone, l’invarianza locale di gauge che faticosamente
si ottiene con le definizioni su viste richiede che i gluoni abbiano
massa nulla. La differenza sta nelle proprietà di commutazione
delle matrici T, che portano all’autointerazione dei gluoni.
Riassumendo, la QCD è basata su una simmetria esatta, SU(3) di colore,
che governa le traformazioni della fase dei campi di colore dei quarks:
 q ( x)  'q ( x)  eig L
s
 q ( x)
a ( x )Ta
I generatori di SU(3) non commutano tra loro, e questo porta a
un’autointerazione dei gluoni, come per i bosoni vettori deboli:
[Ta , Tb ]  if abcTc
Come per la QED, se si parte da una Lagrangiana per quarks colorati e
liberi e si impone invarianza SU(3) locale, si è forzati a introdurre una
covarianza della derivata, con otto campi vettoriali G (corrispondenti agli
N2-1=8 generatori) che trasformano in modo covariante, e i relativi termini
cinetici:
 ( x)   ' ( x)  [1  ig L ( x)T ] ( x)
q
q
s
a
a
q
Ga ( x)  Ga ( x)    La ( x)  g s f abcLb ( x)Gc
(D ) jk   jk    ig s (Ta ) jk Ga
1 a 
L  i   (D ) jk   mq q  G Ga
4
q
q
j
q

k
q
a
G
   G   G  g s f abcGb Gc
j
j
q
La Lagrangiana ora vista descrive quarks colorati e gluoni. Otto gluoni sono
necessari a compensare le variazioni arbitrarie nelle fasi La(x) dei tre campi di colore
dei quarks in ogni punto dello spazio-tempo
La SU(3) di colore è una simmetria esatta della natura: i gluoni hanno massa nulla
come il fotone
I gluoni hanno autointerazioni, a causa della natura non abeliana di SU(3) che ha
introdotto nella Lagrangiana di QCD i termini misti attraverso le espressioni
Ga ( x)  Ga ( x)    La ( x)  g s f abcLb ( x)Gc
a
G
   G   G  g s f abcGb Gc
•
La costante gs determina l’intensità delle interazioni forti e copre il ruolo di “carica”
del campo di colore. Si noti però come essa è sempre associata alle costanti di
struttura di SU(3): questo implica diversa intensità per i diversi accoppiamenti qg e
gg.
•
Infine, la natura non abeliana del gruppo SU(3) ha un effetto sulla dipendenza dal
quadrimomento trasferito della costante di accoppiamento forte s=gs2/4p.
Studieremo questo effetto nel seguito.
Una fondamentale differenza tra la teoria abeliana di QED e le
teorie di gauge non abeliane (QCD per l’interazione forte, QEWD
per l’ interazione elettrodebole) è l’ esistenza in queste ultime di
auto-interazione tra i mediatori, con vertici, ad esempio in QCD, a 3 gluoni:

p1
Ga(x)
Gb(x)

p2
igfabc[g(p1-p2)r+gr(p2-p3)+gr(p3-p1)]

p3
Gcr(x)
Ga(x)
Gb(x)
e a 4 gluoni:
Gcr(x)
Gd(x)
Fattori di colore
La struttura SU(3) di colore della QCD ci permette di calcolare l’intensità di
interazione fra i quarks. Per far questo costruiamo una rappresentazione in
cui i tre colori R,G,B appartengono a un tripletto di SU(3). I gluoni, che
mediano le interazioni di colore, sono contenuti in un ottetto risultante dalla
decomposizione
3  3  8 1
e quindi sono:
RG , R B, G R, G B, B R, BG ,
1
( R R  G G ),
2
mentre il singoletto:
1
( R R  GG  B B)
3
non trasporta colore.
1
( R R  GG  2 B B)
6
RB
GB
G
R
GR
RG
BG
BR
B
Come in QED l’interazione è proporzionale alle cariche elettriche dei due
fermioni, lo stesso accade in QCD. L’accoppiamento si scrive
CF s = 1/2 c1 c2s
(in QED: e1e2)
ove CF è detto fattore di colore.
Per calcolare l’intensità dell’interazione QCD fra due quarks si
considerano tutte le combinazioni di gluoni che possono contribuire:
ad esempio per RRRR o GGGG contribuiscono sia g7 che g8, e si ha
C
RR
F
1 1 1
1 1  1
 




2 6 6
2 2 3
(due diagrammi possibili)
Per lo scattering di una coppia BB invece contribuisce solo g8 , ma si
trova lo stesso risultato:
1 2  2 1
BB
C
F
 


2 6 6  3
Invece per una coppia di quark diversi (eg. RB) l’ampiezza dell’interazione
risulta proporzionale al fattore di colore:
(due diagrammi possibili)
C
RB
F
1  1  2  1
 1 1 


