SISS 2005/2006
MECCANICA
Antonio Ballarin Denti
CINEMATICA
Descrizione geometrica del moto
Studiamo:
1) Moto in una dimensione
- Moto uniforme
- Moto uniformemente accelerato
- Il caso del grave
2) Moto nel piano
- Natura vettoriale delle grandezze
cinematiche
- Moto del proiettile
CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE
Grandezze fondamentali
velocità scalare
media in (t1, t2)
MKS:
m/s
velocità
scalare
istantanea
Se vm è la stessa per qualunque intervallo di
tempo, il moto si dice: uniforme.
accelerazione
media in (t1, t2)
accelerazione
istantanea
MKS: m/s2
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
a = cost
LEGGI
FONDAMENTALI
Se a t = 0, x0 = 0:
Se a t = 0, anche v0 = 0:
Si ricava quindi:
Ricapitolando:
a=0
a = cost
a=0
v
a = cost
v
t
Area = vt
t
Area=
caduta libera lungo la verticale
Moto uniformemente accelerato
y
h
Leggi del moto
0
Se a t = 0, y0 = h e v0 = 0 :
Salita e discesa
v0
DISCESA
SALITA
tempo di salita
quota raggiunta
distanza percorsa
tempo di caduta
velocità finale
> v0
Da cui si ricava:
t1 = t2
MOTO IN DUE DIMENSIONI
Posizione, velocità e accelerazione sono vettori nel piano
y
P
r
x
Se r e r+dr sono le posizioni a t e t+dt
La v di un corpo nel piano, in un punto P ha
modulo uguale alla v scalare e direzione
tangente alla traiettoria in quel punto
L’accelerazione è determinata dai cambiamenti
di modulo direzione e verso della velocità
a = cost
MOTO DEI PROIETTI
Prima di Galileo: …“teoria dell’impeto”
..la teoria pregalileiana non spiega
la forma della traiettoria..
Galileo: il moto dei proietti si spiega
mediante il concetto di inerzia
1. Un corpo lanciato cade verticalmente
sotto l’azione della forza di gravità
2. L’inerzia lo fa muovere con velocità
costante lungo la verticale
Risultato della combinazione di due moti:
Il corpo descrive una PARABOLA
x
y
Foto stroboscopica
di due proietti
Calcolo esplicito della traiettoria
trascurando gli attriti (proietti lenti)
Condizioni iniziali:
X: il moto è governato dal principio d’inerzia
Y: il moto è governato dall’accelerazione
costante verso il basso
Studiamo y = f(x) partendo da y = f(t )
e conoscendo t = g(x)
t = g(x)
y = f(t )
Eliminando t si ottiene la traiettoria y = y(x)
Equazione cartesiana della parabola galileiana
in assenza di attriti dell’aria.
qual è l’altezza massima ymax?
Vy = 0
vx 0
y
ymax
x
se è fisso, ymax è funzione della sola v02
La Gittata
R = xmax
Quando il corpo torna al
suolo, lo spazio percorso è:
dove T è il tempo di volo:
La gittata è funzione di ed è massima per:
Rmax = sin 2 = 1 ; 2 =90° = 45°
Parabola di
sicurezza
P
Se vogliamo colpire un punto P (x,y) imponiamo:
, ma:
Sostituendo ho un’equazione di II grado in
(*)
(*) ha 2 soluzioni reali se P(x, y) si trova
sotto la parabola di sicurezza
LE LEGGI DI CADUTA DEI GRAVI
In che modo un corpo acquista velocità
mentre cade?
Sviluppo storico
Leggi che pongono in relazione spazio di caduta, tempo
di caduta, e velocità dei gravi in caduta secondo due
studiosi del XIV secolo Alberto di Sassonia e Nicola di
Oresme, secondo Leonardo da Vinci (1452-1519) e
Galileo Galilei (1564-1642)
Necessità di superare una descrizione qualitativa
(forma mentis Aristotelica) mediante misurazioni
quantitative (esperimenti) e linguaggio matematico
Confrontiamo le leggi di Leonardo e Galileo…
Siano sP ed st lo spazio incrementale e lo spazio totale
percorsi in successive unità di tempo t
LEONARDO
Legge degli
interi
consecutivi
GALILEO
Legge dei
numeri
dispari
Quando t = 1, sP = c, quindi c è numericamente uguale allo
spazio che qualsiasi grave percorrerà nella 1° unità di tempo
nel suo moto di caduta. Nel SI, c ha un valore di circa 4,9 m/s2
ed ha lo stesso valore per tutti i gravi che cadono nel vuoto in
prossimità della superficie della Terra.
