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Consigli per la risoluzione dei problemi
• Individuare il punto o i punti materiali di cui si vuole studiare il moto
• Introdurre un sistema di riferimento inerziale
• Individuare tutte le forze agenti sul punto materiale o sui punti
materiali
– Ricercare i corpi dell’ambiente circostante che possono esercitare
forze
• Tener presente che alcune forze agiscono a distanza
• Altre agiscono per contatto
– Attenzione ai corpi a contatto
• Costruirsi il diagramma del corpo libero
• Scrivere la seconda legge in forma vettoriale
• Ottenere le tre equazioni scalari corrispondenti
– Attenzione alla scelta delle direzioni su cui proiettare
G.M. - Edile A 2002/03
Consigli per la risoluzione dei problemi
• Utilizzare tutte le ulteriori condizioni presenti nel problema
 se due corpi sono connessi da una corda ideale, di lunghezza costante,
è possibile scrivere delle relazioni tra i loro spostamenti e quindi tra le
loro velocità e le loro accelerazioni.
 Se un corpo è fermo (x,y e z costanti), tutte e tre le componenti
dell’accelerazione sono nulle.
 In alcuni casi solo alcune delle coordinate del punto materiale sono
costanti, ne deriva le corrispondenti componenti dell’accelerazione
sono nulle.
• Se la traiettoria percorsa è curva, cioè non rettilinea, allora la
componente normale dell’accelerazione vale
(v=modulo della
velocità, r raggio di curvatura della traiettoria).
 Alcune delle forze possono avere lo stesso modulo:
v2
an 
r
– .Coppia di forze di azione e reazione, in base alla terza legge.
– .Forze esercitate su oggetti diversi dallo stesso tratto di corda.
 Etc.
G.M. - Edile A 2002/03
Consigli per la risoluzione dei problemi
• Determinare le componenti dell’accelerazione
• Dedurre dall’accelerazione trovata il moto del punto materiale.
– Accelerazione costante: moto uniformemente accelerato
– Proporzionale all’opposto della velocità: moto smorzato
– Proporzionale all’opposto della posizione:moto armonico
• Scrivere le leggi orarie tenendo conto delle condizioni iniziali
• Determinare le eventuali forze mancanti.
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Si consideri un corpo di massa m appoggiato su un piano inclinato rispetto
al piano orizzontale con inclinazione variabile con continuità da zero a 90°.
Sperimentalmente si osserva che quando l'angolo raggiunge il valore
qs=30° il corpo inizia a muoversi.
Se, una volta che il corpo di massa m si è messo in moto, si mantiene
costante l'angolo al valore qs=30°, si osserva che il corpo si muove di moto
rettilineo uniformemente accelerato.
Se, invece, subito dopo aver messo in moto il corpo, l'inclinazione viene
rapidamente diminuita e portata al valore qd=25°, il moto risulta essere
rettilineo uniforme.
Determinare i valori dei coefficienti di attrito statico e dinamico ms e md tra
il piano inclinato e il corpo di massa m e l’accelerazione nel caso in cui
l’inclinazione del piano viene mantenuta uguale a qs=30°.
Applica
zione
m
q
G.M. - Edile A 2002/03
Innanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale.
Conviene prendere l’asse y perpendicolare al piano inclinato e l’asse x
parallelo al piano in modo che il piano xy sia verticale
Fissiamo l’origine nella posizione iniziale del punto materiale.
y
Determiniamo le forze agenti
• La forza peso
• La reazione vincolare esercitata dal piano
inclinato
• Componente Normale
• Forza di attrito
Applica
zione
N
Fa
s
Possiamo anche predire la direzione e il verso
della forza di attrito:
• È opposta alla componente della forza
peso parallela al piano
Costruiamo il diagramma del corpo libero
P
x
y
N
Fa
P
Scriviamo la seconda legge di Newton
P  N  Fa  ma
x
G.M. - Edile A 2002/03
P  N  Fas  ma
Scriviamo la seconda legge di Newton
Applica
zione
Troviamo le equazioni scalari proiettando
sugli assi coordinati.
x
mg sen q  Fa  ma x
y
N  mg cosq  ma y
z
0  ma z
y
Fa
s
ax  0
Per q < qs il corpo rimane fermo:
q  qs 
Si ottiene:
ax  0
Fa  Fsmax
max
Fa
N
max
Fs
 mg senqs
ay  0
P
q
x
 m sN
N  mg cosqs
Fa
mg senq s sen qs
ms 


 tan qs
N
mg cos q s cos qs
max
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Se l’angolo viene mantenuto a qs
P  N  Fad  ma
Troviamo le equazioni scalari proiettando
sugli assi coordinati.
x
mg sen q  Fad  ma x
y
N  mg cos q  ma y
z
0  ma z
Durante il moto il corpo rimane sempre
appoggiato al piano inclinato
y(t)  0 
vy  a y  0
y
Fad  m d N
Applica
zione
N
Fa
s
Si ottiene:
P
N  mg cosqs
Fad  md N  md mg cosqs
q
mg senqs  Fad mg senq s  m c mg cos qs
ax 