 


1

1
   1  4 / 3 ove il segno relativo dipende


2  6 6  2
 2 3 
dall’antisimmetria della coppia
Si può sommarizzare per due quarks l’ampiezza ci cj = P-1/3, ove P è
+1 se la coppia è uno stato simmetrico, -1 se è antisimmetrico di colore.
Per una coppia quark-antiquark, come quella contenuta in un mesone
qq 
1
R R  GG  B B 
3
singoletto di colore!
basta fare il conto per una combinazione e moltiplicare per
3, vista la simmetria (esempio 3.2):
attrattiva!
1 1  1   2  2 
4

A3
   (1)(1)  (1)(1)   
 
3 3  2  6  6 
3

(tre diagrammi possibili)
dove abbiamo usato ci negativi per gli antiquarks.
Si può anche mostrare che per un barione l’ampiezza è -2/3. Gli stati
quark-antiquark e qqq sono quindi stati legati per la QCD.
L’ esistenza di gluoni e la dinamica gluoni-quark descritta dalla QCD
modificano lo scenario di invarianza di scala delle funzioni di struttura del
nucleone predetto dal modello a partoni.
Nel DIS, la collisione “head-on” tra il fotone
(virtuale) di momento q2 ed il quark:
*
q2
quark
viene sostituito da un processo più complesso, nucleone
che implica la radiazione di gluoni e la produzione
di jets con pT non nullo rispetto alla direzione del
P
fotone.
xP
* q2
Un quark q(x) “visto” con momento xP dal fotone
virtuale può provenire da un altro quark di momento
frazionario y > x che ha irradiato un gluone di
zyP=xP
quark
momento (y-x)P, processo di “scattering Compton”:
yP
nucleone
G
*q  q g
P
Può inoltre accadere che ad un gluone di momento
yP occorra un processo di scattering su un quark
di momento (x-y)P, prima che questi venga diffuso dal
fotone:
*
q2
G
yP
zyP=xP
quark
(y-x)P
In definitiva, le densità partoniche q(x)
dipendono dalle densità dei quark e dei gluoni
per momenti frazionari y>x e dalle probabilità dei processi di radiazione
Pqq(x/y) e di diffusione gluone-quark Pgq(x/y), dette ‘funzioni di splitting’.
Queste sono determinate dalla dinamica dell’ interazione e quindi calcolabili
nell’ ambito della QCD perturbativa. Esse dipendono ovviamente dalla
“costante” di accoppiamento forte s(q2) g2, che è funzione del momento
trasferito q2 (tale funzione è anch’essa calcolabile dalla QCD, utilizzando
le equazioni del gruppo di rinormalizzazione, come vedremo in seguito).
Possiamo riscrivere le funzioni di struttura del modello a partoni nella forma
[cfr. (2.6)]:
1
F2 ( x) / x  2 F1 ( x)   ei qi ( x)  ei
2
i
2
i
 q ( y) ( x  y)dy 
i
0
1
dy
  ei  qi ( y ) (1  x / y )
y
i
0
2
che rende evidente il fatto che nella sezione d’urto totale viene
“selezionato”, tra tutti i possibili momenti frazionari y del quark nel nucleone,
quello tale da soddisfare la condizione di elasticità per lo scattering
partonico: y = x = -q2/M
Le funzioni sono modificate dalla sezione d’urto per un quark di momento
y>x di subire un processo di scattering Compton gluone-quark tale da
fornirgli esattamente il momento “finale” zy = x :
(3.4)
F2 ( x) / x   ei
i
 q ( y) (1  x / y)  
1
2
i
0
qq
( z) z x / y

dy
y
Il processo di scattering Compton gluone-quark è simile al processo
di diffusione Compton e.m.: *q q
e può essere calcolato a partire dalla sezione d’ urto di QED:
*
k’
k
quark
*(k) q(p)  *(k’) q(p’)
 eq
 d 



2s
 d qq
2 2
u=
(k-p’)2
  u s 2tq 2 


 
 s u su 
t=
q
p’
s=(p+q)2
k q
k’  p’
p’
p
Compton
*
quark
(q-p’)2
p
k
*(q) q(p)  q(p’)g(k)
CFS eq
(3.5)  d 