Quale formulazione scegliere per descrivere la caduta
di un grave?
Quella che non entra in contraddizione con l’esperienza
Con gli orologi moderni possiamo studiare direttamente
la caduta libera e verificare i risultati di Galileo.
La fotografia mostra la
caduta di una sfera in
successivi istanti di tempo
(CRONOFOTOGRAFIA).
Un dispositivo emette lampi
di luce a intervalli di tempo
regolari: è il nostro orologio.
Tra ogni coppia di immagini
consecutive è trascorso lo
stesso intervallo di tempo.
Si misurano gli spazi
percorsi con una scala
graduata.
Dati di questo tipo sono
ideali per scegliere tra la
legge di Leonardo e quella
di Galileo per lo spazio
percorso
in
successivi
intervalli di tempo.
GALILEO
LEONARDO
Spazio percorso
tra un lampo ed il
consecutivo, sP.
Spazio di
caduta
totale st
c
3c
5c
7c
Spazio di
caduta
totale st
c
2c
3c
4c
5c
9c
6c
11c
Scegliamo la legge di Galileo
1)
2)
Sostituendo 1 in 2 si ottiene:
Per h = 0
E quindi per a = cost = 2c:
Questa accelerazione costante è così importante
che la denotiamo con un simbolo proprio:
g = accelerazione di gravità
Legge della
caduta
dei gravi
LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE
universalità
Ogni corpo esistente nell’universo attira ogni altro
corpo con una forza gravitazionale. G è la costante di
gravitazione universale.
direzione e verso
Le forze di gravitazione esistenti tra due punti
materiali (tra loro opposte per il principio di azione
e reazione) hanno come retta di applicazione la retta
individuata dalle posizioni dei due punti.
intensità
L’intensità della forza è proporzionale al prodotto
delle masse dei punti materiali e inversamente
proporzionale al quadrato della loro distanza.
È una legge fondamentale di natura…
Spiega la legge empirica di Keplero
che pone in relazione il raggio di un
orbita R con il suo periodo T: una
Forza che decresce come 1/R2 porta
ad orbite che sono sezioni coniche
(ellissi, cerchi, parabole e iperboli).
forza gravitazionale in cielo
Spiega la legge empirica di Galileo
per la caduta libera dei gravi: la
terra esercita sopra ogni corpo una
forza di attrazione gravitazionale.
forza gravitazionale in terra
La fisica della terra diventa identica alla
fisica del cielo
Vale il principio di sovrapposizione:
La forza risultante sulla mela si ottiene sommando
vettorialmente tutte le forze (F1 , F2 ,…) che si esercitano
tra particella della mela e particella della Terra.
…con il calcolo integrale si dimostra che…
due corpi a simmetria sferica che non si toccano si
comportano come se tutta la loro massa fosse concentrata
nel centro.
la Terra e la mela si possono trattare come
punti materiali.
PROPRIETÀ ESCLUSIVA DELLE LEGGI
IN CUI LA FORZA È INVERSAMENTE PROPORZIONALE
AL QUADRATO DELLA DISTANZA.
RAPPRESENTAZIONE DELL’ INTENSITÀ DEL CAMPO
GRAVITAZIONALE CON LE LINEE DI FORZA
L’intensità della forza esercitata da una sorgente sferica:
(*)
Linee di forza dovute ad una massa puntiforme (a) nel centro
di una sfera di osservazione e (b) in un punto decentrato:
In entrambi i casi il
numero di linee di forza
che attraversano la
superficie sferica si
conserva.
(a)
(b)
Linee di forza dovute (c) ad una distribuzione a simmetria
sferica di masse puntiformi mi e (d) alla stessa massa totale
di (c) concentrata nel centro.
(c)
(d)
In entrambi i casi il
numero di linee di forza
che attraversano la
superficie sferica è
direttamente
proporzionale alla massa
totale della sorgente.
(a), (b), (c), (d) rappresentano la (*)
STRATI SFERICI
La forza gravitazionale dovuta a una massa distribuita
simmetricamente su uno strato sferico è:
uguale a quella che si avrebbe se tutta la massa
fosse concentrata nel centro;
nulla ovunque all’interno dello strato.
