Meccanica 3 - Sezione di Fisica

Meccanica 3
7 marzo 2011
Cinematica in due dimensioni
Vettore spostamento. Velocita` media e istantanea
Componenti cartesiane e polari. Velocita` azimutale
Coordinata curvilinea
Accelerazione media e istantanea
Accelerazione in coordinata curvilinea
Cerchio osculatore
Moto circolare. Moto circolare uniforme e sue proiezioni cartesiane
Vettore velocita` angolare
Moto su di un piano
• Ovvero moto in due dimensioni
• Ora è necessario specificare due coordinate per
individuare compiutamente il moto di un corpo
• Scelte più frequenti:
– Coordinate cartesiane
– Coordinate polari
• Mentre nel moto rettilineo la natura vettoriale di una
grandezza era manifestata dal segno, ora dobbiamo
introdurre il formalismo vettoriale in modo compiuto
• Molto di quanto diremo per un piano può estendersi
immediatamente allo spazio
2
Vettori su di un piano
• Spostamento, velocità e accelerazione
sono grandezze vettoriali
• Ogni vettore su di un piano può essere
espresso come somma di due vettori
• Per lo spazio: ogni vettore può essere
espresso come somma di tre vettori
• Tra i vettori ce ne sono di particolari, detti
versori o vettori unitari, in quanto hanno
intensità unitaria e dimensioni fisiche nulle
3
Vettore posizione
• Il vettore posizione si può quindi scrivere
– In coord. cartesiane r t  xtux  ytuy



– In coord. polari r t    t u  0u
• Ove le funzioni che
moltiplicano
i
versori

sono le proiezioni del vettore lungo le
direzioni dei versori stessi
• Similmente in tre dimensioni
– In coord. cartesiane r t  xtux  ytuy  ztuz




– In coord. sferiche r t   r t u  0u  0u
r

4
Vettore posizione
• Una importante differenza tra sistema
cartesiano e polare è che nel primo
l’orientazione dei versori è indipendente
dal particolare vettore posizione e quindi
dal tempo, mentre nel secondo in generale
dipende da questi
5
Vettore spostamento
• È la differenza di due vettori
posizione, ad esempio r t  t  e
r t 
r t   r t  t   r t 



r t 
r t 


r t 
r t 
r t  t 

r t  t 
6

Vettore spostamento
• In coordinate cartesiane lo spostamento si può
esprimere
r t   x t  t   x t ux  y t  t   y t uy
• Ove non c’è ambiguità sui versori da usare, in
quanto sono gli stessi per i due vettori posizione

r t 
r t 


r t  t 
7
Vettore spostamento
• In coordinate polari lo spostamento si può
esprimere con i versori relativi a r t 



r t    t  t    t u   rf t  t   rf t uf
• Ciò in pratica equivale a proiettare r t  t  lungo
r t  e lungo la direzione perpendicolare,
f

r t  
r t 

r t  t 
8

Vettore velocità
• Similmente a quanto fatto nel caso
unidimensionale, definiamo la velocità media
come
r t  r t  t   r t 
v 

m
t
t
• Che è da intendersi, in coordinate cartesiane,
come

r t  x t  t   x t 
yt  t   yt
vm 
t

t
ux 
t
uy
• Cioè come la coppia di velocità medie lungo x e y

9
Vettore velocità
• La velocità istantanea è, di nuovo, il
limite della velocità media quando
l’intervallo di tempo tende a zero:
x t  t   x t 
y t  t   y t 
r t 


v  lim
 lim
ux  lim
uy 
t 0 t
t 0
t 0
t
t
dx
dy

ux 
uy  v x ux  v y uy
dt
dt

10
Vettore velocità
• In coordinate polari avremo



rf t  t   rf t  

r t   t  t    t  
vm 

u 
uf
t
t
t
• Ove ora la coppia di velocità è formata
dalla velocità radiale (cioè lungo ) e da
quella azimutale (cioè lungo f)
11
Vettore velocità
• E per la velocita` istantanea:


r t  t   r t  
 dr

 t  t    t  
v
 lim
u  lim
u
dt t 0
t
d  drf 



u 
uf  v u   vf uf
dt
dt

f
t 0
f
t
f

• È importante esprimere in altro modo
la velocità azimutale
12
Vettore velocità
• Se l’intervallo di tempo è infinitesimo,
anche il vettore spostamento sarà
tale
dr  du  dfuf
dr t 



 r t  dt 

d u 
dfuf
r t 

13
Vettore velocità
• Per trovare la velocità basta dividere lo
spostamento per l’intervallo di tempo:
dr d
df

u  
uf
dt dt
dt
• Dal confronto con l’espressione
precedentemente trovata, abbiamo che la
velocità
 azimutale è
df