2s
 d q gq
processo con propagatore fermionico
[per il conto, simile a quello
visto per e scattering, vedi Halzen, cap.6]
gluone
2
  t s 2uq 2 
  

st 
 s t
E’ utile esprimere la sezione d’urto
in funzione del momento
trasverso del quark
Considerando l’ angolo di scattering  del quark rispetto al fotone,
per il momento trasverso del quark (a un fissato p) si ha:
dpT2 = d(p2sin2) = 2p2sincosd = 2p2d(cos) = (s/2)dcos 
 1 ( piccoli, t<<s)
= sd/4p
s=4p2
gluone
*
PT

p
d=2psind=2pdcos
quark
d = 4pdpT2/s
e inserendo in (3.5) si ha:
2pC F  S eq2   t s 2uq 2  2pC F  S eq2  t 2
 d 
2uq 2 
 2 
  
 
  s 


2
2
s
st 
 ts
s 
 s t
s
 dpT q  gq
0
Definendo, in analogia con la variabile di Bjorken x = -q2/2Pq :
z=-q2/2pq = -q2/[(p+q)2-q2]=-q2/(s-q2) alla fine si ottiene [vedi Halzen, cap.10.4]:
C F  S eq
 d 
(3.6)  2 

Pqq ( z )
2
pT
 dpT q  gq
2
dove si è definita
la “funzione di splitting”:
singolare per pT20
1 z
P ( z) 
1 z
qq
pT2  st /( s  q 2 )
2
2
CF=4/3 (8 configurazioni, media
su 3 stati iniziali, e fattore ½)
= p2Tmax
Integrando su pT2, si ottiene:
 qq ( z ) 
xP=zyP
quark
valore fissato
z=x/y
yP
pT2 max  sˆ / 4
l
C F  S eq
d
2
2
dp

P
(
z
)
ln(

q
/ l)
T
qq
2
dpT
s
2
cut-off per divergenza infrarossa
che va inserita nella espressione (3.4) per la funzione di struttura :

S
Q 2  dy
F2 ( x) / x   ei  qi ( y)  (1  x / y) 
Pqq ( z ) ln( )
2p
l  y
i

x
1
2
eq2C F 1  z 2
Pqq ( z ) 
2ps 1  z 2
dove si è ridefinito:
e Q2= -q2

Q
dy 

F ( x, Q ) / x   e  q ( x ) 
ln( )  q ( y ) P ( x / y )  (3.7)
2p
l
y

2
2
2
2
i
i
1
S
i
x
i
 qi ( x, Q 2 )
qq
In definitiva la QCD prevede che la funzione di struttura F2(x)/x
sia funzione sia di x che di Q2=-q2 , e l’evoluzione delle densità partoniche
con Q2 sia:
1
2
dqi ( x, Q )
dy
2 S
  qi ( y, Q )
Pqq ( z  x / y)
2
d ln( Q )
2p
y
x
Questa equazione integro-differenziale è incompleta, perché non tiene
conto del processo di gluon-quark splitting:
*
q2
gluone
ma solo di quello di quark-gluon
bremsstrahlung:
*
q
quark
p’
yP
k
p
gluone
zyP=xP
quark
(x-y)P
Considerando entrambi i processi, si ottiene l’eq. completa integrodifferenziale di Altarelli-Parisi:
dq( x, Q 2 )  S (Q 2 )
dy
2
2

q
(
y
,
Q
)
P
(
x
/
y
)

g
(
y
,
Q
)
P
(
x
/
y
)
qq
gq
d ln( Q 2 )
2p x
y
1
(3.8)


dove si è introdotta, insieme alla densità partonica q(x,Q2), anche
la densità gluonica g(x,Q2); la funzione di splitting gluone-quark è data da:
Pgq ( z)  [ z 2  (1  z 2 )2 ]
La (3.8) va complementata da un’ equazione di evoluzione analoga per g(x,Q2):
dg ( x, Q 2 )  S (Q 2 ) 
 dy
2
2

q
(
y
,
Q
)
P
(
x
/
y
)