Determinazione della forza che
si esercita su una massa
puntiforme (punto materiale),
situata all’interno di uno strato
sferico.
Una retta che interseca una
sfera forma lo stesso angolo
rispetto alla normale alla sfera
in entrambi i punti di
intersezione.
APPLICAZIONE
Qual è la forza gravitazionale che si esercita su un corpo posto
ad una distanza r dal centro della Terra?
La forza che cerchiamo è dovuta
unicamente allo materia contenuta in
una sfera di raggio r. Lo strato di
materia situato all’esterno del corpo
non esercita forza.
orientata radialmente.
diretta verso il centro
della Terra.
Diagramma del modulo della forza gravitazionale in
funzione della distanza dal centro della Terra
nell’ipotesi di massa volumica mv uniforme.
F(r)
proporzionale
a r -2
r
ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ SULLA TERRA
Legge di gravitazione universale
+
Secondo principio della dinamica
Legge di Galileo
MT
…da cui:
costante!
In prossimità della Terra tutti i corpi cadono con la stessa
accelerazione costante indipendente dalla massa del corpo.
… C.V.D
IN CONSEGUENZA ALLA FORZA GRAVITAZIONALE
LA LUNA È IN CADUTA LIBERA SULLA TERRA….
Le traiettorie di un sasso lanciato
orizzontalmente con differenti
velocità da un monte conducono
al moto orbitale. (Principia)
La luna ha la velocità giusta per
ruotare intorno alla Terra: cade
continuamente, ma in virtù della
curvatura della Terra, non la
raggiunge mai.
Previsione di
Newton sullo
spazio di caduta
della luna in 1 s
>
Previsione..
Una mela in caduta libera sulla Terra percorre 4,9 m in 1 s;
nello stesso tempo la Luna in caduta libera percorre 0,14 cm.
verifica: MOTO REALE DELLA LUNA
Geometria per determinare lo
spazio di caduta della Luna in
un tempo di caduta di 1 s.
d = spazio orizzontale che la
Luna percorre in 1 s.
Per Pitagora:
Ottimo accordo con il valore previsto teoricamente:
un’esperienza eseguita sulla Terra rivela le leggi del cielo.
SATELLITI ARTIFICIALI IN ORBITE CIRCOLARI
v
msat
r
MT
Grandezze pertinenti
al moto orbitale dei
satelliti
Moto circolare uniforme:
accelerazione centripeta
di modulo costante v 2/r.
Sul satellite agisce la
forza gravitazionale:
Tale F impartisce al un’
accelerazione centripeta:
l’orbita del satellite è un cerchio.
Velocità alla quale la forza gravitazionale
terrestre fa sì che lo spazio che il satellite
percorre cadendo sia tale da mantenerlo
nella sua orbita.
Relazione tra il periodo
T ed il raggio
dell’orbita: caso
particolare della 3°
legge di Keplero.
FORZA CENTRIFUGA
Nei sistemi di riferimento che
ruotano di moto circolare uniforme rispetto
ad un sistema di riferimento inerziale
è presente una forza fC data da:
a0 : è l’accelerazione centripeta (segno -) rispetto
al sistema di riferimento inerziale
r : distanza dall’asse di rotazione
: velocità angolare del sistema di riferimento
v = r: velocità del punto
fC cresce al crescere di r ed è diretta verso
l’esterno: FORZA CENTRIFUGA
Esempio: Moto circolare uniforme di un corpo
vincolato ad un palo da una fune:
Diagramma delle forze:
1) Nel sistema di riferimento inerziale:
T = mv2 / r
m
2) Nel sistema di riferimento in rotazione:
fc = mv2 / r
T = mv2 / r
m
Applicazione: CENTRIFUGHE
Per separare le particelle solide in un liquido,
fc ha un’azione più efficace della sola gravità
Asse
centrifuga
R
m2R
mg
mg
FRIS
…la rotazione genera fc orizzontale…
Sulla particella agisce quindi:
FRIS = m 2 R + m g = gravità efficace
AUMENTA LA VELOCITÀ DI DERIVA
PROPRIETÀ
(S-1) R(cm)
centrifuga
ultracentrifuga
30
103
10
10
2 R
2 R/g
188
6,28 103
3,6
105
4 108
360
4 105
Studiamo la velocità di deriva
Forza su particella solida di massa m in
liquido di massa m0 e viscosità
Gravità efficace
corretta per Archimede
Forza
viscosa
resistiva
All’equilibrio FRIS = 0, v = vD
Per una particella
sferica di raggio r :
K = 6 r
Velocità Deriva
cresce con r2
(corpi grandi!)
