Lezione 9

Campo magnetico generato da una corrente
Un elemento di carica dq genera un campo elettrico dE nel
punto P. Allo stesso modo, un elemento di filo dl (o ds) percorso
dalla corrente I genera il campo magnetico dB dato da:
dB 
m 0 i ds sin 
4
r2

o vettorialmente
m i ds  r
dB  0
4 r 2
7
2
NA è
Nota come legge di Biot e Savart, dove m 0  4  10
la permeabilità magnetica del vuoto.
L’unità di misura del campo magnetico B è, nel sistema SI, il
tesla T: 1 T = 1 N A-1 m-1 = 1 V s m-2 = 1 Weber m-2
Un’altra unità di misura è il gauss: 1 gauss = 10-4 tesla
L’unità di misura della costante m0 nel sistema SI è N A-2 = T A-1
m = Henry m-1
Il vettore dB giace in un piano perpendicolare alla direzione di
dl ed è perpendicolare al piano individuato da dl e r.
Le linee di forza di B (linee di induzione) sono circonferenze
giacenti su piani perpendicolari alla direzione di dl. Il loro verso
è concorde con quello di rotazione di una vite destrorsa che
avanza nel verso della corrente.
Legame tra la costante dielettrica e la permeabilità magnetica
del vuoto:
1
 0 m0  2
c
Lezione n. 9
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1
Campo magnetico in un filo rettilineo
Nel caso in cui il filo sia rettilineo, il campo
è lo stesso e vale, come visto:
dB 
m 0 i ds sin 
4
r2
La direzione di dB è data dalla regola della
mano destra. Essa è la stessa per ogni
elemento ds del filo, per cui per trovare il
campo totale si integra su tutto il filo.
Dal momento che vi è simmetria con la parte inferiore del filo, si introduce il fattore 2. Si


m
i sin 
0
ha: B  2 dB 
ds ed essendo
0
2 0 r 2
sin   sin(    ) 

B
R
s2  R2
r  s 2  R2
e
si arriva all’equazione:
m 0i
m 0i
R
s
ds

2 0 s 2  R 2 3 / 2
2R s 2  R 2 1/ 2


0
m 0i
2R
Il campo B dipende soltanto dalla corrente i e dalla distanza R dal filo. Le linee di campo
di B sono circonferenze concentriche al filo (esperimento della limatura di Fe), e la
direzione è quella data dalla regola della mano destra.
Lezione n. 9
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2
Campo magnetico al centro di una spira circolare
Si consideri l’arco (di circonferenza) del filo in figura. Il
campo magnetico generato nel centro di curvatura C è
ricavabile a partire dall’equazione generale:
m 0 i ds sin 
dB 
4
r2
In questo caso  = 90° e siccome ds = R df si può
calcolare il contributo dell’intero filo dal momento che
ogni elemento infinitesimo ds si trova alla stessa distanza
R dal punto C, si ha:
f
f
f
m0 i Rdf m0i
m0if
B   dB  

