Lezione 13

Luce ed onde elettromagnetiche
Maxwell dimostrò che la luce è un’onda elettromagnetica di natura ondulatoria con
frequenze comprese nell’intervallo 4x1014 Hz - 7x1014 Hz che si propaga, in un mezzo
dielettrico (omogeneo e isotropo) di costante dielettrica e e permeabilità magnetica m, con
velocità v. Nel vuoto, dove e = e0 = 8.85 10-12 C2N-1m-2 e m = m0 = 1.26 10-6 Ns-2C-2, tale
velocità è la velocità della luce nel vuoto, generalmente indicata con c.
v
1
em
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c
1
e 0m 0
 2.99792458 10 8
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ms 1
1
Grandezze radiometriche e fotometriche
L’intervallo 4x1014 Hz - 7x1014 Hz in frequenza (4x10-7 m - 7x10-7 m in
lunghezze d’onda) è la zona dello spettro elettromagnetico denominata “luce
visibile”. Al suo interno, l'occhio umano ha un massimo di sensibilità nel
giallo-verde, intorno ai 550 nm. Pertanto, è stata costruita empiricamente una
"curva di visibilità dell'occhio umano medio", V(), accettata per
convenzione internazionale, che ha il massimo a 555 nm ed ha la forma di
una campana asimmetrica. Nel punto massimo, per definizione, V()=l.
Le grandezze fotometriche sono ricavate moltiplicando per V() le
corrispondenti grandezze radiometriche utilizzate per le misure di
radiazione e integrando sui valori di ; le unità di misura includono in più
una costante moltiplicativa pari a 1/683 che ha origine storica (deriva dai
campioni di misura utilizzati nell'Ottocento per le misure di intensità
luminosa). Le principali grandezze fotometriche sono:
Intensità luminosa: energia emessa nel visibile nell'unità di tempo e per

unità di angolo solido (sr) intorno a una ben determinata direzione, dove W() è la potenza
emessa per steradiante intorno a una determinata direzione, con lunghezza d'onda fra  e I  C W ( )V ( )d
+d. L’unità di misura dell’intensità luminosa è la candela (cd), definita come segue: una
0

sorgente luminosa di 1 cd emette 1/683 W/sr nel visibile (ciò equivale a porre
-1
-1
C=1/683 cd sr W ).
F  Id  C W ( )V ( )dd

0
Flusso luminoso: è l'intensità integrata su tutto l'angolo solido di emissione.
L'unità di misura è il lumen (lm), cioè una candela moltiplicata per l'angolo solido di emissione. Dal punto di vista delle
applicazioni, il lumen è più usato della candela, perché tiene conto dell'effettiva potenza emessa in tutte le direzioni
dalla sorgente luminosa. Ovviamente 1 lm = 1/683 W. La grandezza radiometrica corrispondente è la potenza.
Illuminamento: è il flusso luminoso che incide sull'unità di superficie: I=dF/dS. L'unità di misura è il lux (lx): 1 lx = 1
lm m-2. L'illuminamento tiene quindi conto sia della sorgente sia della superficie illuminata. Ovviamente 1 lx = 1/683
W/m2. La grandezza radiometrica corrispondente è la radiazione.
Lezione n. 13
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


Le onde elettromagnetiche
Un’antenna (circuito LC) genera
onde e.m. con velocità c e campi
elettrico e magnetico di equazione:
E  E0 sin(kx  t)
B  B0 sin (kx t)
I vettori elettrico e magnetico
variano continuamente la propria diRezione come indicato sotto. Inoltre tra le ampiezze dei campi
elettrico e magnetico vale la relazione:
dove c è la velocità della luce nel vuoto
E  cB
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Campo elettrico indotto
Quando l’onda raggiunge il rettangolo h dx, all’interno di esso B
varia, quindi varia FB e pertanto, per la legge di Faraday, deve
apparire un campo elettrico indotto:
dF B
E

ds



dt
Sviluppando l’integrale, si trova:
 E  ds  ( E  dE )h  Eh  hdE
dF B d
dB
 ( Bhdx )  hdx
dt
dt
dt
Cioè sostituendo:
dE
dB

o meglio
dx
dt
E
B

x
t
Sostituendo le espressioni per i campi elettrico e
magnetico:
E  E sin( kx  t )
m
B  Bm sin( kx  t )
si ottiene:
kEm cos( kx  t )  Bm cos( kx  t )
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da cui si ha:
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Em
c
Bm
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Campo magnetico indotto
Quando l’onda raggiunge il rettangolo h dx, all’interno di esso E varia,
quindi varia FE e pertanto, per la legge di Maxwell, deve apparire un
campo magnetico indotto:
dF E
B

ds

e
m
0 0

dt
Sviluppando l’integrale, si trova:
 B  ds  ( B  dB)h  Bh  hdB
dF E d
dE
 ( Ehdx)  hdx
dt
dt
dt

