Università di Cagliari
DICAAR – Dipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale e
architettura
Sezione Trasporti
PIANIFICAZIONE DEI TRASPORTI
La teoria dei grafi
A.A. 2016-2017 Prof. Italo Meloni
Definizione di grafo e rappresentazione
La struttura della rete è rappresentata mediante un
grafo: è definito da un insieme N di elementi detti nodi e da un
insieme L di coppie di nodi di N detti archi.
G = (N,L)
I grafi utilizzati per le reti di trasporto sono grafi
orientati: gli archi hanno un verso di percorrenza e le coppie di
nodi sono coppie ordinate (ij) ≠ (ji) e l’arco (ij) si dice orientato.
In un arco orientato il primo nodo si dice nodo
iniziale e il secondo nodo finale.
Definizione di grafo e rappresentazione
Cammino (percorso o itinerario):
4
1
una sequenza di archi nella quale il
nodo finale di ciascun arco coincide con
il nodo iniziale del successivo (5,1) (1,4)
5
(4,3);
Circuito: se il nodo iniziale del
2
percorso coincide con quello finale (5,1)
(1,4) (4,3) (3,5);
Grafo completo: quando ciascun nodo è collegato mediante
un arco a ciascun altro nodo; nei sistemi di trasporto i grafi
impiegati sono di solito NON COMPLETI
Grafo connesso: se ciascun nodo è origine di almeno un
itinerario che ha come estremo un qualsiasi altro nodo del grafo
3
Alberi di radice i
•
•
•
•
•
Un grafo, privo di circuiti, nel quale esiste un solo itinerario che
collega un nodo i con ciascun altro nodo si dice albero di
radice i.
Un albero è un esempio di grafo non connesso.
In un grafo esistono diversi alberi aventi la stessa radice.
Nelle reti di trasporto sono rilevanti solamente i percorsi che
collegano coppie di nodi nei quali iniziano e terminano gli
spostamenti. Tali nodi vengono chiamati CENTROIDI.
Per un dato GRAFO, con un numero prefissato di nodi
centroidi, è possibile elencare tutti i possibili percorsi privi di
circuiti aventi un centroide come Ni e Nf
Alcuni alberi di radice 2
1
4
1
5
5
3
2
1
3
2
1
4
4
5
5
2
4
3
2
3
Grafo con percorsi possibili tra centroidi
Percorsi possibili
1: 1 – 4 4 – 3
2: 1 – 2 2 – 5
3: 1 – 2 2 – 3
4: 5 – 1
Se i e j sono 2 centroidi, si definisce insieme dei
percorsi connettenti i e j, Iij, l ’ insieme dei
percorsi aventi i come nodo iniziale e j come
nodo finale.
3-5
3–5
1
1
4
1
5
1
3
5
4
5
2
4
2
2
3
2
3
1
4
1
4
5
3
2
5
3
2
3
4
Rappresentazione numeriche dei grafi
La rappresentazione numerica di un grafo può
avvenire in forma matriciale o vettoriale.
I nodi dell’insieme N sono di solito numerati con un
numero intero.
Per l’individuazione delle coppie costituenti l’insieme L
di archi si impiegano diverse tecniche.
Matrici di adiacenza
1. La matrice di ADIACENZA ha un numero di righe e di
colonne pari al numero dei nodi.
L’elemento della matrice è 1 se la coppia ij fa parte di N
ovvero è un arco, viceversa 0.
1
2
3
1
0
0
1
2
0
0
1
3
0
0
0
1
2
3
Matrici di incidenza
2. La matrice di INCIDENZA nodi-archi
•
•
•
•
Ogni riga corrisponde a un nodo, ogni colonna ad un arco;
Se il nodo i-esimo non appartiene all’arco corrispondente alla
colonna j-esima l’elemento della matrice ij = 0;
Se il nodo i-esimo appartiene all’arco j ed è nodo di origine
l’elemento ij = 1
Se il nodo i-esimo appartiene all’arco j ed è nodo di
destinazione l’elemento ij = -1
2-3 1-3
1
0
1
2
1
0
3
-1
-1
1
2
3
Matrici di incidenza
3.
La matrice di INCIDENZA nodi centroidi/percorsi
Ciascuna riga corrisponde a una coppia di nodi centroidi O/D
e ciascuna colonna ad un percorso. L’elemento ij della matrice
è uguale ad 1 se la coppia di nodi i è collegata dall’arco j
viceversa è uguale a 0. Ci consente di capire quanti percorsi
collegano ogni coppia O/D.
G ≡ {N, L}
2
N ≡ {1, 2, 3, 4}
grafo
4
1
3
L ≡ {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)}
Centroidi origine {1,2,3}
Centroide destinazione {4}
Matrici di incidenza
3.
La matrice di INCIDENZA nodi centroidi/percorsi
2
2
PERCORSI
1
2
2
4
1
4
3
1
3
5
4
3
4
6
3
3
(Percorsi)
(Coppie O/D)
2
4
4
1
4
1
2
3
4
5
6
1-4
1
1
1
0
0
0
2-4
0
0
0
1
1
0
3-4
0
0
0
0
0
1
Matrici di incidenza
4.
La matrice di INCIDENZA archi-percorsi:
ciascuna
riga corrisponde ad un arco del grafo e ciascuna colonna ad un percorso.
L’elemento ij della matrice (aij) è uguale ad 1 se l’arco corrispondente alla iesima riga fa parte dell’itinerario corrispondente alla colonna j, viceversa è
uguale a 0. Ci dice quante volte un arco appartiene ai percorsi, e quindi
quanta probabilità ha di essere caricato dalla domanda.