df 
2

4 R
4R 0
4R
0
0
Nel caso di una spira circolare df  2 e quindi:
Lezione n. 9
B
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m 0i
2R
3
Forza tra due conduttori paralleli
mi
La corrente circolante nel filo a genera un campo magnetico Ba  0 a
2d
Orientato verso il basso. La forza esercitata dal filo b sul filo
a è data dall’equazione
Fba = ib L x Ba
e poichè L  Ba si ha:
Fba  ib LBa sin 90 
m 0 Lia ib
2d
con direzione verso il filo a se le
due correnti sono concordi. Analogamente si trova
Fba=Fba
Nella figura a destra è raffigurata un’applicazione di questo
fenomeno nel cannone elettromagnetico a rotaia: la corrente
circolante genera un campo magnetico e quindi una forza che spinge
il proiettile.
Nel caso più generale, la forza può essere scritta come:
Lezione n. 9
 dl
 I  dl
F1  I1
1
 B2
F2
2
 B1
2
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4
La legge di Ampère
Analogamente alla legge di Gauss per il calcolo dei campi elettrici per distribuzioni simmetriche,
anche la legge di Ampère permette di semplificare il calcolo del campo magnetico per distribuzioni
simmetriche. La legge di Ampère dice:
 B  dl  m
l
0
I
dove l’integrale è la circuitazione di B cioè
CB 
 B  dl
l
effettuato
lungo una linea chiusa, e dove la corrente I è la corrente netta che fluisce attraverso la superficie
individuata dalla linea chiusa. Nell’esempio in figura, i1 e i3 sono entranti e i2 uscente. La linea
chiusa esclude i3 ed è percorsa in senso antiorario. La corrente i3 non contribuisce quindi alla
circuitazione di B in quanto è esterna alla linea chiusa.
Osservazioni
Il teorema di Ampère è valido solo per correnti stazionarie e per campi magnetici che non variano con
il tempo (statici).
CB = 0 non significa necessariamente che B = 0 in ogni punto, ma solo che è nulla la corrente totale,
attraverso un’area di cui la curva chiusa è il contorno.
Lezione n. 9
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5
B in un filo percorso da corrente
mi
All’esterno del filo il campo vale
ed ha
B 0
2 R
simmetria cilindrica rispetto al filo.
Se si sceglie come linea chiusa una circonferenza
concentrica al filo di raggio r > R (figura in basso a sinistra)
B ha la stessa intensità lungo la linea ed è sempre parallelo
alla linea stessa per cui la circuitazione vale semplicemente
B 2r:
CB  B
 dl  B 2 r 
l
Da cui si ricava la formula di cui sopra.
All’interno del consuttore, invece, essendo la corrente I
uniformemente distribuita nel filo, B deve avere simmetria
cilindrica e quindi se si sceglie come curva chiusa una
circonferenza concentrica al filo di raggio r < R si ottiene
come sopra CB= B 2r . Ma la corrente vale
2
r
I i
 R2
e quindi
Lezione n. 9
 mi 
B 0 2
 2 R 
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6
B in un solenoide
Solenoide: lungo filo avvolto in spire. Si applica l’approssimazione di solenoide indefinito
(lunghezza >> diametro spire) per cui B è presente soltanto all’interno del solenoide.
Scegliendo come linea chiusa il rettangolo abcd, ed applicando la legge di Ampère, si
ottiene che gli integrali relativi ai lati bc e da sono nulli perchè B  ds mentre quello
relativo al lato cd è nullo perchè ivi B=0 e quindi rimane soltanto il contributo del lato ab
per cui CB = B h D’altra parte la corrente I entrante nel rettangolo abcd vale I = i n h
dove n è il numero di
spire per unità di
lunghezza (nh è il
numero
di
spire
comprese nel tratto h) ed
uguagliando si ottiene
B = m0 I n
Lezione n. 9
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7
B in un toroide
Toroide: solenoide piegato a forma di
ciambella. In questo caso il campo magnetico
B è presente soltanto all’interno del toroide e
le linee di forza sono circonferenze
concentriche con il toroide.
Scegliendo come linea chiusa una di queste
circonferenze, di raggio r, ed applicando la
legge di Ampère percorrendola in senso orario,
si ottiene B 2  r = m0 i N dove N è il
numero totale di spire. Cioè:
m 0iN
B
 m 0in
2 r
Definendo n = N / (2  r) numero di spire per
unità di lunghezza. Si noti comunque che B
non è costante sulla sezione del toroide. Il
verso, al solito, è dato dalla regola dellamano
destra.
Lezione n. 9
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8
Bobina percorsa da corrente
Si è visto che una bobina si comporta da dipolo magnetico in quanto in presenza di B
esterno su di essa agisce un momento torcente dato da t = m x B dove m è il momento
magnetico di dipolo della bobina, dato da m = N i A . Il campo magnetico generato
sull’asse di una singola spira (punto P, a distanza z dal piano della spira) da un elemento
infinitesimo ds della spira vale, per la legge di Biot e Savart:
m 0 i ds sin 90
dB 
4
r2
dB||  dB cos 
r  R 2  z 2 ; cos  
R

r
dB|| 
R
R z
2
dB|| 
m 0 i cos  ds
4 r 2
e poichè si ha:
da cui si ha
2
m 0iR
4
R
2
z

2 3/ 2
ds
che integrato da:
B( z ) 
Per z >> R si ha:
Lezione n. 9
B( z ) 
m 0iR 2
2z3

m0iR 2
2R z
2
m 0 NiA m 0 m


3
2 z
2 z 3

2 3/ 2
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9
La legge di Gauss per il campo B
Il flusso del campo magnetico attraverso una superficie
aperta è dato da:
B 
 B dS   B cos dS
S
S
Ed attraverso una superficie chiusa, invece, da:
B 
 BdS   B cos dS
S
S
L’unità di misura del flusso di B nel sistema SI è il
weber (Wb): 1 Wb = 1 T m2
La legge di Gauss Il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre
nullo:
 B  dS  0
B  0
S
Osservazioni
B = 0 esprime il fatto che non esistono cariche magnetiche isolate (monopoli magnetici);
Le linee di campo di B sono sempre linee chiuse: non vi sono punti sorgenti del campo.
Lezione n. 9
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