dt
dt
drf
14
Vettore velocità
• Interpretazione geometrica del vettore velocita` media:
• la direzione e` quella della secante alla traiettoria
percorsa dal corpo in moto, individuata dai vettori
r t  e r t  t 
• il modulo e` il rapporto tra il modulo del vettore
spostamento e l’intervallo di tempo necessario a
Considerazioni indipendenti
 percorrerlo


dal sistema di riferimento
r t 


v

r t 
m
r t 
t
r t 
r t  t 
r t 
r t  t 
15

Vettore velocità
• Interpretazione geometrica del vettore velocita`
istantanea: la direzione e` quella della tangente alla
traiettoria percorsa dal corpo in moto, al tempo t
• il modulo e` il limite del rapporto tra il modulo del
vettore spostamento e l’intervallo di tempo
necessario a percorrerlo
Considerazioni indipendenti
dal sistema di riferimento

v t 

r t 

r t 


r t 
v  lim
t  0  t
r t 
r t  t 

r t 

v t 
r t  t 

16
Velocita`: riassunto



• Velocita` in coordinate cartesiane: v  vxu x  v y u y
dy
dx
v

y
• Componenti: vx  dt
dt
2
• Modulo:
v  vx  v y
2
2
 dx   dy 
    
 dt   dt 
• Velocita` in coordinate
d
• Componenti: v  dt
2



polari: v  v u   vf uf
df
vf  
dt
 d   d f 
 
 

 dt   dt 
2
• Modulo: v  v 2  vf 2
Generalizzabile
Immediatamente al
moto nello spazio
2
17
Coordinata curvilinea
• Il moto lungo la traiettoria puo` essere descritto mediante una
coordinata curvilinea s, misurata da un’origine arbitraria sulla
traiettoria
• s esprime la lunghezza della traiettoria
• ds/dt esprime la variazione temporale della posizione sulla
traiettoria, cioe` la velocita` istantanea
• Con questa scelta, il vettore velocita` e` determinato, istante per
istante, dal modulo (ds/dt) e dal versore uT che individua la
direzione della tangente alla curva


 dr t  ds  uT ds 


v



u

v
u
T
T
v t1 
dt
dt
dt
O

uT t1 

uT t2 


dr t   ds  uT

v t2 
18
Un risultato importante
• Nel definire la velocita` abbiamo introdotto il versore uT
• Calcoliamo ora la derivata di uT rispetto al tempo, tale
risultato ci sara` utile nello studio dell’accelerazione

uT t 
f

uT t 
f

uT t  t 
f


uT t  t   uT t 

uT t  t 
19
Un risultato importante
• Troviamo la differenza dei versori uT calcolati nei due
istanti di tempo, con considerazioni geometriche
• La direzione sia individuata da un versore e, che
dipende pure dai due istanti di tempo
 f 
• Il modulo e` dato dalla formula trigonometrica 2 sin  
 2 


 f  
• Avremo uT t  t   uT t   2 sin  e t , t 
 2 

uT t 
f 2

uT t  t 
20
Un risultato importante
• La derivata e` dunque il limite del rapporto


uT t  t   uT t 
 sin f 2 

lim
 lim 2
e t , t 
t 0
t 0
t
t


• Facendo opportune manipolazioni algebriche e
applicando il teorema del limite di un prodotto :

 sin f 2 
duT t 
f

 lim 
 lim
 lim e t , t 


t

0

t

0
dt
t t 0
 f 2 
• Il primo termine vale 1, il secondo termine e` la
derivata temporale dell’angolo f, il terzo termine e` il
versore uN perpendicolare a uT e rivolto verso la
convessita` locale della traiettoria

d
u
df 
In modo simile avremmo
T t 

u N t 
potuto calcolare la velocita`
dt
dt
a partire dal vettore posizione

uT t 

u N t 
21
Analogamente
• Possiamo ripetere le considerazioni anche per il
versore 
ˆ t  t   ˆ t 
 sin f 2 

lim
 lim
2
e t , t 
t 0
t 0 
t
t


 sin f 2 
dˆ t 
f

 lim
 lim
 lim
e t , t 

t 0 
t 0
t 0
dt
t
 f 2 
• Il terzo termine e` ora il versore f
dˆ t  df ˆ

f t 
dt
dt
fˆt 
̂ t 
f
22
Analogamente
• Idem per il versore f
fˆt  t   fˆt 
 sin f 2 



lim

lim
2
e
t
,

t

t 0
t 0 
t
t

 sin f 2 
dfˆt 
f

 lim
 lim
 lim
e t , t 

t 0 
t 0
t 0
dt
t
 f 2 
• Il terzo termine e` ora il versore -
dfˆt 
df

ˆ t 
dt
dt
fˆt 
f
 ̂ t 
23
Velocita` in coordinate polari
• Con i risultati raggiunti possiamo ricalcolare facilmente la velocita` in
coordinate polari f

