Calamite e magnetismo
I primi materiali noti con proprietà magnetiche sono le magnetiti. Ogni magnete è composto
da due poli magnetici (esperimento della limatura di Fe). Dividendo il magnete in pezzi
sempre più piccoli, si hanno sempre dipoli magnetici, e per quanto si sa non esistono in
natura monopoli magnetici.
Ciò ha come conseguenza che B B dA 0 cioè che il flusso del campo magnetico
attraverso una superficie chiusa è nullo (legge di Gauss per i campi magnetici).
Tale legge vale per qualsiasi superficie chiusa, anche se essa comprende soltanto una parte
del magnete.
Lezione n. 11
Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A.
2001-02
1
Magnetismo terrestre
La Terra è un enorme magnete, e dal punto di vista magnetico può essere approssimabile ad un grosso
dipolo orientato lungo la direzione MM (l’asse di rotazione è RR, ed i due assi formano un angolo di
11.5°).
Il momento di dipolo magnetico terrestre vale m = 8 1022 J/T ed incrocia la superficie terrestre nella
Groenlandia (polo Nord geomagnetico) ed in Antartide (polo Sud geomagnetico). Il polo Nord
geomagnetico è in realtà un polo Sud magnetico.
Per la misura della direzione di B si usano le bussole (magneti ruotanti attorno ad un asse verticale).
Sulla superficie terrestre il campo B differisce da quello teorico di un dipolo ideale a causa di
disomogeneità nella composizione della superficie e del mantello, ed è soggetto a variazioni a corto e
lungo periodo (ogni milione di anni inverte polarità).
Lezione n. 11
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Magnetismo ed elettroni
L’elettrone ha due momenti intrinseci: un momento angolare di spin S ed un momento di
dipolo magnetico (di spin) ms. In fisica quantistica, si dimostra che la relazione tra i due
è: ms = - e S / m dove e = 1.6 10-19 C e m = 9.11 10-31 Kg.
Lo spin S non è misurabile direttamente, ma sono misurabili le sue componenti lungo un
asse, e tali componenti sono quantizzate. Cioè si ha Sz = ms h / (2 p)
dove ms =
0.5 è il numero quantico magnetico di spin e h=6.63 10-34 Js è la costante di Planck.
Anche ms non è misurabile direttamente, ma sono misurabili le sue componenti lungo un
asse, e tali componenti sono quantizzate. Si ha ms,z = - e Sz / m = e h / (4 p m) = mB
dove mB = e h / (4 p m) è detto magnetone di Bohr.
Un elettrone immerso in un campo Bext possiede un’energia
potenziale U = - ms ° Bext Inoltre un elettrone atomico possiede
anche un momento angolare orbitale Lorb al quale è associato il
momento di dipolo orbitale morb dato da: morb = - e Lorb / 2m
In presenza di un campo magnetico esterno, inoltre, si ha anche
l’energia potenziale Uorb data da:
Uorb = morb ° Bext
Lezione n. 11
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3
Modello dell’elettrone “a spira”
Supponiamo che un elettrone percorra un’orbita circolare di raggio r >> ra
(dove ra è il raggio atomico – modello “a spira”) ruotando a velocità costante
v in senso antiorario. Tale situazione è equivalente a quella di una spira di
raggio r percorsa dalla corrente i = e / T dove T è il periodo dell’orbita.
Pertanto i ev
2pr
ed il momento orbitale è m iA evr
orb
2
Elettrone che gira in senso orario
Per quanto riguarda il momento angolare orbitale, invece, Lorb = m r v cioè
L mrv sin 90 mrv il che mostra come la relazione tra morb e Lorb è:
orb
μ orb
e
L orb
2m
In presenza di un campo magnetico
esterno non uniforme Bext, ipotizzando
per semplicità che gli angoli tra Bext e la
verticale siano uguali su tutta l’orbita, si
vede che agisce una forza risultante F il
cui modulo vale dF = i dL x Bext per ogni
elemento infinitesimo di orbita dL. La
componente orizzontale di F è bilanciata
dalla forza centrifuga e la componente
verticale di F è diretta verso l’alto o
verso il basso a seconda del verso
dell’orbita.