Cioè sostituendo:
B
E
 e 0 m0
x
t
Sostituendo le espressioni per i campi elettrico e
E  Em sin( kx  t )
magnetico:
B  Bm sin( kx  t )
si ottiene:  kBm cos(kx  t )  e 0 m0Em cos(kx  t ) da cui si ha:
equivalente a:
Lezione n. 13
c
1
Em
1
1


Bm e 0 m 0 ( / k ) e 0 m 0c
e 0 m0
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Trasporto di energia: vettore di Poynting
La quantità di energia trasportata da un’onda elettromagnetica
nell’unità di tempo per unità di superficie è data dal vettore di
Poynting S, definito come:
1
S
EB
m0
Il modulo del vettore di Poynting, essendo E e B perpendicolari tra
loro in ogni punto, è dato da:
1
1 2
S
EB 
E
m0
cm 0
Nel caso in cui E=Em sin (kx-t), si ottiene per S il valore:
S
1
cm 0
Em2 sin 2 (kx  t )
Il valore medio temporale di S è chiamato intensità (del campo
elettromagnetico) e denotato con I. Si noti che I è misurato in W/m2.
I  S 
1
cm 0
Per quanto riguarda le densità di energia, si può sostituire nell’espressione che
definisce uE (densità volumica di energia elettrica) l’espressione di E:
e0
e0 B2 1
1 2
uE  E  cB  