dˆ t 
 dr t  d  t ˆ t  d t 
v


ˆ t    t 

dt
dt
dt
dt
d t 
df t  ˆ

ˆ t    t 
f t 
dt
dt
• Che e` l’espressione ottenuta
precedentemente
24
Vettore accelerazione

 dv t 
a
dt
• E` definito come
• Usando per convenienenza la coordinata
curvilinea, eseguiamo la derivata della velocita`:



duT t  dv 
df 
 dv t  d vt uT t  dvt  
 
a


uT t   vt 
 uT  v u N  aT  a N
dt
dt
dt
dt
dt
dt
• Mentre per definire la velocita` basta il vettore
uT, per l’accelerazione ne servono, in generale,
due: uT e uN
25
Vettore accelerazione
• Il primo va a costituire l’accelerazione
tangenziale cioe` tangente alla traiettoria: e`
relativo alla variazione di modulo della velocita`
• Il secondo l’accelerazione normale, cioe`
perpendicolare alla traiettoria e verso la
convessita` di questa: e` relativo alla variazione
di direzione della velocita`

aT

v t 

dv 
aT  uT
dt

df 
aN  v
uN
dt

v t  t 

aN
26
Moto circolare
• Sono i moti che avvengono lungo una
circonferenza
• Poiche’ la velocita` cambia direzione
continuamente, deve essere sempre presente
un’accelerazione
• Se la velocita` e costante in modulo il moto si
dice uniforme
• Si puo` descrivere il moto o con la coordinata
curvilinea s o con la coordinata angolare ,
corrispondente all’angolo al centro sotteso da s
s  R
27
Moto circolare
• Similmente a quanto fatto per il moto
unidimensionale, si definiscono
–
–
–
–
Posizione angolare 
Spostamento angolare 

Velocita` angolare media m 
t
d


Velocita` angolare istantanea
– Accelerazione angolare media  m 
– Accelerazione angolare istantanea
dt

t
d d 2

 2
dt
dt
28
Moto circolare
• In un moto circolare la velocita` radiale e`
sempre nulla, poiche’ il raggio vettore non
cambia in modulo (ma solo in direzione)
• La velocita` coincide quindi con la velocita`
azimutale
• La velocita` e` costante se e solo e` tale la
velocita` angolare
v 
d
0
dt
v  v  
d
 R
dt
vt   Rt 
29
Moto circolare uniforme
• Il modulo della velocita` e` costante
• Quindi l’accelerazione tangenziale e` nulla
• Rimane l’accelerazione normale (centripeta)
v2
a  aN 
 2R
R
• Il moto e` periodico con periodo T pari al tempo
di percorrenza della circonferenza:
T
2R 2

v

30
Moto circolare non uniforme
• Cioe` il modulo della velocita` non e` costante
• In questo caso c’e` accelerazione tangenziale
• Inoltre l’accelerazione centripeta non e`
costante, cio` e` conseguenza 2della formula
che la lega alla velocita`: aN  v
R
• Inoltre dalla relazione tra velocita` e velocita`
angolare segue che quest’ultima non e`
v  R
costante e quindi esiste un’accelerazione
angolare
d d  v  1 dv 1

dt

 aT
 
dt  R  R dt R
31
Esempio: moto circolare
uniformemente accelerato
• Cioe` con accelerazione angolare costante
• Dalla formula precedente cio` equivale ad
avere un’accelerazione tangenziale costante
• Integrando l’equazione che definisce ,
troviamo per la velocita` angolare:
  0  t
• E l’accelerazione centripeta risulta dipendente
2
dal tempo:
a   2 R  R  t 
N
0
32
Moto circolare uniforme
• Se proiettiamo il moto sui due
assi cartesiani, con origine nel
x  R cos  R cost  0 
centro della circonferenza:
• Ove 0 e` il valore assunto
y  R sin   R sin t   0 
dall’angolo al tempo t=0
• Abbiamo ottenuto l’importante
risultato che il moto circolare
R
uniforme puo` essere pensato
come la sovrapposizione

vettoriale di due moti armonici di
ugual ampiezza, sfasati di un
quarto di periodo
33
Esercizio
• Trovare il moto risultante dalla sovrapposizione
dei due moti lungo x e y
x  R cos t
y  R cos t
34
Esercizio
• Dati i due moti lungo x e y
x  a cos t
y  b sin t
• Trovare: a) l’equazione della traiettoria,
eliminando il tempo dalle equazioni;
b) l’espressione della distanza radiale (t);
c) l’espressione della coordinata angolare f(t);
d) il vettore velocita` in coordinate cartesiane;
e) il vettore velocita` in coordinate polari
35
Esercizio
• 1) n. 2.24 pag 47 MNV
36
Vettore velocita` angolare 
• Possiamo considerare la velocita` angolare del moto
circolare un vettore
d