Coppie O-D
1-4
2-4
3-4
1
2
3
4
5
6
1
1
1
0
0
0
0
2
0
0
1
0
0
0
3
1
0
0
1
0
0
4
0
1
0
0
1
0
5
1
0
1
1
0
1
Percorsi
Archi
Stella in uscita
In un grafo OGNI NODO è ORIGINE di una STELLA DI ARCHI che si dipartono
da esso.
Viene costruita attraverso due
vettori a e b:
a. Vengono riportati i nodi
estremi delle varie stelle (archi
di cui il nodo è origine)
b. Vengono riportati i numeri che
indicano la posizione assunta
nel vettore a dall’ultimo nodo
della stella in uscita
Nodi
a
1
4
(1)
1
1
(2)
4
3
(3)
5
5
(4)
6
3
5
(5)
9
4
3
(6)
1
(7)
La stella in uscita consente di
descrivere la rete con la
minima
quantità
di
informazioni.
5
3
(8)
4
(9)
2
b
posizioni
Grafi
I GRAFI sono definiti come una coppia ordinata di insiemi:
N, insieme di elementi detti NODI
L, insieme di coppie di nodi N detti ARCHI
Simbolicamente un grafo G è indicato
G = (N, L)
I grafi utilizzati nelle reti di trasporto sono in generale ORIENTATI:
Gli archi hanno un verso
Le coppie dei nodi che li definiscono sono coppie ordinate (ij ≠ ji)
Un arco che collega le coppie di nodi ij indica il nodo iniziale i e quello
finale j.
Un arco può essere indicato anche con un unico indice che ne
contraddistingue la posizione nella lista di tutti gli archi del grafo.
Rete
Si definisce RETE un grafo a cui è associata una
caratteristica quantitativa.
In una rete di trasporto assumono particolare
rilievo i percorsi (sequenze di archi) a cui si
associano due tipi di variabili
Costi
Flussi
Costo generalizzato di trasporto
È un importante parametro da associare a ogni arco nella
definizione del sistema dei trasporti.
• È una variabile che sintetizza il valore medio delle voci di
costo SOPPORTATE dagli utenti così come DA LORO
PERCEPITE (il costo è molto soggettivo) nella effettuazione
delle scelte di trasporto (più in particolare nella scelta del
percorso e del modo).
• Sinteticamente, il Costo di Trasporto riflette la DISUTILITÀ
degli utenti a percorrere l’arco stesso: infatti lo spostamento
produce utilità solamente al raggiungimento della
destinazione, ma l’atto stesso dello spostamento genera
unicamente una disutilità.
•
Costo generalizzato di trasporto
Gli elementi che compongono il costo sono grandezze non
omogenee.
• Se Cl è il costo dell’arco l-esimo, questo può essere
formulato come somma di due componenti principali,
“omogeneizzate” tramite i coefficienti β, il cui valore può
essere stimato con un modello di scelta del percorso.
• Esistono
anche altre caratteristiche difficilmente
esplicitabili (comfort, sicurezza, affidabilità,…) alle quali
vengono associati dei determinati parametri.
•
Costo
L’attraversamento di un arco è caratterizzato da
Tempo di trasferimento: ti
Alti costi monetari:
Cmi
(ad esempio costi d’esercizio)
Ci-esimo arco = β1ti + β2Cmi
Avremo tanti costi di arco quanti sono gli archi della nostra rete.
Si definisce vettore dei costi di arco di una rete un vettore C la
cui generica componente Ci è costituita dal costo sull’arco i-esimo.
Costi
Si definisce costo di percorso Ck la somma dei costi
d’arco degli archi appartenenti al percorso.
Data una rete con vettore di costi d’arco C e data
la matrice di incidenza archi-percorsi il vettore dei
costi di percorso della rete è dato da
Ck = Atc
At : trasposta della matrice archi-percorsi
c : vettore dei costi d’arco
Rete di trasporto con costi di arco e di percorso
Flussi d’arco
Si definisce Flusso d’arco fi il numero medio di utenti che
nell’unità di tempo utilizza l’arco i (ovvero svolge lo spostamento
e l’attività connessa con lo spostamento che l’arco rappresenta)
Se gli utenti non sono omogenei (classi di veicoli diversi, di utenti
etc.) si possono considerare i flussi separatamente o
omogeneizzati:
fi = Σj wjfij
Wj coefficiente di omogeneizzazione
Si definisce VETTORE dei flussi d’arco di una rete il vettore f di
dimensioni nL x 1 la cui generica componente fi è costituita dal
flusso sull’arco i (ij)
Flussi di percorso
Si definisce Flusso di percorso Fk il numero medio di utenti che
nel periodo di riferimento percorre il percorso k
Fk = Σj wjFkj
Esiste una relazione tra fi e Fk
fi = Σk ajkFk
f = AF
ajk= elemento della matrice di incidenza archi-percorsi
A = matrice di incidenza archi-percorsi
In genere in una rete si conoscono inizialmente i flussi di percorso
e in seguito da questi si ricavano i flussi d’arco.
Rete di trasporto con flussi di arco e di percorso
Fasi funzionali per la costruzione del modello di
rete di un sistema di trasporto bimodale
Esempio di grafo rappresentativo di un
sistema stradale urbano
Rappresentazione di un’intersezione
stradale con archi di corsa e di attesa
Grafi di un’intersezione stradale
Rappresentazione base di una rete
Stazionarietà intraperiodale
Tutte le variabili significative (velocità, costi, flussi
etc.) sono COSTANTI per diversi sottoperiodi del
periodo di riferimento:
VALORE MEDIO COSTANTE