 gsenq s  m c cos qs 
m
m
L’accelerazione è costante: il moto sarà uniformemente accelerato
1
1
2
x(t)  x o  vxo t  a xt 2
x(t)  g(senq  md cos q)t
2
2
xo  0
v xo  0
a x  gsenq
Se il piano è liscio, m =0
d
x
1
2
x(t)  gsen qt
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2 A 2002/03
Se l’angolo viene ridotto a qc
P  N  Fad  ma
Applica
zione
Troviamo le equazioni scalari proiettando
sugli assi coordinati.
x
mg sen q  Fad  ma x
y
N  mg cos q  ma y
z
0  ma z
Per q = qc il corpo si muove lungo a  0
x
l’asse x a velocità costante
ax  0
Fad  m d N
q  qc 
Fa  Fad
Si ottiene:
Fad  mg senqc
y
N
Fad
ay  0
P
q
x
N  mg cosqc
Fad mg senqc sen qc
md 


 tan q c
N mg cos qc cos qc
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Un punto materiale di massa m=1 kg può muoversi lungo una guida
orizzontale rettilinea priva di attrito. Il corpo è attaccato ad una molla di
costante elastica k=400 N/m, il secondo estremo della molla è connesso ad
una parete verticale, come mostrato in figura.
Inizialmente il corpo viene spostato in maniera da allungare la molla di un
tratto di 10 cm e lasciato da questa posizione con velocità nulla.
Determinare la legge oraria, mostrare che il moto è periodico e
determinarne il periodo.
Innanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale.
• Conviene prendere l’asse y verticale e l’asse x
orizzontale coincidente con l’asse della molla
• Scegliamo l’origine nella posizione in cui si trova il
punto materiale quando la molla non è deformata
• Questo semplifica l’espressione della forza
elastica
Felx  kx
Determiniamo le forze agenti
• La forza peso
• La forza elastica
• La reazione vincolare esercitata dal piano inclinato
• solo la Componente Normale
Applica
zione
Fel
asse y
Fel
O x
N
N
asse x
P
G.M. - Edile A 2002/03
Scriviamo la seconda legge di Newton
P  N  Fel  ma
Applica
zione
Troviamo le equazioni scalari proiettando
sugli assi coordinati.
x
Felx  ma x
y
N  mg  ma y
z
0  ma z
Fel
Durante il moto il corpo rimane sempre
appoggiato al piano orizzontale
L’accelerazione lungo l’asse x vale:
O x
y(t)  0 
k
ax   x
m
L’accelerazione è proporzionale all’opposto della
posizione: il moto è un moto armonico.
x  A cos( pt  )
p 
asse y
Felx  kx
k
m
N
N
asse x
P
vy  a y  0
N  mg
d 2x
k
x
2 
dt
m
A e  vanno determinate sulla base delle
condizioni iniziali.
G.M. - Edile A 2002/03
x  A cos( pt  )
p 
v x  A p sen( p t  )
Le condizioni iniziali:
x o  Acos o 
0  A p seno 
dalla seconda
k A e  vanno determinate sulla
base delle condizioni iniziali.
m
x o  10cm  0.1m
v xo  0 m / s
 o1  0
 o2  
Applica
zione
asse y
Fel
O x
N
N
asse x
P
La soluzione =0 è l’unica che da
un’ampiezza positiva, pari a A=0.1 m.
p 
k