• Il modulo e`
dt
• La direzione e` perpendicolare al piano del moto circolare
• Il verso e` determinato con 2a regola della mano destra:
e` indicato dal pollice e la rotazione dalle altre quattro dita
• Introduciamo il concetto di asse di rotazione: e` la retta
perpendicolare al piano del moto circolare passante per il
centro della circonferenza
• Si deve pensare che il vettore  sia applicato ad un punto
(per altro arbitrario) dell’asse di rotazione
37
Vettore velocita` angolare 

• Grazie ad  possiamo
  esprimere la
velocita` come v    r
• Ove r e` il vettore distanza tra il punto di
applicazione di v e quello di  (punto
arbitrario sull’asse di rotazione)
• Derivando  rispetto al tempo otteniamo
il vettore accelerazione angolare 
• Calcoliamo l’accelerazione a con le due
componenti tangenziale e centripeta:



 dv d   d   dr
a
   r  
r 

dt dt
dt
     
   r    v  aT  aN
r
v


r
v
dt
aN
aT
38
Esercizio
• Un punto P si muove di moto rettilineo
• Un osservatore O, che non giace sulla retta
percorsa da P, vede il punto muoversi con
velocita` angolare 
• Trovare come varia  in funzione della
posizione di P
P
h

O
39
Cerchio osculatore
• Consideriamo una traiettoria
planare
• In un suo punto arbitrario P
tracciamo una circonferenza:
abbiamo possibilita` doppiamente
infinite di scelta, corrispondenti
alle due coordinate del centro
della circonferenza
• Se chiediamo inoltre che la
circonferenza abbia in P la stessa
tangente della traiettoria, la scelta
si riduce a semplicemente
infinita, corrispondente alla
lunghezza del raggio della
circonferenza (il centro deve
infatti trovarsi sulla retta
perpendicolare in P alla tangente)
P
P
40
Cerchio osculatore
P
• Se inoltre chiediamo che in P
la derivata seconda del
cerchio sia uguale a quella
della traiettoria, abbiamo una
sola possibilita` di scelta
• Questa circonferenza,
determinata univocamente,
prende il nome di
circonferenza osculatrice (CO)
• Essa rappresenta la circonferenza che meglio approssima
localmente la traiettoria
• Il raggio R della circonferenza e` detto raggio di curvatura della
traiettoria
• In generale la CO varia da punto a punto (o istante per istante) lungo
la traiettoria, cioe` variano la posizione del centro e la lunghezza del
41
raggio
Cerchio osculatore: casi particolari
• Nei punti di flesso della
traiettoria la derivata seconda
cambia segno (cioe` si annulla)
• In questo caso la circonferenza
degenera in una retta
• Ovvero si puo` immaginare che il
raggio di curvatura diventi
infinitamente grande
• Nei punti angolosi non si puo`
definire un cerchio osculatore
• Tutt’al piu` si puo definirne uno a
destra e un altro a sinistra del
punto
P
P
42
Accelerazione e cerchio osculatore
•
•
•
•
•
•
Vediamo ora che relazione esiste
tra velocita` sulla traiettoria e
circonferenza osculatrice
Sia C il centro della CO
Accanto alla coordinata curvilinea
s sulla traiettoria, introduciamo
anche sulla CO una coordinata
curvilinea s’
Consideriamo uno spostamento
infinitesimo nel punto P, questo si
puo` scrivere, per definizione di
CO: ds=ds’ (a meno di termini di
ordine superiore a due)
Se ora introduciamo l’angolo g
con vertice in C e semiretta
origine CP, possiamo scrivere lo
spostamento infinitesimo lungo la
CO in termini di quest’angolo e
del raggio R della CO: ds’=Rdg
Otteniamo infine ds=Rdg
P
C
P
dg
R
C
43
Accelerazione e cerchio osculatore
Considerazioni indipendenti
dal sistema di riferimento
• Se ora dividiamo entrambi i membri per l’intervallo di tempo
infinitesimo dt, otteniamo una relazione di uguaglianza tra la
velocita` lungo la traiettoria e sulla CO:
ds
dg
vtraiettoria 
dt
R
dt
 vCO
• Inoltre, si puo` dimostrare che l’angolo df definito dalle
perpendicolari alle tangenti in due punti infinitamente vicini della
traiettoria coincide con l’angolo dg della CO, quindi
df
vR
dt
• La componente normale dell’accelerazione si puo` dunque scrivere
(in modulo):
df v 2
aN  v
dt

R
• Tale componente e` anche detta centripeta, poiche’ punta sempre,
istante per istante, verso il centro del cerchio osculatore
44