Lezione n. 11
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Elettrone che gira in senso antiorario
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Sostanze magnetiche
In questa trattazione ci si limiterà a considerare materiali
omogenei ed isotropi.
Inserendo una sostanza in una zona di spazio in cui è presente
campo magnetico B, si hanno tre differenti comportamenti:
1. Il materiale è (debolmente) respinto () con una forza F B2
dal campo magnetico B– tali sostanze sono dette
diamagnetiche (es.: Bi, Cu, H2O, N liq., ...)
2. Il materiale è (debolmente) attratto () con una forza F B2 dal
campo magnetico B – tali sostanze sono dette paramagnetiche
(es.: Al, Na, O2 liq., ...)
3. Il materiale è fortemente attratto () con una forza F B dal
campo magnetico B – tali sostanze sono dette ferromagnetiche
(es.: Fe, Co, Ni, ...)
Le sostanze della terza categoria sono genericamente dette
sostanze magnetiche.
N
S
F
B
I
I
Si consideri un solenoide con il vuoto all’interno: il coefficiente di
induzione è L0 ed il campo magnetico è B0 = m0 n i.
Se l’interno del solenoide viene riempito con un materiale magnetico, si
nota che il coefficiente di induzione diventa L= mr L0 ed il campo
magnetico diventa anche è B B0
Si ha mr <1 per i materiali diamagnetici, mr >1 per i materiali
paramagnetici e mr >>1 e dipendente dalla corrente i per i materiali
ferromagnetici.
Lezione n. 11
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Suscettività magnetica
Si definiscono le seguenti grandezze, la relazione tra le quali è data da:
m = permeabilità magnetica
m mr m0
m0 = permeabilità magnetica del vuoto
mr = permeabilità magnetica relativa
cm = suscettività magnetica
Nei materiali diamagnetici cm < 0
Materiale
mr 1 c m
Valore di cm
Diamagnetico
B0
B 0 B1
- 9.1 10-6
- 9.6 10-6
Acqua
Rame
Nei materiali paramagnetici cm > 0
Paramagnetico
B0
B 0 B1
Nei materiali ferromagnetici cm >> 0
7.2 10-6
2.2 10-5
Sodio
Alluminio
Ferromagnetico
B0
B 0 B1
Ferro
Mu-metal
Lezione n. 11
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5.5 103
1.0 105
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Diamagnetismo
Si usa il modello dell’elettrone “a spira”. In assenza di campo magnetico
esterno Bext, gli atomi hanno momento magnetico totale nullo (lo spin ed il
momento magnetico orbitale si compensano). Inoltre, il numero degli
elettroni rotanti in senso orario uguaglia quelli rotanti in senso antiorario.
Se viene applicato un campo magnetico esterno non uniforme Bext (p.es.
divergente) crescente. Al crescere di Bext, viene indotto sull’elettrone un
campo elettrico Eind diretto in senso orario.
L’effetto sull’elettrone rotante in senso antiorario è di un’accelerazione i
nella “spira” aumenta morb (diretto ) aumenta per cui l’elettrone assume
un momento netto m (diretto ).
L’effetto sull’elettrone rotante in senso orario è di una decelerazione i
nella “spira” diminuisce morb (diretto ) diminuisce per cui l’elettrone
assume un momento netto m (diretto ).
Per quanto riguarda l’atomo nel suo complesso, nel caso della rotazione
antioraria si ha un’accelerazione i nella “spira” aumenta la forza netta
(diretta ) aumenta si ha una forza netta verso l’alto (diretta ).
Nel caso della rotazione oraria si ha una decelerazione i nella “spira”
diminuisce la forza netta (diretta ) diminuisce si ha una forza netta
verso l’alto (diretta ).