m
400
 20s 1
1
Pulsazione angolare
x  0.1m cos(20t)
Legge oraria
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Un disco di massa m sta al di sopra di un tavolo orizzontale privo di attrito
ed è collegato con una massa M appesa ad una fune che passa attraverso un
foro al centro del tavolo, come illustrato in figura. Si determini la velocità
del disco lungo la circonferenza di raggio r in grado di mantenere fermo il
cilindro. Si assuma m=0.5 kg, M=0.3 kg, r=50 cm.
Applica
zione
Innanzitutto poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio
(inerziale) per poter applicare le leggi di Newton.
Determiniamo le forze agenti su ciascuno dei
corpi
Corpo di massa m
• La forza peso
• La tensione della fune
• La reazione vincolare esercitata dal
piano
• solo la Componente Normale
Corpo di massa M
• La forza peso
• La tensione della fune
Il diagramma del corpo libero
v
r
T1
N
m
P1
T2
M
P2
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Scriviamo la seconda legge di Newton per i due corpi.
P1  N  T1  ma1
Applica
zione
P2  T2  Ma2
Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione
vettoriale.
Non siamo tenuti a scegliere gli assi coordinati: qualunque
direzione noi scegliamo, la relazione tra le componenti lungo la
direzione fissata deve essre simile all’equazione vettoriale.
Nel caso del corpo di massa m conviene utilizzare le seguenti
direzioni mutuamente perpendicolari:
2
v
r
T1
N
m
P1
ut
ut
v
T1  ma n  m
r
0  ma t
j
N  mg  ma 1y
un
j
un
Per il corpo di massa M l’unica equazione non
banale è quella lungo l’asse verticale y:
y:
T2  Mg  Ma2 y
v
M
gr 
m
a2 y  0
T2  Mg
a1y  0
T2  T1
0.3kg
m
m
m
9.81 2 0.5m  2.93  1.71
0.5kg
s
s
s
N  mg
v2
Mg  m
r
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Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva piana di raggio
costante r=80 m con una velocità costante di 60 km/h. Determinare il
minimo coefficiente di attrito statico tra asfalto e ruote dell’automobile
necessario perché l’automobile si mantenga la traiettoria curva.
Applica
zione
Poniamoci nel sistema di riferimento
del Laboratorio (inerziale) per poter
applicare le leggi di Newton.
Determiniamo le forze agenti
sull’automobile
• La forza peso
• La reazione vincolare esercitata
dalla strada
• La Componente Normale
• La forza di attrito (statico)
• La parte di ruota a
contatto con la strada è
ferma rispetto alla strada.
Il diagramma del corpo libero
G.M. - Edile A 2002/03
Scriviamo la seconda legge di Newton per l’automobile.
Applica
zione
P  N  Fs  ma
Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale.
Come nel caso precedente utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente
2
perpendicolari:
v
Fsn  ma n  m
un
v
r
N
u j
ut
Fst  ma t
m
r
u
F
P
j
N  mg  ma y
t
n
s
at  0
Poiché il modulo della velocità è costante
Poiché l’automobile rimane attaccata alla strada a y  0
Fst  0
N  mg
La forza di attrito statica necessaria a mantenere
v2
Fs  Fsn  ma n  m
l’automobile in traiettoria è:
r
La forza di attrito statico è limitata
superiormente
Da cui ricaviamo
60  1000m 100 m
m
v

 16.7
3600s
6 s
s
ms 
2
Fs  m sN
16.72 m
v2
m  ms N  m smg
r
2
v
s2

rg 80m  9.81 m
 .35
s2
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Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva di raggio costante
r=80 m con una velocità di 60 km/h. Determinare l’angolo di cui deve
essere sopraelevato l’esterno della curva rispetto all’interno perché
l’automobile si mantenga sulla traiettoria curva senza far ricorso alla forza
di attrito.
Applica
zione
V
Poniamoci nel sistema di riferimento del
Laboratorio (inerziale) per poter applicare le
leggi di Newton.
N
ut
j
un
q
Determiniamo le forze agenti
sull’automobile
• La forza peso
• La reazione vincolare esercitata
dalla strada
• Solo la Componente
Normale
P
Il diagramma del corpo libero
Scriviamo la seconda legge di Newton per
l’automobile.
P  N  ma
Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale. Come nei
casi precedenti utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari:
2
un
ut
j
v
N sen q  ma n v m
N r
0  ma t r Fs m
P
N cos q  mg  ma y
ut
j
un
G.M. - Edile A 2002/03
2
ut
v
N sen q  ma n  m
r
0  ma t
j
N cos q  mg  ma y
un
Applica
zione
Poiché l’automobile si muove su una traiettoria a y  0
mg
orizzontale
N cos q  mg  N 
cos q
L’accelerazione tangenziale è nulla:
Il moto avviene con velocità di modulo costante
Dalla prima ottenaimo:
2
v
Nsen q  m
R
2

mg
v
senq  m
cos q
R
2
2
v
16.7
 tan q 

 .35
gR 9.81*80
q  ar cot an0.35  19.2
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Due parallelepipedi di masse m1 ed m2 sono posti uno sopra l’altro. Il
coefficiente di attrito tra m1 ed il piano è m1 mentre quello tra i due corpi è
Applica
m2. Studiare il moto del sistema quando ad m1 è applicata una forza
zione
orizzontale.
F
m2
m1
F
Fa12
N12
N
m1
P1
N21
m2
P2
Fa21
G.M. - Edile A 2002/03
I due blocchi della figura, di massa m=16 kg e M=88 kg, non sono collegati
tra loro. Il coefficiente di attrito tra i blocchi è ms=0,38, mentre la superficie
Applica
su cui appoggia M è priva di attrito. Qual è l’intensità minima della forza
zione
orizzontale F necessaria per mantenere m contro M?
m
F
NmM FamM
F
Pm
M
NM
FamM
NMm
PM
G.M. - Edile A 2002/03