L’Energia
“l’energia di un corpo è la misura del lavoro che esso
può compiere in virtù del particolare stato in cui si trova”
Caratteristica fondamentale di questa grandezza è che
ad essa è associato un principio di conservazione :
“nella mutevolezza delle forme e degli scambi di energia,
l’energia totale di un sistema (isolato) si conserva.”
energia meccanica
energia elettrica
Trasformazione
L’esistenza di principi di conservazione è una delle
principali scoperte in fisica e rimane inalterata anche
nella fisica moderna. Accrescono la nostra comprensione
della dinamica e ne semplificano l’analisi.
L’Energia presenta una molteplicità di forme e di processi
di scambio: lavoro meccanico, energia cinetica, energia
potenziale, calore….
Il lavoro rappresenta l’energia impressa ad un corpo da
una forza esterna. Una forza compie lavoro ogni volta
che produce uno spostamento del corpo su cui agisce.
l’unita di misura
è il Joule
Nel caso di FORZA COSTANTE:
Il lavoro fatto da una F costante è dato dal prodotto dell’intensità
della F per la proiezione dello spostamento subito dal suo
punto di applicazione nella direzione della F .
Nel caso di FORZA VARIABILE:
Il lavoro fatto da una F variabile quando il suo punto di
applicazione si sposta da A a B lungo una curva è dato da:
F
ds
P1
F
ds
P2
Energia cinetica
Interpretiamo Ecin come: energia associata al moto.
Grandezza scalare
Unità di misura: Joule
Dipende da m e dallo
stato di moto istantaneo
di un corpo (v)
Se un corpo di muove sotto l’azione di più forze di risultante F :
Il lavoro compiuto dalla F modifica l’ Ecin
…per uno spostamento finito si ottiene:
TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA:
(1° risultato verso l’individuazione di un
principio di conservazione…)
L’ Ecin di un corpo può essere modificata (aumentata E > 0,
diminuita E > 0) quando una forza compie un lavoro L 0
e si ha:
L = Ecin
Energia potenziale U
Interpretiamo U come l’energia associata alla posizione.
È la misura del lavoro che un corpo può
compiere in virtù della sua posizione in
un campo di forze conservativo.
e vale:
Tale lavoro non dipende dal percorso per andare dal
punto A al punto B, ma solo dalla posizione di A e B.
A
I
II
B
U è definita a meno di una costante:
è possibile fissare arbitrariamente lo zero dell'energia
potenziale senza ambiguità, poiché il lavoro è definito
in termini di variazioni di U e la forza come gradiente.
CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA
MECCANICA TOTALE
Si definisce Energia Meccanica la quantità:
Etot = Ecin + U
L’ENERGIA MECCANICA TOTALE DI UN
SISTEMA È UNA COSTANTE DEL MOTO
SE IL SISTEMA È ISOLATO E GLI OGGETTI
CHE LO COMPONGONO INTERAGISCONO
SOLO MEDIANTE FORZE CONSERVATIVE
lllllllllllllll
Legge fondamentale di natura:
più efficace e profonda del metodo newtoniano
Applicazione: il piano inclinato
Etot = U = mgh
v=0
θ
mg
h
r
Galileo solleva la sfera alla quota h dotandola
di energia potenziale U. Lasciata libera la sfera
acquista velocità v. Durante il moto vale:
Trovo la costante ponendomi in z = h. Vale:
per z
E = mgh
h
z
E = mgz + ½ mv²
PROCEDIMENTO GENERALE
Si definisce il sistema da studiare.
Si sceglie una posizione di riferimento per U=0 e la
si usa coerentemente.
Si scrive l’energia totale del sistema nel punto, per
esempio A, in cui si vuole determinare una certa
quantità incognita (come la velocità o la quota);
EA = UA + KA.
Si trova un altro punto, per esempio il punto B, in
cui si conosce tutto riguardo al moto del corpo e si
scrive l’energia totale in quel punto: EB = UB + KB .
La conservazione dell’energia implica che EA = EB;
si eguagliano le due energie e si risolve rispetto alla
quantità incognita.
IMPORTANTE:
Il procedimento vale anche per forze
continuamente variabili