In tutti i casi, nonostante la semplicità del modello, si vede come si sia
sviluppato un momento magnetico m opposto a Bext.
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Elettrone che gira in senso orario
Elettrone che gira in senso antiorario
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Paramegnetismo
Anche qui si usa il modello dell’elettrone “a spira”. In questo caso, lo spin ed il momento magnetico
orbitale degli atomi si sommano per dare m0. In assenza di campo magnetico esterno Bext, i momenti
m sono orientati a caso q quindi il momento complessivo è nullo.
Se viene applicato un campo magnetico esterno Bext crescente, essi si orientano allineandosi con Bext,
per cui il materiale acquista un momento magnetico complessivo non nullo orientato parallelamente a
Bext.
Tale momento complessivo, in teoria, per un volume di materiale contenente N atomi dovrebbe valere
Nm. Tuttavia a causa dell’agitazione termica è molto minore di tale valore.
m compl
Si definisce magnetizzazione il momento magnetico complessivo per unità di volume M
V
La legge di Curie dice che la magnetizzazione
è direttamente proporzionale al campo
magnetico esterno Bext ed inversamente alla
B
temperatura T: M ext
T
Tale relazione è in realtà valida soltanto per
valori bassi di Bext.
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Ferromagnetismo
In alcuni elementi (tra i quali Fe, Cb, Ni, …) si ha accoppiamento di scambio (lo spin degli atomi
interagisce con quello degli atomi vicini provocando un allineamento persistente dei dipoli atomici
secondo rigidi parallelismi (domini magnetici: sottili regioni nelle quali l’allineamento dei dipoli
cambia bruscamente passando da un dominio all’altro e nei quali il campo magnetici è molto intenso).
L’agitazione termica degli atomi contrasta questo allineamento, ma fintanto che non viene superato un
valore termico di soglia (Tc, detto temperatura di Curie: per il Fe Tc = 1043 K), l’allineamento persiste.
Per T > Tc invece l’accoppiamento di scambio sparisce e la sostanza diventa paramagnetica.
In condizioni normali i domini hanno orientazioni diverse ed il campo magnetico complessivo è
praticamente nullo. Ma un materiale ferromagnetico posto in un campo magnetico esterno Bext sviluppa
un forte momento dipolare magnetico nella direzione di Bext .
Le dimensioni dei domini magnetici possono variare da qualche decimo
di micron (ad es. nella magnetite 3 10-7 m) fino a qualche mm (ad es.
nell’ematite 1 mm).
Ad altissime temperature (centinaia di gradi °C, cioè oltre la temperatura
di Curie), i domini magnetici possono variare la loro orientazione
allineandosi con la direzione del campo magnetico esterno Bext (per es.
quello terrestre). Raffreddandosi, tali materiali fossilizzano la direzione
di magnetizzazione nei domini magnetici (magnetizzazione
termopermanente). In questo modo (usando le tecniche di datazione
fossile), è stato possibile documentare la variazione della direzione del
campo magnetico terrestre nei secoli scorsi.
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Magnetizzazione ed isteresi magnetica
Nell’anello di Rowland (toroide di Fe nelle cui spire circola la corrente iP ed in cui B = m0 n iP), detto
B0 il campo magnetico in assenza di Fe, si ha B >> B0 cioè B = B0 + BM dove BM è il contributo del Fe,
proporzionale alla magnetizzazione M. L’andamento di BM in funzione del campo magnetico senza Fe è
crescente (e simile alla curva di magnetizzazione delle sostanze paramagnetiche). BM,max è il massimo
valore possibile di BM. Per il Fe, il 70% degli atomi è magnetizzato per B0 ~10-3 T.