B  uB
2
2
2 e 0 m0 2m0
Lezione n. 13
2
e0
2
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2
Eqm
La pressione di radiazione e la coda delle comete
Le onde elettromagnetiche, oltre a trasportare energia, trasportano anche quantità di moto. Detta DU
l’energia assorbita (totalmente) da un oggetto nel tempo Dt per effetto della radiazione, l’oggetto riceve
anche la quantità di moto. In modulo |Dp| = DU / c. mentre la direzione di p è la direzione di
propagazione dell’onda elettromagnetica.
Nel caso in cui, invece, il corpo in questione rifletta (incidenza normale) la radiazione, la relazione
precedente diventa |Dp| = 2 DU / c. In un caso generico, Dp varierà tra i due valori precedenti.
L’energia incidente sull’area A può essere espressa utilizzando l’intensità luminosa I come: DU = I A Dt
La forza F è legata alla quantità di moto p dal II principio della dinamica: F = dp / dt
Allora |F| = I A / c oppure |F| = 2 I A / c e, per
definizione di pressione, si ha p = I / c oppure p
= 2 I / c.
Questo risultato aiuta a capire la traiettoria delle
particelle di polvere (non cariche) emesse da una
cometa. Infatti, la loro traiettoria dipende
dall’importanza della forza gravitazionale e da quella
dovuta alla pressione di radiazione. Detto R il raggio
della particella, la prima forza varia come R3 (perché
dipende dal volume) mentre la seconda dipende da R2
(perché dipende dalla superficie) e quindi, detto Rc il
raggio per cui le due forze si uguagliano (traiettoria b),
per R > Rc prevale la forza gravitazionale (traiettoria
c) e per R < Rc prevale la pressione di radiazione
(traiettoria a).
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Polarizzazione
Un’onda si dice polarizzata quando il piano di
vibrazione del vettore campo elettrico (o del campo
magnetico) rimane costante nel tempo. Per un’onda
non polarizzata, invece, ciò non avviene per cui il
vettore campo elettrico (e magnetico) vibrerà in
tutte le direzioni. In tal caso, in ogni istante è
possibile scomporlo in due componenti lungo gli
assi y e z.
Facendo passare la luce (radiazione luminosa)
attraverso particolari lamine polarizzatrici, le
componenti dei vettori del campo elettrico parallele
alla direzione di polarizzazione vengono trasmesse
attraverso la lamina, mentre le altre vengono
assorbite.
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Intensità della luce polarizzata trasmessa
Nel caso di luce non polarizzata, dal momento che l’orientazione dei
vettori campo elettrico è casuale, l’intensità luminosa dopo il
passaggio attraverso la lamina polarizzatrice è pari alla metà di
quella incidente, cioè
I = I0 / 2.
Nel caso della luce polarizzata, occorre considerare l’angolo q tra la
direzione di polarizzazione della lamina y e quella di vibrazione del
vettore campo elettrico E. La componente di E nella direzione y vale
Ey = E cos q e siccome l’intensità I è proporzionale al quadrato del
campo elettrico, vale la legge (di Malus)
I = I0 cos2 q
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Riflessione e rifrazione
Si parla di ottica geometrica quando la direzione di propagazione dell’onda
luminosa può essere individuata da una linea retta perpendicolare al fronte
d’onda.
Nell’attraversamento di una superficie di separazione tra due mezzi, l’onda
luminosa viene in parte riflessa ed in parte rifratta (fenomeno della rifrazione).
Il raggio rifratto è quasi sempre deviato rispetto alla direzione di propagazione
originaria.
Gli angoli di incidenza, riflessione e rifrazione sono calcolati rispetto alla
direzione di propagazione ed indicati con q1, q1’ e q2 rispettivamente, e si
trovano sullo stesso piano.
La legge della riflessione dice che
q1 = q1’
mentre la legge della
rifrazione dice che
n1 sin q1 = n2 sin q2
Le grandezze n1 e n2 sono definite indici di rifrazione del mezzo.
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Dispersione cromatica
L’indice di rifrazione n dipende dalla lunghezza d’onda della radiazione. Se il raggio luminoso è formato da
componenti con lunghezze d’onda diverse, la rifrazione ne separa le componenti (fenomeno della dispersione
cromatica).
Nelle sostanze di uso comune,
l’indice di rifrazione n è
inversamente proporzionale
alla lunghezza d’onda per cui
l’angolo di rifrazione per le
componenti
a lunghezza
d’onda minore (ad es. Quelle
di oclore blu) sarà maggiore e
viceversa
Pertanto le lunghezze d’onda
minori hanno angoli di
rifrazione maggiori (il BLU
viene rifratto con angoli
maggiori del ROSSO)
L’arcobaleno è prodotto come
risultato della rifrazione dei
raggi luminosi (solari) sulle
goccioline di acqua nelle nubi
o nella precipitazione. Il
colore
all’interno
dell’arcobaleno è indacovioletto.
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Riflessione totale
Se un raggio luminoso incide sulla superficie di separazione provenendo da un mezzo più denso verso
un mezzo meno denso, l’angolo di rifrazione è maggiore di quello di incidenza. Esisterà allora un
angolo di incidenza q1 = qc, detto angolo limite o angolo critico per il quale l’angolo di rifrazione vale
q2 = 90°, e per cui per q1 > qc non si ha angolo rifratto ma soltanto angolo riflesso. Tale angolo
numericamente si trova imponendo
n1 sin qc = n2 sin 90°
da cui si ricava:
n
q c  arcsin
2
n1
n1  n2
Esempi di applicazione di questo fenomeno sono le fibre ottiche, i periscopi, ecc.
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Polarizzazione per riflessione: legge di Brewster
Quando un raggio luminoso non polarizzato incide su una superficie di separazione tra due mezzi, esso
può essere scomposto in due direzioni di polarizzazione, una perpendicolare ed una parallela al piano di
incidenza (nella figura, la superficie della pagina).
In generale, il raggio riflesso mantiene entrambe le componenti, ma quando l’angolo di incidenza (e di
riflessione) assume il particolare valore qB (detto angolo di Brewster), il raggio riflesso risulta avere
soltanto la componente perpendicolare (cioè è polarizzato).
Il valore di qB è tale che
qB + qr = 90°
dove qr è il raggio rifratto. Utilizzando la legge
della rifrazione, si ha:
n1 sin qB = n2 sin qr
ma
n1 sin qB = n1 sin (90°- qr) = n1 cos qr
da cui si ottiene la legge di Brewster:
q B  arctan
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n2
n1
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