g
(
y
,
Q
)
P
(
x
/
y
)
(3.8’)
i
qg
gg
 y
d ln( Q 2 )
2p x  i

1
[ per le espressioni complete delle funzioni di splitting Pqg e Pgg,
si veda Renton, cap.7 ]
• Sperimentalmente l’evidenza delle violazioni di scaling viene non
solo dalle distribuzioni di F2 in funzione del Q2, ma prima di tutto
dalla presenza di jets addizionali nel DIS, e di quark jet non più
collineari col fotone.
• La sezione d’urto di scattering ha una dipendenza dal PT del quark
jet che dipende da alpha strong  permette di misurare s
• Avevamo scoperto, aumentando il q2 nello scattering inelastico, che il
protone, da un “size” caratteristico di 0.8 fermi, collegato a una scala
caratteristica nei fattori di forma elettrico e magnetico, era ora visto
come collezione di oggetti puntiformi  nessuna scala di distanza 
scaling di Bjorken
• Ora ritroviamo una dipendenza dal q2. Che scala stiamo sondando ?
• Con l’aumento del q2, vediamo i quarks non più come oggetti puntiformi
non interagenti, ma circondati da una “nuvola” di coppie q-antiq e
gluoni. Più aumenta il q2, più “risolviamo” questa nuvola nei suoi
costituenti. E’ questa la ragione delle violazioni di scaling.
• A basso x, F2 aumenta col q2. Ad alto x, diminuisce con il q2. Ciò
dipende dalla forma delle q(x) e g(x): ad alto x le eq. AP rendono
sempre meno probabile trovare un quark, all’aumentare del q2. A basso
x g(x) contribuisce con splitting di quarks  aumenta q(x)con il q2.
• L’evoluzione col q2 comporta delle incertezze  importante la misura
sperimentale. Un esempio dei problemi viene dalla “compositeness” di
CDF nel Run I...
In definitiva, la QCD prevede la violazione dell’ invarianza di scala di Bjorken;
ciò è confermato dalle misure sperimentali nello scattering eN
[dall’ esperimento BCDMS, Phys. Lett. 223B, 490],
F2eN
1.0
0.5
e da quelle relative allo scattering N
]
dall’ esperimento CDHS al Cern,
De Groot et al. (1979);
18
F2N ( x)  F2eN ( x)
si ricordi:
5
F2N
Con i dati totali di
ZEUS e H1 le
funzioni di struttura
del protone sono
misurate in grande
dettaglio in un ampio
range di Q2 e x.
DIS: targhetta fissa vs collisori
La regione cinematica nel piano (x,Q2) accessibile agli esperimenti è
limitata , ad alti Q2, dall’ energia disponibile nel CM; a bassi valori di x,
dal minimo valore misurabile dell’ angolo di diffusione dell’ elettrone.
La regione fisica accessibile è quella
al di sotto della retta che dà il limite
cinematico y= (E-E’)/E = 1
(ossia, la linea dell’ urto massimamente
anelastico in cui E’=0, Eadr=E)
In tale situazione:
x
2
2
2
2
Q
Q
Q
Q



2m 2m( E  E ' ) 2mE
s
Esperimenti
su targhetta
fissa
Esperimenti al
collisore e-p
“HERA”
CERN,
FNAL
(/ N)
eN
Q 2  sx
E’ importante salire con l’ energia nel CM
 gli esperimenti con due fasci collidenti permettono di sondare momenti
trasferiti molto maggiori che non gli esperimenti con targetta fissa.
DIS al collisore e-p HERA
Confrontiamo diverse situazioni
sperimentali:
Q 2  sx
HERA (Desy, Amburgo): Collisore e-p ,
Ep=920 GeV, Ee= 27.5 GeV
s  ( pe  p p ) 2  2 pe p p 
2( Ee E p  Ee E p cos p )  4 Ee E p
ECM  s  2 E p Ee  2 920  27.5  320GeV
CERN, FNAL: scattering /  su N,
Ebeam=200 GeV
ECM  s  2 EbeammN 
400  0.94  20GeV
SLAC: scattering eN, Ee=20 GeV
ECM  s  2 Ee mN  40  0.94  6GeV
lunghezza 6.3 Km
Ee = 27.5 GeV, Ep=920 GeV
Il CM è in movimento nel sistema del laboratorio => rivelatori asimmetrici
2 esperimenti principali: ZEUS, H1
22 m
Il rivelatore ZEUS
[Z.Phys. C72, 399]
e-
p
H1: Nucl.Instr.Meth. A386,
310 (1997)
Evento di DIS in H1
angolo del jet
adronico
Distribuzioni cinematiche in ZEUS
La estensione della misura delle densità partoniche rispetto agli
esperimenti a targhetta fissa è notevole
Importante per:
- verifiche di QCD a più alta scala
- determinazione delle funzioni di
densità partoniche (PDF) dei quarks
anche a bassi valori di x
(importante per le predizione dei
processi di fisica, ad esempio
pp-> tt, pp->Z/W+ X, pp -> Higgs+ X…
ai collisori adronici come il Tevatrone
e LHC (vedi seguito)
Esperimenti con targhetta
fissa (SLAC,CERN,FNAL)
L’ evoluzione delle PDF
predetta dalla QCD con l’ausilio
delle eq. integro-differenziali di
Altarelli-Parisi (eq.3.8) sono
confrontabili
con i risultati sperimentali in un
largo intervallo di Q2 e x; il
confronto è buono in regime di
QCD perturbativa (Q2 >> LQCD)
Misure di s
• Vi sono moltissimi modi
diversi per determinare la
costante della QCD. Si
sfruttano osservabili di DIS,
decadimenti adronici del
tau, forme dei jets,
osservabili nel decadimento
adronico della Z, sezioni
d’urto di 3/2 jets... Tutti i
metodi danno valori
consistenti, una volta
“evoluta” s a un valore
comune di Q2.