Aumentando il campo magnetico B0 da zero (punto a) fino ad un certo valore (punto b) e poi ritornando
al valore nullo, le curve di magnetizzazione non si sovrappongono ma appare una magnetizzazione
residua (punto c). Tale fenomeno è noto con il nome di isteresi magnetica, e la curva bcdeb è chiamata
ciclo di isteresi. Il fenomeno può essere spiegato qualitativamente pensando che l’orientazione dei
domini non è perfettamente reversibile, per cui si dice che il materiale conserva memoria dell’aumento
di B0 a cui è stato sottoposto.
Tale “memoria” è essenziale per l’immagazzinamento delle informazioni nelle memorie dei calcolatori.
Può essere rimossa riscaldando il materiale oltre il punto di Curie.
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Campi magnetici indotti: legge di Ampère-Maxwell
d B
La legge dell’induzione di Faraday E ds
stabilisce che la variazione del
dt
flusso del campo magnetico induce un campo elettrico indotto. Si può dimostrare
che è vero anche il contrario: la variazione del flusso del campo elettrico induce un
campo magnetico indotto. Tale meccanismo è insito nella legge dell’induzione di
Maxwell:
d E
B ds
0
m
0
dt
Si consideri un condensatore C durante la fase di carica. Sul piatto di destra il
campo elettrico E è entrante ed aumenta nel tempo. Lungo il percorso circolare
chiuso di raggio r (“spira”), E aumenta E aumenta viene indotto un campo B
lungo la “spira”. Tale campo viene indotto anche se la “spira” passa per un punto
esterno al condensatore (punto 2), e permane finchè E varia. Si noti la differenza di
verso tra il campo magnetico B generato da un campo elettrico E variabile entrante
(senso orario) ed il campo elettrico E generato da un campo magnetico B variabile
entrante (senso antiorario), evidenziata nel segno meno presente soltanto nella legge
di Faraday. Ricordando infine la legge di Ampère
, si può notare come le leggi di
B
ds
m
i
ch
0
Ampère e quella di Maxwell
forniscono due modi possibili per generare un
campo magnetico: attraverso una corrente oppure
attraverso un campo elettrico variabile nel tempo.
Tali due leggi possono essere conglobate nella
legge di Ampère-Maxwell:
d E
B
ds
m
m 0 ich
0
0
dt
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Corrente di spostamento
d
dq
E
La grandezza 0 dt dt i è dimensionalmente uguale ad una corrente, e viene denotata
convenzionalmente come corrente di spostamento ed indicata con is.
B ds m 0 (i is )
La legge di Ampère-Maxwell può quindi essere riscritta come
Nell’esempio del condensatore C, la corrente reale (di conduzione) che
carica C modifica il campo elettrico E tra le armature (perché fa
variare la d.d.p. tra di esse). La corrente di spostamento is, invece, è
associata alla variazione del campo elettrico.
La carica sulle armature di area A vale q = 0 A E. La corrente di
conduzione vale
i = dq / dt = 0 A dE / dt.
La corrente di spostamento vale
is = 0 dE / dt = 0 d(A E) / dt.
Cioè
is = 0 dE / dt = 0 A dE / dt i
La corrente di conduzione e la corrente di spostamento sono pertanto
equivalenti in valore assoluto e quindi si può pensare alla corrente
(fittizia) di spostamento come alla continuazione della corrente di
conduzione (reale) attraverso l’interruzione del conduttore tra i
piatti del condensatore, esplicitata tramite la presenza del campo
elettrico.
Il campo magnetico indotto dalla corrente di spostamento è
calcolabile allo stesso modo di quello generato dalla
m 0is
B
corrente di conduzione, e la sua intensità vale (r= distanza
2pr
dal centro della spira fittizia generatrice del campo):
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Equazioni di Maxwell
È possibile riepilogare le equazioni sin qui viste. Tali equazioni sono le quattro
equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo, note come equazioni di Maxwell.
Da esse è possibile ricavare praticamente tutti i concetti relativi
all’elettromagnetismo. Le ultime due, in particolare, dimostrano come campi
elettrici e magnetici siano interconnessi tra loro per cui è lecito parlare di
elettromagnetismo.
Lezione n. 11
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